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6 Funciones reales. Propiedades globales
1. Formas de expresar una función
2. Funciones reales de variable real. Dominio y
recorrido de una función
3. Monotonía
4. Extremos relativos
5. Funciones acotadas. Extremos absolutos5. Funciones acotadas. Extremos absolutos
6. Funciones simétricas
7. Tendencias de una función. Asíntotas. Ramas
infinitas
8. Operaciones con funciones. Composición de
funciones
9. Función inversa
6 Funciones reales. Propiedades globales1. Formas de expresar una función
Crecimiento de una planta en
función del tiempo:
6 Funciones reales. Propiedades globales1. Formas de expresar una función
• Mediante un enunciado: se nos proporciona una visióndescriptiva y cualitativa de la relación funcional.
6 Funciones reales. Propiedades globales2. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido de una función
Una función entre dos conjuntos numéricos, A conjunto inicial y B
conjunto final, es una correspondencia por la cual a cada elemento de
un subconjunto de A, llamado dominio de la función y denotado por
Dom f, le corresponde UN ELEMENTO Y SOLO UNO de un subconjunto
de B, llamado imagen o recorrido de f, y denotado por Im f.
Una función se puede expresar de la forma:Una función se puede expresar de la forma:
La variable independiente se denota por x y la variable dependiente
por y.
6 Funciones reales. Propiedades globales2. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido de una función
Los dominios de funciones elementales:
FUNCIÓN DEFINICIÓN DOMINIO
Polinómica
Racional
Irracional
Exponencial
6 Funciones reales. Propiedades globales2. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido de una función
Los dominios de funciones elementales:
FUNCIÓN DEFINICIÓN DOMINIO
Logarítmicas
TrigonométricasTrigonométricas
Imagen: [-1,1]
6 Funciones reales. Propiedades globales4. Extremos relativos
El máximo de una función se dice que es absoluto si en dicho punto la
función toma el valor mayor de todo su dominio.
El mínimo de una función se dice que es absoluto si en dicho punto la
función toma el valor menor de todo su dominio.
6 Funciones reales. Propiedades globales4. Extremos relativos
ENUNCIADO Estudiar el dominio, recorrido, la monotonía y los extremos de la
siguiente función.SOLUCIÓN
Dom[f(x)] = R – {-2}
Im[f(x)] = R
Monotonía:Monotonía:
Creciente en (-inf, -2)U(-2,2)
Decreciente en: (2,5)
Constante en: [5, +inf)
Extremos:
Máximo relativo en el punto (2,4)
6 Funciones reales. Propiedades globales4. Extremos relativos
ENUNCIADO Estudiar el dominio, recorrido, la monotonía y los extremos de la
siguiente función.SOLUCIÓN
Dom[f(x)] = [0, 8]
Im[f(x)] = [2, 4]
Monotonía:Monotonía:
Creciente en (0,2)U(3,4)U(4,8)
Decreciente en: (2,3)
Extremos:
Máximos absolutos en (2,4) y (4,4)
Mínimo absoluto en (0,2)
Mínimo relativo en (3,3)
6 Funciones reales. Propiedades globales5. Funciones acotadas. Extremos absolutos
Decimos que una función f está acotada cuando está acotada superior e
inferiormente.
Función acotada ya que está acotada superior e inferiormente.
6 Funciones reales. Propiedades globales5. Funciones acotadas. Extremos absolutos
Decimos que una función f está acotada cuando está acotada superior e
inferiormente.
Cotas superiores: no hay
Supremo: no hay (menor cota sup)
Máximo: no hayMáximo: no hay
Función no acotada ya que está acotada inferiormente pero no
superiormente.
6 Funciones reales. Propiedades globales6. Funciones simétricas
NOTA: la única función
que puede ser par e impar
a la vez es f(x)=0.
El resto de funciones solo
pueden tener un tipo de
simetría.
6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones
Dada una función f, con dominio Dom f, definimos:
• La función producto de un número real t por la función f, tf, de la
forma:
• La suma de las funciones f y g, que representamos por f + g, de la
forma:
6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones
Dada una función f, con dominio Dom f, definimos:
• El producto de las funciones f y g, que representamos por f · g, de la
forma:
• El cociente de las funciones f y g, que representamos por f/g, de la
forma:
6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones
SOLUCIÓN
6 Funciones reales. Propiedades globales9. Función inversa
Una función y su inversa verifican las siguientes propiedades:
• f ◦ f –1 = f –1 ◦ f = i.
• Las gráficas de f y de f–1, referidas al mismo sistema de
coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primer
cuadrante.