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Descargar la programación en Matlab en la siguiente direccion....!!! : https://skydrive.live.com/?cid=4da8f549f194d694#cid=4DA8F549F194D694&id=4DA8F549F194D694%21578
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Métodos Numéricos ComputacionalesU n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
Solución de Ecuaciones Algebraicas no Lineales
Objetivo:Sea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se
cumple f(x*)=0.
• x* se suele denominar el cero o raíz de f(x)
• x* se puede determinar por medios analíticos (solución exacta) o
por medios numéricos (solución aproximada)
La elección del método numérico depende del problema a resolver (estructuradel problema, tipo de ecuaciones, precisión requerida, rapidez del cálculo,....).
«Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable»
Tipos de Métodos
Métodos Acotados Métodos Abiertos
Métodos Numéricos Computacionales
Punto Fijo
Métodos Acotados
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
Newton Raphson
Secante
Métodos Abiertos
Met. de la Bisección
Met. de laFalsa Posición
Met. del Punto Fijo
Met. Newton Raphson
Met. de laSecante
La raíz está situada en unintervalo (necesita dos puntos).Acaba convergiendo dentro deuna tolerancia.
Sólo emplean un punto inicial (o dospuntos que no tienen por qué contenera la raíz) y una fórmula para encontrarla raíz. No siempre convergen, perocuando lo hacen son mucho másrápidos que los métodos acotados.
Métodos Numéricos Computacionales
Método de la Bisección
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
« Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz »
Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)
Métodos Acotados
1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero
2. Calcula el punto medio como nuevo punto
3. Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [p,c]. Comprobación: f(a)*f(c).
4. Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.
Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
X f(x)
f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
0
1
2
3
-20
-7
16
46
Existe cambio de signo
a =
b =
a=1
b=2
c=(a+b)/2
c=(1+2)/2
c=1,5
f(1)= -7
f(1,5)=2,88
ε = 10-3
n= ( ln c – ln ε ) / ln 2
El número de
interaciones sera:
n= ( ln (2-1) – ln 10-3 ) / ln 2
n=9,96
n≈10
1º Iteración
≠ signo
Nuevos valores
a=1
b=1,5
2º Iteración
c=(a+b)/2
c=(1+1,5)/2
c=1,25
f(1)= -7
f(1,25)=-2,42
Nuevos valores
a=1,25
b=1,5
= signo
1 2 x
y
-7
16
1,5
2,88
Valores Iniciales
a=1
b=2
Método de la Bisección
Métodos Numéricos Computacionales
Método de la Bisección (Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem
plo:
0,0007 ≤ Tolerancia = 0,001
f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
Métodos Numéricos Computacionales
Método de la Falsa Posición
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero
2. Calcula un punto intersección como nuevo punto
3. Comprueba si hay cambio de signo en [a,c] o en [c,b]. Comprobación: f(a)*f(c).
4. Si el producto es cero, entonces c es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.
Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
X f(x)
f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20
0
1
2
3
-20
-7
16
46
Existe cambio de signo
a =
b =
a=1
b=2
ε = 10-3
1º Iteración
= signo
Nuevos valores
a=1,30435
b=2
2º Iteración
Nuevos valores
a=1,35791
b=2
= signo
1 2 x
y
-7
16
1,30435
-1,33476
Valores Iniciales
a=1
b=2
Método de la Falsa Posición
Métodos Numéricos Computacionales
Método de la Falsa posición (Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem
plo:
0,0002 ≤ Tolerancia = 0,001
Métodos Numéricos ComputacionalesU n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
Similaridades:
•Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales (a y b)
•Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo.
•Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia
Diferencias:
•El cálculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias
•En general el método de la posición falsa converge más rápido que el de la
bisección.
Comparación entre ambos métodos.
Métodos Numéricos ComputacionalesU n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
Métodos Abiertos
•Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado
de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)
•Métodos:
•Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)
•Newton-Raphson (línea recta empleando información
del gradiente)
•Secante (línea recta empleando dos puntos)
Métodos Numéricos Computacionales
Método del Punto Fijo
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
Problema f(x)=0
1.Transformar a x=g(x)
2.Seleccionar un punto inicial x0
3.Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)
4.Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
Si:
|g’(x)|<1 El algoritmo converge linealmente
|g’(x)|>=1 El algoritmo diverge
x2 x1x0
y= g(x)
y=x
Raiz
y
x
|f(x)|< Tolerancia = ε
Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
f(x)= cosx – 3x ε = 10-3
1º Iteración 2º Iteración
Método del Punto Fijo
a) g(x)= (cos x) /3 b) g(x)= cos x -2x
|f(x)|< ε
3x
cos x
x
y
π/2
converge divergex0=π/8
Hasta
x0=π/8 g(x0)=(cos x0)/3
g(π/8)=(cos π/8)/3
g(π/8)=0,30796
|f(π/8)|= 0,25422
Nuevo valor de x0 es:
x0= g(π/8)
x0= 0,30796
x0=0,30796 g(x0)=(cos x0)/3
g(0,30796)=(cos 0,30796)/3
g(0,30796)=0,31765
|f(π/8)|= 0,02907
Nuevo valor de x0 es:
x0= g(0,30796)
x0= 0,02907
provar
Métodos Numéricos Computacionales
Método de l Punto Fijo (Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem
plo:
0,0003≤ Tolerancia = 0,001
a) g(x)= (cos x) /3
Métodos Numéricos Computacionales
Método de Newton Raphson
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
Problema g(x)=0
1. Seleccionar un punto inicial x0
2. Calcular g(xi) y g’(xi)
3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el eje de abcisas tenemos el nuevo punto estimado
4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
xi+1=xi-f(xi)f’(xi)
= g(xi)
•Necesita conocer la derivada de la función
•Convergencia cuadrática (rápida)
•Puede no converger (depende de la función y de la estimación
inicial)
Métodos Numéricos Computacionales
Método de Newton Raphson
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
x2 x1x0
y
x
Raiz
(x0,f(x0))
f(x)
f(x0)
x0 - x1
tg(θ) =
θ
f(x0)f’(x0) =x0 - x1
f(x0)X1 = X0 -
f(xi)Xi+1 = Xi -
f’(x0)
f’(xi)
Deduciendo la ecuación
general del algoritmo
Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
ε = 10-3
1º Iteración 2º Iteración
Método de Newton Raphson
|f(x)|< ε
x
y
Hasta
f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20
f’(x)= 3x2 + 4x + 10 x0 = 1 ,
f(xi)Xi+1 = Xi -f’(xi)
X1 = 1 - 13 + 2*12 + 10*1 – 20
3*12 + 4*1 + 10
X1 = 1,41176
Nuevo valor de x0 es:
x0= x1
x0= 1,41176
f(xi)Xi+1 = Xi -f’(xi)
X1 = 1,41176- 1,411763 + 2*1,411762 + 10*1,41176 – 20
3*1,411762 + 4*1,41176 + 10
X1 = 1,36934
Nuevo valor de x0 es:
x0= x1
x0= 1,36934
X=1,3688
f(x)
Métodos Numéricos Computacionales
Método de Newton Raphson(Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem
plo:
0,0000≤ Tolerancia = 0,001
f(x)= x3 + 2x2 + 10x - 20 ε = 10-3
Métodos Numéricos Computacionales
Método de la Secante
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
Problema g(x)=0
1. Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1
2. Calcular la recta que pasa por esos puntos
3. El corte con el eje de abscisas da el nuevo puntoestimado. Volver a calcular la recta.
4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
xi+1=xi-xi-xi-1
f (xi)-f (xi-1)f (xi)
•No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima).
•Necesita dos puntos iniciales.
•Puede no converger.
Métodos Numéricos Computacionales
Método de la Secante
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
y
Deduciendo la ecuación
general del algoritmo
Dos
iteraciones
x1 – x2x1-x0
f (x1)-f (x0) f (x1)
(x1,f(x1))
(x0,f(x0))
x2 = x1 -x1-x0
f (x1)-f (x0)f (x1)
=
f(x1)-f(x0)
x1 - x0
xn+1 = xn-xn-xn-1
f (xn)-f (xn-1)f (xn)
Métodos Numéricos ComputacionalesEjemplo:
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o
ε = 10-3
1º Iteración 2º Iteración
Método de la Secante
|f(x)|< ε
x
y
Hasta
f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20
x0 = 0 , x1 = 1 ,
X=1,3688
f(x)
X2 = 1,53846
Nuevos valores de x0 ,x0 son:
x0= x1
x1= x2
x0= 1 , x1= 1,53846
x2 = x1 -x1-x0
f (x1)-f (x0)f (x1)
x0= 1
x1= 1,53846
Nuevos valores de x0 ,x0 son:
x0= x1
x1= x2
x0= 1,53846 , x1= 1,35031
X2 = 1,35031
Métodos Numéricos Computacionales
Método de la Secante (Programación en Matlab)U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l oEjem
plo:
0,0009≤ Tolerancia = 0,001
f(x)= x3 + 2x2 + 10x – 20 , ε = 10-3x0 = 0 , x1 = 1 ,
Métodos Numéricos Computacionales
Bibliografia:
Metodo Numérico Aplicados a la Ingenieria(Antonio Nieves)
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e T r u j i l l o