- 1. Matemtica Elementar I Autor Leonardo Brodbeck Chaves
Matemtica Elementar I Caderno de Atividades 2009 Esse material
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2. 2008 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial,
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Matemtica Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. Curitiba: IESDE
Brasil S.A., 2009. 196 p. ISBN: 978-85-7638-798-5 1. Matemtica. 2.
Matemtica Estudo e ensino. I. Ttulo. CDD 510 Esse material parte
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Chaves
MestreemInformticanareadeEngenhariadeSoftwarepelaUniversidade
Federal do Paran (UFPR). Graduado em Engenharia Eltrica com nfase
em Eletrnica tambm pela UFPR. Esse material parte integrante do
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www.aulasparticularesiesde.com.br 5. Sumrio Contagem | 11 1. A noo
bsica da Matemtica: a contagem | 11 2. O sistema de numerao decimal
| 13 Adio e subtrao | 17 1. A adio | 17 2. A subtrao | 18
Multiplicao e diviso | 21 1. A multiplicao | 21 2. A diviso | 23
Fraes (I) | 25 1. As fraes | 25 2. Resoluo de problemas com fraes |
28 3. Fraes prprias e imprprias | 30 4. Simplificao de fraes | 31
Fraes (II) | 35 1. Mnimo mltiplo comum (m.m.c) | 35 2. Adio e
subtrao de frao com o mesmo denominador | 36 3. Adio e subtrao de
fraes com denominadores diferentes | 37 4. Multiplicao com fraes |
40 5. Diviso com fraes | 41 Potenciao | 43 1. Potenciao | 43 Esse
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Expresses numricas | 47 1. Introduo | 47 2. Regras para a resoluo
de expresses numricas | 47 Geometria (I) | 53 1. Polgono | 53 2.
ngulos | 55 3. Tringulo | 55 4. Quadriltero | 56 5. Permetro de um
polgono | 57 6. Medida do comprimento da circunferncia | 62
Geometria (II) | 65 1. Unidade de rea | 65 2. reas de figuras
planas | 66 3. Volumes | 70 Razo e proporo | 75 1. Razo | 75 2.
Proporo | 79 3. Aplicando razo e proporo para calcular densidade
volumtrica | 80 Grandezas proporcionais (I): regra de trs simples |
85 1. Grandezas diretamente proporcionais | 85 2. Grandezas
inversamente proporcionais | 88 Grandezas proporcionais (II): regra
de trs composta | 95 1. Proporcionalidade composta | 95 2. Regra de
trs composta | 97 Esse material parte integrante do Aulas
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Porcentagem | 105 2. Juro | 111 Equaes do 1.o grau | 117 1.
Introduo | 117 Equaes do 2.o grau | 125 1. Noo de equao do 2.o grau
| 125 2. Forma geral | 125 3. Soluo de uma equao do 2.o grau | 127
4. Resoluo de problemas do 2.o grau | 137 5. Problemas que envolvem
equaes do 2.o grau | 138 Sistemas lineares 2 x 2 | 143 1. Introduo
| 143 2. Sistema de equaes lineares 2 x 2 | 144 3. Soluo de um
sistema linear 2 x 2: mtodo grfico | 144 4. Soluo de um sistema
linear 2 x 2: mtodo da substituio | 146 5. Soluo de um sistema
linear 2 x 2: mtodo da comparao | 151 6. Soluo de um sistema linear
2 x 2: mtodo da adio | 153 Radiciao | 159 1. Introduo | 159 2.
Quadrados perfeitos | 160 3. Raiz quadrada | 161 Grfico e funo |
163 1. Plano cartesiano | 163 2. Funo afim | 164 3. Funo quadrtica
| 168 Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line
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repleto de idias, modelos e aplicaes matemticas. E desde o
surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o cu, a
terra e o mar, encontramos inmeras aplicaes matemticas: a) as
colmias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o crculo
da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulao precisa; d) as
ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema
solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relaes geomtricas, entre
outros. Vrias atividades do nosso cotidiano necessitam de aes que
envolvam idias matemticas, como a aquisio de um plano adequado de
financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle
do oramento familiar (mediante a relao salrio X gastos), a
compreenso das escalas prprias de fenmenos da natureza (por
exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve
histrico, o homem, desde a poca das cavernas, tem usado a Matemtica
para contar, medir e calcular. Ele dividia a caa em partes iguais
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10. (conceito de fraes), media um pedao de pele com a finalidade de
comparar comprimentos (idias de menor e maior) e fabricava
utenslios de barro que eram seus padres de medida (idia de volume).
Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemtica
para sua sobrevivncia e transcendncia como espcie humana, a partir
de aes que demonstravam novas estratgias geradas pelo seu raciocnio
lgico, frente s situaes da realidade. A capacidade de
desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptao do homem
fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a
finalidade de auxiliar a resoluo de problemas com agilidade, assim
surgiram os computadores. O computador uma mquina que executa
operaes matemticas construindo seqncias lgicas, resolvendo
problemas e executando operaes matemticas com maior eficincia e
rapidez, por sua capacidade de memria. Percebemos assim, que a
Matemtica nos ajuda a estruturar idias e definies, nos auxilia no
desenvolvimento do raciocnio por meio de modelos matemticos com a
resoluo de problemas, promove a concentrao e desenvolve a
memorizao. Assim, a Matemtica uma cincia dinmica que se constitui
como produto cultural do homem, que est em constante evoluo, e
estudar Matemtica traz benefcios e desenvolvimento para a
sociedade. Esse material parte integrante do Aulas Particulares
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www.aulasparticularesiesde.com.br 11. Porcentagem e juro 1.
Porcentagem usual nos clculos financeiros utilizarmos a porcentagem
com taxa. Isso permite que seja feito um clculo direto, de
acrscimos e descontos, sobre determinado valor. Exemplos: a) Um
assalariado ganha um salrio bruto de R$3.200,00. Descontando
imposto de renda, contribuies previdencirias e outras dedues, temos
um total de desconto de 40%. Qual o valor do salrio lquido, que o
salrio bruto com as dedues? Salrio lquido = salrio bruto dedues SL
= SB D SL = (100% de 3 200) (40% de 3 200) SL = 60% de 3 200 SL =
60 . 3 200 100 SL = 0,60 . 3 200 = 1 920 Note que o fator de
diminuio 0,6: Usando taxas, bastaria calcular assim: SL = (100 40)
. 3 200 SL = 60 . 3 200 100 100 SL = 0,60 . 3 200 = 1 920 Resposta:
O salrio lquido de R$1.920,00. Esse material parte integrante do
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www.aulasparticularesiesde.com.br 12. Matemtica Elementar I Caderno
de Atividades106 b) Andr tinha uma dvida no carto de crdito de
R$450,00. O juro mensal de 11%. Qual o total da dvida ao final de
um ms? Montante = capital + juros M = C + j ( . = = = = = M 100% de
450)+(11% de 450) M 111% de 450 111 M 450 100 M 1,11. 450 Note que
o fator de aumento 1,11. M 499,50 Resposta: O total da dvida
(montante) ser de R$499,50. 1. Calcule as porcentagens a seguir: a)
27% de 1 300 27 27% de 1 300 = 1 300 = 0,27 . 1 300 = 351 100 fator
Vamos calcular rapidamente ento? Situao Clculo do fator Operao
Desconto de 10% 100% 10% = 90% = 90 =0,90 100 Multiplicar por 0,90
Acrscimo de 3,5% 100% +3,5%=103,5%= 103,5 =1,035 100 Multiplicar
por 1,035 Desconto de 2% 100% 2%= 98% = 98 =0,98 100 Multiplicar
por 0,98 Para uma situao geral, temos: Se um valor V sofre um
aumento percentual de uma taxa i, o novo valor dado por: N = V +
i.V = V(1+i), em que 1 + i o fator de aumento. Da mesma maneira, se
um valor V sofre uma diminuio percentual de uma taxa i, o novo
valor N dado por: N = V iV = V(1-i) onde 1 i o fator de diminuio.
Agora, vamos acompanhar alguns exemplos: Esse material parte
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107 b) 3,7% de 8 500 = = 3,7 3,7% de 8500 . 8500 0,037. 8500=314,50
100 fator 2. Com o auxlio de sua calculadora, resolva os seguintes
problemas: a) O senhor Antnio aplicou a quantia de R$250,00 na
caderneta de poupana. Qual o seu saldo depois de 30 dias se naquele
ms a aplicao rendeu no total 0,71%? N= V +iV N= V (1+i) 0,71 N= 250
1+ 100 N= 250(1+0,0071) N= 250.1,0071 fator de aumento N = 251,78
Resposta: O seu saldo de R$251,78. b) O preo de um televisor de
R$1.100,00. Se for pago vista, o desconto de 8,5%. Se for compr-lo
vista, qual o valor final? fator = = = = = - - N V +iV N V (1i) 8,5
N 1100 1 100 N 1100.(1 0,085) N 1100. 0,915 N = 1 006,50 Resposta:
O preo final ser R$1.006,50. Esse material parte integrante do
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de Atividades108 3. O senhor Antnio tem o salrio de R$800,00
mensais. Ele receber um aumento de 15%. De quanto ser o aumento? =
= 15 15% de 800 800 120 100 Resposta: O aumento ser de R$120,00. 4.
Calcule as porcentagens a seguir: a) 22% de 250 = 22 250 55 100
Resposta: 55. b) 90% de 22 500 = 90 22500 20250 100 Resposta: 20
250. c) 5% de R$120 5 120 = 6 100 Resposta: R$6. 5. O salrio mnimo
atual de R$360,00. Entidades da classe pleiteiam um aumento de 15%.
Se as reivindicaes forem atendidas, qual ser o valor do salrio?
Dica: para um clculo rpido, multiplique 360 por 1,15. Assim:
360.1,15 = 414,00. + + + + ATUALS = S aumento 15 S =360 .360 100 S
=360 0,15.360 S =(1 0,15).360 S = 414,00 Resposta: O salrio ser de
R$414,00. Esse material parte integrante do Aulas Particulares
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www.aulasparticularesiesde.com.br 15. Porcentagem e juro 109 6.
Dona Joana est pesquisando o preo de uma roupa que custa R$220,00.
Se ela pagar vista, o desconto de 8%. Qual ser o preo final se ela
pagar vista? Dica: para um clculo rpido, multiplique 220 por 0,92.
Assim: 220 . 0,92 = 202,40. FINAL ORIGINAL FINAL FINAL FINAL FINAL
P = P D 8 P = 220 .220 100 P = 220 0,08.220 P = (1 0,08).220 P =
202,40 Resposta: O preo com desconto ser R$202,40. Exerccios
Resolva os exerccios que seguem: 1. Calcule as porcentagens a
seguir: a) 2% de 530 b) 88% de 1 700 c) 6% de R$22.500,00 Esse
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Matemtica Elementar I Caderno de Atividades110 2. Para pagamento a
prazo, um calado que custa R$80,00 ter um acrscimo de 11%. Qual o
valor do acrscimo? 3. O preo de um computador de R$2.500,00. Se for
pago a prazo, o preo sobe 7%. Qual o preo a prazo? 4. O preo da
gasolina, que era R$2,50 o litro, sofreu uma reduo de 3%. Qual o
valor do preo final? Esse material parte integrante do Aulas
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Juro Juro a remunerao que se paga por um capital emprestado por um
certo perodo de tempo. 2.1 Juro simples O senhor Jos precisa de um
emprstimo. Ele foi a uma financeira e obteve R$500,00 a ser pago
dentro de 1 ano, com taxa de 20% ao ano. Quanto o senhor Jos pagar
de volta financeira? Quando fazemos um emprstimo bancrio, pagamos
juros. No caso do senhor Jos, ele ter de pagar ao banco o valor do
capital emprestado (R$500,00) mais o juro, que vamos calcular
assim: Juros = 500 x 20% x 1 20 Juros 500 1 100 Juros 500 0,20 1
100 = = . . = taxa capital numerador de perodos Assim, o senhor Jos
pagar: Total = 500 + 100 = 600. Resposta: Ele pagar R$600,00
financeira. O clculo do juro pode ser generalizado: J = C . i . n J
= juro C = capital i = taxa n = nmero de perodos Esse material
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Elementar I Caderno de Atividades112 Vejamos mais alguns exemplos:
a) Determinar o juro recebido por um capital de R$5.000,00 com taxa
de 25% durante um perodo de 3 anos. C = 5 000 25 i 25% 0,25 100 = =
= n = 3 j = ? J = C. i. n J = 5 000 . 0,25 . 3 J = 3 750 Resposta:
O juro de R$3.750,00 b) Qual o montante resgatado de um capital de
R$8.000,00 aplicado a uma taxa de 5% durante 1 ano? Aqui precisamos
definir o que montante. Montante o capital aplicado mais o ren-
dimento. Dessa maneira: Montante = Capital aplicado + rendimento M
= C + J M = C + C.i.n M = C (1+ i.n) Voltando ao problema, C = 8
000 5 i 5% 0,05 100 = = = n = 1 ano = 12 meses (repare que o perodo
e a taxa devem estar sempre na mesma base de tempo) M = 8 000 (1+
0,05.12) M = 8 000 . 1,6 = 1 280. Resposta: O montante de
R$12.800,00. Esse material parte integrante do Aulas Particulares
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Qual capital produz um montante de R$88.000,00 a 20% ao ano,
durante 6 meses? M = 88 000 20 i = 20% ano= ao ano = 0,20 ano 100 6
1 n = 6meses ano = ano 12 2 C =? M = C+C.i.n 1 88 000 = C 1+0,20. 2
88 000 = C (1+0,10) 88 000 C = C = 80 000,00 1,10 Resposta: O
capital de R$80.000,00. 2.2 Juro composto Quando fazemos uma
aplicao em caderneta de poupana, por exemplo, os rendimentos do
perodo de 1 ms so incorporados ao capital. Acompanhe os montantes
(saldos) de um capital de R$1.000,00 com taxa de 5% mensais,
durante 3 meses. Incio do 1. ms Ao final do 1. ms Capital inicial
Rendimento Montante R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00 Incio do 2. ms Ao
final do 2. ms Capital inicial Rendimento Montante R$1.050,00
R$52,50 R$1.102,50 Incio do 3. ms Ao final do 3. ms Capital inicial
Rendimento Montante R$1.102,50 R$55,12 R$1.157,62 Esse material
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Elementar I Caderno de Atividades114 Anteriormente, tivemos o
exemplo do funcionamento do juro composto. Juro composto aquele que
no fim de cada perodo aplicado ao capital anterior. Vejamos alguns
exemplos: a)
Seascadernetaspagamrendimentode0,65%aoms,calcule,usandoumacalculadora,
quanto rende um capital de R$500,00 ao final de 3 meses. ::
Primeiro ms: C 500,00 0,65 i 0,65%= 0,0065aoms 100 n 1 ms = = = = M
= C (1 + n.i) = 500 (1 . 0,0065) = 500 . 1,0065 = 503,25 :: Segundo
ms: C 503,25 i 0,0065aoms n 1 ms = = = M = C (1 + n.i) = 503,25 (1
. 0,0065) = 503,25 . 1,0065 = 506,52 :: Terceiro ms: C 506,52 i
0,0065aoms n 1 ms = = = M = C (1 + n.i) = 506,52 (1 . 0,0065) =
506,52. 1,0065 = 509,81 Logo o capital rende R$509,81 R$500,00 =
R$9,81 Resposta: O capital rende R$9,81. b) Determinar o juro
recebido por um capital de R$8.750,00 com taxa de 12% ao ano, no
regime de juros simples, durante um perodo de 5 anos. C = 8 750 12
i=12%ao ano = = 0,12 ao ano 100 n=5 anos Esse material parte
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115 j = C.i.n j= 8 750 . 0,12 . 5 j = 5 250 Resposta: O juro
simples de R$5.250,00. c) Qual o montante resgatado de um capital
de R$2.200,00 aplicado a uma taxa de 1,5% ao ms, no regime de juros
simples, durante 2 anos? C 2 200= 1,5 i 1,5% ao ano 0,015 ao ms 100
n 2 anos 24meses = = = = = M = C (1 + i.n) M = 2 200 (1+ 0,015 .
24) M = 2 200 . 1,36 M = 2 992 Resposta: O montante R$2.992,00. d)
Suponhaqueascadernetasdepoupanarendam0,63%aoms. Simuleumaaplicao de
um capital de R$1.000,00 por trs meses. Incio do 1. ms Ao final do
1. ms Capital inicial Rendimento Montante R$1.000,00 1 000 . 0,0063
. 1 = 6,30 1 000,00 + 6,30 = 1 006,30 Incio do 2. ms Ao final do 2.
ms Capital inicial Rendimento Montante R$1.006,30 1 006,30 . 0,0063
. 1 = 6,34 1 006,30 + 6,34 = 1 012,64 Incio do 3. ms Ao final do 3.
ms Capital inicial Rendimento Montante R$1.012,64 1 012,64 . 0,0063
. 1 = 6,38 1 012,64 + 6,38 = 1 019,02 Esse material parte
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I Caderno de Atividades116 Exerccios Resolva os exerccios que
seguem: 5. Determinar o juro recebido por um capital de R$920,00
com taxa de 8% ao ano, durante 4 anos, no regime de juros simples.
6. Qual o montante resgatado de um capital de R$30.000,00 aplicado
a uma taxa de 1% ao ms, no regime de juros simples, durante 6 anos?
7. Faa a simulao de uma aplicao em fundos de um capital de
R$8.000,00 com taxa de 1,5% ao ms, durante 4 meses. Esse material
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Porcentagem e juro 1. a) 10,60 b) 1 496 c) R$1.350,00 2. R$8,80 3.
R$2.675,00 4. R$2,42 5. R$294,40 6. R$51.600,00 7. R$8.490,90
Gabarito Esse material parte integrante do Aulas Particulares
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de Atividades Anotaes Esse material parte integrante do Aulas
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