Chapter 7Stability and Steady-State（安定性と定常状態）

公開用

Soetaert, K. and P.M.J. Herman. 2009. A practical guide to ecological modelling using R as a simulation platform. Springer.

（安定性と定常状態）東⼯大PD 岩崎雄⼀NSNモデル勉強会

2010/7/10

1苦情，間違い等は，作成者（yuichiwsk#at#gmail.com)までご連絡頂ければ大変有り難いです

7章のおおざっぱなまとめ• 状態変数の変化率で書かれたモデルを扱っているけど，定常状態とか平衡点にも興味があったりする– 系（状態変数たち）がもうこれ以上変化しないよって状態

• どうやってみつけんの？– ⻑い時間モデルを⾛らす– 変化率＝０として，式を解く！（Rを使う）– 変化率＝０として，式を解く！（Rを使う）

• 平衡点にも⾊んな種類がある• 平衡点の性質を調べるのには，作図を使うと便利

• モデルをどう解いているかは，5または6章

2

7.1 Basics • Equilibrium: 平衡（この本ではsteady-stateも同じ意味）

– 時間に伴う変化率が0– ⼀定の周期性を持って，予測可能な変化で振動する

不安定平衡点

3

安定平衡点広域（global）安定

不安定平衡点

安定平衡点局所安定

2.0

Competition phase-plane

7.1 Basics (p212)• 限られた数（1-2）の微分⽅程式で構成されたモデルならば，平衡点の存在や安定性解析は作図が便利

微分⽅程式が1つ 微分⽅程式が2つ

-0.02

0.00 状

態変数

0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.5

1.0

1.5

N1

N2

4

状態変数の値

変化率

0 2 4 6 8 10

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

B

dB/dt

状態変数1の値状態変数２の値 アイソクライン

7.2 Stability of One First-order DE

• 密度依存な増殖と収穫を考慮した個体群動態モデル– K=環境収容⼒，ri=内的自然増加率– q=収穫率，Ks=最大収穫量の半分の値をとるときのNの密度

0 2 4 6 8

-0.02

-0.01

0.00

0.01

N

dN/dt

+

- -

N0 N1N2

unstablestable

5

K=10Q=0.1Ks=1ri=0.05?

増加

不安定平衡

安定平衡

The domain of attraction of equilibrium point N0

separatrix

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

dN/dt

A

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

dN/dt

B

7.2.2 Multiple Steady States (p215)

• dN/dt = 0を解く– N*=0 or

収穫しすぎ！D = 0

D < 0riの値で場合分け

サドル

0 2 4 6 8 10

-0.08

-0.06

N

r= 0.02

0 2 4 6 8 10

-0.08

-0.06

N

r= 0.0330578512396694

0 2 4 6 8 10

-0.08

-0.04

0.00

0.04

N

dN/dt

r= 0.05

C

0 2 4 6 8 10

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

N

dN/dt

r= 0.15

Dunstablestablesaddle

6

収穫しすぎ！

7.3 Bifurcation （分岐）• パラメータによって，平衡点の数や性質が変わる！

– このような急激な変化=bifurcation（分岐）

separatrix

r=0.02 r=0.0330

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

dN/dt

r= 0.02

A

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

dN/dt

r= 0.0330578512396694

B

7

r=0.15r=0.05

0 2 4 6 8 10

N

0 2 4 6 8 10

N

0 2 4 6 8 10

-0.08

-0.04

0.00

0.04

N

dN/dt

r= 0.05

C

0 2 4 6 8 10

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

N

dN/dt

r= 0.15

Dunstablestablesaddle

7.3 Stability of Two DE – Phase-plane analysis

• Phase-plane（位相⾯）解析は，2つの微分⽅程式からできたモデルの挙動を解析するグラフィカルツール

これがPhase planeIsoclines

8

state variable 1

stat

e va

riabl

e 2

0-isocline of SV2

0-isocline of SV1

Equilibrium

7.3.1 Example. The Lotka-Volterra Eq.

• 変化率=0として，解く• PREDATOR

摂⾷率 同化効率

⾷われる

死ぬ

• PREDATOR– PREDATOR = 0, PREY = m/(α*γ)

• PREY– PREY = 0, PREDATOR = (ri/α) – ri(α*K)*PREY

9

Pred

ator

Stable focal pointA

Pred

ator

Predator extinctionB

Fig. 7.7• α=0.2, ri=1, m=0.2, γ=0.5

m/(α*γ) < K m/(α*γ) > K

PREDATORが存続するには，PREYの個体数が不⼗分

Prey Prey

Prey

Pred

ator

Neutral stabilityC

constant preyconstant predator

10

不安定

PREYの個体数に制限無しモデルにする中⽴安定

7.4 Multiple Example• 位相⾯解析は3つ微分⽅程式なモデルにも応用可能･･･• One is generally not able to think geometrically in

more than 2 dimensions.

11

*が付いてるから･･･ざっと• 7.5 Steady-state solution of differential equations

– 根（平衡点）を求める⽅法を説明• 7.6 Formal analysis of stability

– 上で求めた，平衡点の安定性の解析– ヤコビ⾏列（Jacobian matrix）を使うらしい

Stable focal pointA Neutral stabilityBStable nodeA Unstable nodeB

12

0 50 100 150 200

12

34

5

Time

Prey

A

0 50 100 150 200

02

46

8

Time

Prey

B

0 50 100 150 200

67

89

10

Time

species

1

Stable nodeC

0 50 100 150 200

05

1015

Time

species

1

Saddle pointD

Saddle pointC Neutral stabilityD

Stable focal pointE Unstable focal pointF

*が付いてるから･･･ざっと• 7.7 Limit cycles

– 中⽴安定と異なり，いつも同じcycleに収束するStable limit cycleA Unstable limit cycleB

13

14

シミュレーション，シミュレーション，⼼霊現象シミュレーション，シミュレーション，怪現象

プラスあるふぁ

相対性理論「ふしぎデカルト」http://mirairecords.com/stsr/

15

相対性理論に関する画像は著作権の問題により，削除しました

モデルの妥当性• 最近はベイズ推定とかで，観測値があれば，妥当なパラメータ推定はできる（と思う）

• モデル構造の妥当性はどう担保するか？

• （事情により，当該部分削除）• （事情により，当該部分削除）

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モデル構造の妥当性をどう担保するか？• 肝⼼なプロセスの記述が間違っていたら？

– モデル選択（仮説発⾒的⼿法）的考え⽅は使えそう• でも，プロセスベースモデルではどうするか？

– もちろん，だからといって，プロセスを記述しない従来の統計モデルの⽅がいいってわけではない

• ⽣態学において多くの場合，プロセスの完全な記述では• ⽣態学において多くの場合，プロセスの完全な記述ではなくて，“真の”プロセスの近似になる（TMT 私信）– それがイケテルモデルと分かっても，実は結果からプロセスの解釈をすることは容易ではないかも

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モデルの妥当性をどう担保するか？

教えて下さい⽟⽊さんや明⽇の発表者が答えてくれる？

「（前略）信じるしかないですね」

おわり

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「（前略）信じるしかないですね」「信じるって何を？」「万能でない科学を万能でない⼈間がちゃんと扱えることを」

「科捜研の⼥」に関する画像は著作権の問題により，削除しました

誠実さが大事だよね。予測幅を出すのは大事かも（TMK 私信）