Los números naturales - Material didáctico para matemáticas

Autor: Eugenio Marlon Evaristo Borja.

Bienvenidos a la Unidad II de Números Naturales

Nuestro Tema Transversal es Educación para la gestión de

riesgos y la conciencia ambiental

DIVERSIFICACIÓN CAPACIDADES Razonamiento y demostración

• Compara, ordena y representa números naturales

• Estima el resultado de operaciones con números naturales.

• Interpreta criterios de divisibilidad de los números naturales y las propiedades de los números primos y compuestos

• Realiza y verifica operaciones utilizando la calculadora, para reflexionar sobre conceptos y para descubrir propiedades de las operaciones con los números naturales.

Comunicación Matemática

• Identifica patrones numéricos, los generaliza y simboliza.

• Interpreta el significado de números naturales, enteros y racionales en diversas situaciones y contextos.

• Matematiza situaciones de contexto real, utilizando los números naturales, enteros o racionales y sus propiedades.

Resolución de problemas

• Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales y Ecuaciones lineales con una incógnita.

• Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones básicas.

• Resuelve problemas que requieran de los criterios de divisibilidad de los números.

• Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita.

• Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas.

CONOCIMIENTOS

Sistemas numéricos

• Representación, orden y operaciones con números naturales.

• Divisibilidad, propiedades de números primos y compuestos.

Álgebra

• Patrones numéricos.

• Ecuaciones lineales con una incógnita.

• Valor numérico de expresiones algebraicas.

Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

NÚMEROS NATURALES

¿Cuántas estrellas marinas hay?

Para conocer esta información nacen los

números naturales.


NÚMEROS NATURALES Los Números Naturales sirven para

contar, ordenar e informar.

El conjunto de los Números Naturales se representan por

ℕ = {1; 2; 3; 4; 5…}


El “0” no es un número natural pero por razones de uso lo

consideramos como tal.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …

NÚMEROS NATURALES

5000 +600+70+8=5678

En un número, cada cifra tiene un valor diferente,

según su posición.


5 6 7 8

1. Valor de posición de una cifra en un número.

8 unidades

70 unidades

600 unidades

5000 unidades

El valor de una cifra en un número depende del lugar que ocupa en la

escritura de un número.

<

NÚMEROS NATURALES 2. Comparación y orden

de números naturales.

5 6 7 8

7 9 7


5 6 7 8 5 6 7

5 6 7 9

7 9 7

Si los números tienen diferentes cantidades de cifras, es menor el número que menos cifras tiene.

8 u < 9u

7 d = 7d

6 c = 6c

5 UM = 5 UM

Si los números tienen la misma cantidad de cifras y queremos saber cuál es el mayor,

empezamos comparando las cifras de orden mayor hasta encontrar la diferencia entre

estos valores.

>

4 cifras 3 cifras

=

NÚMEROS NATURALES Para ordenar números los

colocamos de menor a mayor (>) o de menor a mayor (<).


3. Ordenar los números naturales.

El signo > significa “mayor que” El signo < significa “menor que”

• Dado los siguientes números: • 123; 345; 4562; 456

• De menor a mayor(Ascendente):

• 123 < 345 < 456 < 4562 • 4562 > 456 > 345 >123

• De mayor a menor (Descendente):

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

La suma de dos números naturales es otro número natural. Si: a, b ∈ℕ⇒(a + b)∈ℕ

7 + 13 =20 ∈ℕ


A. Adición de ℕ.

Conmutativa

Asociativa

Elemento Neutro

Monotonía

La Adición cumple las siguientes propiedades

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

23 + 45 = 45 + 23

68 = 68


A.1. Propiedad Conmutativa

La suma no cambia si se altera el orden de los sumandos.

En general: a + b = b + a

Realiza algunas operaciones puedes usar tu calculadora

para comprobar la propiedad.


(34 + 65) + 70 = 34 + (65 + 70)

99 + 70 = 34 + 135

169 = 169


A.2 Propiedad Asociativa

La suma de dos o más números agrupados de dos en dos no cambia si

las tomamos de 2 en 2.



En general: (a + b) + c = a + (b + c)


(88 + 0) = 88

0 + 15 = 15


A.3. Propiedad del Elemento Neutro

La suma de cualquier ℕ con cero es igual al mismo ℕ.



En general: a + 0 = a


88 = (60+28)

88 +12 = (60+28)+12

100 = 100


A.4. Propiedad de Monotonía

Si a ambos miembros de una igualdad se le suma una misma cantidad, la

igualdad continua.



En general: Si a=b

a + c = b + c


La sustracción de dos números naturales es otro número natural si el minuendo es mayor que el sustraendo.

Si: a, b ∈ℕ ∧ a>b ⇒(a - b)∈ℕ 17 + 13 =4 ∈ℕ


B. Sustracción de ℕ.

Del Minuendo y sustraendo

Elemento Neutro

Monotonía

La Sustracción de ℕ cumple las siguientes propiedades

(88 - 40) = 48

(88 - 40) = 48


B.1. Propiedad del Minuendo y Sustraendo

Si al minuendo de una sustracción se le resta una cantidad se le resta

también al resultado.



En general: (a –b) = c ⇒ (a-d)-b=c+d (a –b) = c ⇒ a-(b+d)=c-d

(88-30)-40=48-30

(88+30)-40=48+30

(90 - 50) = 40

(90 - 50) = 40

90-(50-10)=40+10

90-(50+10)=40-10

PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN


(88 - 0) = 88


B.2. Propiedad del Elemento Neutro

La resta de cualquier ℕ con cero

es igual al mismo número.



En general: a - 0 = a


88 = (60+28)

88 -12 = (60+28)-12

76 = 76


B.3. Propiedad de Monotonía

Si a ambos miembros de una igualdad se le resta una misma cantidad, la

igualdad continua.



En general: Si a=b

a - c = b - c


El producto de dos ℕs es la suma tantas veces

indique el número que lo acompaña ∀ a, b ∈ℕ, a x b = a + a + a...+ a} b veces a.


C. Multiplicación de ℕ.

Clausura

Conmutativa

Asociativa

Elemento Neutro

Elemento Nulo

La Multiplicación de ℕ cumple las

siguientes propiedades

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

15 x 5 = 75

∈ x ∈ = ∈


C.1. Propiedad de Clausura

La multiplicación de dos ℕs es otro ℕ

En general: ∀ a , b ∈ℕ, a . b ∈ℕ




3 x 7 = 7 x 3

21 = 21


C.2. Propiedad Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

En general: a x b = b x a




(3 x 5) x 10 = 3 x (5 x 10)

15 x 10 = 3 x 50

150 = 150


C.3. Propiedad Asociativa

El producto de dos o más números agrupados de dos en dos no cambia si

las tomamos de 2 en 2.



En general: (a x b) x c = a x (b x c)


(88 x 1) = 88

1 x 15 = 15


C.4. Propiedad del Elemento Neutro

La multiplicación de cualquier ℕ con 1 es igual al mismo ℕ.



En general: a x 1 = a


(88 x 0) = 0

0 x 15 = 0


C.5. Propiedad del Elemento Nulo

La multiplicación de cualquier ℕ

con 0 es igual a 0.



En general: a x 0 = 0

Exponente cero

Exponente uno

Potencia de un Producto

Producto de potencias de igual base

Potencia de un Cociente

Cociente de potencias de igual base

Potencia de Potencia


El producto de factores iguales se llama potencia

∀ a,b ∈ℕ, ab =a x a ...x a}b veces a.


D. Potenciación de ℕ.

La Potenciación de ℕ

cumple las siguientes propiedades

43 = 64

Base Exponente

Potencia

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

D.1. Exponente cero D.2 Exponente uno


Todo ℕ elevado a la 0 es 1.

a0=1 40 = 1

15o0 = 1

Todo ℕ elevado a la 1 es el mismo ℕ.

a1=a 41 = 4

1501 = 150


D.3 Potencia de un producto D.4. Producto de Potencias de igual base


La potencia de un producto es igual al producto de sus

potencias

(a x b)n=an x bn (4 x5)2 =42 x52

(10x6)3 =103 x63

El producto de dos potencias con bases iguales es igual a la misma base elevada a la suma

de sus exponentes.

am x an=am+n 4 2x43 =42+3

103x105 =103+5


D.5. Potencia de un cociente D.6. Cociente de Potencias de igual base


La potencia de un cociente es igual al cociente de sus

potencias

(a ÷ b)n=an ÷ bn (4 ÷ 5)2 =42 ÷ 52

(10 ÷ 6)3 =103 ÷ 63

El cociente de dos potencias con bases iguales es igual a la misma base elevada a la resta

de sus exponentes.

am ÷ an=am-n 4 2 ÷ 43 =42-3

105 ÷ 104 =105-4


D.7. Potencia de Potencia


La potencia de una potencia es igual a la misma base y a la

multiplicación de los exponentes

(am )n=am.n (42)3 =42.3 = 46

(104)2 =104.2 = 108

Puedes probar estas propiedades haciendo uso de tu calculadora.


La división en ℕ no siempre es

posible. Por ejemplo 9 ÷ 2 no es un ℕ.


E. División de ℕ.

División Exacta

División Inexacta

Por eso existen dos tipos de división dentro de los ℕ.

DIVISIÓN DE ℕ

18 ÷ 2 = 9

= 9


E.1. División Exacta



En la división exacta el residuo es igual a 0.

2 18

0 9

Dividendo Divisor

Cociente

Residuo

DIVISIÓN DE ℕ


PROPIEDADES



El residuo siempre es menor que el divisor.

3 25

1 8

Dividendo Divisor

Cociente Residuo

9 62

8 6

Dividendo Divisor

Cociente Residuo

El mayor residuo que se puede obtener es una unidad menor que el

divisor

E.2. DIVISIÓN INEXACTA


F. Divisibilidad


Dados dos números para saber si uno es múltiplo o divisor del otro, dividimos el mayor entre el menor. Si la división es exacta: • El menor es divisor del mayor. • El mayor es múltiplo del menor.

5 45 es divisor de

es múltiplo de

Se lee 5|45

45 es divisible entre 5

F.1. Múltiplos y divisores

F. La divisibilidad F.2. Calculo de los divisores


Para calcular todos los divisores de un número: • Se divide el número entre todos los

números menores que él, empezando por el 1.

• Anota los divisores que encuentras. • El proceso termina o deja de hacer

divisiones cuando el cociente resulta igual o menor que el divisor.

Divisiones Divisores de 24

24 ÷ 1 = 24 1 y 24

24 ÷ 2 = 12 2 y 12

24 ÷ 3 = 8 3 y 8

24 ÷ 4 = 6 4 y 6

24 ÷ 5 = 4 Residuo 4

D (24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Aquí tenemos una lista de los números primos

menores que 20.

F.3. Los números primos


Un número es primo cuando únicamente tiene dos divisores: el número 1 y el mismo.


13 ÷ 1 = 13 1 y 13

13 ÷ 2 = 6 Residuo 1

13 ÷ 3 = 4 Residuo 1

13 ÷ 4 = 3 Residuo 1

El número 1 no es ni primo ni compuesto, ya que solo tiene un

divisor.

2 3 5 7

11 13 17 19

Aquí tenemos una lista de los números compuestos

menores o iguales que 15.

F.4. Los números compuestos


Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores.

Para calcular si un número es primo o compuesto se tiene que dividir entre los número primos menores

que el.

4 6 8 9

10 12 14 15


24 ÷ 1 = 24 1 y 24

24 ÷ 2 = 12 2 y 12

24 ÷ 3 = 8 3 y 8

24 ÷ 4 = 6 4 y 6

24 ÷ 5 = 4 Residuo 4

Método de Diagrama del árbol

F.4. Los números compuestos


Método de descomposición por divisiones sucesivas entre números primos.

60 2

30 2

15 3

5 5

1

Todo número tiene una y solo una

descomposición prima.

Descomposición prima de un número compuesto

60= 2 x 2 x 3 x 5 60= 22 x 3 x 5

60 30

2

15

2

5

3 5 1

60= 2 x 2 x 3 x 5 60= 22 x 3 x 5


Para determinar el m.c.d. de dos números se obtienen: • Los divisores de cada número. • Los divisores comunes de los dos

números. • El mayor de los divisores

comunes es el m.c.d.

30 45 3

10 15 5

2 3

En la forma abreviada se halla de la siguiente manera.

G. Máximo común divisor

m.c.d.(30 y 45) = 3 x 5 m.c.d.(30 y 45) = 15

Hallar el m.c.d. De 30 y 45. Con ambos métodos.

D(30) ={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

D(45) ={1, 3, 5, 9, 15, 45}

Los divisores comunes de 30 y 45 son: D(30 y 45) ={1, 3, 5, 15} m.c.d.(30 y45) = 15



Para determinar el m.c.m. de dos números se obtienen: • Los múltiplos de cada número. • Los múltiplos comunes de los

dos números. • El menor de los múltiplos

comunes distinto de 0 es el m.c.m.

3 5 3

1 5 5

1

En la forma abreviada se halla de la siguiente manera.

H. Mínimo Común Múltiplo.

m.c.m.(3 y 5) = 3 x 5 m.c.m.(3 y 5) = 15

Hallar el m.c.m. De 3 y 5. Con ambos métodos.

M(3) ={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 …}

M(5) ={ 5, 10, 15, 20, 25, 30, …}

Los múltiplos comunes de 3 y 5 son: M(3 y 5) ={15, 30, …} m.c.m.(3 y 5) = 15


Producto de raíces de igual índice

Cociente de raíces de igual índice

Raíz de una potencia

Raíz de raíz


Calcular la raíz enésima de un número es encontrar otro número que elevado a un exponente n sea igual al primero.


I. Radicación de ℕ.

La Radicación de ℕ

cumple las siguientes propiedades

Índice de la raíz Signo radical

Cantidad subradical

Radicación

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

I.1 Producto de raíces de igual índice.

I.2 Cociente de raíces de igual índice


El producto de raíces de igual índice es igual a la

raíz de un producto.

El cociente de dos raíces de igual índice es igual a

la raíz del cociente.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

I. 3. Raíz de una potencia I.4. Raíz de raíz


La raíz de una potencia es igual a la división del exponente con el índice

La raíz de raíz es igual al producto de sus índices.


Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas, en este caso solo trabajaremos con ecuaciones de una incógnita.

En una ecuación encontraremos como solución

un único valor.

J. Ecuaciones


• Si tenemos x + 5 = 8 + 7

• Procedemos realizar las operaciones:

• x + 5 = 15

Se ejecuta una operación opuesta al que afecta a la incógnita

• x+5 -5=15-5

• Operamos

• x=10


Una inecuación es una desigualdad que contiene una o más incógnitas, en este caso solo trabajaremos con inecuaciones de una incógnita.

En una inecuación encontraremos como solución

más de un valor.

K. Inecuaciones


• Si tenemos x + 10 > 12 + 15

• Procedemos realizar las operaciones:

• x + 10 > 27

Se ejecuta una operación opuesta al que afecta a la incógnita

• x+10 -10 > 27-10

• Operamos

• x >17

• x={18, 19, 20, …}

Fin de los Números naturales


Recuerda practicar lo aprendido.

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