Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G.

UCLA. DECANATO DE INGENIERÍA CIVIL Y URBANISMO

PROF. FRANK ARANGUREN G.

TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

DIFERENCIABILIDAD

Se dice que una función f es diferenciable en x1, si existe la derivada en x1, en otras palabras, la función f es

diferenciable en x1 si f´(x1) existe.

En relación a este concepto se cumple que:

• Una función f es diferenciable en un intervalo abierto (a, b) si es diferenciable en todo número perteneciente al

intervalo (a, b).

• Si una función f es diferenciable en x1, entonces f es continua en x1.

• Si una función f es diferenciable en un intervalo I, entonces f es continua en el intervalo I.

• Una función polinómica es continua y diferenciable en todo R.

EL TEOREMA DE ROLLE

Sea � una función tal que:

i) Sea continua en el intervalo cerrado [a, b].

ii) Sea diferenciable en el intervalo abierto (a, b).

iii) f(a) = f(b).

Entonces, existe un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que f´(c) = 0. En la siguiente figura se observa lo que

alude este teorema.

Es posible que exista más de un número c en el intervalo abierto (a, b) para el cual f´(c)=0.

Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G.

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Sea f una función tal que:

i) Sea continua en el intervalo cerrado [a, b].

ii) Sea diferenciable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que f c′′′′ ====( ) f(b) - f(a)

b - a

En la siguiente figura se observa lo que alude este teorema.

Es posible que exista más de un número c en el intervalo abierto (a, b) para el cual f c′′′′ ====( ) f(b) - f(a)

b - a.

EJERCICIOS RESUELTOS:

a) Verifique que la función dada satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo indicado. Halle todos

los puntos c que satisfagan la conclusión del teorema.

f(x) = x2 – 4x + 3; [ ]3 ,1

Solución:

Derivando la expresión se obtiene f´(x) = 2x – 4.

f(x) es una función polinómica, por lo que f´(x) existe para todos los valores de x. Luego f es diferenciable en

(-∞, +∞) y, por tanto, continua en (-∞, +∞). Las condiciones i) y ii) del Teorema de Rolle se cumplen en cualquier

intervalo.

Material elaborado por Ing. Frank Aranguren G.

Por otro lado, f(1) = 12 – 4.1 + 3 = 0 y f(3) = 3

2 – 4.3 + 3 = 0. Se cumple la condición iii) del Teorema de Rolle.

Para hallar el valor de c al cual alude la conclusión del teorema hacemos f´(c) = 0 y se obtiene

f´(c) = 2c – 4 = 0, y de aquí c = 2.

b) Verifique que la función dada satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio en el intervalo indicado. Halle

todos los puntos c que satisfagan la conclusión del teorema.

f(x) = x2 + 2x - 1; [ ]1 , 0

Solución:

Derivando la expresión se obtiene f´(x) = 2x + 2.

f(x) es una función polinómica, por lo que f´(x) existe para todos los valores de x. Luego f es diferenciable en

(-∞, +∞) y, por tanto, continua en (-∞, +∞). Las condiciones i) y ii) del Teorema del Valor Medio se cumplen en

cualquier intervalo.

Por otro lado, f(0) = 02 + 2.0 – 1 = -1 y f(1) = 1

2 + 2.1 – 1 = 2.

Entonces, 31

)1(2

01

)0(f)1(f=

−−=

−

−

Para hallar el valor de c al cual alude la conclusión del teorema hacemos f´(c) = 3 y se obtiene

f´(c) = 2c + 2 = 3, y de aquí c = 1/2.

EJERCICIOS PROPUESTOS:

a) Verifique que la función dada satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo indicado. Halle todos

los puntos c que satisfagan la conclusión del teorema.

f(x) = x3 – 2x

2 – x + 2; [ ]2 , 1

b) Verifique que la función dada satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio en el intervalo indicado. Halle

todos los puntos c que satisfagan la conclusión del teorema.

f(x) = x3 + x

2 - x; [ ]1 , 2−