La derivataDocente Grazia Cotroni classi V A e V B

Un po’ di storiaUno dei problemi classici che portarono al concetto di derivata è quello della determinazione della retta tangente a una curva in un punto.In geometria analitica, quando si deve determinare la tangente ad una conica essa si definisce come quella retta che interseca la conica stessa soltanto nel punto P. Quando però le funzioni sono più complicate, questa definizione non è sempre corretta.

Definizione di tangentePer ottenere una definizione valida in generale, occorre richiamare il concetto di limite, pensando al procedimento secondo il quale si può approssimare la tangente mediante rette secanti che le si avvicinano sempre di più.

Definizione di retta tangente:La retta tangente ad una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.

Un’osservazione importante

La retta tangente segue l’andamento della curva

vediamolo

Significato geometrico Data la funzione definita in un intervallo e preso interno all’intervallo si consideri un incremento tale che appartenga ancora all’intervallo in cui la funzione è definita.Indicheremo con i simboli f

e x le seguenti differenze: l’incremento della funzione

f = f(x0+h) – f(x0)

L’incremento della variabile indipendente

x = x0+h – x0 = h

P e Q hanno le seguenti coordinate: Q e grazie alle formule studiate in geometria analitica si può calcolare il coefficiente angolare

().

Ora se si guarda l’animazione

Si può notare che quando Q coincide con P la retta secante in P e Q diventa la retta tangente in P e infatti quando si considera il limite per si ottiene il coefficiente angolare della retta tangente nel punto P.

Allora si può concludere che

Definizione: funzione derivabile in un punto Una funzione si dice derivabile in un punto x0 se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale della funzione quando l’incremento h della variabile tende a zero, cioè se esiste ed è finito il seguente limite:

h)f(xh)f(xlim 00

0

h

Il risultato del precedente limite lo diremo derivata della f(x) nel punto x0 e lo indicheremo con il simbolo:

Se il precedente limite non esiste (cioè il limite destro e sinistro sono diversi), oppure non dà come risultato un numero finito, allora diremo che la funzione f(x) non è derivabile nel punto x0

DERIVATE 3/6

h)f(xh)f(xlim)(x'f 00

00

h

Punti di non derivabilitàPunto angoloso:Il limite destro e sinistro del rapporto incrementale sono finiti ma non sono uguali.

Punto di cuspide:Il limite del rapporto incrementale non esiste e non ha un valore finito.

Punto a tangente verticale:Il limite destro e sinistro è lo stesso ma non è finito

Le notazioniLa notazione df(x0)/dx è stata introdotta da Leibniz nel 1675 ca. e i simboli df(x0) e dx indicano i rispettivi valori infinitesimi (cioè entità numeriche infinitamente piccole).

La condizione di continuità di una funzione è necessaria ma non sufficiente per la derivabilità; ad esempio la funzione a valore assoluto f(x)=|x| è continua ma non derivabile nel punto x0=0 (poiché il limite calcolato per x>0 è diverso da quello calcolato per x<0).

La derivata di una funzione in un punto x0 , che indicheremo col simbolo f’(x0), è un numero che misura la variazione della f(x) in un intorno del punto, ovvero la “rapidità” con cui cresce o decresce la f(x) in un intorno di x0 . La derivata risulta quindi essere legata alla pendenza del grafico della funzione in un intorno di x0 :

f(x)

O x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x

f ’(x0) =

2

.

. f ’(x2) =

0

. f ’(x3) = -1

. f ’(x4) = -2

. f ’(x5) =

0

. f ’(x6) =

4.

f ’(x1) =

1

DERIVATE 1/6

In particolare… si può notare che

Quando la funzione è decrescente la derivata prima è negativa,

quando è crescente la derivata prima è positiva,

quando è uguale a zero è un punto stazionario

Punti stazionariPer trovare i punti stazionari Cioè i punti di massimo, di minimo o di flesso a tangente orizzontale occorre imporre la derivata prima uguale a zero

N.B. si chiamano punti stazionari perché potrebbero essere visti come punti di equilibrio stabile (il minimo) o instabile (massimo o flesso a tangente orizzontale), quindi una pallina posizionata bene in quei punti potrebbe «stazionare», cioè rimanere ferma.

APPLICAZIONI DELLA DERIVATA IN GEOMETRIA ANALITICA

LA RETTA TANGENTE IN P

Ricordando che l’equazione della retta passante per un punto è y – y0 = m (x – x0) allora sostituendo il coefficiente angolare e le coordinate del punto P l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x0 è:

y – f(x0) = f ’(x0) ( x – x0)

APPLICAZIONI DELLA DERIVATA IN FISICA

Quasi tutte le grandezze fisiche dipendono da altre grandezze o parametri, quindi il significato fisico della derivata è proprio quello di definire in che modo varia una grandezza fisica rispetto alla sua variabile correlata (ma ciò è vero solo se questa grandezza può essere espressa da una funzione continua e derivabile).Nota: naturalmente una grandezza fisica può dipendere da più variabili; il concetto di derivata si può in effetti estendere a più variabili.

La velocitàConsideriamo il rapporto Δ s /Δ t tra lo spazio percorso e l'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo che, come sappiamo dalla fisica, rappresenta la velocità media del punto mobile nel tempo Δ t. Ma tale rapporto è anche il rapporto incrementale della funzione spazio relativo all'istante generico t e all'incremento Δ t . Facciamo tendere a zero l'incremento Δ t del tempo: sappiamo che, così facendo, la velocità media tende, in generale, a un limite v che rappresenta la velocità istantanea o velocità all'istante t .

Se consideriamo il grafico della equazione oraria nel piano cartesiano ,t la velocità del corpo in questione è, in ogni istante, data dal coefficiente angolare della retta tangente all' equazione oraria nell' istante considerato. I punti di massimo e/o di minimo relativo di sono punti nei quali il corpo inverte il suo moto e conseguentemente la sua velocità è zero in quanto la tangente alla curva è parallela all'asse delle ascisse cioè all'asse dei tempi.

L’ACCELERAZIONEIl rapporto incrementale rappresenta l'accelerazione media di un punto mobile nel tempo Δt . Se tende a zero e il limite esiste ed è finito, se cioè la funzione v(t) è derivabile, allora tale limite rappresenta l'accelerazione. Ma, essendo v(t) a sua volta la derivata dello spazio rispettoal tempo, l’accelerazione istantanea sarà sia la derivata della velocità ma anche la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo.

La corrente elettricaSia q=q(t) la quantità di carica elettrica che nell'intervallo di tempo attraversa la sezione di un conduttore; diamo a t un incremento Δ t e sia q(t +Δ t) la quantità di carica che attraversa la stessa sezione nell'intervallo . Sappiamo che il rapporto ghgghhhggk bòà .tsytra la quantità di elettricità che passa nella sezione del conduttore nell'intervallo di tempo Δ t e Δ t stesso indica l'intensità media della corrente elettrica in quel conduttore relativamente all'intervallo di tempo . Inoltre sappiamo che, se

esiste ed è finito, esso d il valore dell'intensità della corrente all'istante t.