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1. INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS
FISICAS, MEDIDA Y ERRORES
Para la física y la química, en su calidad de cienciasexperimentales, la medida constituye una operaciónfundamental. Sus descripciones del mundo físico serefieren a magnitudes o propiedades medibles. Lasunidades, como cantidades de referencia a efectosde comparación, forman parte de los resultados delas medidas. Cada dato experimental se acompañade su error o, al menos, se escriben sus cifras detal modo que reflejen la precisión de lacorrespondiente medida.
3
Se consideran ciencias experimentales aquellas que
por sus características y, particularmente por el tipo
de problemas de los que se ocupan, pueden someter
sus afirmaciones o enunciados al juicio de la
experimentación . En un sentido científico la
experimentación hace alusión a una observación
controlada; en otros términos, experimentar es
reproducir en el laboratorio el fenómeno en estudio
con posibilidad de variar a voluntad y de forma
precisa las condiciones de observación
INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS FISICAS, MEDIDA Y ERRORES
4
INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS FISICAS, MEDIDA Y ERRORES
La física y la química constituyen ejemplos de ciencias
experimentales. La historia de ambas disciplinas pone de
manifiesto que la experimentación ha desempeñado un
doble papel en su desarrollo. Con frecuencias los
experimentos científicos solo pueden ser entendidos en
el marco de la teoría que orienta y dirige al investigador
sobre qué es lo que hay que buscar y sobre qué
hipótesis deberán ser contrastadas experimentalmente.
Pero, en ocasiones, los resultados de los experimentos
generan información que sirve de base para una
elaboración teórica posterior.
5
Este doble papel de la experimentación como
juez y guía del trabajo científico se apoya en
la realización de medidas que facilitan una
descripción de los fenómenos en términos de
cantidad. La medida constituye entonces una
operación clave en las ciencias experimentales.
INTRODUCCIÓN A LAS CIENCIAS FISICAS, MEDIDA Y ERRORES
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1.1 MAGNITUDES Y MEDIDAS
El físico Inglés LORD KELVIN consideraba que
solamente puede considerarse como satisfactorio
nuestro conocimiento si somos capaces de expresarlo
mediante números. Aún cuando esta afirmación
tomada al pie de la letra supondría la descalificación de
valiosas formas de conocimiento, destaca la
importancia del conocimiento cuantitativo,
particularmente en el tipo de ciencia que él profesaba.
La operación que permite expresar una propiedad o
atributo físico en forma numérica es precisamente la
medida
7
MAGNITUDES Y MEDIDAS
MAGNITUD, CANTIDAD Y UNIDAD
La noción de magnitud está inevitablementerelacionada con la de medida.
• Se denominan magnitudes ciertas propiedades o
aspectos observables de un sistemas fisco que pueden
ser expresados en forma numérica. En otros términos
las magnitudes son propiedades o atributos medibles.
La LONGITUD, LA MASA, LA FUERZA, LA
VELOCIDAD, LA CANTIDAD DE SUSTANCIA, son
ejemplos de magnitudes físicas.
8
La LONGITUD, la MASA, la FUERZA, la
VELOCIDAD, LA CANTIDAD DE SUSTANCIA, el
TIEMPO, son ejemplos de magnitudes físicas.
•Son fundamentales porque no son deducibles de
ninguna otra magnitud y están definidas en términos
de comparaciones con un patrón establecido.
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MAGNITUDES Y MEDIDAS
En el lenguaje de la física la noción de cantidad se
refiere al valor que toma la magnitud de en un
cuerpo o sistema concreto; la longitud de una mesa, la
masa de aquella moneda, el volumen de ese lapicero,
son ejemplos de cantidades.
Una cantidad de referencia se denomina unidad y el
sistema físico que encarna la cantidad considerada
como una unidad se denomina patrón
10
Cualquier otra magnitud física se obtiene como
combinación de estas y se llaman magnitudes físicas
derivadas.
•Por ejemplo: velocidad (long./tiempo), energía, etc.
A continuación se muestran ordenes de magnitud(valores aproximados) de diversas longitudes, masas ytiempos. Observe el rango tan amplio de estascantidades.
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a)longitudes (m)
Radio medio de la órbita de la tierra 9.5 x 1015
Longitud de un campo de fútbol 90
Diámetro de un núcleo 1 x 10-14
12
b) masas (Kg.)
Sol 2 x 1030
Persona (media) 70
Electrón 9.1 x 10-31
13
c) tiempo (s)
Edad de la tierra 1.3 x 1017
Edad media de un estudiante 6.5 x 108
Duración de un choque nuclear 1 x 10-22
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Para referirse a potencias de 10 se usan los prefijos y sus abreviaturas, que se muestran en la siguiente tabla.
relaciónMÚLTIPLOS UNIDAD SUBMÚLTIPLOS
prefijotera giga mega kilo hecto deca unidad deci centi mili micro nano pico
símbolo
t G M k h da d c m n p
proporción 1012 109 106 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
15
-El prefijo deci viene de décimo es decir ,
o lo que es lo mismo 10-1 .
-El prefijo deca viene de diez es decir 10 o lo
que es lo mismo 101 del mismo modo, hecto
es igual a 100 o 102 ; etc.
10
1
10
1
16
Para simbolizar millonésimo, es decir “micro”
se utiliza la letra griega , cuyo nombre es “mu”
y corresponde a la “m” minúscula de nuestro
alfabeto (así como es “alfa” y corresponde a
nuestra “a” )
En longitud hay un submúltiplo (ya en desuso)
del metro diez veces mas chico que el
nanómetro, se denomina “ángstrom” cuyo
símbolo es Å ; un ángstrom es la
diezmillonésima parte del metro, es decir:
1 Å =10-10 m .
17
MÚLTIPLOS
Tera Giga Mega Kilo Hecto deca
1012 109 106 103 102 101
1000000000000 1000000000 1000000 1000 100 10
18
SUBMÚLTIPLOS
deci centi mili micro nano pico
10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
1/10 1/100 1/1000 1/000000 1/1000000000 1/1000000000
0,1 0,01 0,001 0,000001 0,000000001 0,000000000001
19
1.2 SISTEMA DE UNIDADES
Los valores de las magnitudes físicas se expresan en
unidades de medidas.
En 1960, un comité internacional estableció reglas
para determinar el conjunto de patrones para las
magnitudes fundamentales: es el Sistema
Internacional (SI) de unidades. En este sistema las
unidades de longitud, masa y tiempo son el metro,
el kilogramo y el segundo, respectivamente. Las
otras magnitudes fundamentales son temperatura (K),
corriente (A), intensidad luminosa (c) y cantidad de
sustancia (mol).
20
Sistema Internacional de medidas
Un sistema de unidades es un conjunto coherente
de unidades de medida. La coherencia implica un
respeto por las constantes que aparecen en las
ecuaciones físicas. La ecuación F = ma nos da una
relación no sólo entre las magnitudes fuerza, masa y
aceleración, sino también una relación numérica
entre cantidades. Si se definiese la unidad de fuerza
como dos veces la unidad de masa multiplicada por
la unidad de aceleración, esa ecuación no sería
válida a menos que hiciésemos F = ½ma..
21
Sistema Internacional de medidas
Todo es cuestión de convenios, pero evidentemente es
más cómodo cambiar la definición de la unidad de fuerza
que añadir factores numéricos adicionales a todas las
ecuaciones de la Física donde intervengan fuerzas.
En lo que sigue utilizaremos el Sistema Internacional
(S.I.), aceptado por la mayoría del os países del mundo.
En esta línea de acción, la XI Conferencia General de
Pesas y Medidas celebrada en París en 1960, tomó la
resolución de adoptar el llamado con anterioridad
Sistema Práctico de Unidades, como Sistema
Internacional, que es, precisamente, como se le conoce
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a partir de entonces. El Sistema Internacional de
Unidades (abreviadamente SI) distingue y establece,
además de las magnitudes básicas y de las
magnitudes derivadas, un tercer tipo formado por
aquellas que aún no están incluidas en ninguno de los
dos anteriores, son denominadas magnitudes
suplementarias.
El SI toma como magnitudes fundamentales la
longitud, la masa, el tiempo, la intensidad de corriente
eléctrica, la temperatura absoluta, la intensidad
luminosa y la cantidad de sustancia, y fija las
correspondientes unidades para cada una de ellas.
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A estas siete magnitudes fundamentales hay que
añadir dos suplementarias asociadas a medidas
angulares, el ángulo plano y el ángulo sólido. La
definición de las diferentes unidades fundamentales
ha evolucionado con el tiempo al mismo ritmo que las
propias ciencias físicas. Así, el segundo se definió
inicialmente como 1/86 400 la duración del día solar
medio, esto es, promediado a lo largo de un año.
Un día normal tiene 24 h aproximadamente, es decir
24 h.60 min = 1400 min y 1400 min.60 s = 86 400 s ;
no obstante, esto tan sólo es aproximado, pues la
24
duración del día varía a lo largo del año en algunos
segundos, de ahí que se tome como referencia la
duración promediada del día solar. Pero debido a que
el periodo de rotación de la Tierra puede variar, y de
hecho varía, se ha acudido al átomo para buscar en
él un periodo de tiempo fijo al cual referir la definición
de su unidad fundamental.
El sistema internacional
A lo largo de la historia el hombre ha venido
empleando diversos tipos de sistemas de unidades.
Estos están íntimamente relacionados con la
25
condición histórica de los pueblos que las crearon, las
adaptaron o las impusieron a otras culturas.
Su permanencia y extensión en el tiempo lógicamente
también ha quedado ligada al destino de esos pueblos y
a la aparición de otros sistemas más coherentes y
generalizados. El sistema anglosajón de medidas -millas,
pies, libras, Grados Fahrenheit - todavía en vigor en
determinadas áreas geográficas, es, no obstante, un
ejemplo evidente de un sistema de unidades en
recesión. Otros sistemas son el cegesimal - centímetro,
26
gramo, segundo -, el terrestre o técnico -metro-
kilogramo, fuerza-segundo-, el Giorgi o MKS - metro,
kilogramo, segundo- y el sistema métrico decimal, muy
extendido en ciencia, industria y comercio, y que
constituyó la base de elaboración del Sistema
Internacional.
El SI es el sistema práctico de unidades de medidas
adoptado por la XI Conferencia General de Pesas y
Medidas celebrada en octubre de 1960 en París.
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Trabaja sobre siete magnitudes fundamentales
(longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente
eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y
cantidad de sustancia) de las que se determinan sus
correspondientes unidades fundamentales (metro,
kilogramo, segundo, ampere, Kelvin, candela y mol).
De estas siete unidades se definen las derivadas
(coulomb, joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.),
además de otras suplementarias de estas últimas.
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LAS UNIDADES BASE DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SON
MAGNITUD BASE NOMBRE SÍMBOLO
longitud metro m
masa kilogramo kg
tiempo segundo s
corriente eléctrica Ampere A
temperatura termodinámica Kelvin K
cantidad de sustancia mol mol
intensidad luminosa candela cd
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UNIDADES FUNDAMENTALES
UNIDAD DE LONGITUD:
El metro (m) es la longitud recorrida por la luz en el
vacío durante un período de tiempo de 1/299 792
458 s.
UNIDAD DE MASA:
El kilogramo (Kg.) es la masa del prototipo internacional
de platino iridiado que se conserva en la Oficina de
Pesas y Medidas de París.
30
UNIDAD DE TIEMPO:
El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770
períodos de la radiación correspondiente a la transición
entre dos niveles fundamentales del átomo Cesio 133.
UNIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA:
El ampere (A) es la intensidad de corriente, la cual almantenerse entre dos conductores paralelos, rectilíneos,longitud infinita, sección transversal circular despreciabley separados en el vacío por una distancia de un metro,producirá una fuerza entre estos dos conductores igual a2 × 10-7 N por cada metro de longitud.
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UNIDAD DE TEMPERATURA TERMODINÁMICA:
Kelvin (K) es la fracción 1/273,16 de la temperatura
termodinámica del punto triple del agua.
UNIDAD DE INTENSIDAD LUMINOSA:
La candela (cd) es la intensidad luminosa, en una
dirección dada, de una fuente que emite radiación
monocromática de frecuencia 540 × 1012 hertz y que
tiene una intensidad energética en esta dirección de
1/683 W por estereorradián (sr).
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UNIDAD DE CANTIDAD DE SUSTANCIA:
El mol es la cantidad de materia contenida en un
sistema y que tiene tantas entidades elementales como
átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando
es utilizado el mol, deben ser especificadas las entidades
elementales y las mismas pueden ser átomos,
moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos
de tales partículas.
33
UNIDADES DERIVADAS
Ciertas unidades derivadas han recibido unos
nombres y símbolos especiales. Estas unidades
pueden así mismo ser utilizadas en combinación con
otras unidades base o derivadas para expresar
unidades de otras cantidades. Estos nombre y
símbolos especiales son una forma de expresar
unidades de uso frecuente.
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COULOMB (C):
Cantidad de electricidad transportada en un segundo
por una corriente de un amperio.
JOULE (J):
Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando
su punto de aplicación se desplaza la distancia de un
metro en la dirección de la fuerza.
35
NEWTON (N):
Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una
masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de
1 metro por segundo, cada segundo
PASCAL (PA):
Unidad de presión. Es la presión uniforme que,
actuando sobre una superficie plana de 1 metro
cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta
superficie una fuerza total de 1 newton.
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VOLTIO (V):
Unidad de tensión eléctrica, potencial eléctrico, fuerza
electromotriz. Es la diferencia de potencial eléctrico que
existe entre dos puntos de un hilo conductor que
transporta una corriente de intensidad constante de 1
ampere cuando la potencia disipada entre esos puntos
es igual a 1 watt.
WATT (W):
Potencia que da lugar a una producción de energía
igual a 1 joule por segundo.
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OHM (W):
Unidad de resistencia eléctrica. Es la resistencia
eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor
cuando una diferencia de potencial constante de 1
volt aplicada entre estos dos puntos produce, en
dicho conductor, una corriente de intensidad 1
ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el
conductor.
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WEBER (Wb):
Unidad de flujo magnético, flujo de inducción
magnética. Es el flujo magnético que, al atravesar un
circuito de una sola espira produce en la misma una
fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en
1 segundo por decrecimiento uniforme.
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UNIDADES DERIVADAS SIN DIMENSIÓN.
Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas
Ángulo plano
Radián rad mm-1= 1
Ángulo sólido
Estereorradián
sr m2m-2= 1
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UNIDAD DE ÁNGULO PLANO
El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre
dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia
de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual
a la del radio.
UNIDAD DE ÁNGULO SÓLIDO
El estereorradián (Sr.) es el ángulo sólido que,
teniendo su vértice en el centro de una esfera,
intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área
igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio
de la esfera.
41
UNIDAD DE VELOCIDAD
Un metro por segundo (m/s o m·s-1) es la velocidad
de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre,
una longitud de un metro en 1 segundo
UNIDAD DE ACELERACIÓN
Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m·s-2) es la
aceleración de un cuerpo, animado de movimiento
uniformemente variado, cuya velocidad varía cada
segundo, 1 m/s.
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UNIDAD DE NÚMERO DE ONDAS
Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el
número de ondas de una radiación monocromática
cuya longitud de onda es igual a 1 metro.
UNIDAD DE VELOCIDAD ANGULAR
Un radián por segundo (rad/s o rad·s-1) es la
velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme
alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián.
43
UNIDAD DE ACELERACIÓN ANGULAR
Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad·s-2) es
la aceleración angular de un cuerpo animado de una
rotación uniformemente variada alrededor de un eje
fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por
segundo, en 1 segundo.
UNIDAD DE FRECUENCIA
Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno
periódico cuyo periodo es 1 segundo.
44
UNIDADES EN EL S.IARCHIVOEN WORD
45
RECUERDE QUE
Magnitud es todo aquello que se puede medir, que
se puede representar por un número y que puede
ser estudiado en las ciencias experimentales (que
observan, miden, representan....).
Ejemplos de magnitudes: velocidad, fuerza,
temperatura, energía física
Para obtener el número que representa a la
magnitud debemos medirla y tener en cuenta los
sistemas de unidades.
46
PROCESO DE MEDIDA
47
¿QUE ES UNA MEDIDA?
La medida de una magnitud física supone, en último
extremo, la comparación del objeto que encarna dicha
propiedad con otro de la misma naturaleza que se
toma como referencia y que constituye el patrón.
La medida de longitudes se efectuaba en la
antigüedad empleando una vara como patrón, es
decir, determinando cuántas veces la longitud del
objeto a medir contenía a la de patrón.
48
Este tipo de comparación inmediata de objetos
corresponde a las llamadas medidas directas.
Con frecuencia, la comparación se efectúa entre
atributos que, aun cuando están relacionados con lo
que se desea medir, son de diferente naturaleza. Tal
es el caso de las medidas térmicas, en las que
comparando longitudes sobre la escala graduada de
un termómetro se determinan temperaturas. Esta otra
clase de medidas se denominan indirectas.
La vara, como predecesora del
metro de sastre, ha pasado a la
historia como una unidad de
medida equivalente a 835,9 mm.
49
ASÍ QUE:
Para medir debemos tener presente un instrumento de
medida y escoger una cantidad de esa magnitud que
tomamos como unidad.
Para medir la masa, por ejemplo, tomamos
(arbitrariamente) como unidad una cantidad materia a la
que llamamos kg.
50
Por consiguiente, cuando hagamos mediciones e
informemos de sus resultados debemos tener
siempre en cuenta que las medidas NO son
simples números exactos , si no que consisten
en intervalos dentro de los cuales tenemos
confianza de que se encuentra el valor esperado.
El acto de las mediciones requiere que
determinemos tanto la localización como el ancho
del intervalo
51
Así, los errores podrán ser clasificados como:
ERRORES SISTEMÁTICOS
ERRORES ACCIDENTALES O ALEATORIOS
• ERRORES SISTEMÁTICOS
Son los que se repiten constantemente y afectan al
resultado en un sólo sentido (aumentando o
disminuyendo la medida).
Estos errores se podrán controlar, ya que puede
calcularse en qué magnitud se ve afectado el resultado
final.
52
Los errores sistemáticos se pueden subclasificar en
errores instrumentales, personales o por la elección
del método.
Estos errores sólo se eliminan mediante un análisis
del problema y una "auditoría" de un técnico más
cualificado que detecte lo erróneo del procedimiento.
Ellos son:
53
• 1. ERRORES POR FACTOR HUMANO
El “experimentador" (observador) puede originar errores
sistemáticos por una forma inadecuada de medir,
introduciendo así un error siempre en el mismo sentido.
No suele ser consciente de cómo introduce su error.
Sólo se elimina cambiando de observador.
54
•2. ERRORES POR LOS INSTRUMENTOS DE
MEDIDA
Los instrumentos de medida pueden introducir un error
sistemático en la experimentación por un defecto de
construcción o de calibración. Sólo se elimina el error
cambiando de aparato o calibrándolo bien.
•3. ERRORES POR PUNTOS DE APOYO
Especialmente en los instrumentos de gran longitud, la
manera como se apoya el instrumento provoca errores
de lectura. En estos casos deben utilizarse puntos de
apoyo especiales.
55
4. ERRORES POR PARALAE
Error que ocurre debido a la posiciónincorrecta del operador con respecto a laescala graduada del instrumento de medición.
56
Finalmente, el error en la elección del método
se presenta cuando se lleva a cabo la determinación
de una medida mediante un método que no es
idóneo para tal fin; por ejemplo, la medida del
tiempo de caída de un objeto por mera inspección
visual.
57
ERRORES ALEATORIOS
Los errores ALEATORIOS son aquellos que se
producen en las variaciones que pueden darse entre
observaciones sucesivas realizadas por un mismo
operador. Estas variaciones no son reproducibles de
una medición a otra y su valor es diferente para
cada medida.
Las causas de estos errores son incontrolables para
el observador. Los errores accidentales son en su
mayoría de magnitud muy pequeña y para un gran
número de mediciones se obtienen tantas
desviaciones positivas como negativas.
58
Aunque con los errores aleatorios no se pueden
hacer correcciones para obtener valores más
concordantes con el real, si se emplean métodos
estadísticos se puede llegar a algunas conclusiones
relativas al valor más probable en un conjunto de
mediciones.
59
EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD.
EXACTITUD
La exactitud es el grado de concordancia entre el
valor verdadero y el experimental. Un aparato es
exacto si las medidas realizadas con él son todas muy
próximas al valor "verdadero" de la magnitud medida.
60
PRESICIÓN
La precisión es el grado de concordancia entre una
medida y otras de la misma magnitud realizadas en
condiciones sensiblemente iguales. Un aparato es
preciso cuando la diferencia entre diferentes
medidas de una misma magnitud sean muy
pequeñas.
61
SENSIBILIDAD
La sensibilidad de un aparato es el valor mínimo de
la magnitud que es capaz de medir. Así, si la
sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que
para masas inferiores a la citada la balanza no
presenta ninguna desviación. Normalmente, se
admite que la sensibilidad de un aparato viene
indicada por el valor de la división más pequeña de
la escala de medida.
62
La exactitud implica normalmente
precisión, pero la afirmación inversa
no es cierta, ya que pueden existir
aparatos muy precisos que posean
poca exactitud debido a los errores
sistemáticos tales como error de cero,
etc.
En general, se puede decir que es
más fácil conocer la precisión de un
aparato que su exactitud.
63
Una forma fácil de ilustrar estos conceptos es
mediante los resultados de un concurso de tiro.
A continuación Ud. podrá observar los resultados de
tres concursantes al disparar 10 flechas cada uno.
De esos resultados trataremos de explicar los
conceptos de precisión, y exactitud.
64
En el blanco izquierdo se puede ver el resultado de un
tirador que no es ni preciso ni exacto, las flechas
cayeron dispersas por todo el blanco (en cuanto más
dispersas, menos precisas).
65
En el blanco del centro el tirador fue muy preciso,
porque las flechas impactaron muy cerca unas de otras,
es decir estuvieron muy poco dispersas; sin embargo
los tiros no fueron exactos porque estuvieron muy lejos
de la diana.
En el blanco de la derecha, el tirador fue tanto preciso
como exacto, ya que las flechas estuvieron todas muy
cerca, y además impactaron en el sitio donde se
suponía debían dar.
66
MANERA DE HACER LA LECTURA
Una vez escogido el instrumento adecuado, se debe
determinar el valor de la menor división de la escala,
es decir, su precisión y expresar el resultado de la
lectura teniendo en cuenta este valor.
EJEMPLOS
67
Ejemplo1
Suponga que se a va a hacer la lectura de la figura
adjunta:
¿Cuál sería la medida correcta? ¿Se podría pensar
que es 15,23 cm. ó 15,24 cm. ó 15,2 cm.?
68
Observe que la menor división de la escala es 1/10
cm. = 0,1 cm. = 1 mm, por lo tanto la lectura es 15,2
cm. No se debe leer 15,23 cm. ó 15,24 cm. porque
se estaría cometiendo un error, ya que la escala no
permite leer centésimas de cm., sólo décimas de
cm. ya que la precisión es de 0,1 cm.
69
EJEMPLO 2
¿Cuál es la lectura QUE SE ESTÁ REALIZANDO?
La precisión de la escala es de 0,2 cm., por tanto la medida
es: 23,6 cm.
70
EJEMPLO 3
: ¿Cómo se lee esta medida? La lectura es 19,0 cm. Es
importante tener en cuenta que el 0 tiene
significado. Este cero nos indica que la lectura se
realiza hasta 19 cm. y que se avanza
0 mm en la escala.
71
ERROR ABSOLUTO Y ERROR
RELATIVO
ERROR ABSOLUTO
El error absoluto en una medida x de determinada
magnitud es la diferencia entre dicho valor y el valor
verdadero de la medida; se notará por x y, por
tanto, su expresión es:
x = X - XO
72
donde x0 representa el valor verdadero de la
medida.
El error absoluto cuantifica la desviación en términos
absolutos respecto al valor verdadero.
No obstante, en ocasiones es más interesante
resaltar la importancia relativa de esa desviación.
Por ello, se define el error relativo.
73
ERROR RELATIVO
Se define como el cociente entre el error absoluto
y el valor verdadero; notándolo por ε, su
expresión es:X
100Δ
=ε0
*X
X
74
EXPRESIÓN DEL ERROR
En Física, presentar una medida experimental
significa dar el valor de dicha cantidad y expresar
cual es su error; no tiene sentido establecer un
determinado valor si no se acota debidamente el
mismo. Así, la expresión correcta de una medida
debe ser:
X X
75
Por ejemplo si tenemos un cronómetro con una
apreciación de un milisegundo (1 ms) y el resultado
de la medición es X = 23.448 s, el resultado de la
medición se expresa como:
23.448 s ± 0.001 s
donde el valor real de la magnitud queda incluida en
el intervalo:
23.447 s ≤ X ≤ 23.449 s
76
Hay que resaltar que el valor de una magnitud
debe tener el mismo orden decimal que el error
absoluto. Esto es razonable dado que no tendría
sentido encontrar el valor de una magnitud con un
grado de precisión superior al del error de la
medida.
Así, no podemos medir décimas de milímetro con
una regla cuya sensibilidad es del milímetro.
77
Finalmente, se acepta como criterio que si el valor
de una medida es leído de una tabla u otro lugar, sin
indicación de su error, se tomará como error una
unidad del orden de la última cifra con que se
expresa; por ejemplo, si en una tabla aparece que el
valor de una medida es de 0.056 sin ninguna
indicación de error, se conviene en que el mismo es
de ±0.001.
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:
78
Expresiones incorrectas:
23.463 cm. ± 0.165
cm.
43.1267 m ± 0.06 m
345.2 m ± 3 m
Expresiones correctas:
23.5 cm. ± 0.1 cm.
43.13 m ± 0.01 m
345 m ± 1 m
79
Medición directa
Un experimentador que realice la misma medida varias
veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no
sólo por causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de medida y de
observación del experimentador.
80
Muchas veces, para mejorar la calidad de nuestros
resultados o por las características propias del
fenómeno, es necesario tomar una misma medición
varias veces y considerar como valor más probable al
promedio de estas:
o( )n
X+XX=X n+...+21
n
XX
n
i i∑
1==
81
donde xi representa el resultado de cada medición y
n es el número total de mediciones realizadas. Ahora
aparecerá una nueva forma para la consideración del
valor de error que está asociada con las fluctuaciones
de los datos en torno a su valor promedio.
Para calcular el error asociado al cálculo de un
promedio se utiliza la desviación estándar.
82
1
∑1
2
n
XX
S
n
i
i
Y a partir de este cálculo, se debe comparar el valor
de la incertidumbre asociada a la estadística del
problema con el que está asociado al instrumento en
sí y se asignará como valor de incertidumbre al
mayor entre los dos.
83
Si el valor de la desviación estándar es menor al
valor de incertidumbre instrumental, quiere decir que
las fluctuaciones de los datos son menores que la
error instrumental, y por lo tanto el error del valor
medio será igual a la incertidumbre de cada
medición, xi.
En este caso no se justifica tomar muchas
mediciones porque lo que limita la calidad de los
resultados es el instrumento.
84
Si el valor de la desviación estándar es mayor a la
incertidumbre experimental instrumental, se tomará a
el error estadístico, S, como el error de la medición,
conviniendo en este caso tomar muchas mediciones.
De esta manera queda asegurado que la cota de error
contiene el valor “real” de la medición.
85
Ejemplo:
supongamos que disponemos de un cronómetro que
permite conocer hasta las décimas de segundo y
que medimos un determinado tiempo, t, cuatro
veces. Los resultados han sido: 5.3 s, 5.2 s, 5.4 s, y
5.2 s. Calculamos el valor medio:
ss
t 2755=4
121=
4
25+45+25+35= .
.)....(
86
la desviación estándar será:
4
106255+0156250+106255+10×256=σ
334 .... xxt
4
275525+275545+275525+275535=σ
2222 )..()..()..()..(t
st 08290=σ .
87
este valor se expresa con una sola cifra significativa,
S = 0.08 s.
vemos que EL ERROR estadístico es menor que el
error instrumental, que es 0.1 s, por lo que se
considera a esta última como el error en la medida y
se redondea el valor medio, por lo que el resultado
final de la medida es:
t = 6.3 s ± 0.1 s
88
Ejemplo:
Un alumno (A) mide la longitud de un hilo de 5 m y
halla un valor de 6 m. Otro alumno (B) mide la
longitud de un camino de 500 m y halla un valor de
501 m.
¿Qué error absoluto se cometió en cada caso?
¿Qué medida fue más exacta?
89
ALUMNO ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO %
A 1 m exceso (1/5)*100 = 20%
B 1 m exceso (1/500)*100 = 0,2%
90
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Toda medida de una magnitud X lleva asociado un
error X , por lo que la expresión habitual de valores
de las magnitudes experimentales o de aquellas que
se han obtenido a partir de otras medidas
experimentalmente debería ser del tipo X X . Muy
a menudo, a fin de simplificar la notación sin perder
completamente la información sobre la precisión de
los datos o resultados, se omite X la vez que se
escribe el valor de X con un número limitado de
cifras:
91
todas aquellas que se consideran bien conocidas más
una de cuyo valor no se está completamente seguro. A
éstas se las conoce como cifras significativas.
92
Al realizar un experimento en el laboratorio se pide por
ejemplo medir el área de una placa rectangular con
una regla métrica como instrumento de medición. La
precisión hasta la cual se puede hacer una medición
particular de la placa es 0.1 cm. Si el largo de la
placa es 16.3 cm., se puede afirmar que el largo de la
placa se encuentra entre 16.2 cm. y 16.4cm. En este
caso se dice que el valor medido tiene tres cifras
significativas. De igual manera, si se encuentra que su
ancho mide 4.5 cm, el valor real se encuentra entre
4.4 cm. y 4.6 cm. Este valor medido solo tiene dos
cifras significativas. Así, se podrían escribir los valores
obtenidos como 16.3 0.1cm y 4.5 0.1cm.
93
Ejemplo
Si se quiere hallar el área de la placa anterior se
multiplican los dos valores hallados (largo x ancho)
(16.3 cm.) (4.5 cm.) = 73.35 cm2. Esta respuesta no
tendría justificación, debido a que contiene cuatro
cifras significativas, cantidad que es mayor al
número de cifras significativas en cualquiera de las
longitudes medidas. Una regla práctica para usar
como guía en la determinación del número de cifras
significativas es la siguiente:
94
Cuando se multiplican varias cantidades, el número
de cifras significativas en la respuesta final, es el
mismo que el número de cifras significativas en la
menos precisa de las cantidades multiplicadas,
donde “menos precisa” significa “tener el número
menor de cifras significativas”. La misma regla se
aplica a la división.
95
Al aplicar esta regla al ejemplo de multiplicación
anterior, se ve que la respuesta para el área sólo
puede tener dos cifras significativas pues la longitud
de 4.5 cm. tiene únicamente dos cifras
significativas.
Por consiguiente, todo lo que se puede afirmar es
que el área es de 73 cm2, reconociendo que el valor
puede variar entre (16.2 cm.) (4.4 cm.) = 71 cm2 y
(16.4cm) (4.6cm) = 75cm2.
96
En la adición y la sustracción, el número de lugares
decimales debe considerarse cuando se
determinan cuántas cifras significativas se van a
indicar.
Cuando se suman o se restan números, el número
de decimales en el resultado debe ser igual al
número más pequeño de decimales en cualquier
término de la suma.
97
Por ejemplo, al sumar 123 + 5.35, la respuesta sería
128 y no 128.35.
En la suma 1.0001 + 0.0003 = 1.0004, el resultado
tiene cinco cifras significativas.
98
Ejemplo
Aplicando los conceptos de cifras significativas
efectuar las operaciones de los siguientes datos
experimentales:
1)1.2 m + 2.34 m + 4.111 m = 7.6 m Solamente
tenemos en cuenta un solo decimal.
2) 1.3333 m + 2.666 m + 3.00 = 6.99 Solamente
tenemos en cuenta dos decimales.
99
mm
m333=
002
666666 2.
.
.
3) (3.1 m)*(1.1111 m) = 3.4 m2 El resultado
solamente tiene dos cifras significativas.
3.33m=2.00m
6.66666m2
4)
El resultado solamente tiene tres cifras
significativas.
100
Como deben realizarse las
medidas
Comprobar la calibración del
aparato.
Cumplir las normas de utilización
del fabricante del aparato en
cuanto a conservación y
condiciones de uso.
Conocer y valorar la sensibilidad
del aparato para dar los
resultados con la correspondiente
precisión.
Anotar cuidadosamente los
valores obtenidos en tablas.
101
•Elaborar la tabla de datos con la información que se ha
obtenido en las mediciones
• Realizar la gráfica que corresponda o la de distribución
de medidas.
• Hallar el valor representativo, su error absoluto y su
error relativo.
102
APRENDIENDO A GRAFICAR
103
104
MAGNITUDES ESCALARES
Y
VECTORIALESDefiniciones; propiedades y operaciones
105
En los conceptos de mecánica que
desarrollaremos, nos encontraremos con dos
diferentes tipos de magnitudes: escalares y
vectoriales.
LAS MAGNITUDES ESCALARES
son aquellas que quedan totalmente determinadas
dando un sólo número real y una unidad de
medida. Ejemplos de este tipo de magnitud pueden
ser: la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el
tiempo transcurrido entre dos sucesos.
106
Se las puede representar mediante
segmentos tomados sobre una recta a partir
de un origen y de longitud igual al número real
que indica su medida. Otros ejemplos de
magnitudes escalares son la densidad; el
volumen; el trabajo mecánico; la potencia;
la temperatura.
107
Así, por ejemplo, si decimos que José Antonio
tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos
perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide
165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está
claro que es sumamente delgada. Cuando
una magnitud queda definida por su valor
recibe el nombre de magnitud escalar.
108
LAS MAGNITUDES VECTORIALES
A las magnitudes vectoriales no se las
puede determinar completamente
mediante un número real y una unidad de
medida.
109
Por ejemplo, para dar la velocidad de un
móvil en un punto del espacio, además
de su intensidad se debe indicar la
dirección del movimiento (dada por la
recta tangente a la trayectoria en cada
punto) y el sentido de movimiento en
esa dirección (dado por las dos posibles
orientaciones de la recta)
110
Otros ejemplos de magnitudes vectoriales
son el desplazamiento, la aceleración,
fuerza; el momentum o cantidad de
movimiento; el momentum angular. Para
representarlas hay que tomar segmentos
orientados, o sea, segmentos de recta
cada uno de ellos determinado entre dos
puntos extremos dados en un cierto
orden.
111
DEFINICIÓN : VECTOR
Se llama vector a todo segmento orientado. El
primero de los puntos que lo determinan se llama
origen y el segundo extremo del vector. La recta
que contiene al vector determina la dirección del
mismo y la orientación sobre la recta, definida por
el origen y el extremo del vector, determina su
sentido.
112
En Física, generalmente se trabaja con
vectores de dos o tres dimensiones que se
representan geométricamente. También se
usan símbolos. Por ejemplo, un vector de dos
dimensiones se puede representar así:
u
se representa el vector u sobre
la recta r, de origen O y
extremo P. Los vectores podrán
designarse con letras
mayúsculas o minúsculas.
O
P
Fig.1
113
Dados dos vectores, ellos pueden
diferenciarse en:
TAMAÑO ( MÓDULO ) O INTENSIDAD
DIRECCIÓN
O
SENTIDO
114
TAMAÑO, MÓDULO O INTENSIDAD
Se denomina módulo de un vector a la
longitud del segmento orientado que lo
define.
El módulo de un vector es siempre un
número positivo.
mód v = v = v =
Fig. 2
2+2 yx
115
LA DIRECCIÓN
Fig. 3
116
SENTIDO
Fig. 4
117
IGUALDAD DE VECTORES
Dos vectores son iguales cuando tienen el
mismo módulo y la misma dirección y
sentido.
118
a
b
a = b. Esta definición
corresponde a lo que se
denominan vectores libres;
o sea, vectores que pueden
deslizar a lo largo de una
recta y desplazarse
paralelamente a sí mismos
en el espacio. Son los que
nos interesan y cumplen con
las tres propiedades
(reflexiva, simétrica y
transitiva) que se exigen a
toda definición de
equivalencia entre elementos
de un conjunto.
Fig.5
119
Puesto que cualquier vector puede dibujarse
en cualquier punto del plano, antes de
empezar a poder expresarlo numéricamente
lo colocaremos de tal forma que su punto de
aplicación coincida con el origen de
coordenadas, tal y como aparece en la figura.
Fig.6
120
Cuando el punto de aplicación de un vector
está en el origen de coordenadas, el extremo
del vector, coincidirá entonces con un punto
del plano, el punto (x, y).
Cualquier punto (x, y) determina el vector que
empieza en el origen de coordenadas y
termina en él propio punto.
Analíticamente, representaremos el vector por
el punto que determina su final.
121
las coordenadas del vector las denominaremos
componentes, y todo vector estará así definido
por dos componentes, una x y otra y, que
serán las componentes cartesianas del vector.
y
x
y
x
Vector en el origen que determina el punto x, y
Fig.7
122
Además por sus coordenadas
cartesianas, existe otra forma
de determinar
numéricamente un vector:
indicando su magnitud y el
ángulo que forma con la
abcisa.
Éstas (módulo y ángulo) son
las coordenadas polares de
un vector
R
P
y
x
R2 = X2 + Y2
Fig.8
123
Es necesario recordar un par de ideas:
Un triángulo rectángulo es un triángulo que
tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
En un triángulo rectángulo, el lado más
grande recibe el nombre de hipotenusa y los
otros dos lados se llaman catetos.
124
90°
CA
TE
TO
CATETO
Fig.9
125
TEOREMA DE PITÁGORAS.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
90°
y
x
A A2 = X2 + Y2
Fig.10
126
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Debido a que un triángulo tiene tres lados,
se pueden establecer seis razones, dos
entre cada pareja de estos lados. Las
razones trigonométricas de un ángulo
agudo en un triángulo rectángulo son las
siguientes:
127
Seno: razón entre el cateto opuesto al
ángulo y la hipotenusa.
Coseno: razón entre el cateto adyacente al
ángulo y la hipotenusa.
Tangente: razón entre el cateto opuesto al
ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente: razón entre el cateto
adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
128
Secante: razón entre la hipotenusa y el
cateto adyacente al ángulo.
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el
cateto opuesto al ángulo
129
C
AB
Hy
x
B
x
y=
adyacente Cateto
opuesto Cateto = TanB
H
x==
Hipotenusa
adyacenete Cateto CosB
H
y=
Hipotenusa
opuesto Cateto = SenB y
x
stocatetoopue
centeCatetoadyaCotB ==
x
H
entecatetoadya
HipotenusaSecB ==
y
H
stocatetoopue
HipotenusaCscB ==
Fig. 11
130
AB
y
x
B
CHH
x
Hipotenusa
stoCatetoopueSenC ==
H
y
Hipotenusa
centeCatetoAdyaCosC ==
y
x
centecatetoadya
stoCatetoopueTanC == x
y
stocatetoopue
centeCatetoadyaCotC ==
y
H
centecatetoadya
HipotenusaSecC ==
x
H
estocatetoaopu
HipotenusaCsc ==
Fig. 12
c
131
•Para calcular el módulo del vector suma se
recurre al teorema del coseno, el que se puede
considerar como una extensión del teorema de
Pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella
enuncia así:
•El cuadrado de la longitud de cualquier lado
de un triángulo es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos
lados, menos el doble producto de las
longitudes de los mismos lados por el coseno
del ángulo entre ellos.
132
Si aplicamos este teorema al triángulo de
la figura 13 obtenemos tres ecuaciones:
A c B
C
ab
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
Fig. 13
133
La ley de los Senos es una relación de tres
igualdades que siempre se cumplen entre los
lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que
es útil para resolver ciertos tipos de problemas
de triángulos.
134
En cualquier triángulo, la razón entre el seno
de un ángulo y el lado opuesto a ese ángulo
es igual a la razón entre el seno de otro ángulo
y el lado opuesto a ese ángulo.
Es decir: la razón entre la longitud de cada
lado y el seno del ángulo opuesto a él en todo
triángulo es constante. Si observamos la figura
14, la ley de senos se
escribirá como sigue:
135
A c B
C
ab
γ=
β=
α sen
c
sen
b
sen
a
Fig. 14
136
COMPONENTES DE UN VECTOR
En el espacio
Para ubicar un objeto cualquiera ya sea que esté
en reposo o en movimiento rectilíneo, por lo
general utilizamos como referencia un punto fijo
sobre la recta. Para ubicar un cuerpo en reposo
en un plano o describiendo una trayectoria plana,
nos basta con dar su distancia a dos rectas fijas
del plano (perpendiculares entre sí para mayor
facilidad en los cálculos).
137
que tomamos como referencia. De la
misma forma, todo punto del espacio
queda determinado unívocamente
mediante su distancia a tres rectas fijas
respectivamente perpendiculares entre sí.
A este sistema de referencia lo
denominamos sistema de coordenadas
cartesianas ortogonales de origen O y
ejes x, y, z.
138
a1
a3
a2
P2
P1
z
x
yO
a
P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) son
respectivamente el origen y el extremo del
vector a.
Se denominan componentes de un vector
a respecto del sistema (O; x, y, z) a las
proyecciones de a sobre los ejes, o sea a
los números
123122121 zzayyaxxa
Fig.15
139
En general, pondremos a (a1, a2, a3) para indicar
que a1, a2 y a3 son las componentes del vector a.
Estas componentes pueden ser números
positivos o negativos (más adelante veremos que
pueden ser funciones de una o más variables),
pero siempre deben ser calculadas como
diferencia entre las coordenadas del extremo y
las del origen del vector.
Así, por ejemplo, dos vectores opuestos
(de igual módulo y dirección pero de
sentidos opuestos) tienen sus componentes
iguales en valor absoluto pero de signos
contrarios.
140
Como consecuencia de la definición anterior y
de la definición general de igualdad de vectores
se deduce que dos vectores iguales tienen
las mismas componentes en cualquier
sistema de coordenadas.
Es más, los vectores y los resultados de las
operaciones entre ellos tienen un
significado intrínseco, independiente de
cualquier sistema de coordenadas que por
conveniencia se haya introducido en el
espacio.
141
Esta es la propiedad esencial del cálculo
vectorial y lo que lo transforma en una
herramienta tan potente.
Dado que el vector es la diagonal del
paralelepípedo de figura 6, cuyas aristas son
a1, a2 y a3, el módulo del vector a es:
2
3
2
2
2
1 aaaa
142
OPERACIONES
ENTRE
VECTORES
143
Las operaciones definidas entre vectores son:
Adición
Diferencia
Multiplicación de un vector por un escalar.
Producto escalar o interno
Producto vectorial o cruz
144
ADICIÓN
Para sumar dos vectores a y b se procede de la
siguiente manera: a partir del extremo de a se
lleva el vector b; el vector cuyo origen es el origen
de a y cuyo extremo es el extremo de b, es el
vector suma a + b.
a
b
a
b
a + b
Fig.16
145
SUMA DE
VECTORES
x
y
z
x
y
z
x + y + z
Fig. 17
146
S = A + B
Fig. 18
147
Geométricamente, para sumar algebraicamente
varios vectores basta llevarlos sucesivamente
de manera que el origen de cada uno coincida
con el extremo del precedente (como se
observa en la siguiente Fig.)
d
a b
c
v
v = a + b + c + d
Figura 19
La adición de
vectores cumple
las propiedades
conmutativa y
asociativa en
forma similar a la
adición ordinaria
entre números
reales.
148
La suma vectorial tiene las siguientes
propiedades:
Conmutativa: u + w = w + u
Asociativa: (u + w) + z = u + (w + Z )
Neutro aditivo: u + 0 = u
Inverso aditivo u + – u = 0
Algunos ejemplos:
149
w
u w u u + wu + w
w
u
u
w
z
w
u
zu+ w
u + w + z
w
u
z
u + w + z
Fig. 20
150
Al mismo resultado se llega tomando a y b
con el mismo origen y definiendo la suma
como la diagonal del paralelogramo
construido sobre a y b, que pasa por el
origen, tal como se muestra en la figura 9.
a
b
a
b
a + b
Fig. 21
151
Dado que la suma de dos vectores a y b es
otro vector c, las componentes del vector
resultante se obtienen mediante la suma de las
componentes correspondientes
333222111321321321 ,,,,,, bacbacbacccccbbbbaaaa
De esta definición se deduce que la adición de
vectores es conmutativa: a + b = b + a.
152
•Para calcular el módulo delvector suma se recurre alteorema del coseno:
S A B
2 2 2 2 cosS A B AB
•Además haciendo uso
•del teorema del seno:
S A B
sen sen sen
S
A
B
153
DIFERENCIA DE VECTORES
El vector opuesto al vector v (v1, v2, v3) se
representa por –v; tiene el mismo módulo y
dirección que v pero sentido contrario. Sus
componentes son -v1, -v2, -v3. Es inmediato
entonces que la diferencia u – v de dos
vectores es igual a la suma del vector u y del
vector –v, opuesto a v. Por lo tanto las
componentes del vector diferencia u – v son
las diferencias de las componentes, o sea
332211 vuvuvu
154
uv u
u - v
-v
Fig. 22
La resta de vectores se define así:
u – w = u + – w
Otro ejemplo: :
155
u
w w
- w
u u - w
u - w
Fig. 23
156
NO DEBEMOS OLVIDAR QUE…
La diferencia de 2 vectores a – b lo podemos
representar como: a – b = a + (-b) y
gráficamente: -b b
a
a – b
Fig. 24
157
RESUMIENDO:b b
as
b
ad
d
S es igual a?
D es igual a?Fig. 25
158
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR
UN ESCALAR
Los vectores pueden ser multiplicados por una
magnitud escalar. Se denomina producto λa del
vector a por el escalar λ, al vector que tiene:
i) el módulo igual al producto del módulo de a por
el valor absoluto de λ;
ii) la misma dirección que a;
iii) el mismo sentido que a si λ es positivo y
sentido opuesto si λ es negativo.
159
Las componentes del vector λa son, por lo
tanto:321 ,, aaa
En la figura 12
se muestran
los vectores a,
3a, -2a y a/2.
0.5a = a/2
Fig. 26
a
3a
-2a
160
VECTOR UNITARIO
Es un vector que expresado en las unidades
correspondientes, tiene magnitud uno.
VECTOR UNITARIO
Fig. 28
161
Cualquier vector puede ser representado
como el producto de un vector unitario a en
la dirección de y la magnitud de
O sea: = AaA A
A
A
162
COMPONENTES CARTESIANAS DE
UN VECTOR
•Cualquier vector puede siempre
considerarse como la suma de dos o mas
vectores, siendo el número de
posibilidades infinito.
A cualquier conjunto de vectores que al sumarse
den un vector se les llama los componentes
de
A
A
163
Cuando la componente del vector apunta en la
dirección +x, nosotros definimos un número Px que
sea el módulo de Px, si el vector apunta en la
dirección –x, entonces definimos un número
negativo - Px recordando siempre que el módulo
de un vector siempre es positivo.
Lo mismo podemos definir para Py. Tanto Px
como Py se llaman las componentes del vector
P.
164
Px positiva
Py positiva
Px positiva
Py negativa
Px negativa
Py negativa
Px negativa
Py positiva
De la figura encontramos además que:
Px = P cos j
Py = P sen j
Fig. 29
165
Estas componentes son los lados de un triángulo
rectángulo y la hipotenusa tiene magnitud P.
El módulo de P y su dirección están relacionadas
con sus componentes como:
22 += yx PPP
166
x
y
P
PTan =α
Para encontrar la dirección de P, es decir
el ángulo , primero se calcula la tg por
medio de la ecuación anterior y luego, se
encuentra la función inversa de la
tangente.
Es decir que:
x
y
P
Parctg=α
167
Noten que el signo de depende de los
signos de las componentes. Si una
componente en negativa el ángulo
será negativo, lo que significa que la
dirección del vector se encontrará en el
cuadrante correspondiente como lo
vimos en la Fig 29.
168
En este punto vale la pena aclarar para
que no haya ambigüedades en la
determinación de , sabiendo que:
22 += yx PPP
Debe ser mayor que CERO.
Al definir Cos y Sen , podemos calcular para
0 ≤ 2
169
Sea (O; x, y, z) un sistema de coordenadas
ortogonales (figura 15, Pág.. 134). Sobre cada
uno de los ejes, y con su sentido coincidente
con el sentido positivo de aquellos, se han
superpuestos los versores i, j, k. Sus
componentes son:
1,0,0ˆ0,1,0ˆ0,0,1ˆ kji
y se denominan versores fundamentales,
O vectores unitarios fundamentales.
170
Todo vector a (a1, a2, a3) puede ser entonces
escrito en la forma:
kajaiaa ˆˆˆ321
según las reglas anteriormente establecidas para la
adición de vectores y de multiplicación por un escalar.
171
y
k
ij
z
x
a
a3
a1
a2
Fig. 30
Esta descomposición de
un vector como suma de
tres vectores en la
dirección de los ejes
coordenados es muy
importante y útil. Se
denomina
descomposición
canónica de un vector.
172
EN OTRAS PALABRAS:
•Si se considera un sistema cartesiano
XYZ, cualquier vector en el espacio
podrá ser considerado como la suma de
3 vectores en la dirección X, Y, Z que se
llamaran respectivamente., ,x y zA A A
173
z
x
y
zA
xA
yA
i
k j
A
Es decir:
x y zA A A A
Si se llaman a
los tres vectores
unitarios en las
direcciones X, Y, Z
respectivamente,
entonces:
kAA
jAA
iAA
zz
yy
xx
ˆ
ˆ
ˆ
Fig. 31
174
PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO
INTERNO O PRODUCTO INTERNO
El producto escalar de los vectores representado
por el símbolo , se define como el producto de
las magnitudes de y con el coseno del ángulo
entre los dos vectores. Se llama escalar, porque el
resultado por definición es una magnitud escalar.
BA
A
B
175
Fig. 32
A
B
cosA B AB
Obviamente:
ABBA
•De la definición se puede ver que:
1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii
0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji
176
Si:
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
Entonces:
zzyyxx BABABABA
Notese que:
2222 AAAAAA zyx
177
Producto cruz o vectorial entre
vectores
•El producto vectorial de dos vectores
representado por el símbolo , es definido,
como un vector cuyo módulo es el producto de las
magnitudes de con el seno del ángulo entre
los dos vectores.
BA
y
BA
BA
y
178
BA
A
B
n
•La dirección del
vector es
perpendicular al
plano formado por
de tal
manera que y
forman un
sistema dextrógiro
(regla de la mano
derecha).
BA
BA
y
BA
,BA
Fig. 33
179
Fig. 34
180
BA
A
B
n
nABsenBA ˆ(
•En que es un vector
unitario que indica la
dirección de .
n
BA
Obviamente:
ABBA
Fig. 35
Fig. 36
181
De la definición sigue que:
0ˆˆˆˆˆˆ
kkjjii
kji ˆˆˆ
ikj ˆˆˆ
jik ˆˆˆ
i
k
j
Fig. 37
182
kAjAiAA zyxˆˆˆ
kBjBiBB zyxˆˆˆ
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
Si:
183
