Indice della lezione - Gli insiemi

Gli insiemi

Concetti fondamentali della teoria degli insiemiStoria della teoria matematica degli insiemi

Insiemi: termini, simboli e linguaggio

Sottoinsiemi Insieme delle parti e partizioni

Lavorare con gli insiemiOperazione fra insiemi Proprietà delle operazioni fra insiemi

Numero degli elementi di un insieme Insiemi finiti ed infiniti

Gli insiemi

Lavorare con gli insiemi

Operazioni fra insieme

L'intersezione tra due insiemi non vuoti A e B è una operazione che dà come risultato l'insieme C, contenente tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B.

B}x e Ax|{x BA=C ∈∈=∩

Esempio

Siano dati i due insiemi A={1,2,3,4} e B={1,2,5,6}, l'insieme C=A∩B è

quell'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B, cioè

C={1,2}.

Intersezione

Operazioni fra insieme

Esempio

Siano dati i due insiemi A={3,4} e B={5,6}, l'insieme C=A∩B è quell'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B, cioè C=∅.

Se i due insiemi A e B sono non vuoti e disgiunti, l’insieme C, intersezione fra A e B, corrisponde all’insieme vuoto ∅.

Operazioni fra insieme

Per l’operazione di intersezione valgono le seguenti proprietà:

BBA BSe =∩⊆ alloraA acommutativproprietà ABBA ∩=∩

toassorbimenφφ =∩A aidempotenzAAA =∩

( ) ( ) aassociativ CBACBA ∩∩=∩∩ neutroelementoAUA =∩

Operazioni fra insieme

L'unione tra due insiemi non vuoti A e B è una operazione che dà come risultato l'insieme C, contenente tutti gli elementi che appartengono ad A oppure a B.

B}x o Ax|{x BA=C ∈∈=∪

Esempio

Siano dati due insiemi A={1,2,3,4} e B={1,2,5,6}, l'insieme A∪B è quell'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad A o a B, cioè C={1,2,3,4,5,6}.

Unione

Operazioni fra insieme

Esempio

Siano dati i due insiemi A={3,4} e B={5,6}, l'insieme C=A∪B è quell'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B, cioè C={3,4,5,6}.

Se i due insiemi A e B sono non vuoti e disgiunti, l’insieme C, unione fra A e B, corrisponde all’insieme contiene tutti gli elementi di A e B.

Operazioni fra insieme

Per l’operazione di unione valgono le seguenti proprietà:

ABA BSe =∪⊆ alloraA acommutativproprietà ABBA ∪=∪

neutroelementoA=∪ φA toassorbimenUUA =∪

aidempotenzAA =∪A ( ) ( ) aassociativ CBACBA ∪∪=∪∪

Operazioni fra insieme

Siano A e B due insiemi non vuoti, l'operazione di differenza, A-B, restituisce un'insieme C formato da tutti gli elementi di A che non sono elementi di B.

B}x e Ax|{x BA=C ∉∈=−Esempio

Siano dati i due insiemi A={1,2,3,4} e B={1,2,5,6}, l’insieme C=A-B è quell'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono solamente ad A, quindi escludendo tutti quelli che appartengono a B, cioè C={3,4}.

Se i due insiemi A e B sono non vuoti e disgiunti, l’insieme C, differenza fra A e B, corrisponde all’insieme A.

Differenza

L’insieme differenza corrisponde all’insieme complementare BABA −=

Operazioni fra insieme

Per l’operazione di differenza valgono le seguenti proprietà:

ABCalloraA ==⊆ B-A BSe AA=

φ=U U=φ

φ=∩ AA

acommutativproprietà la valenon ABBA −≠−

UAA =∪

Proprietà delle operazioni fra insiemi

Le operazioni di unione ed intersezione sono commutative, mentre non lo è l’operazione di differenza.Nella tabella sono evidenziate le principali proprietà dell’unione e dell’intersezione, che possono essere agevolmente verificate tramite i diagrammi di Eulero-Venn.

Proprietà delle operazioni fra insiemi

Proprietà Unione Intersezione

Elemento neutro

Commutativa

Associativa

Idempotenza

Assorbimento

A=∪φA

ABBA ∪=∪

AA =∪A

( ) ( )CBBA ∪∪=∪∪ AC

UU =∪A

AU =∩A

ABBA ∩=∩

( ) ( )CBBA ∩∩=∩∩ AC

AA =∩A

φφ =∩A

Proprietà delle operazioni fra insiemi

Le operazioni di unione ed intersezione sono unite dalle seguenti proprietà:

Le due proprietà possono essere dimostrate con l’aiuto dei diagrammi di Eulero-Venn.

( ) ( ) ( )CA∩∪∩=∪∩ BACBA

( ) ( ) ( )CA∪∩∪=∩∪ BACBA

Proprietà distributiva rispetto all’unione

Proprietà distributiva rispetto all’intersezione

Proprietà delle operazioni fra insiemi

Proprietà distributiva rispetto all’unione

Proprietà distributiva rispetto all’intersezione

Proprietà delle operazioni fra insiemi

Valgono inoltre le seguenti leggi di De Morgan:

Anche queste due proprietà possono essere dimostrate con l’aiuto dei diagrammi di Eulero-Venn.

BABA ∩=∪

BABA ∪=∩

prima legge

seconda legge

Proprietà delle operazioni fra insiemi

Prima legge di De Morgan

Seconda legge di De Morgan

Numero degli elementi di un insieme

In realtà, nel contare gli elementi di un insieme, li si confronta con un altro insieme del quale si conosce già il numero degli elementi. L’uomo sin dall’antichità ha considerato questo metodo usando le dita, i sassolini, il pallottoliere ed altro ancora.

DefinizioneDue insiemi finiti A e B hanno lo stesso numero di elementi se è possibile associare ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B e viceversa.

Si chiama potenza di un insieme il numero degli elementi di un insieme, inoltre due insiemi aventi lo stesso numero di elementi si dicono equipotenti.

Insiemi finiti

Per conoscere il numero degli elementi appartenenti ad un insieme, il modo più semplice è quello di contarli.

Numero degli elementi di un insieme

Siano A e B due insiemi finiti con , la potenza di A è maggiore della potenza di B poiché esiste almeno un elemento di A, che non appartiene a B, al quale non corrisponde nessun elemento di B.

AB ⊂

Esempi• In una azienda, il numero dei dipendenti non sposati è sicuramente minore a tutti i

dipendenti dell’azienda.• In una scuola, il numero delle professoresse è sicuramente minore del numero di tutti i

professori che insegnano nell’istituto.

Numero degli elementi di un insieme

Nn∈n2 Nn∈ n

n

2........12108642

..........

...........654321

L’insieme dei numeri naturali N è infinito, come l’insieme dei numeri pari P.

Considerato l’insieme dei numeri naturali N ed il suo sottoinsieme proprio dei numeri pari P, è possibile associare ad ogni numero naturale il corrispondente numero pari dato da con .

Insiemi infiniti

La successione dei numeri naturali N è un esempio di insieme con un numero infinito di elementi, poiché, considerato un qualsiasi elemento n, anche molto grande, è sempre possibile trovare l’elemento successivo ad esso, n+1.

Definizione

Un insieme è formato da un numero infinito di elementi quando è possibile porlo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

Numero degli elementi di un insieme

Si dicono insiemi infiniti numerabili tutti gli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali; inoltre sono numerabili tutti gli insiemi infiniti discreti, cioè quegli insiemi in cui ad ogni elemento è possibile associare un successivo.

{ };.......2;;......12;10;8;6;4;2;0 += nnP

{ };.......2;;......13;11;9;7;5;3;1 += nnD

{ };.......3;;......21;18;15;12;9;6;3 += nnT

{ };.......4;;......28;24;20;16;12;8;4 += nnQ

Insiemi numerabili

Sono tali gli insiemi dei:

• numeri pari

• numeri dispari

• multipli di 3

• multipli di 4