Contenidos de la Unidad I.

Notación Sigma:

Estas indican la sumatoria de una serie de términos que competen a una expresión

algebraica. En general la notación Σ, se usa para abreviar una SUMATORIA es decir una

suma de varios (o incluso un número infinito) de términos. Tiene muchas aplicaciones y

propiedades, una de las más importantes es la que se refiere a sus usos para aproximar el

área bajo la curva de una función.

Como por Ejemplo:

Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior

puede comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el

inferior.

Suma superior e inferior área bajo la curva:

Para calcular el área bajo una curva usaremos Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa

en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", las áreas se dividen en rectángulos y

para calcular el área de cada uno de ellos se incluye una parte del rectángulo que no

pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación. 

Integrales definidas:

En estas podemos definir la integral donde “a”(límite inferior) hasta “b”(límite superior),

donde F(x) es la función a integral y “dx” es la derivación a integrar.

Entonces la integral definida de f  de a hasta b es el número:

= .

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en

lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas,

se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aun

cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje

x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

Teorema del valor medio para las integrales:

Esta es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. En esencia el teorema

dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el

intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que

la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f

(b)).

Es decir:

Forma integral del Teorema del valor medio:

Para una función continua   en el cerrado , existe un valor   en dicho intervalo,

tal que1

Demostración:

 Dado que la función   es continua en el cerrado  , posee un valor máximo en dicho

intervalo para algún  , que llamaremos   y también un valor mínimo

en el mismo intervalo:   , para algún  .

Es decir   y  . Si consideramos

las áreas de los rectángulos con base   y altura   ó   tendremos la siguiente

desigualdad:

Lo que implica:

De donde se deduce que debe existir algún   para el cual la función   alcanza el

valor de la integral , es decir:

.

Teorema fundamental del cálculo:

En conclusión este teorema dice que el Diferencial y la Integral son inversos, el uno del

otro.

TEOREMAS:

Sustitución y cambio de variable:

Los cambios de variables son de una gran utilidad en el cálculo integral ya que no siempre

tendremos integrales inmediatas que se resuelvan por los diferentes teoremas ya que existen

expresiones que deben ser modificadas o expresadas de otra forma para su respuesta.

Sea   x2 + 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y

reemplazando nos queda: