Lek 6Toon daraalal, funk iïn x¶zgaar

• Toon daraalal• Niïläx daraalal ba tüüniï qanaruud

• Däd daraalal• Bagasaj baragda²güï xämjigdäxüün• Ixsäj baragda²güï xämjigdäxüün• X¶zgaaryn ündsän qanaruud• Monoton daraalal tögsgölög x¶zgaartaï baïx nöx öl

• Bagsaj baragda²güï xämjigdäxüüniïg ji²ix1

Toon daraalal�mar nägän ²inj qanaryg aguulsan µmsyn böögnöröliïg olonlog gänä. Olon-logiïg bürdüülj buï µms üzägdliïg olonlogiïn älementüüd gänä.- �daj näg älement aguulsan olonlogiïg xooson bi² olonlog- Näg q älementgüï olonlogiïg xooson olonlog gänä.Def: Büxäl äeräg argument büxiï f(n) funk iïn utguudyn olonlogyg {xn} utgu-udyn olonlogiïg toon daraalal gänä, toon daraallyg bürdüülj baïgaatoonuudyg toon daraallyn gi²üüd, xn�iïg daraallyn n�dügäär gi²üün buµuerönxiï gi²üün gänä.Ji²ää 1: xn =2n

5n + 2

erönxiï gi²üün büxiï daraallyg biq gäwäl

2

7,1

3, . . . ,

2n

5n + 2bolno.Ji²ää 2: 1

3,1

6,1

9, . . . , bol daraallyn erönxiï gi²üüniï tom³ëog biqwäl.

xn =1

3n2

{xn}, {yn} daraallyn xuw´d

{xn + yn}, {xn − yn}, {xnyn},

{

xn

yn

}

, yn 6= 0, n = 1,∞daraallyg xargalzan daraallyn niïlbär, ¶lgawar, ürjwär, nogdwor gänä.

{xn}�yn xuw´d ∀xn ∈ {xn}, xn ≤ M (xn ≥ m) nöx öliïg xangasan

M too oldoj baïwal ug daraallyg däärääsää (dooroosoo) zaaglagdsandaraalal gänä.Daraalal n´ däärääsää, dooroosoo nägän zäräg zaaglagdsan baïwal tüüniïgzaaglagdsan daraalal gänä.( Zaag=A = min{|m|, M})∀A > 0 awaxad {xn}-yn xuw´d |xn| > A baïx älement dor xa¶j näg oldojbaïwal ug daraallyg zaaglagdaagüï daraalal gänä.

3

{xn}-yn xuw´d ∀A > 0 too awaxad N < n gäsän dugaartaï büx gi²üüd n´

|xn| > A nöx öliïg xangasan baïx N = N(A) too oldoj baïwal {xn}�ygixsäj baragda²güï daraalal gänä.

IBD n´ zaaglagdaagüï daraalal baïna.∀ε > 0 awaxad N < n, {xn}-yn xuw´d |xn| < ε nöx öliïg xangasan baïx

N = N(ε) too oldoj baïwal {xn}-yg bagasaj baragda²güï daraalal gänä.

1. Duryn tögsgölög toony BBD-yn niïlbär, ¶lgawar n´ BBD baïna.2. BBD n´ zaaglagdsan daraalal baïna.3. Zaaglagdsan daraallyg BBD-aar ürjüüläxäd BBD garna.4. BBD-yn gi²üün bür n´ togtmol c too baïwal c n´ tägtäï tän üü baïna.4

ö.x {xn}-BBD xuw´dxn = c, n = 1,∞. ⇒ c = 0.5. {xn} n´ IBD bol ¶mar nägän n-dugaaraasaa äxlääd {

1

xn

} n´ BBD baïna.

(xn 6= 0)Xäräw daraallyn n dügäär gi²üün n´ n − 1 dügäär gi²üünääsää ix (xn−1 < xn)bol ösöx , xäräw baga (xn−1 > xn) bol buurax daraalal gänä.Ji²ää 3: xn = 3n + 1 daraalal ösöx daraalal boloxyg batal.

xn−1 = 3(n − 1) + 1 = 3n − 3 + 1 = 3n − 2tul

xn − xn−1 = (3n + 1) − (3n − 2) = 3 > 0 ⇒ xn > xn−1bolj batlagdawJi²ää 4: xn =n

n + 1

daraallyg zaaglagdsan boloxyg boloxyg xaruul.Ögögdsön daraallyn gi²üün büriïn xuw´d |xn| < 1 nöx öl bielägdäx tulzaaglagdsan daraalal bolno. 5

Bodlogo 1. xn =1

n

daraalal buurax daraalal boloxyg batal.

6

Niïläx daraalal ba tüüniï qanaruudXäräw {xn} daraalal, togtmol too a xoëryn xuw´d duryn baga ε too awaxad

N = N(ε) or²in baïgaad n > N büx dugaaruudad |xn − | < ε tän äl ¶magtbielägdäj baïwal a toog ug daraallyn x¶zgaar gäj närlääd limn→∞

xn = a gäjtämdäglänä.a ägiïg aguulsan ∀(c; d)-interwalyg a ägiïn orqin gäj närlädäg. ö.x

a ∈ (c; d) äswäl a ∈ (a − ε; a + ε) baïna.

Thr1: {xn} n´ niïldäg daraalal baïwal tüüniï x¶zgaar n´ or gan baïna.

Thr2: Xärwää {xn}, {yn} daraalluud n´ niïläx bögööd x¶zgaaruud n´ xargalzan

a, b baïwal tädgäär daraalluudyn niïlbär, ¶lgawar, ürjwär, nogdwor

(yn 6= 0, b 6= 0, n = 1,∞) daraalluud n´ mön niïläx bögööd x¶zgaaruud n´xargalzan a + b, a − b, ab,a

b

baïna.7

Lemma: {yn} n´ niïläx bögööd x¶zgaar n´ tägääs ¶lgaataï baïg.Tägwäl {yn}-yn ¶mar nägän dugaaraas xoï² {

1

yn

} n´ or²in baïx ba zaaglagdsandaraalal baïna. ö.x{yn}, lim

n→∞yn = b 6= 0. N < ∀n

{

1

yn

}

,

{

1

yn

}

< AThr3: Xärwää {xn} n´ niïldäg daraallyn büx gi²üüdiïn xuw´d {xn} n´

b-ääs bagagüï (ixgüï) gäsän nöx öliïg xangax bol ug daraallyn x¶zgaar n´

limn→∞

xn = a ≥ b ( limn→∞

xn = a ≤ b)baïna.Mr1: {xn} n´ niïldäg daraalal bögööd N < n, xn ≥ 0, (xn ≤ 0) bol

limn→∞

xn ≥ 0 ( limn→∞

xn ≤ 0)baïna.Mr2: {xn}, {yn} n´ niïläx daraalal bögööd N < n , xn ≥ yn (xn ≤ yn) bol

limn→∞

xn ≥ limn→∞

yn ( limn→∞

xn ≤ limn→∞

yn)baïna. 8

Ji²ää 5: xn =2n

4n + 5

daraallyn x¶zgaar 1

2

�täï tänjüü boloxyg batal. Änd

ε = 0.01.Bodolt: Todorxoïlolt ësoor ögögdsön ε too awaxad n > N baïx n xuw´d

∣

∣

∣

∣

2n

4n + 5−

1

2

∣

∣

∣

∣

< εtän äl bi² bielägdäx N = N(ε) dugaar oloxod xüräl äätäï.Ändääs

n >5

8ε−

5

4gäj garna. Tägwäl

N = N(ε) =

[

5

8ε−

5

4

]

=

[

5

8 · 0.01−

5

4

]

= [245]Iïmd ögögdsön daraallyn gi²üüd 245 dax´ gi²üünääsää äxlääd 1

2

�ääs 0.01�ääsbaga toogoor ¶lgagdana gäsän üg. Bidniï xaïsan ε dugaar oldson tul batgalgaaduusq

limnto∞

xn = limn→∞

2n

4n+ 5 =

1

2bolow. 9

Ji²ää 6: xn =1

5n + 1

tögsgölgüï baga xämjigdäxüün boloxyg xaruul.Bodolt: Üüniï tuld limn→∞

xn = 0 gäj xaruulax xärägtäï. Duryn baga äeräg εtoo aw³¶. n > N baïx n�iïn xuw´d

∣

∣

∣

∣

1

5n + 1− 0

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

1

5n + 1

∣

∣

∣

∣

=1

5n + 1< εnöx öl bielägdäx N toog oloxod xüräl äätäï.Bodlogyn nöx löös n >

1

5ε−

1

5

bolox ba ε = 0.01 üed N = 19 gäj oldono.Ändääs ögögdsön xämjigdäxüün tögsgölgüï baïga xämjigdäxüün bolno.

10

Däd daraalal

{xn} toon daraalal, k1 < k2 < . . . < kn < . . . kn ∈ N aw³¶.

{xn}-yn gi²üüdääs, k1, . . . , kn daraallyn gi²üüdäd xargalzax dugaartaïgi²üüdiïg tärxüü ärämbäär n´ baïrluulaxad üüsäx {xnk} gäsän toon daraallyg

{xn}-yn däd daraalal gänä.Tuxaïlbal: {(−1)n} daraalal n´ {1} = {1, 1, . . . , 1, . . .},{−1} = {−1,−1, . . . ,−1, . . .} gäsän xoër däd daraalaltaï.

�mar q daraalal n´ ööriïnxöö däd daraalal bolno.Thr1: Xärwää {xn} → a niïlj baïwal tüüniï duryn däd daraalal {xnk} n´mön a tooruu niïlnä.Thr2: Xärwää {xn}-yn büx bolomjit {xnk

} däd daraalluud n´ niïläx daraalalbaïwal tädgäär {xnk} däd daraalluud n´ nägän ijil x¶zgaartaï baïx bögöödtär n´ ögögdsön {xn} daraallyn x¶zgaar baïna.Thr3: Xärwää {xn} n´ IBD baïwal tüüniï duryn däd daraalal ∀{xnk

} n´ mönIBD baïna. 11

Daraallyn x¶zgaaryn ägXärwää A ägiïn duryn jijig orqind {xn}-aas tögsgölgüï olon toonygi²üün aguulagdaj baïwal A-g {xn}-yn x¶zgaaryn äg gänä.

Xärwää {xn}-aas a ägrüü tämüülj baïgaa {xnk}- yg tüüwärlän awq boloxbaïwal a toog {xn}-yn x¶zgaaryn äg gänä.

Zaaglagdsan daraalal büxän dor xa¶j näg x¶zgaaryn ägtäï baïna.

{xn}�yn x¶zgaaryn ägüüdiïn xamgiïn ixiïg n´ änä daraallyn dääd x¶zgaar,xamgiïn bagyg n´ dood x¶zgaar gäx bögööd x = limn→∞

xn, x = limn→∞

xn gäjtämdäglänä.Xärwää {xn} n´ niïläx bögööd x¶zgaar n´ limn→∞

xn = a bolx = lim

n→∞xn = x = lim

n→∞xn = a12

Thr: Bol´ ano-Weïer²tassyn thr: Zaaglagdsan daraalal büxnääs niïlj baï-gaa däd daraallyg ¶magt tüüwärlän awq bolno.

Daraallyn niïläx Ko²iïn ²inj:Def: Xärwää {xn}-yn xuw´d ∀ε > 0 awaxad N < n dugaar, ∀p ∈ N toonyxuw´d |xn+p−xn| < ε nöx öliïg xangasan N = N(ε) too oldox bol {xn}-ygfundamental´ daraalal gänä.Thr: Kriteriï Ko²i: Daraallyn niïläx ⇐⇒ n´ ug daraalal fundamen-tal´ daraalal baïx ¶wdal µm.Bagasaj baragda²güï xämjigdäxüünDef1: Täg uruu tämüülj baïgaa xuw´sax xämjigdäxüüniïg bagasaj baragda²güïxuw´sax xämjigdäxüün gänä.Def2: Xäräw ∀ε > 0 too awaxad N(ε) < n-iïn xuw´d |αn(x)| < ε tän äl bi²bielj baïxaar N(ε) oldox bol αn(x) xämjigdäxüüniïg BBX gänä.13

Thr: Xäräw XX xn n´ a gäsän tögsgölög x¶zgaartaï bol ¶lgawar xn−a n´ BBXbaïna.(Xäräw XX xn ba togtmol too a xoëryn ¶lgawar n´ BBX baïwal a n´

xn XX�iï x¶zgaar bolno.)Mr: Xäräw XX xn n´ a gäsän tögsgölög x¶zgaartaï baïwal xn = a + αn baïna.Üünd: αn-BBX h1: Tögsgölög toony BBX-iï niïlbär n´ BBX baïna.Def: Xäräw XX xn-iïn büx utguud n´ absolµt xämjigdäxüünäärää ¶mar näg tögs-gölög too M -ääs ixgüï baïwal xn-iïg zaaglagdsan XX gänä. |xn| ≤ M.Ji²ää: xn = 1 +1

n

XX n´ |xn| =

∣

∣

∣

∣

1 +1

n

∣

∣

∣

∣

≤ 2 uqir zaaglagdsan XX baïna. h2: Zaaglagdsan XX-iïg BBX-äär ürjüüläxäd BBX garna. h3: Duryn toony BBX-iï ürjwär n´ mön BBX baïna.14

Ixsäj baragda²güï xämjigdäxüünDef1: X¶zgaargüï uruu tämüülj baïgaa xuw´sax xämjigdäxüüniïg ixsäj barag-da²güï xuw´sax xämjigdäxüün gänä.Def2: Xäräw xiqnään q ix baïj bolox ∀E > 0 too awaxad N(E) < n baïx büx

n-üüdäd |xn| > E tän ätgäl bi² bielj baïxaar N(E)-natural too oldoxbol xn xämjigdäxüüniïg IBX gänä.Thr: Xäräw xn n´ IBX baïwal tüüniï urwuu xämjigdäxüün αn =1

xn

n´ BBXbaïna. X¶zgaaryn ündsän qanaruud

h1: Xäräw xn XX n´ tögsgölög a x¶zgaartaï ba a > p (a < q) baïwal xn n´¶mar näg todorxoï dugaaraasaa äxlän aa²ix büx dugaaruuddaa xn > p (xn <

q) baïna. h2: Xäräw XX xn n´ x¶zgaartaï baïwal tär n´ or gan baïna. h3: XX xn n´ tögsgölög x¶zgaartaï baïwal tär n´ zaaglagdsan baïna.15

h4: XX xn n´ xn ≥ 0 bögööd tögsgölög b x¶zgaartaï baïwal tär n´ b ≥0 baïna.Thr: Xärwää xn, yn, zn XX-üüd n´ xn ≤ yn ≤ zn nöx öliïg xangax bögööd

xn, zn n´ nägän ijil a tooruu tämüülj baïwal yn n´ mön a tooruutämüülnä.limx→0

sin x

x

x¶zgaaryn xuw´d ch4 ësoor1 = lim

x→01 ≥ lim

x→0

sin x

x≥ lim

x→0cos x = 1däärx Thr ësoor

limx→0

sin x

x= 1bolno. Änä x¶zgaaryg I gaïxam²igt x¶zgaar gänä. (gargalgaag un²)

16

Monoton daraalal tögsgölög x¶zgaartaï baïx nöx ölXäräw {xn} daraallyn gi²üüd n´ x1 < x2 < x3 < . . . tän ätgäl bi²iïgxangaj baïwal ösöx, x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ . . . tän ätgäl bi²iïg xangaj baïwal ül buuraxdaraalal gänä.Xäräw {xn} daraallyn gi²üüd n´ x1 > x2 > x3 > . . . (x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ . . . .)tän ätgäl bi²iïg xangaj baïwal buurax (ül ösöx) daraalal gänä.

Thr: Xärwää ül buurax (ül ösöx) daraalal däärääsää (dooroosoo) zaaglagdsanbaïwal tögsgölög x¶zgaartaï baïx ba däärääsää (dooroosoo) zaaglagdaagüïbaïwal ∞ (−∞) uruu tämüülnä.lim

n→∞

(

1 +1

n

)n

= e ≈ 2, 72Änä tän ätgäliïn n n´ duryn bodit too x baïxad mön xüqin tögöldör baïna.17

limx→∞

(

1 +1

x

)x

= e ≈ 2, 72.(gargalgaag un²)1

x= α gäwäl x → ∞ üed α → 0

limx→∞

(

1 +1

x

)x

= limα→0

(1 + α)

1

α = e ≈ 2, 72

18

Bagasaj baragda²güï xämjigdäxüüniïg ji²ix.

α(x), β(x)�g BBX gäj üz´elimx→a

α(x)

β(x)= A 6= 0Ji²ää: y = tg2x , y = x funk üüd x → 0 üed BBX.Uqir n´

limx→0

tg2x

x= lim

x→0

2 sin 2x

2xlimx→0

1

cos 2x= 21 6= 0baïna

limx→a

α(x)

β(x)= 0 äswäl lim

x→a

β(x)

α(x)= ∞ bol

Ji²ää: α(x) = x4 − 2x5, β(x) = 2x3 + 5x4 funk üüd x → 0 üed BBX.Ändääs

limx→0

x4(1 − 2x)

x3(2 + 5x)= lim

x→0

x4

x3limx→0

1

5

(

−2 +9

5x + 2

)

= 0−2

5= 0gäj garna. 19

limx→a

α(x)

[β(x)]k= A 6= 0

Ji²ää: α(x) = 2x8 + 3x11, β(x) = 3x2 − x3 − 2x4 funk üüd x → 0 üedBBX.Tägwäl

limx→0

α(x)

[β(x)]4 = limx→0

2x8 + 3x11

3x2 − x3 − 2x4= = lim

x→0

x8(2 + 3x3)

x8(3 − x − 2x2)=

2

816= 0

limx→a

α(x)

β(x)= 1 bol α(x) ∼ β(x) gänä.

Ji²ää: x, sin x funk üüd x → 0 üed BBX.limx→0

sin x

x= 1änd sin x ∼ x. 20

x → 0 üedtgx ∼ x

arcsin x ∼ x

arctgx ∼ x

ex − 1 ∼ x

ln(1 + x) ∼ x

(1 + x)m − 1 ∼ mx

21