Libro de matematicas 11mo grado

Coordinacin General, Revisin y Asesora TcnicaProfesora Mara Elsa GuillnProfesora Rosala Ros Rivas

AutorProfesor Jorge AlbertoVelsquez Benavidez

Revisin Tcnica GeneralProfesora Rosala Ros Rivas

Revisin y Asesora Tcnica CientficaProfesor Francisco Emilio Daz Vega Profesor Humberto Antonio Jarqun LpezSociedad Matemtica de NicaraguaProfesor Armando Jos Huete Fuentes

Diseo y DiagramacinRger Hernndez BustamanteIrma Sara Lpez ChavarraMiguel ngel Mendieta RostranJoelly Jareth Guerrero Navarrete

IlustracinRger Alberto RomeroIrma Sara Lpez Chavarra

Fuente de FinanciamientoPASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN

Agradecemos los valiosos aportes de la Sociedad Matemtica de Nicaragua y de los docentes durante el proceso de validacin.

Primera Edicin___________

Todos los derechos son reservados al Ministerio de Educacin (MINED), de la Repblica de Nicaragua.

Este texto es propiedad del Ministerio de Educacin (MINED) , de la Repblica de Nicaragua. Se prohbe su venta y reproduccin total o parcial.

La presente publicacin ha sido reproducida con el apoyo de la Unin Europea a travs del Programa de Apoyo al Sector Educacin en Nicaragua (PROSEN). El contenido de la misma es responsabilidad exclusiva del MINED y en ningn caso debe considerarse que refleja los puntos de vista de la Unin Europea.

PresentacinEl Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional, a travs del Ministerio del Poder Ciudadano para la Educacin (MINED) entrega a docentes y a estudiantes de Educacin Secundaria el libro Matemtica Undcimo Grado como una herramienta para la adquisicin efectiva de las habilidades de clculo, ubicacin espacial y razonamiento que se pretende desarrollar con el estudio de la disciplina.

En general, en un libro de texto de Matemtica, a travs de sus contenidos y actividades sugeridas se plantea un proceso activo de formacin de valores individuales, comunitarios y sociales, que luego se evidenciarn en el comportamiento de las y los estudiantes frente a los desafos de la vida moderna.

En este sentido proponemos a usted jugar un papel ms activo en el proceso de aprendizaje, invitndole a gozar de las ventajas formativas de la interaccin individual y colectiva a travs de la pluralidad de conceptos presentados, y articular la teora aprendida con las diferentes aristas de la realidad circundante con las que se tiene que enfrentar en el quehacer cotidiano. Si usted se decide a asumir los retos planteados a lo largo de todas estas pginas, este material puede tener la fortuna de convertirse en algo muy valioso en sus manos.

El libro que tiene hoy en sus manos es una propiedad social. Cuidarlo con esmero, sin rayarlo ni destruirlo, permitir que posteriormente otros compaeros que estn en los grados que le anteceden tambin puedan hacer uso de l. En esto consistir su contribucin desinteresada y solidaria con los prximos estudiantes que lo utilizarn contribuyendo as a la formacin de posteriores generaciones de estudiantes de secundaria.

Ministerio del Poder Ciudadano para la Educacin

Introduccin

La vida, adjetivada como cotidiana, es un proceso complejo, continuo y dinmico, donde las distintas relaciones que se establecen entre los hombres obligan a stos a tomar decisiones, siendo siempre la idea de elegir la mejor, la que tenga que ver con la verdad, y por tanto con la belleza. " La belleza es verdad, la verdad es belleza " dice el poeta John Keats.

La Matemtica, como producto intelectual elaborado, es un sistema de proposiciones ordenadas lgicamente que permite a quien la estudia emitir juicios claros y distintos sobre cualquier aspecto de la vida. El filsofo francs Ren Descartes dice: "La Matemtica es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fciles". Es notable que la definicin que Salomn de la Selva da de la poesa est expresada en trminos similares:

es memoriaSecuencia interminable, perla y perla,

Cuenta y cuenta, en collar.

La vida exige en cada da de nuestra existencia juicios claros para proceder con rectitud en cada situacin, indita o anloga a una anterior. La Matemtica permite analizar, establecer relaciones, encontrar patrones, conjeturar, jugar, imaginar y encontrar el pleno contenido semntico de las palabras. La vida presenta a veces situaciones impensadas, caticas, revolucionarias. La Matemtica es un caldo efervescente de futuras revoluciones cientficas que ayudan a comprender mejor las ciencias biolgicas, fsicas y econmicas. Las leyes universales se irn convirtiendo gradualmente en leyes particulares. Lo esperado en el futuro es lo inesperado. La Matemtica se desarrolla en esa direccin.

El presente texto trata de introducir en la costumbre de discutir conceptos, mas que discutirlos mecnicamente, presentando una pequea muestra de los patrones comunes que existen entre formas literarias y conceptos matemticos de secundaria, adems de acercar la lente a algunas experiencias de aplicacin cientfica en nuestro pas.

Estimado estudiante: te proponemos transitar por este libro, que no es ms que una galera de ideas y procedimientos que la humanidad se ha encargado de preservar para el alimento espiritual de las generaciones presentes y venideras. Nunca olvides que la Matemtica es una de las actividades humanas que naci desde que el hombre pis el globo terrqueo.

La unidad uno propone una forma dialogada de aprender probabilidades, dando nfasis especial a la discusin. Se presenta como ejemplos de aplicacin el aporte matemtico de Mozart y el uso del teorema de Bayes en la literatura detectivesca.

La unidad dos trata los aspectos tradicionales de las sucesiones aritmticas y geomtricas, introduciendo algo que es insoslayable en la enseanza de las Matemticas: las sucesiones de Fibonacci. Se esboza el vnculo entre las sucesiones infinitas y el concepto de infinito.

Las unidades tres y cuatro se ocupan de las funciones exponenciales y logartmicas, culminando con una serie de aplicaciones tpicas y otras especficas de nuestro pas.

La unidad cinco comprende los problemas relacionados con el concepto de desigualdad, desembocando en la solucin de inecuaciones lineales y sistemas formados con estas.

La unidad seis se ocupa estrictamente de la Geometra Analtica, siendo la parte ms importante la relacionada con las secciones cnicas.

En cada unidad se coloca en la columna de la izquierda notas o comentarios que revelan el alcance de la Matemtica en los otros quehaceres humanos.

Las secciones

Recuerde, reflexione y concluya

Compruebe lo aprendido

Actividad en grupo

Aplique lo aprendido

representan en el libro las facetas y escalonamientos que entraa el proceso de enseanza y aprendizaje en los niveles individual y colectivo, siendo este ltimo de extrema importancia, en correspondencia con el adagio de que la verdadera inteligencia consiste en descubrir la inteligencia ajena.

Los conos anteriores reflejan situaciones reales de nuestro pas.

ndice

1 - Sucesin Aritmtica 542 - K - Medias Aritmticas 593 - Suma de n trminos de una sucesin aritmtica 614 - La sucesin aritmtica como una funcin 665 - La notacin sigma 676 - Las sucesiones aritmticas en la vida real 707 - Sucesiones Geomtricas 728 - Suma de trminos de sucesiones geomtricas 74

UNIDAD 1: PROBABILIDADES

UNIDAD 2: SUCESIONES ARITMTICAS Y GEOMTRICAS

1 - Juguemos de nuevo con las reglas del azar! 22 - Sucesos mutuamente excluyentes 63 - Captura y recaptura de peces en el Lago Cocibolca 94 - La probabilidad de un evento complementario 135 - Eventos independientes 196 - Probabilidad de la unin de eventos 227 - Relaciono las probabilidades con las bellas artes 268 - Probabilidad condicional y su relacin con los eventos independientes 279 - Regla multiplicativa de las probabilidades 33

10 - Ley de la probabilidad total 3511 - Frmula de Bayes 3912 - El teorema de Bayes en la literatura 4313 - La suerte con las mquinas tragamonedas en los casinos 4314 - Variables aleatorias discretas 44

15 - Nota Histrica: Profesor Miguel Ramrez Goyena 48

16 - Ejercicios Unidad 1 49

9 - Sucesiones de Fibonacci 7610 - La razn urea 8011 - El concepto de recursividad 8012 - Sucesin aritmtico-geomtrica 86

13 - Nota Histrica: Profesor Julio Csar Sandoval 90


UNIDAD 3: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

1 - Introduccin a las Funciones Exponenciales 972 - Funciones uno a uno o inyectiva 973 - Grficas de algunas funciones especiales 984 - Funciones Exponenciales 1005 - Traslacin y alargamiento de funciones exponenciales 1056 - La funcin exponencial natural ( f x = ex ) 1097 - Una primera visita a las ecuaciones exponenciales) 1128 - Inters Compuesto 1159 - Funcin logstica 120

10 - Funcin Logartmica 12111 - Definicin de Funcin Logartmica 12212 - Propiedades de la funcin logartmica ( f x = logb x ) 12213 - Logaritmos Naturales 12514 - Propiedades de Logaritmos Naturales (b>0, b0) 12615 - Leyes de los logaritmos 12816 - Frmula de cambio de base 130

117 - Nota Histrica: Profesor Rafael Snchez Richardson 137


UNIDAD 5: DESIGUALDADES

UNIDAD 4: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

1 - Resolvamos Inecuaciones 1802 - Desigualdades lineales con dos variables 1873 - Pasos para graficar una desigualdad lineal en dos variables 1874 - Desigualdades cuadrticas 1915 - Desigualdades con cocientes y valores absolutos 1986 - Programacin lineal 2067 - Resolucin de problemas con programacin lineal 2098 - Nota Histrica: Profesor Douglas Ramos Dolmus 217


1 - Pasos para resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos naturales 1442 - Crecimiento poblacional 1503 - Desintegracin radio activa 1554 - Mtodo del carbono -14 para determinar edades 1595 - Los sismos en nuestra historia 1616 - Ley de enfriamiento de Newton 1687 - Nota Histrica: Profesor Heberto Antonio Linarte Rodrguez 175


UNIDAD 5: DESIGUALDADES

UNIDAD 4: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

1 - Resolvamos Inecuaciones 1802 - Desigualdades lineales con dos variables 1873 - Pasos para graficar una desigualdad lineal en dos variables 1874 - Desigualdades cuadrticas 1915 - Desigualdades con cocientes y valores absolutos 1986 - Programacin lineal 2067 - Resolucin de problemas con programacin lineal 2098 - Nota Histrica: Profesor Douglas Ramos Dolmus 217


1 - Pasos para resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos naturales 1442 - Crecimiento poblacional 1503 - Desintegracin radio activa 1554 - Mtodo del carbono -14 para determinar edades 1595 - Los sismos en nuestra historia 1616 - Ley de enfriamiento de Newton 1687 - Nota Histrica: Profesor Heberto Antonio Linarte Rodrguez 175


UNIDAD 6: GEOMETRA ANALTICA

1 - Distancia entre dos puntos 2232 - Divisin de un segmento en una razn dada 2273 - La recta 2304 - Ecuacin de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada 2325 - Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos 2336 - Rectas paralelas y perpendiculares 2337 - Distancia entre un punto y una recta 2358 - La Circunferencia 2399 - Ecuacin de la circunferencia con centro en (h; k) 242

10 - La Parbola 24611 - Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y un eje coordenado 24712 - La Elipse 25413 - Ecuacin de la elipse con centro en el origen de coordenadas 25514 - Ecuacin de la elipse con centro en el origen y eje focal el eje y 25815 - Ecuacin de la elipse con centro en (h; k) 25916 - La Hiprbola 26617 - Ecuaciones paramtricas en el plano 27618 - Nota Histrica: Profesor Luis Gmez Rodrguez 282


GLOSARIO 290

BIBLIOGRAFA 293

El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional a travs de la Lotera Nacional entreg al Ministerio de la Familia (MIFAN) y al Instituto Nicaragense de Deportes (IND), utilidades por 28 millones 514 mil 658 crdobas con 80 centavos, lo que representa 35,64 % de la meta establecida para este ao 2014, que es de 80 millones de crdobas, expres el compaero Ernesto Vallecillo, Gerente General de la Lotera Nacional.

Fuente: 19 digital y portal de la Lotera Nacional.03 de Mayo 2014.

MATEMTICA 11 Unidad 1ProbabilidadesProbabilidadesProbabilidades

2

Unidad 1: Probabilidades

Probabilidades

Juguemos de nuevo con las reglas del azar!

Esta unidad contina en la ruta de presentar el clculo de las

probabilidades de los eventos ms representativos que se dan en

diversas ramas de las ciencias o de las artes. Aunque su nacimiento

ha sido registrado a partir de un hecho ms bien anecdtico las

tribulaciones del jugador Antoine Gambaud, Caballero de Mre por

salir airoso en algunos juegos de azar propuestos por l mismo

la verdad es que la teora de las probabilidades se ha convertido

en una herramienta vital en el actual estado de una sociedad

globalizada, basada en la informacin y en el manejo cada vez ms

creciente de volmenes gigantes de datos, donde la incertidumbre

juega un papel importante.

Muchos fenmenos en la naturaleza no son deterministas. Por

ejemplo, los terremotos, la duracin de una vida humana, el

nmero de pasajeros que abordarn un bus urbano en una parada,

la herencia de los genes, el nmero de personas infectadas por

un brote de dengue, el tiempo de vida til de un aparato elctrico,

la duracin de un partido de bisbol o una racha de hits de un

pelotero, etc.

Si quisiramos dar una descripcin breve podramos decir que la

teora de la probabilidad es una ciencia matemtica que proporciona

herramientas para modelar la aleatoriedad o imprevisibilidad de los

resultados en muchsimos fenmenos o experimentos.


Ahora que iniciamos de nuevo una aventura en los terrenos

aparentemente inciertos del azar, pasemos a contextualizar algunos

La teora de probabilidades no es ms que el sentido comn reducido al clculoP.S Laplace(1749-1827)

Hay que distinguir entre probabilidad objetiva y subjetiva.La primera no depende del experimentador u observador; la segunda no es visible, se asume.

3


elementos de probabilidad, vistos en el dcimo grado.

Para tal efecto, conteste las siguientes preguntas:

1. Cul es la diferencia entre un fenmeno aleatorio y uno determinstico?

2. A partir de qu podemos construir un espacio muestral?

3. Cmo se denomina a un subconjunto de un espacio muestral?

4. A qu es igual la probabilidad del evento total?

5. A qu es igual la probabilidad del evento vaco?

6. Cul es el rango de valores que puede tomar la probabilidad de un evento?

7. Cul es la probabilidad de que al lanzar cuatro monedas aparezcan ms de tres escudos?

8. Qu significado le sugiere a usted el trmino complementario? Y evento complementario?

9. Cmo se define el complemento de un conjunto?

10. Qu opinin le merece la afirmacin de Henri Poincar: El azar no es ms que la medida de nuestra ignorancia. Los fenmenos fortuitos son, por definicin, aqullos cuyas leyes ignoramos?

11. Comente con sus compaeros el siguiente dilogo:

a. Seor, porque no cree en la astrologa?

b. Porque soy Gminis y los Gminis no creen en la astrologa.

c. Ha escuchado afirmaciones semejantes en alguna

ocasin?

12. Enuncie el principio de multiplicacin.

13. Qu es una permutacin de n objetos diferentes tomados

de r en r? Cul es la diferencia de P(n; r)?

Jules Henri Poincar

(1854-1912)Fu un prestigio-so matemtico, universal como

Gauss.

Cuntas veces debe una moneda caer escudo para decidir que la probabilidad 1

2 no se est

cumpliendo? Diez? Cien? Un milln?

La permutacin tambin se simboliza nPr

4


Un fertilizante es un producto qumico que nutre a las plantas, como la urea.

Actividad de grupo

Renase con algunos de sus compaeros para resolver los siguientes ejercicios

1. Suponga que se desea investigar la influencia de la luz y

de los niveles de fertilizante en el desarrollo de las plantas. Se planea utilizar cinco fertilizantes y dos niveles de luz. Para cada combinacin de fertilizante y de nivel de luz se harn cuatro rplicas. Cul es el nmero total de rplicas? Construya un diagrama de rbol.

2. Existe algn libro de la Biblia donde ya aparezca la idea de un diagrama de rbol?

3. Supongamos que para comprobar los efectos de un nuevo medicamento, se planea el siguiente ensayo clnico. Cada paciente recibe un nuevo medicamento, o un medicamento

en uso, o un placebo. Se utilizan 100 pacientes. De cuntas formas se pueden asignar tres tratamientos?

4. Supongamos que en un banco de un vivero hay recipientes

con 7 tipos de plantas, y por un asunto de distribucin solar se reordenan cada da. De cuntas formas se pueden ordenar los recipientes? Escriba el resultado en notacin factorial.

5. Si lanzamos un dado de seis lados, cargado, y se obtiene un

nmero n cuya probabilidad es exactamente 1n + 1 . Se cumplen los tres requisitos que definen la probabilidad de un evento?

6. (Contrapunto) El contrapunto es un trmino musical que significa la combinacin de voces simultneas. Es sinnimo de polifona. En el contrapunto triple se combinan tres voces de forma que cada una puede tener lugar en tres posibles posiciones: alta, intermedia o baja. De cuntas formas se puede combinar las tres voces?

El uso indiscriminado de fertilizantes e insecticidas vari el paisaje de Len y Chinandega.

Probabilidad

1

2

3

4

5

1

2

1

4

1

3

1

5

1

6

n

5


7. Un conjunto de eventos est formado por los eventos simples

A, B y C. Explicar por qu cada uno no puede ser un modelo probabilstico.

a. P(A) = 0,3; P(B) = 0,6; P(C) = 1,2

b. P(A) = 0,6; P(B) = 0,9; P(C) = 0,5

8. Si se selecciona aleatoriamente una letra del alfabeto espaol, encuentre la probabilidad de que esta

a. sea una vocal,

b. sea una vocal fuerte,

c. se encuentre en algn lugar de la lista despus de la

letra g.

9. Si se escoge al azar una permutacin de las letras que forman la palabra Mayangna, encuentre la probabilidad de que el nuevo vocablo

a. comience con una consonante,

b. finalice con una vocal,

c. tenga las consonantes al inicio de la palabra.

10. Se selecciona al azar 5 libros de un estante que contiene

15 novelas, 7 libros de poesa, 4 libros de ensayo y 5 diccionarios. Cul es la probabilidad de que

a. se tome un diccionario,

b. se escoja 2 novelas y 3 libros de poesa?

11. Una persona lanza una moneda al aire hasta obtener un escudo. Es el espacio muestral un conjunto finito o infinito? Explique.

12. Cuntas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra infinito? cuntas inician con la letra f? cuntas finalizan en vocal?

13. Se tiran al aire simultneamente cuatro monedas perfectas Cul es la probabilidad de que el resultado sea dos escudos y dos nmeros?

Mayangna

Recuerde que las vocales fuertes son a, e, o, y las dbiles i, u.

Un conjunto es infinito si se puede poner en biyeccin con un subconjunto propio de s mismo. Si no, es finito.

6


14. Una bolsa contiene 6 veces ms canicas rojas que negras. Cul es la probabilidad de que sea una canica roja al hacer una extraccin al azar?

15. En la literatura detectivesca clsica, el inspector Japp, uno de los personajes en la novela Muerte en las Nubes, de Agatha Christie, cuando se encuentra en el proceso de eliminar los nombres de sospechosos de una lista, dice lo siguiente: Procedamos al trabajo de eliminar y, para empezar, examinemos uno por uno los viajeros para decidir las probabilidades y, lo que es todava ms importante, las posibilidades de cada uno. Discuta con sus compaeros el significado de las palabras probabilidad y posibilidad, dando ejemplos concretos. Pueden usar el diccionario de la Real Academia Espaola.

16. Encuentre la probabilidad de que cuando una pareja tenga 3 nios exactamente dos sean del sexo masculino. Asumimos que los resultados son equiprobables.

Despus de haber repasado los temas centrales de su primera

experiencia sobre probabilidades en dcimo grado, continuemos

introduciendo algunos conceptos igualmente importantes.

Sucesos mutuamente excluyentes

En el ejemplo tpico de lanzar al aire una moneda legal

encontrbamos que los nicos resultados posibles eran

escudo o nmero Era imposible que ocurrieran ambos eventos

simultneamente! En este caso diremos que ambos sucesos,

aparecer escudo o nmero, son mutuamente excluyentes.

Recuerde que el espacio muestral para dicho experimento es

{E, N}, donde E significa escudo y N nmero.

Recuerde que probabilidad (Del latn probabilitas) es la razn entre el nmero de casos favorables y el nmero de casos posibles.

7


La ilustracin mediante un diagrama de Venn puede verse a la izquierda.

Cmo definira usted el hecho de que dos eventos A y B no sean mutuamente excluyentes? Auxliese de otro diagrama de Venn.

Se lanza un dado correcto, y los eventos son los siguientes:

A: Que caiga un 4.

B: Que caiga un nmero primo.

Evidentemente, los eventos A y B, considerados como conjuntos no tienen elementos comunes: A={4} y B={2,3,5}.

En el experimento de lanzar una moneda correcta, los eventos {N} y {E} son mutuamente excluyentes.

En una tienda del Mercado Oriental se venden gorras con los

siguientes colores: rojo (r), negro (n), amarillo (a), caf (c), morado

(m) y blanco (b). En la compra del prximo cliente se dan los eventos

A = {n, b, c, m} y B = {r, m, b}. Son A y B eventos mutuamente

excluyentes?

De nuevo resulta inmediato darse cuenta que A y B no son

mutuamente excluyentes porque

A B = {n, b, c, m} {r, m, b}

A B = {b, m}.

Es decir, A y B comparten los elementos b y m.

A B

Sucesos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen elementos en comn, es decir, si su interseccin AB es vaca.

Ejemplo 1

Ejemplo 3

Ejemplo 2

Solucin

Solucin

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1. Suponga que lanza un dado legal y nos interesan los eventos

A: Un nmero impar mayor que 2

B: Un nmero par menor que 5

Verificar si A y B son mutuamente excluyentes.2. Cules de los siguientes pares de eventos son mutuamente

excluyentes?

a. El nacimiento de un nio y la aparicin de un eclipse de sol.

b. Un jugador de bisbol conecta un jonrn y adems conecta

en todos sus turnos extrabases en un mismo juego.

c. Un boxeador noquea a su rival en el ltimo round y gana

por decisin dividida.

3. Si en cierto experimento A y B son eventos mutuamente

excluyentes, calcule P(A B).4. Si en cierto experimento de clasificacin de la fauna

nicaragense nos interesan los eventos:

A={Aves de Nicaragua} B={Reptiles de Nicaragua}

Son estos excluyentes?

5. Supngase que en el experimento de lanzar dos dados legales nos interesan los eventos

A = {(i; i) | i = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = {(i; j) | i + j = 3; i, j = 1, 2, , 6}.

a. Describa por extensin los eventos A y B.

b. Verifique si A y B son mutuamente excluyentes.

"... en el terreno donde sopesamos posibilidades y elegimos lo ms probable. Es el uso cientfico de la imaginacin"Sherlock Holmes, El sabueso de los Baskerville.

9


Captura y recaptura de peces en el Lago Cocibolca

Supongamos que en el lago Cocibolca hay una cantidad

desconocida N de peces. Para tener una idea del valor de N, se

capturan K de stos, se marcan y se regresan al agua, esperando

que despus tengan un tiempo suficiente para mezclarse con los

dems. Luego se capturan n peces. Supongamos que una cantidad

k de stos estn marcados (naturalmente que k > 0). Entonces, si

los peces se han mezclado bien en el lago, la proporcin de peces

marcados y no marcados en la muestra de tamao n debera ser

aproximadamente igual a la proporcin de peces marcados y no

marcados en el lago,

Se concluye entonces que hay aproximadamente k

K nN peces

en el lago.

Suponga que en la primera captura se marcan 150 peces. En otra recaptura se toma una muestra de tamao 10 y se observan 4 peces marcados. Calcule un estimador del nmero total de peces.

El estimador N es el mayor entero menor o igual que k

K n .

En este ejemplo, K = 150, n = 10 y k = 4. Dado que

N kKn

415010

= = 375.

Se estima que hay 375 peces en el lago.

Dado un experimento de marca recaptura usando el mtodo de

kn

KN

La cantidad Knk

permite estimar el nmero de peces que estn en el lago.

Lago Cocibolca

Ejemplo 4

Solucin

Ejemplo 5

10


Peterson, calcule la probabilidad de obtener k peces marcados en una muestra de tamao n.

Supongamos que N es el nmero de peces en el lago Cocibolca,

de los cuales K han sido marcados en la primera captura.

Supongamos que en la segunda captura se toma una muestra de

tamao n, asumiendo que cada miembro de la poblacin tiene la

misma probabilidad de ser escogido y que el orden en la muestra

no es importante. Entonces hay Nn( ) posibilidades de escoger una

muestra de tamao n.

Sea A el evento donde la muestra de tamao n tiene exactamente

k peces marcados. Para determinar el nmero de resultados que

contienen exactamente k peces marcados seleccionamos k peces

de los K que han sido marcados y n k peces de los N K no

marcados, resultando que hay Kk( ) posibilidades de obtener k peces marcados y ( )N Kn k posibilidades de obtener n k peces no marcados. Como cada seleccin de k peces marcados se puede

combinar con cada seleccin de n k peces no marcados,

aplicando el principio de multiplicacin, el nmero total de

posibilidades de obtener una muestra de tamao n con exactamente

k peces marcados es

Por consiguiente,

En un lago hay 5 000 peces y se capturan 100, se marcan y despus se liberan. En la recaptura de 50 se encuentra que 20 estn marcados.

( )N Kn kKk( )A =

( )N Kn kKk( )A =Nn( )S

P(A) =

Solucin

Ejemplo 6

11


a. Cul es la probabilidad de que estn marcados exactamente 20 peces?

b. Si la poblacin en el inciso anterior es n cul es la probabilidad

de que estn marcados exactamente 20 peces?

a. Utilizamos sencillamente la frmula anterior, sabiendo que

N = 5 000, K = 100, n = 50 y k = 20, obteniendo lo siguiente

=A

S

)( 50 205 000 10010020( )5 000

50( )P(A) =

Realizando los clculos necesarios, preferentemente con una calculadora, encontramos que

P(A) = 4,1122 10 -22

una probabilidad ciertamente muy pequea.

b. Este inciso es completamente anlogo al anterior, la nica sutil diferencia es que la poblacin se representa mediante el nmero N; por consiguiente

Actividades de grupo

1. La bolitoglossa mombachoensis es una pequea salamandra que habita en el bosque nuboso del volcn

P(A) = A

S =

( )N50( )N1005020( )10020

= 5,4 10 22 ( )N50

( )N1005020

La poblacin del macrobrachium carcimus (camarn de ro), presente en las aguas del ro San Juan de Nicaragua, ha sido estudiada usando los recursos matemticos de la captura y recaptura.

Solucin

Las tortugas marinas, el cuajipal y el lagarto son especies amenazadas por el hombre.

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Mombacho. Supongamos que en la primera captura se

marcan 20 ejemplares y se liberan; en la segunda captura

se encuentra que de los 11 apresados 4 pertenecen al grupo anteriormente marcado. Haga una estimacin de la poblacin de la bolitoglossa mombachoensis en el sitio geogrfico estudiado.

2. Una urna contiene cinco bolas azules y tres verdes. Se extraen sin reposicin tres bolas de la urna. Cul es la probabilidad de que al menos dos de las tres bolas sean verdes?

3. Desarrollen una discusin entre sus compaeros si existe similitud entre los procedimientos lgicos utilizados para razonar los dos ejercicios anteriores.

4. Qu relacin encuentra entre la lgica y el razonamiento probabilstico? Hagan una reflexin sobre lo que usted siente haber usado en su cerebro para resolver los problemas de probabilidades propuestos.

5. Qu factores reales de la prctica no han sido considerados al utilizar la frmula de marca recaptura?

6. Juana juega cada semana un billete entero con un nmero fijo de la Lotera Nacional; Luis compra tambin un billete entero con un nmero fijo durante 6 meses, en los siguientes 6 meses lo cambia, y as sucesivamente. Pedro, en cambio, compra el billete entero cada semana, sin molestarse en escoger el nmero. Joaqun nunca compraba lotera, pero esta vez adquiri tambin un billete entero para el sorteo de esta semana, con un nmero extrado de un sueo que tuvo Cul de los cuatros tiene ms probabilidades de sacar el premio mayor en el prximo sorteo?

7. En el cuento el Libro de Arena, de Jorge Luis Borges, aparece el siguiente extracto referido a la propiedad de que entre dos nmeros racionales hay infinitos racionales:

Me pidi que buscara la primera hoja.

Apoy la mano izquierda sobre la portada y abr con el

Bolitoglossa Mombachoensis

Mombacho

13


dedo pulgar casi pegado al ndice. Todo fue intil: siempre se interponan varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro.

Ahora busqu el final.

Tambin fracas;

a. Cul puede ser la probabilidad de escoger una pgina de ese libro infinito?

b. Cul puede ser la probabilidad de escoger un nmero de entre todos los racionales? Supongan que escogemos al azar dos nmeros enteros entre 5, 6, 7, 8 y 9. Cul es la probabilidad de que su producto sea un nmero impar?

8. El teorema del mono infinito afirma que un mono tocando al azar las teclas de una computadora durante un perodo de tiempo infinito casi con seguridad podr escribir El Quijote o Prosas Profanas. Reflexionen y discutan sus puntos de vista sobre este teorema.

Investiguen en la parte tres, captulo cinco de Los Viajes de Gulliver de Jonathan Swift donde un profesor de la Gran Academia de Lagado intenta "ofrecer al mundo una obra completa sobre las artes y las ciencias" escribiendo lneas de letras al azar haciendo funcionar un mecanismo. Qu relacin encuentran con el teorema del mono infinito?

La probabilidad de un evento complementario

Muchas veces deseamos en nuestra vida que algo ocurra cuando sea en nuestro beneficio, por ejemplo, obtener un premio de la Lotera, nos gustara conocer qu probabilidad existe de que la fortuna venga a nuestras manos.

Hay otras ocasiones en que queremos que algo no ocurra,

algo catstrofico, un terremoto, una enfermedad mortal,

la herencia de algn gen letal, un accidente, reprobar una

asignatura, una reaparicin de la gripe H1N1, etctera.

Un teorema es una proposicin matemtica verdadera que exige demostracin

"Si no est en nuestro poder discernir las mejores opiniones, debemos seguir las ms probables"

Ren Descartes

14



Encuentre el complemento de los siguientes eventos:

1. Arrojar un dado y que aparezca en la cara superior el nmero 3.

2. Arrojar un dado y obtener un nmero perfecto. Un nmero es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al propio nmero.

3. Seleccionar aleatoriamente los nombres de los meses del

ao que contengan 3 vocales, contando con las repeticiones de vocales.

4. Arrojar un dado y anotar los nmeros de las caras que sean divisibles por el nmero obtenido. Cuntos eventos complementarios son en total? existen eventos imposibles?

Algunas veces queremos conocer la probabilidad de que un evento

no ocurra; para ello debemos introducir la definicin de complemento

de un evento y establecer una frmula prctica.

Dado un experimento aleatorio, el complemento de un evento A, denotado por A', est formado por todos los resultados de un espacio muestral que no estn en A.

En la realidad nacen ms nios que nias. En un hospital de Managua se registran 205 nacimientos (partos), de los cuales 105 resultan ser nios. Si escogemos a un beb aleatoriamente, cul es la probabilidad de que ste no sea un nio?

En el experimento de escoger aleatoriamente un beb, el espacio muestral es E={nio, nia}. Consideremos el evento:

Solucin

Ejemplo 1

Recuerde que:

15


A: el beb escogido es nio,

entonces el evento complementario de A es

A' : el beb escogido es nia.

Dado que 105 de los 205 bebs son nios, obtenemos que A' est formado por 100 nias, luego

P(A') = P ( el beb escogido no es nio)

= P (el beb escogido es nia )

100205

=

0,488.

Actividad de grupo

1. Discutan con sus compaeros algunos sucesos que no les gustara ocurrieran en nuestro pas. Haga una lista de esos hechos indeseables, asocindoles intuitivamente alguna probabilidad.

2. Un sismlogo afirma que actualmente la probabilidad de que suceda un gran terremoto en Managua es mayor al 50%. Describa el evento correspondiente y su complemento. Escriban la probabilidad de ste.

3. Escriban en su cuaderno eventos que involucren monedas y dados, calculando sus probabilidades. Describan los complementos de esos eventos y calculen sus probabilidades.

4. Calculen P (A) + P (A') en cada ejemplo del ejercicio anterior y redacten una conclusin. A qu es igual P(A')? Los complementos de conjuntos se usan para calcular probabilidades de algunos eventos.

5. Escriban en su cuaderno la propiedad anterior, conocida como el teorema de los complementos, expresndola con sus propias palabras, luego comprtala con algunos de sus compaeros. Observe que una variante de la ecuacin anterior es P(A) = 1 P(A'). Los complementarios se usan para calcular las probabilidades de algunos eventos.

No al trfico de loras y lapas.

La probabilidad de cazar iguanas o garrobos decrece con las quemas de tierra.

16


Dado un evento A y su complemento A', entonces se cumple la ecuacin P(A')=1-P(A).

Se lanzan dos dados y se observan los nmeros de las caras que caen hacia arriba. Cul es la probabilidad de que la suma de los dos nmeros sea al menos 3?

Recordemos que el espacio muestral de este experimento contiene 36 pares ordenados (i; j) donde i y j recorren los valores del 1 al 6, por ejemplo (1;1), (1;6), (6;6). Ver columna izquierda.

Observemos que el evento

A: la suma de los nmeros sea al menos 3

contiene todos los pares del espacio muestral E que satisfacen que

la suma de los nmeros de las dos caras es igual a 3 ,4, 5, , 12.

En lugar de encontrar la probabilidad del evento mejor calculamos

la probabilidad P(A') del evento complementario A' de A de

que la suma de las dos caras sea menor que 3 (es decir 2), que

corresponde nicamente al par (1;1) del espacio muestral. En otras

palabras:

P (A') = P ( la suma sea igual a 2 ) =1

36.

Finalmente, usando la frmula de la probabilidad del complemento

P(A)=1-P(A'), y sustituyendo el valor de P(A') obtenemos

P(A)= P ( la suma sea al menos 3) .= ( ) = = =1 1 136

36 1

36

35

36P A

Supongamos que tenemos un texto pequeo formado por 80 palabras del espaol, de las cuales 35 son nombres, 30 verbos y 15 adjetivos. Escoger al azar una palabra de este texto. El espacio muestral S de este experimento es el conjunto de todas las palabras

Solucin

Ejemplo 2

Ejemplo 3

{(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)}

E=

En esta serie educativa, usaremos la notacin (x; y) para pares ordenados.

17


en el texto. Cul es la probabilidad de no escoger un verbo?

El primer evento de inters es el conjunto de los verbos, que podemos escribir en forma conjuntista como

A = {v : v es un verbo},

el segundo es el de los nombres, es decir,

B = {n : n es un nombre}

y el tercero el de los adjetivos, i.e,

C = {a : a es un adjetivo}.

Calculamos primero P(A) = 3080 0,375.

Luego, P (no A) = 1 3080 = 5080

0,625.

Qu otros clculos pueden llevarse a cabo?


1. Si P(A) = 0,05, encontrar P(A').

2. Las mujeres tienen un 0,25 % de probabilidad de padecer ceguera a los colores rojos y verde. Si tomamos una mujer al azar Cul es la probabilidad de que no padezca dicha ceguera?

3. Suponga que en una urna se coloca sin repeticiones todas las palabras, sin los signos de puntuacin, de la segunda estrofa del poema Coloquio de los Centauros. El experimento consiste en extraer una palabra al azar. Cul es la probabilidad de que no aparezca la palabra Centauros?

Son los Centauros. Cubren la llanura. Los sientela montaa. De lejos, forman son de torrente que cae; su galope al aire que reposa despierta, y estremece la hoja del laurel-rosa. (Rubn Daro, 1867-1916)

Solucin

18


4. Una farmacloga introduce en un frasco 240 cpsulas

antibiticas, distribuidas as: tetraciclina (25), penicilina (30),

doxicidina (45), bactrim (60), estreptomicina y acitromicina

(80). Luego pide a su asistente que las revuelva completamente.

Cul es la probabilidad de que la cpsula seleccionada sea:

a. Penicilina.

b. No Acitromicina.

c. Bactrim.

d. No Penicilina.

e. Estreptomicina.

f. No Tetracilina.


1. Supngase que se lanza un dado correcto y sea el evento A: Aparece un dos. Calcular P(A) y P(A').

2. A continuacin generalizamos este ejercicio:3. Se lanzan dos dados y sea A el evento de que la suma de los

nmeros que aparecen en las caras es igual a 3. Encuentre el espacio muestral, P(A) y P(A').a. Se lanzan tres dados y sea A el evento de que la suma de

los nmeros que aparecen en las caras es 4. Encuentre el espacio muestral, P(A) y P(A').

b. Se lanzan cuatro dados y sea A el evento de que la suma de los nmeros que aparecen en las caras es 5. Encuentre el espacio muestral, P(A) y P(A').

c. Se lanzan n dados y sea A el evento de que la suma de los nmeros que aparecen en las caras sea n+1. Encuentre el espacio muestral y P(A) . Cul es la probabilidad de A'?

d. Se lanzan n dados. Esboce el espacio muestral Cul es la probabilidad del evento que consiste en que la suma de las caras de los n dados sea igual a n-1? Cul es la probabilidad del evento complementario?

"Dios no slo juega a los dados. A veces tambin echa los dados donde no pueden ser vistos"

Albert Einstein (Fsico Alemn, creador de la teoria de la relatividad. 1879-1955)

De Mer, caballero por linaje y juegos de azar, saba que era ms favorable apostar a la aparicin de al menos un 6 en una serie de cuatro lanzamientos de un dado Puede ensayar una solucin a este problema?

19


Eventos independientes


A continuacin presentamos algunas interrogantes cotidianas

cuya respuesta debe meditar cuidadosamente, escribirlas en su

cuaderno y compartirla con sus compaeros.

1. Generalmente los vendedores de lotera en nuestros mercados usan el siguiente argumento para convencer a sus

potenciales clientes Cmpreme este 6, que no ha cado en un ao, cmpremelo que va pegarle al gordo.Cunto hay de verdad o falsedad probabilstica en este argumento?

2. Si hipotticamente durante seis semanas seguidas el nmero

ganador de la Lotera Nacional fuese el 07248 Apostara por ese nmero en el siguiente sorteo? Razone su respuesta.

3. Suponga que Juan y Pedro juegan con una moneda al escudo o nmero (antes el juego se llamaba a la cara o sol) y se da

el hecho inslito de que despus de 100 tiradas a Juan le

han aparecido 99 escudos a su favor y a Pedro nicamente un nmero. Qu tiene ms probabilidades de salir en la siguiente tirada, escudo o nmero?

4. Dependen las desigualdades sociales del sistema econmico o del azar?

5. Dependen las crisis econmicas del estado del tiempo?

6. Depende el estado del tiempo de las crisis econmicas?

7. Existe relacin entre la aplicacin al estudio y el ahorro de recursos econmicos?

8. Hay relacin entre el PIB (Producto Interno Bruto) y la distribucin justa de bienes entre los habitantes de un pas?

9. Existe relacin entre la ampliacin de la frontera agrcola en la reserva de Bosaws y la desaparicin de los mantos acuferos en sus alrededores?

Vendedora de Lotera

20


10. Existe relacin entre el crecimiento econmico de nuestro pas y la prctica de una higiene personal adecuada?

11. Hay una opcin bastante difundida de que el contenido de un sueo es un presagio Es razonable esta creencia?

12. Cree usted que hay suficientes evidencias cientficas de que los astros influyen en el carcter de las personas?

13. Qu decisin tomara entre una prdida segura de

C$ 600 000 o una probabilidad del 80% de perder un milln

de crdobas y un 20% de no perder nada? Justifique y luego examine su razonamiento.

Actividades de grupo

1. Discutan en grupos de cuatro estudiantes las preguntas anteriores, consensen las respuestas que darn a toda la clase. Recuerde que el intercambio de argumentos deber hacerse de manera consistente y respetuosa. Es una buena prctica de respeto al derecho de cada quien de expresar libremente su opinin.

2. Clasifiquen los hechos anteriores en dependientes o independientes.

3. Escriban claramente en su cuaderno la idea que adquirieron de la independencia de dos eventos.

Definamos ahora el concepto de independencia

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro, es decir, si P(AB)=P(A)P(B). Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes.

Castalia educa a excelentes msicos e historiadores de la msica, fillogos, matemticos y otros investigadores

Alcanzar la mxima perfeccin posible en su especialidad, manteniendo a sta y a s mismo bien dotados de animacin y elasticidad, y saber conservarse en constante relacin de ntimo afecto con todas las dems disciplinas

Herman Hesse

(1 877-1 962)

21


Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas, se coloca de

nuevo en el paquete y se extrae una segunda carta.

Dados los eventos A = { la carta es un 7}

B = { la carta es un corazn rojo}

Verifique que A y B son eventos independientes.

Tenemos que P(A) = 452 = 1

13 y P(B) = 1352 =

14

Ahora, P(A B) = P( la carta es un 7 de corazn rojo) = 152

Luego, P(A B) = 152 = 1

13 14 = P(A) P(B), por tanto los eventos

A y B son independientes.

La probabilidad de que una persona mayor de 60 aos de cierto

barrio sea alcohlica es 25 , y la probabilidad de que otra de edad

similar padezca enfermedades cardiacas es de 215

.

La probabilidad de que una persona mayor de 60 aos sea alcohlica

y tenga enfermedades cardiacas es de 116

. Son independientes

entre s los eventos del alcoholismo y enfermedades

cardiovasculares?

Si A = { la persona mayor de 60 aos es alcohlica}

B = { la persona mayor de 60 aos padece enfermedad cardiaca}

Entonces P(A B) = 116 y P(A) P(B) = 25

215 =

475 , como se

puede observar P(A B) P(A) P(B), por tanto los eventos A y B

no son independientes.

Solucin

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Solucin

Lo que es probable no es seguro ni imposible

22


Probabilidad de la unin de eventos

Muchas veces es necesario calcular la probabilidad de que los

eventos A o B ocurran, es decir, calcular la probabilidad de unin

de los eventos A y B, (ver figura de la izquierda) donde es posible

que en ambos hayan elementos repetidos, pero que al contarlos

solamente se toman una vez. Algunos textos de probabilidades han

denominado a esta propiedad como regla aditiva por ser expresada

en trminos de sumas. Formalmente tenemos:

Si A y B son dos eventos cualesquiera, entoncesP(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B), donde P(A) y P(B) de-notan las probabilidades respectivas de A y B.

Otra definicin importante es la siguiente:

Si A y B no tienen elementos en comn, entonces se llaman eventos ajenos o disjuntos. En tal caso, la ocurrencia de uno excluye la del otro, es decir, son eventos mutuamente excluyentes.

La formulacin particular de la propiedad anterior en el caso cuando

A y B son mutuamente excluyentes, es la siguiente:

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P (AUB) = P(A) + P(B).

Si se arrojan dos dados, encuentre la probabilidad de que la suma

de los dos nmeros que aparecen en las caras sea 6 u 11.

Recuerde que:

Ejemplo 1

Recuerde algunas expresiones probabilsticas como:Es probable queEs cien por ciento probable

23


Primero calculemos los eventos A y B. Podemos constatar rpida-

mente que A = {(2; 4), (4; 2), (5; 1), (1; 5), (3; 3)} y B = {(6; 5), (5; 6)}.

Observe que A y B no tienen elementos comunes y, dado que,

A B = {(2; 4), (4; 2), (5; 1), (1; 5), (3; 3), (6; 5), (5; 6)}.

Entonces

P(A B) = 536 + 2

36 = 7

36 .

En una localidad aparecen los peridicos La Gaceta Ilustrada

y El Pndulo de la Opinin. La probabilidad de que un habitante

compre el peridico La Gaceta Ilustrada es 0,4 y la probabilidad

de que compre el peridico El Pndulo de la Opinin es 0,3 y la

probabilidad de que compre el peridico La Gaceta Ilustrada y El

Pndulo de la Opinin es 0,5. Cul es la probabilidad de que un

habitante compre los dos peridicos?

Sean los eventos

A: un habitante compra La Gaceta Ilustrada

B: un habitante compra El Pndulo de la Opinin

A B : un habitante compra La Gaceta Ilustrada o El Pndulo

de la Opinin

A B : un habitante compra La Gaceta Ilustrada y El Pndulo

de la Opinin

Si utilizamos la frmula P(A B) = P(A) + P(B) P(A B),

despejando P(A B) obtenemos: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).

Haciendo las sustituciones numricas encontramos que:

P(A B) = 0,4 + 0,3 0,5 = 0,2.

Solucin

Solucin

Ejemplo 2

24


Suponga que en el ejercicio anterior pidieran calcular la

probabilidad de que el habitante no lea ninguno de los dos

peridicos.

Recuerde en qu consisten los eventos A y B del ejercicio anterior.

Entonces

A': un habitante no compra La Gaceta Ilustrada

B': un habitante no compra El Pndulo de la Opinin

Luego, auxilindonos de las propiedades de los conjuntos y las

leyes de las probabilidades, utilicemos la expresin

P(A' B') = P((A B)') = 1 P(A B).


1. Un dado se construye de tal forma que un 1 un 2

aparece dos veces ms frecuentemente que un 5, y este

se presenta tres veces ms seguido que un 3, un 4 un

6. Si el dado se lanza una vez, encuentre la probabilidad de que

a. El nmero sea par;

b. El nmero sea mayor que 4.

2. Si A, B y C son eventos mutuamente excluyentes y

P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 y P(C) = 0,2, encuentre

a. P(A B C)

b. P(A' (B C))

c. P(B C)

3. A y B son sucesos tales que P(A) = 25 , P(B) = 13 y

P(A' B' ) = 13 . Hallar P(A B) y P(A B).

Ejemplo 3

Solucin

Una propiedad de los conjuntos es que dados A y B, entonces:

"Busca a tu complementario, que marcha siempre contigo suele ser tu contrario."Antonio Machado

A'B' = (AUB)', es decir, la interseccin de los complementos de dos conjuntos, es igual al complemento de su unin.

25


4. Si P(A) = 0,3, P(B) = 0,2 y P(A B) = 0,1, determinar las siguientes probabilidades.

a. P(A' )

b. P(A B)

c. P(A' B)

d. P(A B')

e. P(A B')

5. Si A, B son eventos mutuamente excluyentes con P(A)

= 0,2, P(B) = 0,3 y P(C) = 0,4, encontrar las siguientes probabilidades.

a. P(A B C)

b. P(A B C)

6. En una poblacin humana la probabilidad de ser sordo se

estima en 0,0050 y la probabilidad de ser ciego en 0,0085. Ambas enfermedades combinadas aparecen con una

probabilidad de 0,0006. Cul es la probabilidad de ser ciego o sordo?


1. Si la probabilidad de que un jugador de bisbol conecte

un sencillo en una vez al bate es de 0,326, encuentre la probabilidad de que no conecte hit en cuatro veces al bate.

2. Se saca una sola carta de una baraja. Encuentre la probabilidad de que la carta sea roja o figura.

3. Si se arrojan dos dados, encuentre la probabilidad de que la

suma sea mayor que 5.

4. Si se arrojan tres dados, encuentre la probabilidad de que la

suma sea menor que 16.

5. El dueo de una tienda de objetos recreativos, para burlarse un poco de los estadsticos, tiene a la venta dados cargados

El sndrome de Usher es un trastorno gentico que causa sordera y ceguera progresiva

De Mre pensaba que llevaba ventaja al apostar a que en 24 lanzamientos de dos dados aparece al menos un par de seis.

26


en la cara que corresponde al 1. Suponga que alguien que compr uno de estos dados empez a distraerse haciendo

1 000 lanzamientos, anotando los siguientes resultados:

a. Nmero de 1s = 214

b. Nmero de 2s = 152

c. Nmero de 3s = 178

d. Nmero de 4s = 188

e. Nmero de 5s = 163

f. Nmero de 6s = 105

Cules son las diferencias entre este modelo y el legal, donde la

probabilidad de que caiga cualquier nmero es de 16 ?

Relaciono las probabilidades con las bellas artes

Conoca el sublime Mozart las infinitas posibilidades combinatorias

de los dados?

Posiblemente usted haya visto u odo acerca del film Amadeus,

basada presuntamente en la vida de Wolfgang Amadeus Mozart, el

gran genio musical de todos los tiempos. En la pelcula aparece una

escena donde Wolfgang lanza constantemente dos dados sobre

una mesa y luego hace algunas anotaciones. La verdad histrica

es que Mozart, a la edad de 21 aos, describi un juego de dados

que consiste en la composicin de una obra musical: un vals de

16 compases que titul Juego de dados musical para escribir

valses con la ayuda de dos dados sin ser msico ni saber nada de

composicin.

Cada uno de los compases se escoge lanzando dos dados

y anotando la suma de los nmeros que aparecen en las caras

superiores, habiendo 11 resultados posibles, del 2 al 12. Mozart

Wolfgang Amadeus Mozart

(1756 - 1791)

27


dise dos tablas, una para la primera parte del vals y otra para

la segunda. Sucede que hay 2 10 14 (750 trillones) variaciones,

slo una pequea parte ha sido escuchada. Tomando en cuenta la

variacin del vals, pasaran muchos miles de aos si quisiramos

escuchar todas las posibilidades. Para tener una idea de esta cifra,

recuerde que el nmero de estrellas en nuestra galaxia se estima en

10 11. Lea la opinin de Guerino Mazzola en la tabla de la izquierda.

Probabilidad condicional y su relacin con los eventos independientes


Discuta con sus compaeros qu les sugiere la palabra probabilidad

condicionada. Escriba una definicin de esta y presntela al

profesor, quien le dir el grado de pertinencia de las respuestas.

Supongamos que el experimento consiste en lanzar un dado

correcto; asumiendo que cada nmero en las caras tiene la misma

probabilidad de aparecer y que estamos interesados en el evento B,

que consiste en observar si el nmero que cae en la cara superior

es primo, es decir,

B = {2, 3, 5}.

Supongamos ahora que, habiendo sucedido B, queremos conocer

la probabilidad del evento A, que consiste en observar que el

nmero sea impar, en otras palabras, A = {1, 3, 5}. En este caso, el

nuevo espacio muestral ser el conjunto B = {2, 3, 5}, a partir del

cual se deben calcular las probabilidades individuales de cada uno

de los elementos de A. En conclusin, la probabilidad de A dado

que ha sucedido B es 23 . En smbolos, P(A/B) =23

.

El universo musical es un serio competidor del universo fsico, tanto en su cantidad como en su calidad de antagonista espiritual Guerino Mazzola (1947- )

De acuerdo con algunos estudios mdicos, la probabilidad de que los pacientes tomen medicamentos ms efectivos depende de la calidad del empaque.

Sabas que? P(C / A) se lee: "La probabilidad condicional C, dado que ocurre A."

La pleca / significa "dado que ocurre"

28


Lo anterior nos sirve para introducir un nuevo concepto

La probabilidad condicional de B, dado A, indicada por P(B / A), se define como el cociente

si P(A) > 0.P(B A) se lee: "La probabilidad de B dado A"

P (B A)= P(A)P (BA)

Esta definicin nos permite reformular la independencia entre

eventos en el cuadro siguiente:

Dos eventos A y B son independientes si y slo si

P (B A)=P(B) y P (A B)=P(A).

En caso contrario, A y B son dependientes.

La probabilidad de que un bus interurbano ManaguaChinandega salga a tiempo de su parada es de 0,43 y de que llegue a tiempo a su destino es de 0,62 y la de que salga y llegue a tiempo es de 0,38. Encontrar la probabilidad de que

a. Llegue a tiempo dado que sali a tiempo.b. Que salga a tiempo dado que lleg a tiempo.

Consideremos los eventos

A: que salga a tiempo.

B: que llegue a tiempo.

a) P(B A) = P(A B)P(A) = 0,380,43 =

3843 = 0,883.

b) P(A B) = P(A B)P(B) = 0,380,62 = = 0,613.

3862

Los resultados de este ejemplo muestran que P(A/B) y P(B/A) son en general cantidades distintas.

Solucin

Ejemplo 1

Advertencia!

P (B / A) no significa el producto de P por el cociente de B por A.

29


Supngase que el espacio muestral de un experimento es la poblacin estudiantil de un colegio que desfilar en la plaza de la ciudad para celebrar las Fiestas Patrias de Septiembre. Clasificaremos a los estudiantes de este colegio de acuerdo al sexo, y si pertenecen o no al grupo de la gimnasia rtmica. Vase la tabla siguiente.

Se selecciona al azar uno de los estudiantes para que porte uno de los smbolos patrios. El director del colegio est interesado en los siguientes eventos

N: que sea nia, G: que no pertenezca a la gimnasia rtmica.

En este caso, si el director est interesado en que el alumno escogido no pertenezca a la gimnasia rtmica, supondremos que se ha producido el evento G. Si utilizamos el espacio muestral reducido, resulta que

Observemos que la ocurrencia previa del evento G redefine el espacio muestral. Si por otro lado utilizamos la frmula de la

probabilidad condicional, efectuaramos los siguientes clculos:

P(N G)

=P(N G)

P(S)P(G)P(S)

510280= .

P(N G)P(G)=

=280587510587

Gimnasia rtmica

No gimnasia rtmica

Total

Nios 25 230 255

Nias 42 280 322

Total 67 510 577

P(N G) = P(N G)

P(G) = 280510

.

Solucin

Ejemplo 2

30



1. Decimos que el evento A es atrado por el evento B si

P(A B)>P(A) y repelido si P(A B)

31


4. Si se selecciona aleatoriamente a una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de que

a. Sea hombre, dado que tiene educacin de nivel

universitario.

b. No tenga grado universitario dado que es mujer.

5. Se lanza un par de dados; si se sabe que uno de ellos resulta

en un 4, Cul es la probabilidad de que

a. El otro caiga 5?

b. El total de ambos sea mayor que 7?


1. Supngase que A y B son eventos independientes, tales que

la probabilidad de que no ocurre ninguno de los dos es a, y

la probabilidad de que ocurra B es b. Demuestre que

2. Al lanzar un dado al aire, sea A el evento de obtener un

mltiplo de 3 y B el evento de obtener un nmero par. Justificar

mediante clculos si los eventos A y B son independientes.

3. Se toma una muestra de 100 personas adultas, entre hombres y mujeres, para verificar si tienen sobrepeso, obtenindose la tabla siguiente

P(A) = 1 b a1 b

Resultado Mujer (M) Hombre (H) Total

Sobrepeso (S) 24 36 60

Peso normal (S) 16 24 40

Total 40 60 100

Si los eventos A y B son independientes, pueden ocurrir simultaneamente, es decir, A y B se intersectan y P(AB)=P(A)P(B)

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, A y B no se pueden intersectar.

32


4. Sea S el evento de que la persona tiene sobrepeso y H el

evento de que se selecciona un hombre. Son independientes

los eventos S y H? Son independientes los eventos S' y H'?

5. Sean A y B dos eventos cualesquiera. Cul de las siguientes

afirmaciones es falsa en general?

a. P(A B) + P(A' B') = 1

b. P(A B) + P(A B') = 1

c. P(A B) + P(A' B) = 1

Justifique mediante los procedimientos analticos

6. Como una pequea generalizacin del concepto de

independencia para dos eventos, podemos decir que tres

eventos A, B y C son independientes si

P(A B) = P(A) P(B) P(B C) = P(B) P(C)

P(A C) = P(A) P(C) P(A B C) = P(A) P(B) P(C)

Suponga que se lanza de manera independiente una moneda

correcta dos veces. Definamos los siguientes eventos:

A: aparece un escudo en la primera tirada.

B: aparece una cara en la segunda tirada.

C: ambas tiradas tienen el mismo resultado.

Decidir si son independientes los eventos A, B y C utilizando

la definicin dada.

7. Se lanza un par de dados. Si se sabe que uno de ellos cae en

3, cul es la probabilidad de que:

a. el otro muestre 3?

b. el total de ambos sea mayor que 9?

8. Se saca una carta de un mazo normal y se dice que es roja.

Cul es la probabilidad de que sea mayor que 2 y menor

que 9?

Recuerde que anteriormente hemos encontrado la frmula P(A) + P(A')=1, donde A es un evento.

Los griegos antiguos y los romanos fabricaban dados rudimentarios de huesos de animales, piedras de algunos minerales y bano.

Algunos de estos dados habian sido hechos, segn se prob despus, cumpliendo las propiedades matemticas.

33


9. Se tiran dos dados. Sean

A = { El nmero del primer dado es par},

B = { El nmero del segundo dado es par},

C = { La suma de las dos caras es par}.

Verifique que los eventos A, B, C son independientes dos a

dos, pero no independientes.

Regla multiplicativa de las probabilidades

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces P (AB)=P(A) P (B A).

Escriba esta propiedad en su cuaderno usando sus propias palabras.

Por el hecho de que A B = B A, de la regla multiplicativa de

las probabilidades se sigue queP(A B) = P(B A) = P(B) P(B A).

La probabilidad de que un hombre casado vea una telenovela

brasilea es 0,3 y la probabilidad de que una mujer casada vea

una telenovela brasilea es 0,5. La probabilidad de que un hombre

vea una telenovela brasilea, dado que su esposa lo hace, es 0,6.

Encuentre la probabilidad de que un matrimonio vea una telenovela

brasilea.

Sean los eventos

A: un hombre casado ve una telenovela brasilea

B: una mujer casada ve una telenovela brasilea

con sus probabilidades respectivas P(A)=0,3 y P (B)=0,5.

Ejemplo 1

Observacin

Solucin

34


Igualmente sabemos que la probabilidad de que un hombre vea una telenovela brasilea, dado que su esposa lo hace, es P(A B)= 0,6.

Debemos entonces calcular P(AB), la probabilidad de que un

matrimonio vea una telenovela brasilea.

Aplicando la frmula P(AB)=P(A B) P(B) y sustituyendo

obtenemos

P(AB)=(0,6)(0,5)=0,30.

Antes de introducir el siguiente resultado, consideremos algunas

ideas que prevalecen en nuestra vida diaria. Por ejemplo, puede

observar que en su colegio cada estudiante pertenece exactamente

a una seccin de clases, que en cada una de stas hay al menos

un muchacho o muchacha, y que la unin de todas las secciones

es igual a la poblacin estudiantil total de tu colegio. Esto es lo que

se llama una particin.

La idea de particin ha estado presente desde los mismos albores

de la civilizacin: desde las sociedades ms antiguas hasta las

actuales se destaca un sentido de clasificacin social que soporta

el funcionamiento de las instituciones.

En la Biblia, No habla de animales puros o impuros, y luego

los clasifica en especies para luego introducirlos en el arca. Sin

embargo, para nuestros propsitos, daremos una definicin formal.

Decimos que los conjuntos A A An1 2, , ,.... forman una particin del conjunto E si cumplen las siguientes condiciones:

a. Todos ellos son distintos del conjunto vaco.b. Cada pareja de conjuntos distintos no tiene elemento en comn.c.

Dado el conjunto E = {1, 3, 6, 7, 9}, una particin de este conjunto

es {1, 7}, {3} y {6, 9}, lo cual es fcil verificar.

Ejemplo 1

35


Todos los conjuntos son distintos de vaco, si los unimos se obtiene

el conjunto E y cada pareja de ellos no tienen elementos comunes.

Recordemos que los tipos de sangre humana comnmente

registrados son { A }, { B }, { AB } y { O }. Verificar que stos

tambin forman una particin.

La unin de { A }, { B }, { AB } y { O } da todos los tipos de sangre,

no existe una persona que tenga dos tipos distintos de sangre y

siempre hay personas con alguno de ellos.

Actividad de grupo

Imagine con sus compaeros otros tipos de particiones que se

pueden hacer, procedentes de la vida diaria. Socialice sus ideas

para confirmar que estn correctas o constatar que necesitaban

alguna variacin. Hay que reparar en las posibilidades de un

traslape.

Ley de la probabilidad total.

Si tenemos n eventos A1 , A2 , , An mutuamente excluyentes dos

a dos (es decir, cada pareja de ellos no tienen elementos en comn)

y tales que

A1 A2 An = E

y S un evento cualquiera, entonces

P(S) = P (A1) P(S A1) + P(A2) P(S A2) + + P(An) P(S An).

Un test para detectar el virus VIH da un resultado positivo

en el 99,4% de los casos con personas infectadas y en

Solucin

Solucin

Ejemplo 2

Ejemplo 1

36


un 1,6% de los casos en los que no estn infectados (los

llamados falsos positivos). Si se aplica el test a una persona

escogida aleatoriamente, Cul es la probabilidad de que el test

resulte positivo? Segn estadsticas del 2 005, en Nicaragua la

prevalencia del virus es aproximadamente del 0,13%.

Sea el evento

A = { el resultado del test es positivo}.

Los individuos de la poblacin nicaragense se dividen en dos

grupos que no tienen elementos en comn: los infectados con el

virus VIH y aquellos que no lo estn. Estos dos grupos de personas

forman una particin de la poblacin de Nicaragua.

Si escogemos aleatoriamente un individuo de la poblacin,

pertenecer necesariamente a uno de los dos grupos. Definamos

los dos conjuntos

B1 = { la persona est infectada}

B2 = { la persona no est infectada}

Utilizando la frmula para la probabilidad total, podemos escribir

P(A) = P(A B1) P(B1) + P(A B2)P (B2).

Tenemos que

P(B1) = 0,13100

y P(B2) = 99,87100

.

Adems,

P (A B1) = 0,994 y P(A B2) = 0,016.

Por tanto,

P(A)= (0,99) 0,13100 + (0,016)99,87100 0,0172.

Solucin

"Para mejorar nuestro conocimiento debemos aprender menos y contemplar ms"

Ren Descartes

37


Actividad de grupo

Resuelvan y discutan en grupo las soluciones de los siguientes

ejercicios:1. Lean detenidamente la ley de la probabilidad total. Recuerde

que leer significa, segn el diccionario entender o interpretar un texto de determinado modo. El propsito no es que memorice la frmula de la probabilidad total, (lo cual sera inmensamente aburrido!), sino que disfrute del placer en el ejercicio de interpretacin, fijacin sintctica y comprensin de smbolos aparentemente complicados, pero que en el fondo contienen ideas muy simples. Hay una observacin pertinente de Ernesto Sbato:

Existe una opinin muy generalizada segn la cual la

matemtica es la ciencia ms difcil cuando en realidad es

la ms simple de todas. La causa de esta paradoja radica

en el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los

razonamientos matemticos equivocados quedan a la vista


1. Un test de deteccin precoz de una enfermedad da positivo un 90% de las veces en las que existe la enfermedad y en el 15% de los casos en los que no existe la enfermedad. Suponga que la preponderancia de la enfermedad es de 1 en 100. Si el test se aplica a individuos escogidos aleatoriamente, Cul es la probabilidad de que el resultado sea negativo?

2. Un test de deteccin precoz de una enfermedad da positivo un 95% de las veces en las que existe la enfermedad y en el 20% de los casos en los que no existe la enfermedad. Cuando el test se aplica a un gran nmero de personas, el 21,5% de los resultados son positivos. Cul es la preponderancia de la enfermedad?

La palabra diagnstico proviene del griego ; significa conocer una enfermedad por sus sntomas y signos.

Diagnstico o deteccin precoz de una enfermedad significa detectar sta tempranamente. Su origen latino es praecox: prematuro.

38


3. Un cajn contiene tres bolsas numeradas 1, 2 y 3. La bolsa 1 contiene dos bolas azules, la bolsa 2 contiene dos bolas verdes y la bolsa 3 contiene una bola verde. Calcule la probabilidad de que al extraer una bola aleatoriamente sta sea azul.


1. Un cajn contiene seis bolsas numeradas del 1 al 6. La bolsa i contiene j bolas azules y dos bolas verdes. Se lanza un dado y se saca una bola de la bolsa cuyo nmero coincide con el resultado del dado. Cul es la probabilidad de que la bola sea azul?

2. Una compaa farmacutica dice que un nuevo medicamento para el dolor de cabeza proporciona alivio instantneo en el 90% de los casos. Si una persona es tratada con un placebo, hay una probabilidad del 10% de que sienta un alivio instantneo. En una prueba clnica, la mitad de las personas fueron tratadas con el nuevo medicamento y la otra mitad recibi un placebo. Si se escoge aleatoriamente un individuo de esta prueba, Cul es la probabilidad de que la persona sienta alivio instantneo? Es interesante escuchar a veces a algunos mdicos que aseguran haber usado placebos con algunos pacientes, y confiesan que el nmero de personas "curadas" no es nfimo (despreciable).

3. Se extraen dos cartas de una baraja francesa estndar de 52 cartas. Calcule la probabilidad de que la segunda carta sea un as. Comprela con la probabilidad de que la primera carta sea un as.

4. Se extraen tres cartas de una baraja francesa estndar de 52 cartas. Calcule la probabilidad de que la tercera carta sea un as. Comprela con la probabilidad de que la primera carta sea un as.

5. Se reparte una carta de una baraja francesa estndar de 52

Sabas que placebo proviene del latn placere, que significa gustar, agradar?

Un placebo es un medicamento sin accin teraputica que produce alguna mejora.

La baraja francesa es un conjunto de naipes formado por 52 unidades repartidas en cuatro palos: corazones, diamantes, trboles y picas.

39


cartas. Si A indica el suceso de que la carta es una pica y B el suceso de que la carta es un as, determine si A y B son independientes.

6. Se reparten dos cartas de una baraja francesa estndar de 52 cartas. Si A indica el suceso que la primera carta es un as y B el suceso de que la segunda carta es un as, determine si A y B son independientes.

Frmula de Bayes

Una aplicacin interesante de las probabilidades es la frmula de Bayes: si A1 , A2 , A3 , , Ak forman una particin y B es un evento, entonces

Una fbrica tiene dos lneas de produccin de pantalones idnticos.

La primera aporta 2

5 de la produccin total, y la segunda

3

5. De los

pantalones producidos en la primera, 5% resulta defectuoso, pero

de la segunda slo el 2%. Si al escoger al azar un pantaln de la

produccin total ste resulta defectuoso. Cul es la probabilidad

de que provenga de la segunda lnea de produccin?

Sean los eventos

B1: el pantaln pertenece a la primera lnea de produccin,

B2: el pantaln pertenece a la segunda lnea de produccin,

D: el pantaln escogido es defectuoso.

y las probabilidades P (D B1) = 0,05 y P (D B2) = 0,02.

Deseamos calcular la probabilidad condicional P (B2 D) de que el

pantaln haya salido de la segunda lnea de produccin dado que

se comprob era defectuoso.

Dado que P (B2 D) P (B2)

P (D)P (B2 D) =

P(Ai B) = P(B A1 )P(A1 )+ +P(B Ak )P(Ak)P(B Ai)P(Ai)

A

2

3

4

5

6

7

8

9

10

J

Q

K

A

2

3

4

5

6

7

8

9

10

J

Q

K

A

2

3

4

5

6

7

8

9

10

J

Q

K

A

2

3

4

5

6

7

8

9

10

J

Q

K

PICA CORAZNDIAMANTETRBOL

Ejemplo 1

Solucin

40


Para calcular P (D) hacemos uso del diagrama

Donde las primeras ramas significan las probabilidades de que el pantaln provenga de una de las dos lneas de produccin y las

segundas las probabilidades condicionales P (D B1) y P (D B2).

Calculando P (D)

P (D) = P (D B1) P (B1) + P (D B2) P (B2)

= (0,05)(0,04) + (0,02)(0,06) = 0,014

Por tanto, P (B2 D) = = 0,085.(0,02)(0,06)

0,014

En cierto municipio 51% de los adultos son varones. Si se escoge una persona al azar para saber si usa tarjeta de crdito.

1. Encontrar la probabilidad de que la persona elegida sea una mujer.

2. Se supo despus que la persona entrevistada estaba fumando. Si el 9% de los hombres son fumadores y el 1,2% de mujeres tambin fuman. Encuentre la probabilidad de que la persona seleccionada sea varn.

Utilicemos la siguiente notacin: M : Masculino C : Fumador M' : Femenino C' : No Fumador

Evidentemente, P(M') = 0,49

De acuerdo con la informacin dada tenemos lo siguiente:

Ejemplo 2

Solucin

41


P(M) = 0,51,P(M') = 0,49,

P(C|M) = 0,09,P(C|M') = 0,012.

Usando la frmula de Bayes

P(M|C) = P(M) P(C M) + P(M') P(C M')P(M)P(C/M)

= [(0,51)(0,09) + (0,49)(0,012)]

(0,51)(0,09)

0,0459 + 0,005880,0459

0,8864.

0,051780,0459

En referencia al ejemplo 1 supongamos que estamos interesados

en la probabilidad de que una persona est infectada sabiendo que el resultado del test es positivo, es decir, P (B1|A).

Para calcular esta probabilidad, necesitamos la frmula de Bayes, que dice lo siguiente: si B1 y B2 forman una particin y A es un

evento, entonces

Sustituyendo las probabilidades conocidas obtenemos


1. En cierta ciudad los autos deben ser controlados por la emisin de contaminantes. Se encontr que el 37% de los autos

P(B1 | A) = P(A | B1) P(B1) + P(A | B2 ) P(B2)

P(A | B1)P(B1) .

P(B1 | A) = (0,994)(0,0013) + (0,016)(0,9987)(0,994)(0,0013)

0,075.

Ejemplo 3

Solucin

42


verificados emitan una cantidad excesiva de contaminantes. El 98% de estos carros no pasaron la prueba, pero el 15% de los autos no contaminantes tampoco pasaron la prueba. Cul es la probabilidad de que un auto de los que no pasaron la prueba emita excesiva cantidad de contaminantes?

2. En la Asamblea Nacional el 56% de los diputados son del gobierno y el resto pertenece a la oposicin. Se sabe que el 90% de los del gobierno y el 70% de la oposicin estn a favor de un proyecto de ley de inters nacional. Se escoge un diputado al azar y ste se declara favorable al proyecto. Encuentre la probabilidad de que esta persona sea de la oposicin.

3. En un grupo de estudiantes 25 son hombres y 35 son

mujeres. De los hombres, 12 tiene menos de 21 aos de edad

mientras 23 de las mujeres estn en el mismo caso. Calcule la

probabilidad de quea. Un estudiante elegido al azar tenga ms de 21 aos.b. Un estudiante elegido al azar menor de 21 aos sea mujer.

4. Una bolsa puede contener tres pelotas negras y cinco blancas, cuatro pelotas negras y cuatro blancas o cinco negras y tres blancas. Se sabe que estas posibilidades tienen igual probabilidad. Se elige al azar una pelota de la bolsa y resulta negra. Calcular las probabilidades de los tres posibles contenidos de la bolsa.

5. Las urnas 1 y 2 contienen 2 bolas blancas y 3 negras, 4 blancas y 1 negra respectivamente. Se selecciona una urna y se extrae de sta una bola, resultando que es blanca. Cul es la probabilidad que provenga de la urna 1? Asuma que la probabilidad de escoger cada urna es igual.

6. En una bolsa hay tres monedas: la primera tiene nmero en ambas caras; la segunda, escudo a los dos lados y la tercera es una moneda legal. Se extrae una moneda al azar, teniendo la misma probabilidad las tres de ser escogidas, y resulta que es nmero. Cul es la probabilidad de que sea la tercera moneda?

Una pregunta y una sugerencia tienden a provocar la misma operacin mental

George Polya (1 887-1 985)

"Todas las evidencias muestran que Dios es en realidad un gran jugador, y el universo un gran casino, donde los dados se lanzan, y la ruleta gira en todo momento"

Stephen Hawking

43


El teorema de Bayes en la literatura

Es una idea institucionalizada el pensar que la matemtica, en este caso las probabilidades, no tiene que ver con la literatura. Nada ms alejado de la realidad. El anlisis bayesiano no es patrimonio exclusivo de las ciencias. Resulta interesante saber que tres personajes universales de la literatura detectivesca: Monsieur Lecoq, Auguste Dupin y Sherlock Holmes hacen uso frecuente del teorema de Bayes para la resolucin de sus casos. A continuacin presentamos una pequea evidencia del Estudio en Escarlata. Holmes dice Ya le he explicado otras veces refirindose al Dr. Watson- que en esta clase de casos lo extraordinario constituye antes que un estorbo, una fuente de indicios. La clave reside en razonar a la inversa, cosa, sea dicho de paso, tan til como sencilla, y poqusimo practicada. Los asuntos diarios nos recomiendan proceder de atrs adelante, de donde se echa en olvido la posibilidad contraria

En otra parte dice lo siguiente Casi todo el mundo, ante una sucesin de hechos, acertar a colegir qu se sigue de ellos... Los distintos acontecimientos son percibidos por la inteligencia, en la que, ya organizados, apuntan a un resultado. A partir de ste, sin embargo, pocas gentes saben recorrer el camino contrario, es decir, el de los pasos cuya sucesin condujo al punto final. A semejante virtud deductiva llamo razonar hacia atrs o analticamente.

Comente con sus compaeros el punto de vista de este personaje, tan famoso como ficticio, en el tratamiento del delito. Qu relacin guarda con las teoras modernas de la prevencin del delito y la seguridad ciudadana que promulga la Polica Nacional? Cul de los mtodos presentados en el texto es el ideal para bajar los ndices de criminalidad en nuestro pas?

La suerte con las mquinas tragamonedas en los casinos

En nuestro pas han florecido en los ltimos aos las casas de juego o casinos. El xito econmico es tal que frecuentemente aparecen promocionando eventos deportivos, conciertos u otras

mile Gaboriau (1832-1873) fue el creador del agente Monsieur Lecoq.

Edgard Allan Poe (1809-1849), uno de Los Raros de Rubn Daro, fue el creador de Auguste Dupin.

Arthur Conan Doyle (1859-1930) cre al clebre personaje Sherlock Holmes, un cono de la literatura detectivesca.

Colegir (del latn colligere), sacar consecuencia de una cosa, inferir.

44


actividades recreativas. Te has preguntado si estas casas de juegos tienen grandes posibilidades de perder demasiado dinero en las apuestas hasta llegar a la quiebra? Conoces las leyes a las que deben someterse estos negocios? Suponga que usted es un empresario honrado que posee un casino con diferentes juegos de azar: ruletas, mesas para jugar pker o dados, mquinas tragamonedas, etctera Cmo hara para tratar de obtener ganancias, pero a la vez dar oportunidades a los clientes de que obtengan algunos premios?

En las modernas tragamonedas, las probabilidades son calculadas por medio de computadoras. Las mquinas funcionan con un generador de nmeros aleatorios, el cual asegura que en el trmino de varios cientos de tiradas, todas las combinaciones salgan en algn momento. Cada tirada es independiente de las otras, pero existe una estadstica de problemas que establece la cantidad de veces en las que puede salir cada combinacin. La mquina est programada para ser tan aleatoria como lo eran las antiguas tragamonedas, pero las estadsticas estn balanceadas para asegurar que las ganancias sean favorables a los casinos.

Paradjicamente, aun cuando el azar est presente, la ley de los grandes nmeros asegura que al final, despus de una cantidad grande de apuestas, la casa de juego resulta ganadora.

Variables aleatorias discretas


1. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 3} Cul es el complemento de A?

2. Cundo un nmero natural es par?

3. Cundo un nmero natural es impar?

Si se lanzan tres dados correctos y el evento consiste en observar si es par o impar el nmero que aparece en cada cara Cul es el espacio muestral?

"El programa de las tragamonedas tiene que ser tan bueno que permita que los casinos ganen siempre, pero de tal forma que los clientes tambin ganen las suficientes veces de manera tal que sigan jugando o vuelvan al da siguiente"Anthony Baerlocher (matemtico inventor de las mquinas tragamonedas)

Ejemplo 1

Thomas Bayes (1701 - 1761)

45


Resultados Valor de X

III 0IIP 1IPI 1PII 1IPP 2PIP 2PPI 2PPP 3

Supongamos que lanzamos tres dados, uno despus del otro, y queremos registrar el nmero de veces que aparece un nmero

par. Vemos a la izquierda la tabla de posibles resultados, junto con

la cantidad de veces que aparecen pares e impares en cada trada

de lanzadas. I significa impar y P par.

La expresin X = 0 significa que en la tirada de los tres dados no

apareci ningn nmero par; X = 1 seala que solo apareci un

nmero par; X = 2 que de tres nmeros aparecidos en las caras

solamente dos son pares, y X = 3 los tres nmeros son pares. En

resumidas cuentas, tenemos la siguiente tabla que asocia un valor

a x para cada evento correspondiente

Lo anterior nos lleva al siguiente concepto

Una variable aleatoria M es una regla que asigna un valor numrico a cada posible resultado de un experimento.

En este ejemplo, M consiste en el nmero de pares que aparecen

en cada tripleta de dados.

Sabiendo que el espacio muestral del experimento anterior es

S = { III, IPI, IIP, PII, IPP, PIP, PPI, PPP},

podemos calcular la probabilidad de cada uno de los eventos:

P({III}) = P(X = 0) = 18

P({IPI, IIP, PII}) = P(X = 1) = 38

Valor numrico de X EventoX 0 {III}X 1 {PII}, {IPI}, {IIP}

X 2 {PPI}, {PIP}, {IPP}

X 3 {PPP}

El poder analtico no debe confundirse con el mero ingenio, ya que si el analista es por necesidad ingenioso, con frecuencia el hombre ingenioso se muestra notablemente incapaz de analizar.

(Edgar Allan Poe, Los Crmenes de la calle Morgue)

Solucin

46


P({IPP, PIP, PPI}) = P(X = 2) = 38

P({PPP}) = P(X = 3) = 18

La variable X representa el nmero de veces que aparece un nmero par en los dados. Por ejemplo, P(X = 1) significa la probabilidad de que aparezca un nmero par, P(X = 2) que aparezcan dos nmeros pares, etc.

La notacin usada para la distribucin de una variable aleatoria es anloga a la notacin para la probabilidad de un evento, as

P(0) = P(X = 0) = 18

P(1) = P(X = 1) = 38

P(2) = P(X = 2) = 38

P(3) = P(X = 3) = 18

.

La siguiente tabla

se llama la distribucin de probabilidad para el nmero de pares.

La grfica de esta distribucin de probabilidad se describe a continuacin:

Sea X el nmero de escudos que aparecen cuando se lanza una moneda legal dos veces.

La distribucin de probabilidad para X se presenta en la siguiente

X 0 1 2 3

Probabilidad 3838

1 2 30

18

38

" el analista halla su placer en esa actividad del espritu en desenredar"

(Edgar Allan Poe, Los Crmenes de la Calle Morgue)

Muchos profesionales usan modelos computacionales para predecir el arribo, intensidad y la ruta de tormentas tropicales, incluyendo huracanes.

Solucin

Ejemplo 2

18

18

47


tabla. Las probabilidades 14 , 12 y

14 se obtuvieron del espacio

muestral {NN, EN, NE, EE} asumiendo que las dos tiradas son independientes.

i 0 1 2

P (X = i) 1412

14

y la grfica es


1. Suponga que se lanza cinco veces una moneda cargada. La probabilidad de que caiga escudo es 0,4 Cul es la probabilidad de que caigan exactamente 2 escudos? Encuentre la distribucin de probabilidad y su grfica.

2. Cuando el tomo de uranio se fusiona libera 0, 1, 2, 3 o cuatro neutrones. Sea P(x) la probabilidad de que x neutrones sean liberados. Supongamos que la distribucin de probabilidad es la que se muestra a la izquierda.

se llama esperanza matemtica, y se aplica a sucesos mutuamente excluyentes. Calcule E.

1 20

14

12

X P(X)

0 0,05

1 0,20

2 0,25

3 0,40

4 0,10

a. Grafique la distribucin de probabilidadb. La cantidad.

48


Nota histrica

La idea del azar estuvo presente en muchos juegos adivinatorios

desde las civilizaciones sumerias, asirias y egipcias. Demcrito

pensaba que todo lo ocurrido en el mundo era el fruto del azar y

la necesidad. En el manuscrito De Vetula (siglo trece) aparece

descrita una apuesta sobre dados, y Guglielmo Libri encuentra en

El Purgatorio, de la Divina Comedia, de Dante Alighieri, una de las

primeras indicaciones acerca del clculo de las probabilidades

cuando se lanzan tres dados. La primera lnea del canto sexto

dice: Cuando los que juegan a la zara se separan unos de otros,

que el que ha perdido queda pensativo repitiendo las tiradas.

Ver columna izquierda.

La zara es precisamente el juego consistente en lanzar tres dados,

siendo el ganador el que cumple ciertas reglas determinadas.

En 1 654, el caballero de Mre, un jugador aficionado, propuso a

Blaise Pascal un problema que deca ms o menos lo siguiente:

Dos jugadores, Juan y Pedro, ponen sobre la mesa 10 000

crdobas en monedas. Un rbitro se encarga de lanzar un dado

varias veces seguidas. Cada uno de los jugadores va a elegir un

nmero entre el 1 y el 6. Juan elige el 5 y Pedro el 3. Se lleva los

20 000 en monedas aqul cuyo nmero salga primero tres veces.

Resulta que despus de unas cuantas tiradas el 5 ha salido dos

veces y el 3 slo ha salido una vez. En este momento Pedro recibe

un mensaje de que debe abandonar inmediatamente la partida.

Cmo repartir de modo justo y equitativo los 20 000 en monedas?

El desarrollo posterior de las probabilidades est ligado a

famosos matemticos y hombres de ciencias como Cardan,

Pacioli, Tartaglia, Kepler, Galileo, Pascal, Fermat, Leibniz,

los Bernoulli, De Moivre, Euler, Laplace, Kolmogorov, etc.

" Quando si parte il gioco de la zara colui che perde si riman dolente repetendo le volte, e tristo impara"

Il Purgatorio,Dante Alighieri(1 265-1 321)

Miguel Ramrez Goyena

(1 857 - 1 927)

Fue un cientfico, botnico y educador nicaragense, que se destac en el extranjero y en Nicaragua; dio grandes aportes a la clasificacin de la flora nicaragense.

Fue profesor de Botnica, Fsica, Matemtica y Qumica, del Instituto Nacional Central en Managua, habiendo sido nombrado su director a la edad de 22 aos.

Ejercicios Unidad

Education

Libro de matematicas 11mo grado