Pembahasan Soal Olimpiade Tungkat SMP Babak Penyisihan

DINAMIKA XV“Mathematics Is The Beginning of Technological Advancement”

Presented by

PANITIA PELAKSANADIES NATALIS JURUSAN MATEMATIKA XV (DINAMIKA XV)

HIMPUNAN MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA (HIMATIKA)FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

Jl. Prof. Dr. Soemantri Brojonegoro No.1 Gedung UKM FMIPA Unila Gedong Meneng Raja Basa, Bandar Lampung 35145

E-mail : [email protected]

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMP

1.

2. Angka satuan pada seluruh kemungkinan nilai dari bilangan 4 angka yang dibentuk dari 1,2,4 dan 6 adalah sama, karena bagaimanapun kemungkinannya, sifat penjumlahan adalah komutatif. Sehingga angka satuannya adalah angka satuan dari 1+2+4+6 =13. Jadi jumlah angka satuannya adalah 13.

3.

4. Tinjau dari

xy=10...........................................(1)

QR ¿√132−52=12

PQ ¿2 ×QR=2 ×12=24


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



( x+1 ) ( y+1 )=20.......................(2)

Persamaan (2) dapat ditulis menjadi

xy+x+ y+1=2010+x+ y+1=20x+ y=9

Lalu karena kita faktorkan (x+2)( y+2)

xy+2 x+2 y+4xy+2 ( x+ y )+410+2 (9 )+4=32 jadi nilai (x+2)( y+1) adalah 32

5. Bentuk diatas dapat diuraikan menjadi ( x+ y+1 ) (x+ y−2014 )=0Karena x+ y+1>0 untuk semua nilai (x , y ), maka x+ y=2014, dan jelaslah bahwa persamaan ini memiliki 2013 solusi untuk (x , y ) bilangan bulat positif (persamaan x+ y=m akan mempunyai m-1 solusi untuk ( x , y ) bilangan bulat positif.

6.

7. Diketahui bahwa jarak dari Kota A ke B adalah 1007 km, jadi total jarak tempuh mereka dalam melakukan perjalanan pulang-pergi adalah 2014 km. Kemudian diketahui pula bahwa harga bensin per liter adalah 6000 rupiah dan mobil tersebut membutuhkan 20 liter setiap 100 km. Dari informasi diatas maka

2014 km1 kali perjalanan pulang−pergi

×20liter100 km

×6000 rupiah

1liter×

1 kali perjalanan pulang pergi3 orang

=241680000300

=805600 rupiah per orang

8. Diketahui a+b+ 13

ab=2 maka 3 a+3 b+ab=6 sehingga dengan menambahkan kedua ruas

dengan 9 akan didapat3 a+3 b+ab+9=15(a+3 ) (b+3 )=15

Dari persamaan terakhir diatas kita dapat menentukan beberapa kemungkinan nilai a dan b yaitu

L1 ¿ π R2=L

L2 ¿ π ( 12

R)2

=14

π R2=14

L

L3 ¿ π ( 14

R)2

= 116

π R2= 116

L

Luas lingkaran ke-5 ¿a r 4=L( 14 )

4

= 1256

L


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



a+3=5 b+3=3 (a , b )=(2,0)a+3=3 b+3=5 (a , b )=(0,2)a+3=-5 b+3=-3 (a , b )=(−8 ,−9)a+3=-3 b+3=-5 (a , b )=(−9 ,−8)a+3=15 b+3=1 (a , b )=(12 ,−2)a+3=-1 b+3=15 (a , b )=(−2,12)a+3=-15 b+3=-1 (a , b )=(−18 ,−4 )a+3=-1 b+3=-15 (a , b )=(−4 ,−18)

Jadi ada 8 pasangan bilangan bulat (a ,b) yang memenuhi a+b+ 13

ab=2

9. Misalkan u1=p dan u2=q , maka barisan tersebut adalah p ,q , q−p ,−p ,−q , p−q , p , …

Merupakan baris periodik dengan periode 6, jadi tiap 1 periode jumlah suku pertamanya adalah 0.2012=335.6+2, jumlah 2012 suku pertama adalah p+q=1234......................(1)2019=336.6+3, jumlah 2019 suku pertama adalah 2 q=2222...........................(2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh p=1234−1111=123Kemudian karena2014=335.6+4, maka jumlah 2014 suku pertamanya adalah 2 q−p=2222−123=2099Jadi jumlah 2014 suku pertama adalah 2099

10. Karena mereka bertiga harus melalui pintu yang berlainan makaBanyaknya kemungkinan orang pertama masuk kelima pintu itu adalah 5 Banyaknya kemungkinan orang kedua masuk kelima pintu itu adalah 4Banyaknya kemungkinan orang kedua masuk kelima pintu itu adalah 3Maka banyaknya cara 5 x 4 x3=60

11. Banyaknya cara guru tersebut memilih keempat orang siswa tersebutC1

5. C34+C2

5 . C24+C3

5 . C14=120


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



12. Karena x , y , z≠ 0 , sehingga

xy+ y=−1→ xy+1=− y → x+ 1y=− y → y+ 1

z=−1→ z+ 1

x=−1

Dengan mengalikan ketiganya diperoleh

(x+ 1y )( y+ 1

z )(z+ 1x )=−1

Maka

xyz+ 1xyz

+(x+ 1y+ y+1

z+z+ 1

x )=−1xyz+ 1xyz

+(−3 )=−1

Misal A=xyz

A+ 1A

−3=−1A2+1−2 A=0 A2−2 A+1=0( A−1 )2=0 A=1

Jadi nilai xyz adalah 1

13. 4 x=1+√2013Jika kita kuadaratkan kedua ruas akan didapat

16 x2−8 x−2012=0Dengan mengalikan kedua ruang dengan x2012 maka didapat

16 x2014−8 x2013−2012 x2012=0Jadi nilai dari persamaan tersebut adalah 0

14. 20143=(2 ×19 ×53 )3=23×193× 533

Dengan melihat pangkat-pangkatnya kemudian ditambah satu, jadiUntuk pangkat 3 pada bilangan 2 menjadi 4Untuk pangkat 3 pada bilagnan 19 menjadi 4Untuk pangkat 3 pada bilangan 53 menjadi 4Lalu dengan mengkalikannya 4 × 4 × 4=64. Jadi banyaknya faktor positif adalah 64

15. Tarik garis melalui tik C dan tegak lurus dengan EF. Terdapat dua segitiga sebangun, yakni

AHC dan AGD. Dengan menggunkan kesebangunan maka HCDG

= ACAD

HC1

=35

HG=35


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



16. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Diketahui AB=3, AC=4 dan BC=5. Jika AD=EF=x maka EB = 3−x. Segitiga ABC dan BEF sebangun, maka

EBAB

= EFAC

3−x3

= x4

12−4 x=3 xx=127

Jika luas persegi yang dapat dibuat adalah

127

×127

=14449

17. Untuk n=1, diperoleh bahwa 1+4=5 merupakan bilangan prima. Selanjutnya akan diselidiki untuk n>1. Bentuk n4+1 dapat ditulis

n4+4 n2−4 n2+1(n¿¿4+4 n2+1)−4n¿(n2+2 )2−4 n(n2+2n+4n)(n2+2n−4 n)

Karena n>1 maka (n2+2n+4n ) dan(n2+2 n−4 n) pasti merupakan bilangan asli lebih

besar dari satu. Hal ini menunjukkan bahwa n4+1 bukanlah bilangan prima untuk n>1. Sehingga n yang mungkin untuk n4+1 prima adalah 1.

18. Misalkan x adalah banyaknya uang logam 500-an dan y adalah banyaknya uang logam 200-an. Banyaknya uang logam 100-an kita misalkan z, maka kita bisa menulis persamaan z=20−(x+ y ).Diketahui dua puluh uang logam senilai Rp. 5000 maka

500 x+200 y+100 z=50005 x+2 y+z=505 x+2 y+20−x− y=504 x+ y=30y=30−4 x

Karena 0 ≤ x , y<20 maka nilai-nilai x yang mungkin adalah 4,5,6, dan 7. Jika dilihat di dalam tabel maka akan menjadi

Banyaknya uang logamx 4 5 6 7y 14 10 6 2z 2 5 8 11

Pada kolom pertama tabel diatas, banyaknya uang logam 500-an lebih banyak daripada uang 100-an. Jadi ada dua uang logam 100-an, sehingga banyaknya uang 500-an lebih banyak daripada uang 100-an.


Presented by



UNIVERSITAS LAMPUNG



19. Segitiga-segitiga yang tidak diarsir merupakan segitiga kongruen. Misalnya, sisi jajaran genjang adalah x cm. maka salah satu sisi segitiga yang tidak terarsir adalah

7−x. Karena itu, dengan rumus pythagoras diperoleh x=297

cm.

jadi, Larsir ¿3 x=3×297

=1237

cm2

20. banyaknya cara keenam orang tersebut duduk berdampingan adalah(6×5× 4 × 3× 2 ×1)=720 caraMisalkan Alvan dan Rahma juga selalu duduk berdampingan. Jadi ada 3 orang yang selalu duduk berdampingan maka(2×1 ) × (5× 4 ×3 ×2 ×1 )=240 caraJadi Banyaknya cara mereka berenam duduk jika Alvan dan Rahma tidak duduk berdampingan adalah720−240=480 cara

Education

Pembahasan Soal Olimpiade Tungkat SMP Babak Penyisihan