Matemáticas discretas M. C. Leonardo Gabriel Hernández Landa

Justificación

• Esta asignatura tiene como finalidad proveer al estudiante de los elementos que componen el lenguaje simbólico de las matemáticas discretas indispensable para plantear, facilitar el análisis y la solución de problemas de alta complejidad.

Objetivos

• El alumno será capaz de comprender los conceptos y el lenguaje básico de la matemática universitaria, aplicando modelos y herramientas para el razonamiento y solución de problemas.

• Conocimiento previo

Algebra Elemental

Objetivos

• El alumno será capaz de comprender los conceptos y el lenguaje básico de la matemática universitaria, aplicando modelos y herramientas para el razonamiento y solución de problemas.

• Conocimiento previo

Algebra Elemental

Temario

• Conjuntos y conteo.

• Principios de lógica.

• Demostraciones.

• Planteamientos y problemas.

• Teoría de grafos y árboles.

• Modelos de redes y redes petri.

Bibliografía

• Lógica matemática para informáticos. EJERCICIOS resueltos, HORTALA González Teresa, 2008, Pearson/Prentice Hall

• Matemáticas Discretas (Schaum), LIPSCHUTZ, Seymour / Marc Lipson, 2007 , Mc Graw Hill Interamericana De México

• Matemáticas discretas con teorías en graficas y combinatoria, VEERARAJAN, T., 2008, MC Graw Hill Interamericana De México

Evaluación

Tópico Valor

Examen 40

Tareas 40

Asistencia 20

CONJUNTOS Y CONTEO

4 horas teoría

4 horas práctica

INTRODUCCIÓN

• El concepto de conjunto aparece en todas las matemáticas. Por ello es que conviene iniciar con la notación y la terminología básicas de la teoría de conjuntos, las cuales se utilizan en todo el texto.

Conjunto

• Un conjunto es una colección bien definida de objetos, que se denominan elementos o miembros del conjunto. Las letras mayúsculas A, B, X, Y, . . . , denotan conjuntos y las minúsculas a, b, x, y, . . . , denotan elementos de conjuntos.

• Ejemplo: el alumno a pertenece al grupo A

Pertenencia

La pertenencia a un conjunto se denota:

• a ∈ S denota que a pertenece al conjunto S.

• a, b ∈ S denota que a y b pertenecen al conjunto S.

• Aquí ∈ es el símbolo para indicar “es un elementos de” y ∉ significa “no es un elemento de”.

Hay dos formas para especificar un conjunto particular.

• Una forma, de ser posible, consiste en enumerar sus elementos separados por comas y escritos entre llaves { }.

• La segunda es escribir las propiedades que caracterizan a los elementos del conjunto.

A = {1, 3, 5, 7, 9}

• Es decir, A consta de los elementos 1, 3, 5, 7, 9.

B = {x | x es un entero par, x > 0}

• B es el conjunto de x tal que x es un entero par y x es mayor que 0, denota el conjunto B, cuyos elementos son los enteros pares positivos.

El conjunto A anterior también se escribe como:

A = {x | x es un entero positivo impar, x < 10}.

Aunque no es posible listar todos los elementos del conjunto B anterior, a este conjunto se le especifica como:

B = {2, 4, 6, . . .}

Subconjuntos

• Suponga que todo elemento de un conjunto A también es un elemento de un conjunto B; es decir, si a ∈ A implica que a ∈ B. Entonces se dice que A es un subconjunto de B.

A ⊆ B o B ⊇ A

Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos o si cada uno está contenido en el otro.

A B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A

EJEMPLO

• Considere los conjuntos:

A {1, 3, 4, 7, 8, 9}, B {1, 2, 3, 4, 5}, C {1, 3}.

• Entonces C ⊆ A y C ⊆ B, ya que 1 y 3, los elementos de C, también son miembros de A

y B. Pero 𝐵 ⊈ 𝐴, puesto que algunos elementos de B, por ejemplo, 2 y 5, no pertenecen a A. En forma semejante, 𝑨 ⊈ 𝑩.

Teorema 1.1

Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. Entonces:

• i) A ⊆ A

• ii) Si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B

• iii) Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C

Símbolos especiales

• N = conjunto de números naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, . . .

• Z = conjunto de todos los enteros: . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .

• Q = conjunto de números racionales

• R = conjunto de números reales

• C = conjunto de números complejos

Observe que N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.

Conjunto universo y conjunto vacío • Todos los conjuntos que se estudian en

cualquier aplicación de la teoría de conjuntos pertenecen a un gran conjunto fijo denominado universo, que se denota por

𝕌 • Un conjunto que no tiene elementos se

denomina conjunto vacío o conjunto nulo y se denota por

Ø

Teorema 1.2

•Para cualquier conjunto A, se tiene

Ø ⊆ A ⊆ U.

Conjuntos ajenos o disjuntos

• Dos conjuntos A y B son ajenos o disjuntos, si no tienen elementos en común. Por ejemplo, suponga

A {1, 2}, B {4, 5, 6} y C {5, 6, 7, 8}.

• Entonces A y B son ajenos, y A y C son ajenos. Pero B y C no son ajenos porque B y C tienen elementos en común, 5 y 6.

DIAGRAMAS DE VENN

• Un diagrama de Venn es un gráfico donde los conjuntos se representan con regiones encerradas en un plano.

• Aquí el conjunto universo U es el interior de un rectángulo y los otros conjuntos se representan por círculos dentro del rectángulo.

OPERACIONES CON CONJUNTOS • La unión de dos conjuntos A y B, que se

denota por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B; es decir,

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

• La intersección de dos conjuntos A y B, que se denota por A ∩ B , es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B; es decir,

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

• A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

• A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

Disjunción

• Los conjuntos A y B son disjuntos o ajenos si no tienen elementos en común o, al aplicar la definición

• de intersección, si A ∩ B = Ø

EJEMPLO

Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} y

C = {2, 3, 8, 9}. Entonces

• A∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

• A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 8, 9}

• B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

• A ∩ B = {3, 4},

• A ∩ C = {2, 3},

• B ∩ C = {3}.

C1

EJEMPLO

• Sean U el conjunto de estudiantes en una universidad, M el conjunto de estudiantes varones y F el conjunto de estudiantes mujeres. U es la unión disjunta de M y F; es decir,

U = M ∪ F y M ∩ F = Ø

• Teorema : Para dos conjuntos A y B arbitrarios, se tiene:

• i) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B y

• ii) A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B.

• Teorema: Las siguientes expresiones son equivalentes: A ⊆ B,

A ∩ B = A, A ∪ B = B.

Complementos, diferencias y diferencias simétricas • El complemento absoluto o, simplemente, el

complemento de un conjunto A, denotado por 𝐴𝑐, es el conjunto de elementos que pertenecen a U, pero que no pertenecen a A. Es decir,

𝐴𝐶 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑼, 𝑥 ∉ 𝐴}

En algunos textos el complemento de A se denota por A’ o 𝐴 .

Complemento relativo

• El complemento relativo de un conjunto B respecto de un conjunto A o, simplemente, la diferencia de A y B, denotada por A\B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B; es decir,

• A\B = {x | x ∈ A, x ∉B}

Diferencia simétrica

• La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, denotada por A ⊕ B, consta de los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos. Es decir,

• A ⊕ B = (A ∪ B)\(A ∩ B) o

• A ⊕ B = (A\B) ∪ (B\A)

Leyes de la algebra de conjuntos

• Utiliza las propiedades que conoces para resolver las siguientes cuestiones:

• Demuestra que A = (A ∩ B) ∪ (A-B)

• Demuestra que (A-B) ∩ (A-C) = A - (B ∪ C)

• Demuestra que A- (B∩C) = (A – B) ∪ (A - C)

SIMPLIFICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES • ((A ∩ B) ∩ C) ∪ ((A ∩ B) ∩ C’) ∪ (A’ ∩ B)

• (A ∩ (B ∩ C’)’) ∪ ((A’ ∪ B’) ∪ C)’

CONJUNTOS FINITOS Y PRINCIPIO DE CONTEO • Los conjuntos son finitos o infinitos. Se

dice que un conjunto S es finito si S es vacío o contiene exactamente m elementos, donde m es un entero positivo; en caso contrario, S es infinito.

EJEMPLO

a) El conjunto A de las letras del alfabeto español y el conjunto D de los días de la semana son conjuntos finitos. En específico, A tiene 29 elementos y D tiene 7 elementos.

b) Sea E el conjunto de enteros positivos pares, y sea I el intervalo unitario; es decir,

E = {2, 4, 6, . . .} e I = [0, 1] = {x | 0 ≤ x ≤ 1}

Así, tanto E como I son infinitos.