“DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO”

WebQuest para Alumnos del primer año de la Universidad Nacional de Formosa de las carreras de: Contador Público, Lic. en Sistema de Información, Lic. en TIC y Lic. en Bromatología.

Diseñada por: Mario Enrique Quintana

OBJETIVOS:1.  Comprender la noción fundamental de la

derivada en un punto 2.  Interpretar geométricamente la derivada en un

punto.3.  Comprender la derivada de una función en un

punto como: la pendiente de la recta tangente y la rapidez de variación instantánea.

4.  Calcular las ecuaciones de la recta tangente 5.  Hallar la derivada de las funciones utilizando

definición. Contenidos Funciones. Variables. Representación.Derivada. Concepto: Límite. Enfoque variacional y

pendiente de la recta tangente.

Conocimientos previos Representación Gráfica de

funcionesFunciones cuadráticasLímite de funciones.Números reales: decimalesOperaciones algebraicasFactorización. Casos.

PRESENTACIÓN

 Es fundamental tener en cuenta que la derivada en un punto es un limite, por ello es importante que el alumno haya comprendido la idea de limite como aproximación a un punto.

El concepto de derivada está íntimamente relacionado con los límites, con el análisis del comportamiento de las funciones dada la correlación de las variables.

En la presente webquest estudiaremos desde el punto vista experimental el comportamiento de las variables de una función, como cambia la función cuando la variable independiente cambia constantemente. También se analiza la rapidez de variación instantánea de la función con respecto a la variable, se establece la analogía con la pendiente de la función en un punto cualesquiera.

Se encontrará la derivada de  funciones algebraicas  mediante la definición de derivada y también por  reglas.

INTRODUCCIÓNSe pretende que el alumno comprenda y

defina el concepto de la derivada mediante las distintas actividades y situaciones donde es necesario que el alumno mida la rapidez de variación con que cambia la variable dependiente de acuerdo a la variable independiente que están íntimamente relacionadas en una situación o fenómeno. los alumnos tendrán la experiencia de trabajar con en situaciones reales donde podrán analizar esta idea de variación y la relación con la derivada

ACTIVIDADES

 ACTIVIDAD 1.- INVESTIGAR LAS CARACTERÍSTICAS DE RAPIDEZ DE VARIACION Y RAPIDEZ DE VARIACION INSTANTANEA.

 ACTIVIDAD 2.- DETERMINAR LA PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO  DEL GRAFICO DE LA FUNCIÓN.

  ACTIVIDAD 3.-  CALCULAR   LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, APLICANDO SU DEFINICIÓN Y UTILIZANDO FORMULAS.

CRITERIOS

LAS ACTIVIDADES PUEDEN SER RESUELTAS YA SEAN DE FORMA INDIVIDUAL O POR EQUIPO, POR TANTO, ES ANTES DE EMPEZAR ME TIENEN QUE ACERCAR LA NOMINA DE LOS GRUPOS CON UN SEUDONIMO. TE SUGIERO QUE TE ORGANICES CON TÚ EQUIPO Y DE MANERA CONJUNTA  DEFINAN LAS ESTRATEGIAS QUE LES PERMITAN ALCANZAR LOS OBJETIVOS EN CADA UNA LAS ACTIVIDADES.

ACTIVIDAD 1.- RAPIDEZ DE VARIACION Y RAPIDEZ DE VARIACION INSTANTANEA.

Actividad 1.- Vamos a jugar al rugbyCarlos y Javier están jugando al Rugby.

Carlos patea el balón para su compañero que se encuentra a una cierta distancia describiendo dicho lanzamiento un movimiento la ecuación del movimiento del balón está dada por h(t)=-t2+5t. donde t es el tiempo en que tarda en recorrer el balón y h es la altura que alcanza. Carlos quiere saber con que velocidad partió el balón.

Representa la función utilizando https://www.geogebra.org/download?lang=es

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

Movimiento del balón

tiempo en segundos

altu

ra e

n m

etro

s

Analiza la representación:Observa la gráfica, corresponde a la trayectoria

que describe el balón, al ser lanzado, observa detenidamente, como  el balón se eleva “aumentan los valores de que variable”, también el balón aumenta su distancia horizontal

La rapidez de variación la puedes determinar si consideras dos posiciones del balón dentro de su trayectoria, las posiciones pueden ser cualesquiera, no necesariamente deben ser posiciones consecutivas. A continuación determina RAPIDEZ DE VARIACION del balón cuando paso de la posición uno a la posición tres.

RAPIDEZ DE VARIACION Ahora, determina la RAPIDEZ DE VARIACION  entre las siguientes  posiciones del balón, que se indican  en la tabla:

RAPIDEZ DE VARIACION

ENTRE los tiempos

t

CALCULO

RAPIDEZ DE VARIACION

¿Qué observa?

De 0,5 a 1

De 1,5 a 2,5

De 2,5 a 3

De 3,5 a 4

h(t)=-t2+5tSi, lo que interesa es determinar la RAPIDEZ

DE VARIACION INSTANTANEA, en cualesquier posición  que tenga el balón, también suele llamarse razón de cambio instantáneo, entonces hay que,  averiguar la RAPIDEZ DE VARIACION INSTANTANEA, para el balón en una posición particular, por ejemplo: cuando el balón  se encuentra a una altura de 3 metros cuando asciende y a una distancia de 4 metros cuando desciende con respecto a su posición de salida. Recordemos que la trayectoria está definida por la ecuación h(t)=-t2+5t

tiempo inicial del balón

t

Incremento en el tiempo

∆t

Tiempo próxima a la inicial

t+∆t

Incremento en la altura.

altura final – altura inicial

∆ℎ=h(t+∆𝑡 )−h(t)

Rapidez de variación

instantánea∆ℎ/∆𝑡

3 0.1

3 0.01

3 0.001

3 0.0001

3 0.00001

Completa la siguiente tabla:

Otra cuadro y conclusionesHacemos los mismos para 4Conclusión:______________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

De las conclusiones anteriores, da lugar a la definición de RAPIDEZ DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA o también llamada RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO, que se representa mediante la ecuación:

SI remplazamos una por la otra en la ecuación anterior.

Mediante la aplicación de la ecuación de RAPIDEZ DE VARIACION INSTANTANEA, se

simplificaría los cálculos, a solo, la determinación del limite de la ecuación que describe la trayectoria el proyectil en una

posición cualesquiera, y para un valor definido de t .

A continuación determina la rapidez de variación instantánea para las diferentes tiempos del balón, que se observan en la grafica.

POSICIONES descritas por el balon.t

CALCULORAPIDEZ DE VARIACION

DESARROLLO

1. (De 0,5 a 1)

1. (De 1 a 1,5)

1. ( De 2 a 3)

3,5 ( de 3,5 a 4)

Después de haber realizado toda la actividad, contesta las preguntas que se plantean y comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo, justificando tus resultados.

Preguntas: 1.    ¿Cuál es la altura máxima que recorre el balón? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________ 2.    ¿Cuál el es valor de t para que el balón alcance su máxima

altura? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________ 3.    ¿Cuál es la rapidez de variación instantáneo de la altura  del

balón respecto al cambio de tiempo en t igual 0, 2 , 4 y 5? ___________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.    ¿Cuál es la rapidez de variación instantánea del balón cuando alcanza su máxima altura?

___________________________________________________________________

Actividad 2.- DETERMINAR LA PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO  DEL GRAFICO DE LA FUNCIÓN.

Por geometría analítica  sabemos que para encontrar la pendiente de una recta son necesarios dos puntos.

Si consideramos la recta que interseca a la función h (x)  en dos

de sus puntos cualquiera. Graficar  Determina   la  pendiente de la  recta  que pasa  por  los

puntos P(x,f(x))  y  Q(x+h, f(x+h)), si recuerdas los conocimientos de geometría analítica adquiridos en el curso anterior de matemáticas, y remplaza estos puntos en la formula anterior:

  

……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ___________________________________________________________________________________________

Representación

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

-7-6-5-4-3-2-10123456789

1011121314151617181920

Recta tangente en t=0

REALIZAR EJERCICIOS SOBRE LA DETERMINACION DE LA PENDIENTE GENERAL DE UNA FUNCION EN CUALESQUIER PUNTO, ASI COMO CALCULAR LA ECUACION DE LA RECTA TANGENTE en un puntoDeterminar la ecuación de la recta tangente en

el punto (1,0) de la grafica de la función utiliza en la actividad 1

Función f(x)

Paso uno

Función incrementada f(x+h)

Paso dos

Hallar la variación de la función

Paso tres

Cociente incremental

Paso cuatro

Pendiente general=derivada

Pendiente de la recta en el punto

A(1,0)=  derivada de la función en un punto=

rapidez de variación instantánea

Ecuación punto-pendiente

Sustitución de datos en la ecuación punto-

pendiente.

Resultados

¿QUE ES UNA RECTA TANGENTE? Representa las rectas y la función utilizando https://www.geogebra.org/download?lang=es_______________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  Determinar la ecuación de la recta tangente  en el

punto  (4,2) para la misma función. Realiza el mismo cuadro. Representa las rectas y la función utilizando https://

www.geogebra.org/download?lang=es

¿QUE ES LA DERIVADA DE UNA FUNCION?_______________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

ACTIVIDAD Nº 3OBTENER LA DERIVADA DE UNA FUNCION ALGEBRAICA MEDIANTE “FORMULAS”

Obtención de la derivada de un función algebraicas mediante “FORMULAS.” Observación: Es importante que investigues en la INTERNET, algunas formulas que te permitan derivar algunas funciones, algebraicas, logarítmicas y trigonométricas.

Función FORMULA EJEMPLO

y = x

y= x2

y=5

y= 3x

y= sen x

EVALUACIÓN.

Criterios a tener en cuenta para evaluarTecnológico: Manejo de las herramientas de la comunicación. Su trabajo satisface las condiciones siguientes: Visito los sitios sugeridos u otros. El equipo elabora una presentación grafica utilizando los recursos de las Tics. El equipo realiza la exposición de  su presentación utilizando recursos tecnológicos.Compresión del tema y conceptos claves (Cognitivo) Identifica las diferencias entre una variable dependiente y la independiente en una

función. Identifica los elementos básicos de una grafica de una función. Dibuja una grafica elemental de una función. Define los conceptos económicos representados en las graficas de las funciones. Interpreta la relación entre las variables representadas como inversas o directas. Identifica las variables económicas que interaccionan. Representa las variables económicas en una  grafica de una función. Relaciona con las leyes y principios Matemáticos y económicos. Predice el comportamiento en un cambio en las variables.Trabajo colaborativo Entrega los trabajos en tiempo y forma sin necesidad de seguimiento. Aporta al logro de los objetivos, busco, sugiero soluciones a los problemas. Trabaja para cumplir las metas, respeto las normas y me adapto a los cambios del

equipo. Asistió al 90-100% de las reuniones y actividades del equipo.

SITIOS DE CONSULTA

Se sugiere visitar estos sitios web:https://www.educ.ar/sitios/educar

/recursos/listar?etiqueta_id=70374&referente=docentes

https://www.educatina.com/matematicas/analisis-matematico/calculo-diferencial/estudio-de-las-derivadas/video-definicion-de-derivada

https://www.youtube.com/watch?v=ia8L26ub_pc

https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

https://sites.google.com/site/capitancalculo/home/derivadas/apuntes-de-derivadas/webquest-de-funciones-derivadas

Conclusión

Con la actividad que UD como alumno desarrollo en el Websquet pretende sobre todo profundizar el concepto

de la derivada como una herramienta poderosa y fundamental para resolver situaciones problemáticas

reales. Durante el desarrollo del mismo Ud recorrió todas las instancias previstas para lograr los objetivos que nos

propusimos. En esta trayectoria han descubierto y construido conceptos, propiedades e interpretaciones

de una temática fundamental en el cálculo.En este aprendizaje te brindamos situaciones reales y

concretas donde la temática es fundamental en su aplicación, sin descuidar de ninguna manera los

conocimientos matemáticos que sustentan el concepto. Espero que le haya sido útil y haber logrado los objetivos

planteados al iniciar la actividad.

Muchas GraciasPROF. MARIO ENRIQUE QUINTANA