Embed Size (px)
Citation preview
Presenta:
INSTITUTO TECNOLÓGICO
la Laguna
COMPETENCIA
HABILIDADES Y
DESTREZAS
Previo al análisis de un conjunto de ecuaciones que
rigen comportamientos de sistemas físicos
establecidos,
• El Alumno solucionará y simulará con un alto sentido
de precisión y profesionalismo, ecuaciones
diferenciales ordinarias de sistemas físicos
específicos.
JUSTIFICACIÓN
PENSAMIENTO
FORMALE = - dφ
dt
i
Modelo Matemático
V = IR
P = VI cosθ
R = ρL
A
a11I1 + a12 I2 + a13 I3 = b1
a21I1 + a22 I2 + a23 I3 = b2
a31I1 + a32 I2 + a33 I3 = b3
L d2q + R dq + 1 q = E (t)
dt2 dt C
SISTEMA FÍSICO
MÉTODO CIENTÍFICO(Antecedentes)
EXPERIMENTACIÓN CON PROTOTIPOS FÍSICOS
+
Sesión experimental Heurística en tema concreto de
Campo Eléctrico (E).
Ley descubierta: E = 0
El campo Eléctrico dentro de un conductor es cero.
+ + ++
+++
+
+
++
+
+
+
++
++ + + +
+
E
R
r ∞
q
E = k q
r2
R
r < R E =0
r = R E = Máximo
r ≥ R E ≠ 0 (decrece)
PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON MODELOS MATEMÁTICOS
Solución al Sistema Físico
Identificación del Problema
Variables Involucradas
Modelo Matemático
M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0
SISTEMA FÍSICO
Solución y modelación matem.
tiempo (t)
Un Modelo Matemático de un sistema físicofrecuentemente involucra la variable tiempo (t).La solución de un modelo representa el estado delsistema en un tiempo determinado. En otraspalabras, para valores apropiados de tiempo (t),los valores de la variable (o variables) dependientedescriben el sistema al sistema en el pasado, elpresente y el futuro.
tiempo (t)t
T
T= f(t)
Tm
T= temperatura
Tm= Temperatura del medio
t= tiempo
MODELO DE CRECIMIENTO Y
DECRECIMIENTO
dy = ky, y(to) = yo
dt
Cualquier fenómeno representado por la ecuación diferencial
dy/dt =ky, crece (k>0) ó decrece (k<0) exponencialmente. El
crecimiento de una población P de bacterias, insectos, o
incluso de seres humanos, se puede predecir, frecuentemente
, sobre intervalos cortos de tiempo, por medio de la solución
exponencial P(t) = Cekt de dicha ecuación. El estudio de
sustancias radiactivas, cuya actividad disminuye en el curso del
tiempo, condujo al descubrimiento del Carbono 14, el cual ha
sido la base para determinar la edad de los fósiles o aun de una
momia.
t
y
ekt , k>0
crecimiento
ekt , k<0
decrecimiento
MODELO DE LEY DE ENFRIAMIENTO DE
NEWTON
La Ley del Enfriamiento de Newton dice que un cuerpo que
se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia
es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y
la temperatura constante Tm del medio que lo rodea. Esto es,
En donde k es una constante de proporcionalidad.
t
T
T= f(t)
Tm
T= temperatura
Tm= Temperatura del medio
t= tiempo
Modelo de Circuitos eléctricos RCL serie.
La segunda Ley de Kirchoffdice que un circuitoelétrico en serie quecontiene sólo unaresistencia R y unainductancia L, la suma delas caídas de voltaje através de inductor [L(di/dt)] y de la resistencia(iR) es igual a la tensiónE(t) aplicada al circuito.
La caída de voltaje a travésde un capacitor concapacitancia C está dadapor q/C, en donde q es lacarga en el capacitor. Perola corriente i y la cargaestán relacionadas pori=dq/dt.
L d2q + R dq + 1 q = E(t)
dt2 dt C
L di + Ri = E (t)
dt
R dq + 1 q = E (t)
dt C
L di + R dq + 1 q = E(t)
dt dt C
L d dq + R dq + 1 q = E(t)
dt dt dt CE
Caso de análisis y solución.LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Al sacar un pastel del horno,
su temperatura es de 300º F.
Tres minutos después , su
temperatura es de 200º F.
¿Cuánto demorará en
enfriarse a una temperatura
ambiente de 70º F?
Condiciones iniciales:
Tm = 70ºF To(0) = 300ºF
Condiciones posteriores:
T1(3) = 200ºF
Ecuación Diferencial de variables Separables
M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Solución General Solución particular
Condiciones iniciales:
Tm = 70ºF , To(0) = 300ºF
Condiciones posteriores:
T1(3) = 200ºF
T = 70 + Cekt
Obtención de C
sust. t0 = 0, T= 300
T= 70 + Cek(0)
300= 70 + C
Por tanto C= 230
T = 70 + 230ekt
Obtención de k.
Sust.
T1 = 3, T= 200
200 = 70 + 230ek(3)
200= 70 + 230e3k
200 – 70 =230e3k
130 = e3k
230
3k = ln (130/230)
k= - 0.19018
T = 70 +230 e-0.19018t
T = 70 + 230e-0.19018t
TIEMPO (t) TEMPERATURA (T)0 3001 260.16636782 227.23151063 200.00063164 177.48586055 158.8704166 143.47897497 130.75317298 120.23134889 111.531796310 104.338916711 98.3917698412 93.4746075913 89.4090472214 86.0476000515 83.2683209316 80.9703843417 79.0704267118 77.4995221819 76.2006821420 75.1267878321 74.2388809622 73.5047504123 72.8977637224 72.3959008825 71.9809555126 71.6378744127 71.3542114228 71.1196759529 70.925759630 70.7654275731 70.6328633932 70.5232579733 70.4326350734 70.3577071335 70.29575594
30 MINUTOS APROXIMADAMENTE TARDA
EN ENFRIARSE EL PASTEL
Lim 70 + 230e-0.19018t
t ∞ = 70
¿Qué se espera de un Modelo Matemático?
• Tenga una solución congruente con el comportamiento conocido del sistema
físico.
• Complementar, reforzar y validar las hipótesis del sistema.
t = tiempoT(t)= Temperatura
El Medio Ambiente Externo puede ser afectado por diversos
factores que pueden ocasionar variabilidad en la Temperatura
ambiente (Tm).
REFERENCIAS INFORMÁTICAS
Kreyszing, Erwin. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. EditorialLimusa.
Rainville, Earl. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Prentice Hall.
Spiegel, Murray R.. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. EditorialPrentice Hall.
Zill, Dennis G. Ecuaciones Difenciales con Aplicaciones. EditorialIberoamérica.
Ley de enfriamiento de Newton. Simulador de la ecuación de la Ley deenfriamiento de Newton. Acceso en internet , en:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htm#Ley%20del%20enfriamiento%20de%20Newton
