Assalamualaykum wr wb

Bagaimana Kabarnya? Mungkin biasanya dalam blog ini saya berintuisi dalam suatu balutan kata , sekarang mungkin saya akan mencoba membuat sesuatu yang menarik yaitu merangkai angka menjadi sesuatu formula yang bisa dipandang seindah prosa.Ngomongin masalah Puisi atau prosa buat anak sastra sudah biasa, tapi lain hal jika puisi ataupun prosa tersebut yang membuat adalah anak fisika , wah pasti pada mikir semua kira-kira bagaimana hasil kreasi sastra ala fisika?yuk chek this out!

A. Pengertian Lagrange

Salah satu masalah umum kalkulus multivariabel adalah menemukan maksimum atau

minimum dari suatu fungsi, tetapi seringkali terjadi kesulitan untuk menemukannya. Kesulitan

ini sering timbul ketika memaksimalkan atau meminimalkan fungsi mengikuti kendala.Metode

Lagrange adalah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah ini tanpa perlu secara eksplisit

mengatasi kondisi dan menggunakannya untuk menghilangkan variabel ekstra.

Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P0 dan P1.

Karena di titik- titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung

(mempunyai garis singgung yang sama dan mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. Tetapi

disebarang titik dari kurva ketinggian, vector gradien ∇f tegak lurus terhadap kurva ketinggian,

dan dengan cara serupa ∇g tegak lurus terhadap kurva kendala.jadi, ∇f dan ∇g sejajar di Po dan

juga P1. Yaitu:∇f(Po) = λ0 ∇g (P0)      dan      ∇f(P1) = λ1 ∇g (P1)     

λ adalah Multiplier konstanta yang tidak diketahui, diperlukan karena besarnya dari dua gradien

mungkin berbeda.

Andaikan f (x,y) dimaksimisasi atau diminimisasi dengan batasan g (x,y) = 0. Maka bentuk

fungsi objektifnya adalah;

F ( x, y, λ ) = f (x,y) – λ. g (x, y)

Diferensiasikan F ( x, y, λ ) secara Parsial terhadap x, y dan λ dan dinyatakan hasilnya sama de

ngan nol.

Nah sekilas sudah dapat mengerti bagaiamana tentang persamaan lagrangian? Nah

selanjutnya kita akan membahas bahwa persamaan tersebut bukan hanya menjadi deretan fungsi

saja tetapi menjadi sebuah terapan yang dapat di aplikasikan yuk kita tengok problem dalam

kehidupan sehari-hari

Perkembangan ilmu pengetahuan sikap yang sangat cepat, membuat beberapa rahasia alam terpecahkan. Turbulensi adalah satu fenomenayang sangat menarik karena sangat sulit dipe-cahkan meskipun gejala ini sudah lama disadari. Sedangkan teori gauge baru saja muncul untuk mencoba menjelaskan semua dasar interaksi dialam Pemodelan turbulensi dalam teori gaugemerupakan suatu hal yang benar-benar baru se-hingga usaha untuk menjelaskan masalah yang sulit terpecahkan (turbulensi) menjadi sangat menarik. Dinamika fluida dapat digambarkan oleh persamaan Navier-stokes yang diturunkan darihukum Newton kedua. Sebelumnya dibeberapa tulisan untuk mengetahui dinamika yang ter-jadi dengan menghitung hamiltonian dari sistem dengan menggunakan prinsip aksi terkecil. Di tulisan lain juga menghubungkan persamaan Navier-stokes dengan persamaan maxwell, tetapi tidak begitu jelas karena menggambarkan dua hal yang berbeda. se-lanjutnya dinamika gerak sistem. Untuk mengetahui dinamika fluuida di lakukan pendekatan yang berbeda dengansebelumnya, yaitu dengan menggunakan relativistik lagrangian bosonik. Hal ini dapatdilakukan karena persamaan Navier-stokes yang menggambarkan dinamika °uida dapatdibangun berdasarkan relativistik lagrangian bosonik. Untuk mengetahui interaksi yangterjadi pada suatu titik dengan menghitung. Untuk mengetahui dinamika fluida di lakukan pendekatan yang berbeda dengansebelumnya, yaitu dengan menggunakan relativistik lagrangian bosonik. Hal ini dapatdilakukan karena persamaan Navier-stokes yang menggambarkan dinamika °uida dapatdibangun berdasarkan relativistik lagrangian bosonik. Untuk mengetahui interaksi yangterjadi pada suatu titik dengan menghitung amplitudo kuadrat dari lagrangian tersebut

1. Turbulensi Mekanika fluida adalah cabang dari ilmu fisika yang mempelajari tentang aliran fluida yangbergerak maupun yang diam dan mempelajari tentang peralatan maupun aplikasi yangberhubungan dengan fluida. Mekanika fluida terbagi menjadi 2 bagian yaitu Statika fluidayang mempelajari fluida dalam keadaan diam dan dinamika fluida yang mempelajari fluidabergerak. mengunakan Dinamika fluida dalam kasus turbulensi. Turbulensi disini memiliki sifat-sifatviscous (kekentalannya tidak bisa diabaikan) dan rotasional yaitu alirannya berolak. Jean Leonard Marie Poiseuille dan Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen adalah orang yang per-tama menulis tentang aliran fluida. Mereka membahas mengenai masalah aliran darah di-dalam pembuluh darah. Mereka menulis tanpa melibatkan pengaruh viskositas. ClaudeLouis Marie Navier dan Sir George Gabriel Stokes merumuskan persamaan yang melibatkanviskositas dan persamaan tersebut dinamakan persamaan Navier-Stokes. Persamaan ini sangatsulit sehingga hanya bisa menjelaskan fenomene yang sederhana, contohnya adalah laminar. Per- samaan Bernoulli berhasil diturunkan dari persamaan ini. Persamaan Bernoulli berlaku untuk°uida yang memiliki kecepatan relatif rendah. Garis arus fluuida belum pecah pada kecepatan ini. Apabila kecepatan fluida ditambah maka garis arus °uida akan pecah dan berolak.Pecahnya garis arus dan timbulnya arusi dikenal sebagai fenomena turbulensi. Kapan

terjadinya arus laminar dan turbulensi belum bisa terpecahkan sampai Osborne Reynoldsmemperkenalkan bilangan reynolds. Bilangan Reynold ini berbanding lurus dengan kecepatan,massa jenis fluida dan diameter pipa yang dilalui fluida serta berbanding terbalik dengan viskosi-tas. Batas antara laminar dan turbulensi bilangan reynoldnya 2300. Jika bilangan reynold lebih besar dari 2300 maka kemungkinan terbesar dari aliran fluida adalah turbulensi. Transisi aliran laminar dan turbulen dapat dilihat pada asap rokok. Pada saat asap rokokmulai mengepul aliran itu adalah laminar. Pada saat asap rokok itu bergerak mulai menjauhaliran tersebut adalah turbulen. Deskripsi aliran fluida bisa dengan 2 cara, yatu deskripsi Lagrange dan deskripsi Euler. Pada deskripsi Lagrange aliran fluida dijelaskandengan melihat lintasan fluida. Deskripsi Euler menggunakan fungsi ruang-waktu. Masalah ini menggunakan deskripsi Euler. Karakterisasi turbulensi menggunakan 2 parameter yaitu kecepatan dan massa jenis. Aliran Turbulensi Aliran Turbulensi ini memenuhi 5 hukum yaitu hukum kekekalan massa, hukum kekekalan momentum, hokum kekekalan momentum sudut, hukum termodinamika I dan hokum termodinamika II. Pada bagian ini yang dibahas hanya hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentumHukum kekekalan massa menyatakan bahwa fluida tidak bisa diciptakan dan tidak bisa dimusnahkan. Jika kita menggangu fluuida tersebut maka massa awal akan selalu sama dengan massa akhirnya. Misalkan ada volume (V) fluida yang dilingkupi oleh permukaan S . Massa fluida dalam volume (V) adalah ∭ pdv massa fluida yang mengalir melalui

permukaan tertutupvadalah ∮ pdS.Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa fluuida yang keluar dari per-mukaan tertutup S akan sama dengan hilangnya massa fluida per waktu pada Volume.Pernyataan ini ditulis Sebagai berikut

∮¿¿) . dS = −∂∂ t ∫❑ρdV

Telah diketahui Lagrangian Navier-Stokes yang menggambarkan dinamika fluida dari persamaan Navier-Stokes yang invarian terhadap local gauge transformations. Dengan menggunakan teori medan akan dihitung amplitudo kuadrat dari lagrangian tersebut untuk mengetahui interaksi pada suatu titik untuk empat fluida. Untuk interaksi empat °uida besarnya dipengaruhi dua sudut antar fluida yang berinteraksi, kecepatan dan Potensial dari gaya-gaya konservatif. Pada kasus turbulensi amplitudo kuadrat memiliki arti fisis sebagai Energi turbulensi. Persamaan LagrangePersamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan konservatif adalah fungsi dari posisi.Pada umumnya transformasi dari sistem koordinat kartesan r1 ,r2 ,r3,…,t ke sistem koordinat umum q1, q2, q3,…,t dapat dilakukan dengan menyatakan :

Persamaan ini disebut sebagai persamaan transformasi sehingga Dengan menganggap ecara eksplisit tak bergantung waktu, maka suku , sehingga :Apabila ditinjau gerak partikel yang terkendala pada suatu permukaan bidang, maka diperlukan

adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan kontak antara partikel dengan permukaan bidang, namun ternyata tak selamanya gaya konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Apabila sistem dianggap setimbang maka total gaya yang bekerja pada sistem tersebut sama dengan nol , demikian pula total kerja yang dilakukan oleh gaya menggeser partikel sebesar juga sama dengan nol . Jika total gaya yang bekerja pada sistem terdiri dari gaya luar dan gaya kendala (konstrain) maka dalam keadaan kesetimbangan mekanik,Apabila sistem dibatasi pada kondisi kerja nyata oleh gaya kendala sama dengan nol, (misalkan pada benda tegar tentu saja kerja oleh gaya internalnya sama dengan nol dalam hal ini tidak terjadi perubahan bentuk benda akibat gaya internal) maka suku kedua pada pers. (4.5) sama dengan nol sehingga pers. 4.5 menjadi . Oleh karena gaya luar , maka yang harusnya sama dengan nol (hal ini dipenuhi apabila kita hanya meninjau kesetimbangan saja/statika), namun apabila ada konstrain/gaya kendala yang bekerja pada sistem yang berada dalam kesetimbangan mekanik maka diperlukan suatu batasan persamaan gerak seperti yang diajukan oleh D’Alembert sebagai berikut

dengan = Gaya Luar Sistem dan = Perubahan Impuls Berdasarkan azas D’ Alembert maka persamaan transformasi menjadidimana:(Gaya umum); adalah hasil transformasi gaya F dari sistem koordinat kartesian (r1 ,r2 ,r3,…) ke sistem koordinat (q1 ,q2 ,q3,…) :L = fungsi Lagrange = kecepatan umumV = Energi potensial = koordinat umumT = Energi kinetikPersamaan (17) disebut persamaan Lagrange dan L = T – V dikenal dengan istilah fungsi Lagrangian. Jika didefinisikan Lagrangian adalah sebagai selisih antara energi kinetik dan energi potensial, persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum, dan waktu. Untuk penulisan koordinat umum yaitu koordinat yang dapat berubah dengan bebas yang cacahnya = f = derajat kebebasan sistem yang tidak lain adalah dimensi ruang yang ditinjau. Derifatifnya ke waktu dikenal sebagai kecepatan umum.Sering kali tidak semua dapat bernilai bebas. Terdapat sejumlah Nc pembatas (constraints) gerak yang mengurangi derajat kebebasan nilai dari 3N buah menjadi 3N-Nc = f buah sehingga hanya f daripadanya yang benar-benar bebas. Apabila pembatasan gerak tersebut dapat diungkapkan dalam Nc hubungan fungsi maka terjadi pembatasan holonomik, jika tidak pembatasan bersifat nonholonomikKegayutan Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari kegayutan konstrain terhadap waktu atau dikarenakan oleh persamaan transformasi yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum yang mengandung fungsi waktu. Jadi sistem holonomik yaitu sistem yang koordinat-koordinat transformasinya tidak tergantung satu sama lain atau fungsi kendalanya sama dengan nol. Salah satu contohnya seperti dalam Osilator harmonik sederhana. yang tak memuat waktu, hadir pembatasan skleronomik sedangkanUntuk bergantung waktu t, pembatasan gerak bersifat rheonomik.bila Contoh:Gerak suatu banduk kerucut: jarak titik massa m dengan koordinat kartesan yang sumbu z nya vertikal ke bawah dari titk gantung O tetap = l . Apabila (x,y,z) adalah kordinat titik P letak zarah

m, maka berlaku(satu pembatasan gerak)Pada bagian awal kita telah menggunakan hukum-hukum Newton untuk menganalisis gerak sebuah benda. Dengan menggunakan hukum ini kita dapat menurunkan persamaan gerak benda. Hukum Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui. Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak serta persyaratan awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda yang bergerak pada sebuah permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan, sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui.

Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang pertama dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalisme Lagrange. Disamping formalisme Lagrange terdapat pula formalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanya terletak pada koordinat umum yang dipakai. Formalisme Hamilton menggunakan posisi dan kecepatan sebagai koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan linier orde-dua, sedangkan pada formalisme Hamilton posisi dan momentum digunakan untuk koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum Newton.

A. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM)

Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat Kartesian, koordinat bola atau koordinat silinder. Jika partikel bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja.

Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan

q1, q2, …..qn (1)

yang disebut dengan koordinat rampatan (generalized coordinates). Istilah rampat diambil dari kata merampat dan papan Koordinat qk dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya; sistem tersebut dinamakan holonomic. Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.

Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasi diri pada sistem holonomic.

Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat rampatan lebih mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat Kartesius:

x = x(q)

(satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kurva).

x = x(q1,q2)

(dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah permukaan).

x = x(q1,q2,q3)

y = y(q1,q2,q3)

z = z(q1,q2,q3)

(tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang)

Misalkan q berubah dari harga awal (q1,q2, ….) menuju harga (q1+q1,q2+q1 ..). Perubahan koordinat Kartesius yang bersesuaian adalah :

δx= ∂ x

∂q1

δq1+∂ x∂ q2

δq2+.. .. . (2)

δy= ∂ y

∂q1

δq1+∂ y∂q2

δq2+.. . .. (3)

δz= ∂ z

∂q1

δq1+∂ z∂q2

δq2+.. .. . (4)

Turunan parsial x/q1 dan seterusnya adalah fungsi dari q. Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang. Misalkan kita memilih koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini :

q1 = r q2 = (5)

Selanjutnya :

x = x(r,) = r cos

y = y(r,) = r sin (6)

dan

δx= ∂ x

∂q1

δq1+∂ x∂ q2

δq2 = cos r - r sin (7)

δy= ∂ y

∂q1

δq1+∂ y∂q2

δq2 = sin r + r cos (8)

Sekarang perhatikan sebuah sistem yang mengandung sejumlah n partikel; dalam hal ini mengandung n derajat kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan :

q1, q2, …..qn (9)

Selanjutnya perubahan konfigurasi dari (q1, q2, …..qn) ke konfigurasi di dekatnya (q1+q1, q2+q2, …qn+qn) menyatakan perpindahan partikel ke i dari titik (xi,yi,zi) ke titik di dekatnya (xi+xi,yi+yi,zi+zi) dimana:

δx i=∑

k=1

n ∂ x i

∂ qk

δqk (10)

δy i=∑

k=1

n ∂ y i

∂ qk

δqk (11)

δz i=∑

k=1

n ∂ zi

∂ qk

δqk (12)

Persamaan (10–12) menunjukkan bahwa turunan parsialnya merupakan fungsi q. Selanjutnya kita akan mengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular, dan indeks k untuk menyatakan koordinat rampatan. Simbol xi kita pakai untuk menyatakan sembarang koordinat rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung N partikel, i dapat berharga antara 1 dan 3N.

B. GAYA RAMPATAN

Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh r dibawah pengaruh sebuah gaya aksi F, gaya yang bekerja padanya dinyatakan dengan

δW=F⋅δr=F x δx+F y δy +F z δz (13)

Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan

δW=∑

i

F i δx i (14)

Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlaku untuk partikel tunggal, tetapi juga untuk sistem banyak partikel. Untuk satu partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3. Untuk N partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3N.

Jika pertambahan xi dinyatakan dalam koordinat rampatan, maka diperoleh

δW=∑

i (F i∑k

∂ x i

∂qk

δqk)

=∑

i (∑k

F i

∂ x i

∂ qk

δqk) (15)

=∑

i (∑k

F i

∂ x i

∂ qk)δqk

Persamaan di atas juga dapat ditulis

δW=∑

k

Qk δqk (16)

dimana :

Qk=∑ (Fi

∂ x i

dqk) (17)

Besaran Qk yang didefinisikan menurut persamaan di atas disebut dengan gaya rampatan. Oleh karena perkalian Qkqk memiliki dimensi kerja/usaha, maka dimensi Qk adalah gaya jika qk

menyatakan jarak, dan dimensi Qk adalah torka, jika qk menyatakan sudut.

C. GAYA RAMPATAN UNTUK SISTEM KONSERVATIF

Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konservatif, besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh persamaan

F i=−∂V

∂ x i (18)

dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena itu perumusan gaya rampatan dapat dinyatakan

Qk=−(∑i

∂V∂ x i

∂ xi

∂ qk) (19)

Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunan parsial fungsi V terhadap qk. Oleh karena itu

Qk=− ∂V

∂ qk (20)

Misalkan, kita menggunakan koordinat kutub, q1 = r ; q2 = , maka gaya rampatan dapat dinyatakan dengan Qr = -V/r ; Q = -V/. Jika V merupakan fungsi r saja (dalam kasus gaya sentral), maka Q = 0.

D. PERSAMAAN LAGRANGE

Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut:

F i=mi x i (21)

dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan

T=∑

i=1

k

[ 12

mi( x12+ y i

2+ zi2 ]

(22)

atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut

T=∑

i=1

3 N12

mi x i2

(23)

Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. Kita dapat misalkan

x i=x i( q1 , q2 ,. . ., qn , t ) (24)

dan selanjutnya

x i=∑

∂ x i

∂ qk

qk+∂ xi

∂ t (25)

Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, …..3N dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana n menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait hubungan antara x i dan qk, sehingga xi/t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen

dari kecepatan rampatan qk .

Dari persamaan

∂ x i

∂ qk

=∂ xi

∂ qk (26)

Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan x i dan diferensialkan terhadap t, akan diperoleh:

ddt ( x i

∂ x i

∂ qk)= d

dt ( x i

∂ x i

∂qk)

= x i

∂ x i

∂qk

+ x i

∂ x i

∂ qk (27)

atau

ddt ( ∂

∂ qk

xi2

2 )= xi

∂ x i

∂qk

+ ∂∂qk

( x i2

2 ) (28)

Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan mi x i=F i , kita dapat peroleh

ddt

∂∂ qk

(mi x i2

2 )=F i

∂ xi

∂ qk

+ ∂∂ qk

(mi x i2

2 ) (29)

Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh :

ddt

∂ T∂ qk

=∑i (Fi

∂ x i

∂ qk)+ ∂ T

∂qk (30)

Dari definisi gaya rampatan kita peroleh

ddt

∂ T∂ qk

=Qk +∂ T∂qk (31)

Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange untuk gerak.

Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:

ddt

∂ T∂ qk

= ∂T∂qk

− ∂ V∂ qk (32)

Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni

L = T - V (33)

Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena V =

V(qk) dan ∂V /∂ qk=0 , kita peroleh

∂ L∂ qk

= ∂T∂ qk dan

∂ L∂qk

= ∂T∂ qk

− ∂V∂qk (34)

ddt

∂ L∂ qk

= ∂ L∂qk (35)

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konservatif,

misalkan nilainya adalah Qk'

, maka kita dapat menuliskan

Qk=Qk

' − ∂V∂ qk (36)

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L = T - V, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk

ddt

∂ L∂ qk

=Qk' + ∂ L

∂qk (37)

(37)

Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.

E. BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN

LAGRANGE

Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange untuk menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:

1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau

jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk.4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di

atas.

Beikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya :

1. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.

Misalkan koordinat polar (r,) digunakan sebagai koordinat rampatan. Koordinat Cartesian (r,) dapat dihubungkan melalui :

x = r cos y = r sin

Energi kinetik partikel dapat ditulis :

Energi potensial oleh gaya sentral

Persamaan Lagrange untuk sistem ini:

Dari persamaan Lagrange:

ddt

∂ T∂ qk

= ∂T∂qk

− ∂ V∂ qk

Substitusi q1 = r dan q2 = , diperoleh:

Dari kedua persamaan di atas diperoleh:

Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif :

Jadi :

Dari persamaan Lagrange :

atau :

Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan

= konstan

Berdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan gerak.

2. Osilator Harmonik

Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah

L = T - V = 12

m x2− 12

kx2

(38)

dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya:

∂ L∂ x

=m x dan

∂ L∂ x

=−kx (39)

Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding

dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c , sehingga persamaan gerak dapat ditulis :

ddt

(m x )=−c x+(−kx ) (40)

Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam yang sudah kita kenal.

3. Partikel yang berada dalam medan sentral.Mari kita rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = . Maka

T= 12

mv2= 12

m ( r 2+r2 θ2) (41)

V=V (r ) (42)

L= 12

m (r 2+r2 θ2 )−V (r ) (43)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :

∂ L∂ r

=m r ∂ L∂ r

=mr { θ2

−f (r )¿ (44)

∂ L∂θ

=0∂ L∂ θ

=mr2 θ (45)

a

l-xx

m1

m2

Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :

ddt

∂ L∂ r

=∂ L∂r

ddt

∂ L∂ θ

=∂ L∂θ (46)

m r=mr { θ2+ f (r )¿

ddt

(mr2 θ )=0 (47)

4. Mesin Atwood

Sebuah mesin Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan m2 dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan dilewatkan pada katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m1 seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Gambar 2. 1

Mesin atwood tunggal

Kecepatan sudut katrol adalah x /a , dimana a adalah jari-jari katrol. Energi kinetik sistem ini adalah :

T= 1

2m1 x2+ 1

2m2 x2+ 1

2I

x2

a2 (48)

dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :

(49)

Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi Lagrangiannya adalah

L= 1

2 (m1+m2+I

a2 ) x2+g (m1−m2) x+m2 gl (50)

dan persamaan Lagrangenya adalah

ddt

∂ L∂ x

=∂ L∂ x (51)

yang berarti bahwa :

(m1+m2+

I

a2 ) x=g (m1−m2) (52)

atau

(53)

adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka m1 akan bergerak turun, sebaliknya jika m1<m2 maka m1 akan bergerak naik dengan percepatan tertentu.

5. Mesin Atwood Ganda

Mesin Atwood ganda diperlihatkan pada gambar 2.2.. Nampak bahwa sistem tersebut mempunyai dua derajat kebebasan. Kita akan menyatakan konfigurasi sistem dengan koordinat x dan x'. Massa katrol dalam hal ini diabaikan (untuk menyederhanakan persoalan).

Energi kinetik dan energi potensial sistem adalah :

T= 12

m1 x2+ 12

m2 (− x+ x ')2+ 12

m3(− x− x ')2

(54)

V=−m1gx−m2 g (l−x+x ' )−m3 g( l−x+l '−x ' ) (55)

dimana m1, m2 dan m3 adalah massa masing-masing beban, dan l serta l' adalah panjang tali penghubungnya.

l-x

x

m1

Gambar 2.2.

Mesin Atwood Ganda

(56)

sehingga persamaan geraknya dapat ditulis :

ddt

∂ L∂ x

=∂ L∂ x

ddt

∂ L∂ x '

= ∂ L∂ x ' (57)

dengan penyelesaian

m1 x+m2( x− x ' )+m3 ( x+ x ' )=g(m1−m2−m3 ) (58)

m2(− x+ x ' )+m3( x+ x ' )=g (m2−m3 ) (59)

l'-x’

m3

m2

dan dari persamaan ini percepatan x dan x ' dapat ditentukan.

6. Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan.

Mari kita tinjau sebuah persoalan dimana sebuah partikel meluncur pada sebuah bidang miring yang juga dapat bergerak pada permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.3. Dalam persoalan ini terdapat dua derajat kebebasan, sehingga kita butuhkan dua koordinat untuk menggambarkan keadaan sistem yang kita tinjau. Kita akan memilih koordinat x dan x' yang masing-masing menyatakan pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan dan pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel diperoleh dengan menggunakan hukum kosinus :

v2= x2+ x ' 2+2 x x ' cos θ (60)

Oleh karena itu energi kinetiknya adalah

T= 12

mv2+ 12

M x2= 12

m( x2+ x ' 2+2 x2 x ' 2cos θ)+ 12

M x2

(61)

dimana M adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan , seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.3. dan m adalah massa partikel. Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh karena bidangnya horisontal, sehingga kita dapat tuliskan :

V=mgx'sin + tetapan (62)

dan

(63)

Persamaan geraknya

ddt

∂ L∂ x

=∂ L∂ x

ddt

∂ L∂ x '

= ∂ L∂ x ' (64)

sehingga

m( x+ x ' cos θ)+M x=0  ; m( x '+ x cos θ)+=mgsinθ (65)

Percepatan x dan x'adalah :

x= −g sin θ cosθm+M

m−cos2 θ

;

x '= −g sin θ

1−mcos2 θm+ M (66)

Gambar 2. 3

Gerak pada bidang miring dan representasi vektornya

7. Penurunan persamaan Euler untuk rotasi bebas sebuah benda tegar. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menurunkan persamaan Euler untuk gerak sebuah benda tegar. Kita akan tinjau kasus torka - rotasi bebas. Kita ketahui bahwa energi kinetik diberikan oleh persamaan:

T=1

2( I 1 ω1

2+ I 2ω22+ I 3 ω3

2 ) (67)

Dalam hal ini harga mengacu pada sumbu utama. Dalam Bagian sebelumnya telah ditunjukkan bahwa dapat dinyatakan dalam sudut Euler , dan sebagai berikut:

x '

v

x'

Mx

x

m

ω1=θ cos ψ+ φ sin θ sin ψ

ω2=− θ sinψ+ φ sin θ cosψ (68)

ω3=ψ+ φ cosθ

Dengan memperhatikan sudut Eulerian sebagai koordinat rampatan, persamaan geraknya adalah:

ddt

∂ L∂ θ

=∂ L∂θ (69)

ddt

∂ L∂ φ

=∂ L∂ φ (70)

ddt

∂ L∂ ψ

=∂ L∂ ψ (71)

oleh karena Q (gaya rampatan) semuanya nol. Dengan menggunakan aturan/dalil rantai :

∂ L∂ ψ

= ∂T∂ω3

∂ ω3

∂ ψ (72)

Sehingga

ddt

∂ L∂ ψ

=I3 ω3 (73)

Dengan menggunakan lagi aturan rantai, kita peroleh

∂T∂ψ

=I 1ω1

∂ω1

∂ψ+ I 2 ω2

∂ω2

∂ψ

=I 1 ω1(−θ sin ψ+ φ sin θ cosψ )+ I 2 ω2(−θ cosψ−φ sinθ sin ψ )

=I 1 ω1 ω2−I 2 ω2 ω1

(74)

Akibatnya, persamaan 71 menjadi :

I 3ω3=ω1ω2( I 1−I 2 ) (75)

yang mana seperti yang ditunjukkan dalam bagian sebelumnya adalah persamaan Euler ketiga untuk rotasi bebas sebuah benda tegar dibawah pengaruh torka nol. Persamaan Euler lainnya dapat diperoleh dengan melakukan permutasi siklik (putaran) dari subskrip : 12, 23, 31.

8. Pandanglah sebuah benda bermassa m (gambar 2.4) meluncur dengan bebas pada sebuah kawat dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan jari-jari a. Lingkaran kawat berputar searah jarum jam pada bidang horisontal dengan kecepatan sudut ω disekitar titik O. (a). Selidiki bagaimana gerak benda tersebut, dan (b). Bagaimana reaksi lingkaran kawat.