G. Lariccia e V. Pallagrosi, Piccoli matematici crescono… dialogando con gli automi (o con i marziani?)

11 aprile 2012 ore 14.19

Giovanni Lariccia e Valeria Pallagrosi

PICCOLI MATEMATICI CRESCONOOvvero: dialogando con gli automi come se fossero marziani

Roma, 11 aprile 2012ore 14:19

SommarioPremessa...........................................................................................................................................................................1Gli assiomi di base.............................................................................................................................................................2

La nostra mente è naturalmente predisposta per la matematica.................................................................................2L’ astrazione scaturisce naturalmente dal gioco strutturato.........................................................................................2

Principio di variabilità percettiva.................................................................................................................................................3Principio di variabilità concettuale (matematica)........................................................................................................................3

I marziani...........................................................................................................................................................................3Obiettivo finale.............................................................................................................................................................5

Presentazione e riconoscimento.................................................................................................................................................5La suddivisione di un insieme in sottoinsiemi definiti da una o più proprietà.............................................................................6

Prime conclusioni e un bivio.........................................................................................................................................6La carta di identità di un blocco.........................................................................................................................................7

Il mercatino dei blocchi.................................................................................................................................................8Il procedimento di scelta..............................................................................................................................................9

Conclusioni......................................................................................................................................................................10

PremessaIn questo contributo (ed in altri che potranno seguire) vogliamo fare un breve resoconto di una incredibile serie di scorribande di tipo logico, matematico e informatico che abbiamo compiuto – un matematico ed una maestra! - in una classe dell’ ultimo anno della scuola dell’ infanzia di Roma.

L’ intervento è nato in forma quasi casuale, sostanzialmente dovuto al fatto che uno dei bambini della classe, Tommaso, è il nipote di Giovanni, il matematico. Parlando quasi casualmente con Valeria, che è una delle maestre di Tommaso, le ho descritto alcune attività che svolgo nei laboratori di didattica della matematica che conduco da diversi presso l’ Università Cattolica di Milano. Ne è nato spontaneamente un grande interesse reciproco e la voglia di provare a mettere in pratica nella scuola dell’ infanzia alcune delle idee che da anni porto avanti con le mie allieve, future maestre, del corso di laurea in Scienze della formazione primaria dell’ Università Cattolica di Milano. Fondamentalmente

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11 aprile 2012 ore 14.19si tratta di idee che circolano già da tempo negli ambienti della ricerca didattica, a livello nazionale e internazionale, con diverse sfumature. La novità del nostro approccio nasce da una grande attenzione speciale ai problemi connessi con la diffusione dell’ informatica a livello di massa ed alla questione connessa dei nativi digitali.

Nei nostri interventi abbiamo quindi mescolato tre filoni:

i concetti di automa, di codice e di procedura, elementi fondanti di quella che io, Giovanni, chiamo informatica della mente,

i concetti più tradizionali della didattica della matematica ispirata alla teoria degli insiemi che sono, appunto, il concetto di insieme, di sottoinsieme definito da una proprietà caratteristica;

i concetti di classificazione, di albero delle scelte, di variabile e relativo campo dei valori.

In definitiva, come si può capire, abbiamo integrato alcuni concetti tradizionali con un approccio, che riteniamo originale, basato sul portato delle recenti neuroscienze cognitive.

Gli assiomi di baseLe idee potenti1 che stanno dietro alla nostra sperimentazione, ovvero, come abbiamo detto sopra, alle nostre scorribande logico – matematico - informatiche sono molto semplici da enunciare, più difficili da mettere in pratica.

La nostra mente è naturalmente predisposta per la matematica

L’ idea potente numero uno è che la nostra mente è, fin dalla nascita, naturalmente predisposta per la matematica. Questa idea scaturisce dalla consuetudine con i neuroscienziati cognitivi come Karen Wynn, Stanislas Dehaene ed altri.

L’ astrazione scaturisce naturalmente dal gioco strutturato

La seconda idea potente si può far risalire alle ricerche di Zoltan Paulus Dienes, un matematico ungherese che ha dato importantissimi contributi alla didattica della matematica nell’ età della prima infanzia2.

Una delle cose più impressionanti Dienes afferma è il fatto che i bambini attraverso il gioco e la narrazione riescono a raggiungere progressivamente dei livelli di astrazione molto elevati.

1 Per dirla con Seymour Papert, matematico, epistemologo e fondatore dell’ Artificial Intelligence Lab, meglio noto come il nume tutelare del linguaggio Logo, un linguaggio di programmazione per bambini diffuso in tutto il mondo in diverse versioni nazionali.2 Dienes, tra l’ altro, è venuto varie volte in Italia, dove ha collaborato con Angelo Pescarini e con gli asili dell’ Emilia e Romagna. Inoltre ha tenuto rapporti di scambio con l’ insigne pedagogista Mauro Laeng.

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11 aprile 2012 ore 14.19A tale proposito Dienes enuncia due principi fondamentali, il principio di variazione percettiva ed il principio di variazione concettuale.

Principio di variabilità percettivaPer arrivare all’ astrazione, sostiene Dienes, occorre cambiare l’ aspetto percettivo degli oggetti e delle strutture proposte all’ attenzione dei bambini.

Diciamo, tanto per fare un esempio, che per imparare a distinguere il numero tre dovrò usare non soltanto tre mele, mettendole in corrispondenza con tre dita, o con tre pesche e via dicendo, ma anche, mettendo in relazione le tre mele con una successione di tre suoni. Oppure con tre azioni, tre gesti, che verranno sempre messi in corrispondenza biunivoca con gli oggetti.

Principio di variabilità concettuale (matematica)Il secondo principio di Dienes, quello di variabilità concettuale, dice che per insegnare il numero tre devo insegnare a distinguerlo dagli altri numeri. In altre parole, non posso dire di avere insegnato un certo concetto se non lo distinguo in modo opportuno dai concetti ad essi vicini o collegati.

Riferendosi alla geometria, non posso dire di avere insegnato il concetto di destra se non in relazione al concetto di sinistra. O quello di sopra se non in relazione al concetto di sotto.

I marzianiPer creare un ambiente fantastico, una sorta di sfondo integratore in cui inserire i nostri giochi abbiamo parlato dei i marziani.

La cosa è risultata naturale perché nella classe le maestre avevano presentato il sistema solare e i pianeti. Parlare di Marte dunque doveva sembrare a questi bambini la cosa più naturale del mondo, anche se, ovviamente, nessuno aveva mai approfondito l’ esistenza dei marziani e meno che meno le loro caratteristiche fisiche o men che mai cognitive.

Giovanni si presentava in classe dicendo che gli erano apparsi in sogno dei marziani che stavano per sbarcare sulla terra e volevano trovare il modo di entrare in contatto con i bambini.

Come si fa a parlare con i marziani? Ci siamo chiesti: ed abbiamo detto che l’ unico modo sicuro per parlare con degli essere che vengono da un altro pianeta era quello di usare una lingua di tipo matematico.

Abbiamo quindi introdotto i blocchi logici di Dienes: 48 pezzi di plastica ognuno dei quali presenta in modo chiaro e facilmente riconoscibile le proprietà che descriviamo appresso, che abbiamo definito attributi. Nella nostra collezione di blocchi si possono distinguere

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11 aprile 2012 ore 14.19attributi binari, che ammettono due valori possibili; attributi ternari, che ammettono tre valori possibili; attributi quaternari, che possiedono quattro valori.

GRANDEZZA: ogni blocco può essere grande o piccolo

SPESSORE: ogni blocco può essere magrotto o cicciotto

COLORE: ogni blocco si presenta in tre colori diversi, blu, giallo e rosso.

FORMA: ogni blocco si presenta in quattro forme diverse, triangolo, quadrato, rettangolo o cerchio

Ad ogni blocco, come abbiamo detto, sono associati tutti e quattro gli attributi. Abbiamo dunque 2 x 2 x 3 x 4 = 48 diversi tipi di blocchi. Normalmente questi 48 blocchi si trovano in commercio nei negozi di giocattoli o di prodotti per la scuola. Si possono anche chiamare Figure logiche, sono leggeri e maneggevoli, di plastica, contenuti in una scatola che consente di estrarli e di rimetterli a posto con facilità.

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Obiettivo finale

L’ obiettivo finale del nostro percorso era quello di portare i bambini a capire che la classificazione di un blocco equivale ad una serie di quattro domande e che la successione delle domande equivale ad un percorso su un albero di classificazione.

Presentazione e riconoscimentoLa prima fase è stata ovviamente il riconoscimento dei vari attributi. Questa fase veniva svolta davanti a tutta la classe, sistemata attorno ad un lungo tavolo rettangolare al quale prendeva posto anche l’ animatore.

Ad ogni bambino veniva consegnato un blocco, di cui venivano dichiarate ad alta voce, davanti a tutti i bambini, le proprietà. I bambini dovevano imparare a riconoscere le varie proprietà ed eventualmente a ricordare, senza guardarlo, le proprietà del blocco loro affidato.

La suddivisione di un insieme in sottoinsiemi definiti da una o più proprietàLa seconda fase è stata quella classica: la suddivisione dell’ insieme di partenza in sottoinsiemi sulla base delle proprietà che li identificano. Ogni bambino si identifica con il suo blocco e con le relative proprietà.

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11 aprile 2012 ore 14.19Questa fase è stata realizzata mediante un gioco di movimento in cui si chiedeva, per esempio, a tutti i bambini rossi di andare da una parte della stanza e a tutti i non rossi di andare dalla parte opposta.

A volte i bambini rossi venivano ‘raccolti insieme’ mediante un nastro che circondava il loro gruppo. Quando si chiedeva di raccogliere insieme i quadrati rossi, ovviamente si stendeva un secondo nastro che identificava il sottoinsieme in questione.

Prime conclusioni e un bivio

Fino a questo punto, dobbiamo dire, le cose sono andate esattamente come pensavamo e come suggerisce la vasta letteratura sull’ argomento. Siamo nell’ ambito della più classica insiemistica, sia pure animata da una rappresentazione corporea, in cui i bambini, identificandosi con i blocchi, riescono a interiorizzare meglio i concetti di insieme e di sottoinsieme definito da una o più proprietà.

Da questo punto in poi, tuttavia, abbiamo preso una strada nuova che passa attraverso il concetto di codice e chiama in causa, pertanto, i nostri amici marziani.

La carta di identità di un bloccoPagina 6 su 12

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11 aprile 2012 ore 14.19Nella fase stiamo per descrivere abbiamo cominciato a separare le proprietà che definiscono un blocco utilizzando per ogni coppia attributo valore una specie di banconota che abbiamo detto essere il tipo di moneta usata dai marziani per scambiare i blocchi.

Ad ogni bambino è stato dato un insieme completo di 11 banconote che indicavano in modo figurato la proprietà ed il valore.

Con questa operazione siamo saliti con i bambini ad un livello superiore nell’ astrazione. Abbiamo introdotto ribadito il concetto di codice, già utilizzato in precedenza, ed abbiamo di fatto introdotto due tipi di codici per indicare la stessa coppia (attributo, valore).

Il primo codice, è intuitivo, si basa sulla selezione di una figura – in questo caso il triangolo – che viene messa in evidenza da un fondino colorato rispetto a quelle non selezionate.

Il secondo codice è alfabetico numerico: dicendo F = 0 vogliamo indicare convenzionalmente la variabile forma ed attribuirgli il primo dei quattro valori disponibili, cominciando dallo zero. Abbiamo sottolineato che lo zero è una cifra come tutte le altre, tanto è vero che negli autobus viene usata in modo essenziale.

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11 aprile 2012 ore 14.19Abbiamo così realizzato undici tipi di banconote per esprimere tutti i valori di tutte le variabili a nostra disposizione (vedi figura sotto).

Si noti che le immagini prese per rappresentare i valori grande e piccolo, magrotto e cicciotto non sono immediatamente riconducibili ai blocchi logici. E tuttavia le parole grande e piccolo servono bene a mediare il concetto che originariamente abbiamo introdotto a proposito dei blocchi.

Il mercatino dei blocchi

Nel gioco successivo abbiamo chiesto a ciascun bambino di associare al blocco che gli era stato affidato le quattro banconote che lo contraddistinguevano.

Come punto di partenza abbiamo dato ad ogni bambino due fogli in cui erano disegnate le 11 banconote. Ai bambini abbiamo chiesto prima di tutto di tagliarle e di verificarne il significato.

Per rendere l’ operazione più semplice abbiamo poi chiesto ad ogni bambino di disporre le sue undici banconote in quattro file sul tavolo, davanti a sé.

La prima fila, quella vicino al bambino, doveva contenere le quattro forme (triangolo, quadrato, rettangolo, cerchio); la seconda fila i tre colori (giallo, rosso e blu); la terza fila i due spessori (magrotto e cicciotto) e la quarta ed ultima fila le due grandezze (piccolo e grande).

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11 aprile 2012 ore 14.19In questo modo ogni bambino aveva davanti a sé una tavolozza o, se vogliamo, un albero di scelte. Scegliendo una banconota da ogni fila, il bambino compiva un percorso di definizione delle quattro proprietà e quindi definiva uno ed un solo blocco.

Il procedimento di scelta

Per mettere ancora meglio in evidenza che ogni blocco può essere visto come il punto di arrivo di un procedimento di scelta, abbiamo rifatto lo stesso gioco sul pavimento.

Sul pavimento abbiamo creato le quattro file corrispondenti ai quattro livelli di scelta. Quindi abbiamo chiesto ad un bambino per volta di compiere quattro passi corrispondenti alla selezione delle quattro variabili.

Nella figura qui appresso vediamo una bambina che sta passando dalla prima alla seconda fila.

Mentre il bambino automa compie le scelte spostandosi sul pavimento, i compagni pronunciano

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11 aprile 2012 ore 14.19ad alta voce la scelta che l’ automa deve fare. Quindi se l’ automa deve scegliere un blocco con le seguenti caratteristiche

FORMA = 0 (triangolo) COLORE = 0 (giallo) SPESSORE = 0 (magrotto) GRANDEZZA = 0 (cicciotto)

Tutti i bambini in coro ripeteranno ad alta voce tutte le caratteristiche, a mano a mano che l’ automa passa da una fila all’ altra.

Nel frattempo la maestra Valeria prende appunti su un cartoncino che alla fine viene consegnato al bambino che ha finito il suo percorso di scelta.

ConclusioniI bambini hanno reagito in modo entusiastico al percorso che abbiamo fatto.

La stragrande maggioranza di loro ha interiorizzato i concetti ed ha acquisito delle abilità non indifferenti nel manipolare degli strumenti progressivamente astratti.

Alcuni genitori ci hanno riferito che a casa i loro figli ogni tanto parlano di questi marziani e cercano di classificare le cose o le persone che li circondano.

Abbiamo così arricchito un gioco logico matematico classico con una serie di procedimenti che lo rendono dinamico. Abbiamo introdotto in modo indolore il concetto di codice e l’ uso dei codici per rappresentare sia le proprietà degli oggetti che delle azioni di scelta.

Ci siamo in questo modo avvicinati a quella che uno degli autori definisce informatica della mente, l’ informatica che si può fare con la propria mente, o con quella dei nostri bambini senza bisogno di scomodare i computer.

Peraltro abbiamo in altre occasioni introdotto il concetto di automa, presentato l’ iPad, l’ ormai famoso computer a forma di tavoletta introdotto due anni orsono dalla Apple computer, come un esempio di automa.

Ma poi abbiamo spiegato ai bambini che gli automi, in fondo, possiamo anche essere noi, se ci troviamo in una situazione in cui dobbiamo fare delle cose molto precise con un repertorio finito di azioni.

BibliografiaB. D’Amore e F. Aglì, L’ educazione matematica nella scuola dell’ infanzia, Juvenilia Scuola (1995)

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G. Lariccia, Informatica della mente, Book-jay.it (2012)

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