Upload
sriwijaya-university
View
712
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Makalah Aljabar
Polinomial (Suku Banyak)
Disusun Oleh :
Kelompok 2
1. Qonitha Amalia (06081281419030)
2. Desty Rupalestari ( 0608128419031)
3. Sholihatun Nisa’ (06081281419033)
Fakultas Keguruan dan Ilmu pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sriwijaya
Polinomial ( Suku Banyak )
1. Pengertian dan Nilai Suku Banyak
A. Pengertian Suku Banyak
Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak
dalam x berderajat n dinyatakan dengan:
an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + .... + a1 x+a0
Dengan syarat n ∈ bilangan cacah an , an−1 , …a0 disebut koefesien-koefesien suku
banyak, a0 disebut suku tetap dan an ≠ 0.
Contoh :
1) 6x3 – 3x2+ 4x – 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien x3adalah 6, koefisien
x2 adalah –3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya –8.
2) 2x2 – 5x + 4 – 7x adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatif yaitu
7x atau 7
x−1dengan pangkat –1 bukan anggota bilangan cacah.
B. Nilai Suku Banyak
Suku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikut ini.
f (x)=an xn+an−1 xn−1+an−2 xn−2+....+a1 x+a0
di mana n bilangan cacah dan ∈ an ≠ 0. Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku
banyak. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.
1) Cara substitusi
Misalkan suku banyak f (x)=ax3+bx2+cx+d. Jika nilai x diganti k, maka
nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f (k )=ak3+bk2+ck+d. Agar lebih
memahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.
1. f (x)=2 x3+4 x2 – 18 untuk x = 3
2. f (x)=x4+3 x3 – x2+7 x+25 untuk x = –4
Penyelesaian :
1. f (x)=2 x3+4 x2 – 18
f (3)=2. 33+4.32 – 18
f (3)=2.27+4.9 – 18
f (3)=54+36 – 18
f (3)=72
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.
2. f ( x )=x4+3x3 – x2+7 x+25
f ( – 4 )=(−4 )4+3(−4)3 – (−4)2+7 (– 4)+25
f (−4 )=256 –192 –16 – 28+25
f (– 4)=45
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = –4 adalah 45.
2) Cara Horner/bangun/skema/sintetik
Misalkan suku banyak f (x)=ax3+bx2+cx+d . Jika akan ditentukan nilai suku banyak
x=k , maka:
f (x)=ax3+bx2+cx+d
f (x)=(ax2+bx+c )x+d
f (x)=((ax+b)x+c )x+d
Sehingga f (k )=((ak+b)k+c )k+d .
Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut:
bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan
menjadi pembagi-pembagi berderajat
1. Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga
konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x,
dan konstanta)
2. Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien
derajat tertinggi P(x) Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3
+ P1.S2 + S1 dan seterusnya.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
1. f (x)=x3+2 x2+3 x – 4 untuk x=5
2. f (x)=2 x3 – 3 x2+9x+12untuk x = 12
Penyelesaian :
Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.
2.
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 12 adalah 16.
3) Cara koefisien tak tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
contoh soal
1. 2x3−3 x2+ x+5dibagi 2x2-x-1 menggunakan cara koefesien tak tentu
karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2 x3 – 3 x2 + x + 5 = (2 x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d
= 2ax3 + (2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
x3 → 2 = 2a → a = 2/2 = 1
x2 → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4
C. Operasi Antar Suku Banyak
1. Penjumlahan, Pengurangan, dan Pembagian
Penjumlahan atau pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat
ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis dari kedua suku
banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan
dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua suku banyak itu.Dalam mengalikan suku-suku
dari kedua suku banyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif perkalian
terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.
Contoh:
Diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan
F (x)=x3+x2−4 dan g(x )=x3−2 x2+x+2
a) Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya b) Tentukan f(x) - g(x) serta derajatnya
c) Tentukan f(x). g(x) serta derajatnya
Penyelesaian:a) F (x)+g(x )=( x¿¿3+x2−4)+( x3−2x2+x+2)¿
= (x¿¿3+x3)+( x2−2 x2 )+x+(−4+2)¿
= 2 x3−x2+x – 2
Jadi, f (x)+g(x )=2 x3−x2+x – 2dan f (x)+g(x ) berderajat 3
b) F (x) – g(x )=( x¿¿3+x2−4)−(x3−2 x2+x+2)¿
=(x¿¿3−x3)+¿¿
=3 x2−x – 6
Jadi, f (x)−g (x)¿3 x2− x –6dan f (x) – g(x )berderajat 2
c) F (x) . g (x)¿¿¿
=x3 ( x3−2x2+x+2 )+ x2 ( x3−2 x2+x+2 )−4¿¿
=x6−2 x5+x4+2x3+x5−2 x4+x3+2 x2−4 x3+8 x2−4 x−8
=x6+(−2 x5+x5 )+( x4−2 x 4 )+(2 x3+x3−4 x3 ) (2x2+8 x2−4 x−8 )
= x6−x5−x4−x3+10 x2 – 4 x –8
Jadi, f (x) . g¿ dan f(x).g(x) berderajat 6
2. Kesamaan suku banyak
Suku banyak f(x) memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x) , jika kedua suku banyak
itu mempunyai nilai yan sama untuk semua variabel x bilangan real. Kesamaan dua suku
banyak f(x) dan g(x) itu ditulis sebagai
F (x)≡ g(x )
Dengan lambang ≡ dibaca kesamaan
Misalkan diketahui dua buah suku banyak f(x) dan g(x) yan dinyatakan dalam bentuk
umum.
f(x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + .... + a1 x+a0
g(x) =bn xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + .... + b1 x+b0
Jika f(x) mempunyai kesamaan dengan g(x), ditulis f(x) ≡g(x), maka berlaku hubungan
an=bn, an−1=bn−1 , …, a2=¿ b2, a1=¿ b1, dan a0=¿ b0
Contoh
Tentukan nilai a pada kesamaan x2−3 x+14=(x−1)(x−2)+3a
Penyelesaian: Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan
x2−3 x+14 ≡ x2−3 x+2+3a
x2−3 x+14=x2−3 x+(2+3 a)
Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh :
14=2+3a
a=4
Jadi, nilai a pada kesamaan x2−3 x+14≡ x2−3 x+2+3a adalah a=4
3. Pembagian suku banyak
A. Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian
Sebagai ilustrasi, misalkan bilangan 4369 dibagi dengan 14 dapa diselesaikan dengan
metode bersusun pendek seperti diperlihatkan pada bagan dibawah. Dari bagan ini terlihat
bahwa 4369 dibagi dengan 14 memberikan hasil 312 denan sisa pembagian 1.
4.369=14 x 312+1
yang dibagi Pembagi hasil bagi sisa pembagian
Dengan demikian dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut.
Yang dibagi=pembagi xhasil bagi+sisa pembagian
Ternyata pembagian bilangan bersusun pendek dapa diaplikasikan pada pembagian
suku banyak. Sebagai ilustrasi, misalnya suku banyak x3−7 x2+4 x+50 dibagi dengan
x−3 akan diselesaikan dengan metode bersusun pendek.
hasil bagi
yang dibagi
pembagi
Contoh : sisa pembagian
Dengan menggunakan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian
suku banyak f (x)=2x3+4 x2−18 oleh x−3
Penyelesaian
Hasil bagi
Yang dibagi
Pembagi
Sisa pembagian
Dari bagan diatas,diperoleh hasil baginya 2 x2+10 x+30dengan sisa pembagian72.
Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear (ax+b)
Pembagian suku banyak dengan pembagi (x – k ) yang telah kamu pelajari, dapat
dijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi (ax+b).
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian berikut ini.
Suku banyak f (x) dibagi (x – k ) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k)
sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga f (x)=(x – k )h(x)+ f (k ). Pembagian
suku banyak f(x) dibagi (ax + b), dapat diubah menjadi bentuk f (x) dibagi
x – (−ba
) Berarti, nilaik=ba , sehingga pada pembagian suku banyak f (x) tersebut
dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.
f (x)=x(−ba
)h(x) f (−−ba
)
f (x)=(x+ ba) . h(x)+ f (−b
a)
f (x)=1a(ax+b). h(x )+ f −b
a¿
f (x)=(ax+b .) h (x)a
+ f (−ba
)
Suku banyak f (x) dibagi (ax+b) menghasilkan h(x)
a sebagai hasil bagi dan F (−b
a)
sebagai sisa pembagian, sehingga f (x)=(ax+b) . h (x)a
+ f (−ba
) . Untuk lebih jelasnya,
perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.
1. f (x )=2 x3+x2+5 x – 1dibagi (2x –1)
2. f (x )=2 x3+x2+x+10dibagi(2 x+3)
Penyelesaian
1. f (x)=2x3+x2+5 x – 1 dibagi (2 x –1)dengan cara horner sebagai berikut.
f ( x )=(x – 12 )( 2 x2+2x+6 )+2
¿( 2 x−12 ) (2 x2+2 x+6 )+2
¿(2 x – 1)(x2+x+3)+2
2. f (x)=2x3+x2+x+10 dibagi (2 x+3) dengan cara horner sebagai berikut.
Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (ax2+ bx + c)
Pembagian suku banyak dengan a x2+bx+c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan
cara biasa apabila a x2+bx+c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax2+ bx + c dapat
difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Misalkan, suatu suku banyak f (x) dibagi a
x2+bx+c dengan a ≠ 0 dan dapat difaktorkan menjadi (ax – p1)(x – p2). Maka, pembagian
tersebut dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.
Contoh soal :
1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika x4+x2−16 dibagi oleh x2+3 x+2
Karena x2+3 x+2 dapat difaktorkan , maka ada 2 cara penyelesaiannya :
1. cara susun biasa
2. cara horner
x2+3 x+2√x 4+ x2−16 = x2−6 x+17 cara susun
x4+6 x3+2 x2
−6 x3−x2−16
−6 x3−18 x2−12 x
17 x2−12 x−16
17 x2+51 x+34
−63 x−50
Jadi hasil dari pembagian x4+x2−16 oleh x2+3x+2 ialah
x2−6 x+7 dan sisanya −63 x−50
2. Pembagian (x3– x2 + 4x – 4) oleh (x2 – 1) dapat dituliskan sebagai berikut:
P(x) = (xx2 – 1 ) H(x) + sisa
= (x + 1) (x – 1) H(x) + (A1x + A0)
untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(1) ) = A1 + A0
untuk x = –1 diperoleh, P(–1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(–1)) = – A1 + A0
Dari pembagian Horner ini diperoleh :
Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1x, yaitu –5 + 5x.
3. Tentukan cara Horner 2 x3−3 x2+x+5dibagi 2x2-x-1
P(x) = 2 x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P1: 2x + 1 = 0 → x = –½
P2: x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:
H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4
Teorema Faktor Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi
dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips:
Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan
mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa =
0
Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1
Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka
pasti salah satu akarnya adalah x = –1
Contoh:
1. Tentukan penyelesaian dari x3 – 2 x2 – x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1
adalah salah satu faktornya, jadi:
Jadi x3 – 2 x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1 x = 2 x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}
Menguraikan Dalam Faktor
Ia. ab + ac – ad = a (b+c-d)
Ib. ac+ ad+bc+bd = a (c+d) + b(c+d)
= (a+b) (c+d)
II. A2−B2 = (A+B) (A-B)
III.A2 ± 2 AB+B2 = ( A ± B)2
IVa. A3 + 3A2 B+3 A B2+B3 = ( A+B)3
IVb. A3 - 3A2 B+3 A B2−B3 = ( A−B)3
Va. A3 - B3= (A-B) (A2+ AB+B2)
Vb. A3 + B3= (A+B) (A2−AB+B2)
VIa. An −Bn = (A-B) ( An−1+ An−2+…+Bn−1)
VIb. A2 n−B2n= ( A+B ) ( A2n−1−A2 n−2+…−B2n−1 )
VIc. A2 n+1+B2 n+1=( A+B ) ¿)
VII. A2+( p+q ) A+ pq=( A+ p )(A+q)
Sifat Akar-Akar Suku Banyak
1. Pada persamaan berderajat 3 :
ax3+ bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3
dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = −ba
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = ca
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = −da
2. Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2+ dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4
dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = −ba
Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = ca
Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = −da
Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = ea
Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk
persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)
Pembagian Istimewa :
Latihan Soal :1. Hitunglah!
a. (a−b+c)10−(−a+b−c)10 ; b. (a−2 b−3 c)7−(−a+2b+3 c)7.
2. Buktikanlah bahwa (−1)n(n+1 )=1.3. ( x4−3 x3+4 x2+7 x−9 ) : ( x−5 ) . Kerjakan secara Horner ! 4. Tetapkan harga k dan l agar, x5−4 x4+7 x3−9 x2+kx+ ldapat dibagi oleh (x−2)2 .
5. Tentukan harga A dan B, agar berlaku :
A(2x-3)+ B(x+2)= 5x-11
6. Buktikan bahwa a3+b3+c3−3 abc dapat dibagi dengan a+b+c, tanpa melakukan
pembagian tersebut.
7. Hitunglah sisa pembagian x6−1 oleh ( x+1 )(x−2)
Djabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini :
8. 3 ab3−b2 (2 a2+3b )+2a2 (2 a+b2−3 )−3b3(a−1)9. (x2−2 xy+ y2)(x2−3 x2 y+3 x y2− y3)
Tetapkanlah hasil bagi-hasil bagi yang berikut :
10. (a3−5 a2−4 a−40 ) :(a+4)
Kunci Jawaban :
1. A. 0
B.2(a−2 b−3c)7
2.(−1)n(n+1)=1 ¿
n=ganjil
(−1 ) ganjil2 (−1 )ganjil=1
(−1)ganjil (−1)ganjil=1
(−1 ) (−1 )=1
n=genap
(−1 ) genap2
(−1)genap=1
¿1) (-1) = 1
3. ( x3+2 x2+14 x+77 ) ( x−5 )+376
4. k=0 dan l=12
5. A=43
dan B=73
6. clue :(a+b+c)3=a3+b3+c3−3abc(a+b+c)
7. 11 x2+10 x−18. 4 a3−6 a2
9. x4−3x4 y+9 x3 y2−2x3 y−7 x2 y3+x2 y2−5 x y4−3x2 y3− y5
10. h asil bagi x2−9 x+32 sisa−168
DAFTAR PUSTAKA
Usodo,budi dan Sutrima.2009.Wahana MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengan
Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam.Jakarta: CV.HaKa MJ.
Widjenes,P.1968.Aljadbar Rendah. Djakarta: PradnjaPramita
Wirodikromo,sartono.2007.Matematika untuk Sma Kelas XI.Jakarta: Erlangga.
.