Olimpíada Brasileira de matemática 1ª fase nível 2

Professor: Leandro Brandão

XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICAPrimeira Fase – Nível 1

6o ou 7o anos (antigas 5ª e 6ª séries)Prova realizada em 2008

01) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, e

são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão ?

A)

35 B)

45 C) 1 D)

54 E)

53

(D) Como EDC é isósceles, ∠CED =∠CDE=80∘. Como BEC é

isósceles ∠CBE=∠BCE=β . Usando ângulo externo,

β=40∘. Como ABE também é isósceles, ∠BAE=α . Finalmente,

usando mais uma vez ângulo externo podemos concluir que α=50∘.

02) Quantos dos números abaixo são maiores que 10?

3√11 , 4 √7 , 5√5 , 6√3 , 7√2A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 (C) Os quadrados dos números são respectivamente: 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o último são menores que o quadrado de 10 que é 100. Assim, os três números do meio são maiores que 10.

03)√1212 é igual a:

A) 66

B) 122√3C) 2

12 . 36D) 6

12E) √12√12

(C) √1212=126=(22⋅3)6=212⋅36

04) Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas?A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

(D) Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês. É fácil ver que,

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1

20100

. P+20100

. I=I⇒ P=4 I .

Além disso, 4 I+ I−20

100. I=84⇒ I=20.

Com isso, o número de funcionários que falam as duas

línguas é

20100

. 4 I=16 .

05) Edmilson, Carlos e Eduardo ganharam um total de R$150,00 lavando carros. Eles ganharam quantidades diferentes de dinheiro. Como eles são muito amigos decidiram dividir o dinheiro ganho em partes iguais. Para isto, Edmilson deu metade do que ganhou para dividir em partes iguais entre Carlos e Eduardo, porém, Carlos tinha muito dinheiro e, portanto, deu R$ 10,00 a cada um dos outros dois. Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de dinheiro, Eduardo deu R$ 2,00 a Edmilson. Quanto Eduardo ganhou antes da divisão?A) R$ 76,00 B) R$ 51,00 C) R$ 23,00 D) R$ 50,00 E) R$ 100,00

(C)

Edmilson x x2

x2+10

x2+12

Eduardo yy+ x

4y+ x

4+10 y+ x

4+8

Carlos zz+ x

4z+ x

4−20 z+ x

4−20

A quantidade final de cada é R$ 50,00, então

x2+12

= 50, então x=76 . E com isso, Eduardo tinha inicialmente R$ 23,00.

06) Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove números. A média aritmética dos 5 maiores é 68 e a média aritmética dos 5 menores é 44. A soma de todos os números é:A) 560 B) 504 C) 112 D) 56 E) 70

(B) Sejam a ,b , c , d ,e , f , g ,h , i , os números ordenados assim:

a>b>c>d>e> f >g>h>i .

Então, e=a+b+c+d+e+f +g+h+i

9⇒9 e=a+b+c+d+e+ f +g+h+ i .

Além disso, a+b+c+d+e

5=68⇒a+b+c+d+e=340 ,

e também temos a seguinte equação, e+ f +g+h+ i

5=44⇒ e+ f +g+h+i=220. Portanto, 9e+e=560⇒e=56 . E assim, a soma

desejada será 504 .


2

07) Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado?A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10. (E) Quadradinhos de lado 1 existem 6 e quadradinho de lado 2 existe 1.

Além disso, existem três outros inclinados de lado √2 . Portanto, temos 10 quadrados.

08) A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8(C) 2009 – Domingo 2012 – Quinta (Pois é ano Bissexto)

2010 – Segunda 2013 – Sexta2011 – Terça 2014 – Sábado

09) Os algarismos a , b e c são tais que os números de dois algarismos aa , bc e cb são números

primos e aa+bc+cb=aa2 . Se b<c , então bc é igual a:

A) 19 B) 17 C) 37 D) 29 E) 59

O único número primo de dois algarismos iguais é 11. Neste caso, a=1 . Usando agora a definição do sistema decimal:

11+10 b+c+10 c+b=121⇒11(b+c )=110⇒b+c=10 .Como os números citados são primos, temos que b e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso, 91 é múltiplo de 7. Portanto, os valores para b e c são 3 e 7 respectivamente.

10) Cinco inteiros positivos a ,b , c , d ,e maiores que um satisfazem as seguintes condições:a (b+c+d+e )=128b (a+c+d+e )=155c (a+b+d+e )=203d (a+b+c+e )=243e (a+b+c+d )=275

Quanto vale a soma a+b+c+d+e ?A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49

Se a ,b , c , d ,e são cinco inteiros maiores que um, então a ,b , c , d ,e≥2 , e com isso, a soma quaisquer

quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação b (a+c+d+e )=155=5 . 31 , onde 5 e 31 são

primos, temos que b=5 e a+c+d+e=31 . Da mesma maneira, c (a+b+d+e )=203 , então c=7 e a+b+d+e=29 . Baseado nos resultados encontrados, concluímos que a+d+e=24 ,

a+b+c+d+e=36 e da equação a (b+c+d+e )=128 , obtemos que a (36−a)=128 , ou seja, a=4 ou a=32 . Porém, a=32 não poderá ser solução pois, caso fosse, teríamos

a+b+c+d+e≥40 . Portanto, a+b+c=16 e a equação e (a+b+c+d )=275 será a mesma que


3

e (16+d )=275 , onde d+e=36−a−b−c=20 . Como e 16+d≥18 , temos que e=11 e d=25−16=9 . Observe que outra fatoração de 275=5.55 faria d=39 , que é muito

grande. Portanto, a+b+c+d+e=4+5+7+9+11=36 .

11) Em um triângulo ABC foi traçada a altura AH. Sejam M e N pontos sobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que HM é perpendicular a AB e HN é perpendicular a AC. Achar MN, sabendo que o perímetro do triângulo órtico do triângulo ABC é igual a 10.Observação: o triângulo órtico de um triângulo é aquele cujos vértices são as interseções das alturas do triângulo com os respectivos lados. Pode-se demonstrar que o incentro (encontro das bissetrizes) do triângulo órtico é sempre igual ao ortocentro (encontro das alturas) do triângulo original.A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

É fácil ver que os triângulos EQH e HPF são isósceles, logo EQ = QH = b e HP = PF = c. E seja QP = a. No triângulo EHF, temos que EF = 2MN (MN é base média). Logo MN = 5.

12) Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos?A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

(D) Sejam p ,q números primos, então para que o número de divisores inteiros e positivos seja

exatamente 15, os número precisam ser da seguinte forma: p14

e p2 . q4

.

Assim teremos as seguintes possibilidades: 22 . 34=324 , 3

2 . 24=144 e 52 . 24=400 .


4

13) Seja P(n ) a soma dos algarismos pares do número n . Por exemplo, P(1234 )=2+4=6 . Qual o

valor de P(1)+P(2 )+P(3)+. ..+P (100 )?A) 200 B) 360 C) 400 D) 900 E) 2250

(C) Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é

20⋅(2+4+6+8 )=400 .

14) De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

(E) Temos que 10 x+25 y=1000⇒ x=1000−25 y

10 , onde x e y são, respectivamente, as quantidade

de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja um valor inteiro positivo basta que y seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes.

15) Sejam a ,b , c , d números inteiros tais que a<2b , b<3 c , c<4d . Se d<40 , o maior valor possível de a será:A) 960 B) 959 C) 951 D) 934 E) 927(E) Devemos encontrar o maior valor possível para a, então determinaremos os maiores valores para d, c e b.Tomando d = 39, observa-se que c < 156. Tomando c = 155, observa-se que b < 465. Tomando b = 464, a deverá ser menor que 928, e portanto, o maior valor possível de a será 927.

16) A figura abaixo é um exemplo de um quadrado mágico de ordem 4. A soma dos 4 números em cada linha, coluna e diagonal é 34. Então dizemos que a soma mágica deste quadrado mágico é 34. Suponha que exista um quadrado mágico de ordem 7, formado pelos números inteiros de 1 a 49. Determine sua soma mágica.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

A) 175 B) 2450 C) 1225 D) 190 E) 100

(A) A soma de todos os números é: 1+2+⋯+49=49⋅50

2=1225

como temos sete colunas com a mesma soma, o resultado da soma dos elementos de uma mesma coluna é 1225/7 = 175.

17) Observe que:


5

32+42=52 ,32+42+122=132 ,32+42+122+842=852 .

Qual o menor valor possível da soma x+ y com x , y inteiros positivos tais que

32+42+122+842+ x2= y2 ?A) 289 B) 250 C) 425 D) 795 E) 103

(A) Temos que y2−x2=852=52 .172

.Temos, então, quatro possibilidades

{ y−x=1¿ ¿¿¿ { y−x=5¿ ¿¿¿

{ y−x=17¿ ¿¿¿

{ y−x=52 ¿ ¿¿¿

Resolvendo os sistemas temos:

x 3612 720 204

132

y 3613 725 221

157

O menor valor da soma x+ y é 289.

18) Um número de três algarismos é 629 vezes menor que a soma de todos os outros números de três algarismos. Este número é:A) 450 B) 785 C) 630 D) 471 E) 525

. (B) Vamos chamar esse número de x. A soma de todos os números de três algarismo é

100+101+⋯+999=1099⋅9002

=494550

Assim, podemos montar a seguinte equação: 629 x=494550−x⇒ x=785

19) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

A) 16 B) 25 C) 30 D) 60 E) 120


6

(C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta. (C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso

pode ser feito de

4×3×2×14

=6 maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma.

Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 5×6=30 cartões diferentes.

(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

20) Em um triângulo ABC, ∠A = 20o e ∠B = 110o. Se I é o incentro (centro da circunferência inscrita) e O o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) do triângulo ABC, qual a medida do ângulo ∠ IAO ?A) 20o B) 25o C) 30o D) 40o E) 35o

(C)

Como ∠ ABC=110o, então ∠ AOC=140o

e com isso ∠OAC=20o . Por outro lado, ∠ IAC=10o .

Portanto, ∠ IAO=30o .

21) Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8


7

(B) Total de alunos: 40. Com isso,

60100

. 40=24 alunos. Como temos 22 alunos então pelo menos 2

alunas participarão do trabalho.

22) Na figura abaixo os pontos A, B, C são colineares, assim como os pontos D, E, F. As duas retas ABC e DEF são paralelas.

Sendo A1, A2 e A3 as áreas das regiões destacadas na figura, podemos afirmar que:A) A2 = 2A1 = 2A3 B) A2 = A1+A3 C) A2 > A1+A3

D) A2 < A1+A3 E) A22 = A1.A3

(B)

Seja P o ponto de interseção dos segmentos DB e AE; e Q o ponto de interseção de CE e BF. Note que os triângulos ADE e BDE possuem a mesma altura e a mesma base, logo possuem a mesma área. O mesmo ocorre com os triângulos BEF e CEF. Retirando as áreas comuns PDE e QEF, temos que [ADP]=[PBE] e [BEQ]=[QCF]. Logo, A2 = A1+A3.Observação: [XYZ] denota a área do triângulo XYZ.

23) O grupo A da última Copa do Mundo de futebol terminou com os seguintes resultados:

Equipe Número de Pontos Áustria 7Brasil 5

Camarões 4Dinamarca 0

Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apenas 1 gol, cada um. Além disso, Brasil e Dinamarca marcaram apenas 1 gol, cada um, enquanto que Áustria marcou 3 gols. Qual o resultado da partida Áustria Dinamarca?Observação: no grupo, cada seleção joga com as demais exatamente uma vez e, em cada partida, o time vencedor ganha 3 pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de empate, cada time ganha 1 ponto.A) 1 0 B) 2 1 C) 2 0 D) 0 0


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E) Nada se pode afirmar.

(B) Como cada time joga três vezes, podemos concluir que: Dinamarca perdeu todos os jogos. Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro. Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes. Áustria ganhou dois jogos e empatou outro.

Assim, Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para esse jogo é 1 0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 0 em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que o Camarões venceu a Dinamarca por 1 0. Ou seja, o único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contra a Áustria. Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu o Camarões e que o Camarões levou apenas um gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1 0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria contra Dinamarca foi 2 1.

24) Abaixo temos um quadrado mágico multiplicativo, onde o produto dos números em cada linha, coluna e diagonal é o mesmo e igual ao número de quatro dígitos ABCD, onde cada letra representa um dígito e cada casa contém um número inteiro. Se AC representa o número de dois dígitos no centro do quadrado, a soma A + B + C + D vale:

4

AC

C 24

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

(B) Como AC é um número de dois algarismos então AC = 10A + C. Com isso, 4.(10A + C) = 24C, e daí C = 2A. Temos agora um novo tabuleiroAgora, 4x = 24. 6C, então x = 36C. Com isso, o produto mágico será (6C)3. Fazendo C = 2, temos que o produto será 1728 e assim a soma será 18, mas se C = 3, a soma será 5832, que também terá soma 18. Para valores de C maiores ou iguais a 4 o número procurado terá mais que 4 algarismos.

x 46CC 24

25) Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em 333 = 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e outra azul? A) 6 B) 12 C) 14 D) 16E) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis.

. (E) Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 19 – 7 = 12 cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.


9

Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Neste caso, supondo que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou azul), neste caso há 26 5 5 = 16 cubos com pelo menos uma face de cada cor.


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