Kel 1 teori graf

Kelompok 1

Hartoni Kariawan Ica Purnama Sari Nuraziza Wita Aprian

2.1

Dosen Pengasuh : Vera Hersanti, M.Pd

STKIP Muhammadiyah Pagaralam

TEORIGRAF

2.1STKIP Muhammadiyah Pagaralam

1.1 GrafTeori Graf merupakan suatu diagram yang memuat

informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat.Definisi graf secara umum : Graf G adalah pasangan

(V(G),X(G)), dimana V(G) adalah himpunan berhingga, yang elemen-elemennya disebut titik (vertex),dan X(G) adalah himpunan pasangan-pasangan dari elemen-elemen V(G) disebut sisi (edge)

Contoh 1:a. Misalkan diketahui V(G) ={1,2,3,4,5} dan X(G) =

{12,22,13,34,45,21}. Apakah G merupakan graf ? jawab : gambar G merupakan graf karena anggota

V(G) diskrit dan anggota X(G) adalah pasangan-pasangan dari anggota-anggota V(G).


b. Misalkan diketahui V(H) = {1,2,3,4,5} dan X(H) ={12,22,13,34,45,61}. Apakah H merupakan graf ?

Jawab : gambar H bukan graf karena ada anggota X(H) yakni 61 yang merupakan pasangan yang salah satunya yakni 6 bukan anggota dari V(H).

Sisi 22 disebut loop dan 12 serta 21 adalah sisi paralel. Ini adalah gambar graf H.

1

2

3

45


1.2 Teori Dasar Graf

Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung disebut loop. Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut garis pararel. Dua titik dikatakan berhubungan (adjacent) jika garis menghubungkan keduanya. Titik yang dimiliki garis yang berhubungan dengannya disebut titik terasing (isolating point). Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak mewakili garis) disebut garis kosong.

Jika semua garisnya berarah, maka grafnya disebut graf berarah (directed graph), atau sering disingkat digraph. Jika semua garisnya tidak berarah, maka grafnya disebut graf tak berarah (underected graph). Sehingga dapat ditinjau dari arahya, graf dapat dibagi menjadi dua yaitu graf berarah dan graf tidak berarah.


1.2.1 Graf Berarah (Directed Graph=Digraph)

Pada graf berarah, arah sisi/urutan ikut diperhatikan. Dalam suatu graf, litasan (path) adalah urutan simpul, atau sisi yang dibentuk untuk bergerak dari satu simpul kesimpul yang lain. Dalam graf yang berarah, titik akhir dari sebuah busur akan menjadi titik awal dari busur berikutnya. Sirkuit adalah lintasan yang memiliki simpul awal dan akhir yang sama. Panjang lintasan adalah banyaknya sisi yang dilalui lintasan tersebut.

Contoh :

Gambar 1.2.1 Graf Berarah



Tentukan :a. Himpunan titik-titik himpunan garis-garis, dan fungsi

perkawanan.b. Derajat masuk dan derajat keluar tiap titik.c. Titik terasing dan titik pendant.d. Garis pararel

Penyelesaian :

Fungsi mengawankan garis-garis dengan pasangan titik-titik berikut


Dapat dilihat bahwa dalam setiap graf berarah,


c. Titik terasing adalah . Titik pendent .d. Garis paralel adalah dan , dapat dilihat bahwa dan bukanlah garis paralel karena arahnya berbeda.

1.2.1.1 Path Berarah dan Sirkuit berarahPengertian walk, path, dan sirkuit dalam graf berarah sama dengan walk, path dan sirkuit dalam graf tak berarah. Hanya saja dalam graf berarah, perjalanan yang dilakukan harus mengikuti arah garis. Untuk membedakan dengan graf tak berarah, maka walk, path berarah dan sirkuit dalam graf berarah tersebut walk berarah, path berarah, dan sirkuit berarah. Suatu graf berarah yang tidak memuat sirkuit berarah disebut Asiklik (Siang, J.J.2009).


1.2.1.2 Graf Berarah TerhubungSuatu graf tak berarah disebut terhubung jika ada walk yang menghubungkan setiap dua titiknya. Pengertian itu berlaku juga bagi graf berarah. Berdasarkan arah garisnya, dalam graf berarah dikenal dua jenis yaitu terhubung kuat dan terhubung lemah.

1.2.1.3 Isomorfisma dalam Graf BerarahPengertian isomorfisma dalam graf berarah sama dengan

isomorfisma pada graf tak berarah. Hanya saja pada isomorfisma graf berarah, korespondensi dibuat dengan memperhatikan arah garis.

1.2.2 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)


Suatu graf G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan simpul-simpul tak kosong (V(G)) dan himpunan jalur-jalur (E(G)). Jika semua jalurnya tidak berarah maka grafnya disebut graf tak berarah (siang, J.J 2009).

1.2.2.1 Graf Bipartite (Bipartite Graph)Suatu graf G disebut Graf Bipartite apabila (V(G))

merupakan gabungan dari dua himpunan tak kosong dan dan setiap garis dalam G menghubungkan suatu titik dalam dengan titik dalam . Apabila dalam Graf Bipartite setiap titik dalam maka grafnya disebut Graf Bipartite lengkap. Jika terdiri dari m titik dan terdiri dari n titik, maka Graf Bipartite lengkapnya sering diberi simbol .


1.2.2.2 SubGrafKonsep subgraf sama dengan konsep himpunan bagian. Dalam teori himpunan, himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian B bila hanya setiap anggota A Merupakan B. Oleh karena graf merupakan himpunan yang terdiri titik dan garis, maka H dikatakan subgraf G, jika semua titik dan garis dalam G.

1.2.2.3 Derajat (Degree)Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat titik v (simbol

d(v)) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G.


1.2.2.4 Path dan SirkuitMisalkan G adalah graf. Misalkan pula v dan w adalah dua titik dalam G. Suatu walk dari v dan w adalah barisan titik-titik berhubungan dan garis secara berselang-selang, diawalai dari titik v dan diakhiri pada titik w.

1.2.2.5 Sirkut EulerSirkuit Euler adalah Sirkuit yang melalui tiap sisi dalam graf tepat

satu kali (Siang, J.J (2009) Untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler yang berhasil memperkenalkan graf untuk memecahkan masalah tujuh jembatan Koningsberg pada tahun 1736.

Kota koningsberg dibangun pada pertemuan dua cabang sungai Pregel. Kota tersebut terdiri dari sebuah pulau di tengah-tengah dan tujuh jembatan yang mengelilinginya.


1.2.2.6 Graf Terhubung dan Tidak TerhubungMisalkan G adalah suatu graf. Dua titik v dan w dalam G dikatakan terhubung hanya ada walk dari v ke w. Graf G dikatakan terhubung bila hanya setiap dua titik dalam G yang tidak terhubung.

1.2.2.7 Sirkuit HamiltonSuatu graf terhubung G disebut Sirkuit Hamilton bila ada sirkuit

yang mengunjungi setiap titiknya tepat satu kali kecuali titik awal yang sama dengan titik akhirnya.

Perhatikan perbedaan Sirkuit Euler dan Sirkuit Hamilton. Dalam Sirkuit Euler, semua garis harus dilalui tepat satu kali, sedangkan semua titiknya boleh dikunjungi lebih dari satu kali. Sebaliknya, dalam Sirkuit Hamilton semua titik harus dikunjungi tepat satu kali dan tidak harus melalui semua garis. Dalam Sirkuit Euler, yang dipentingkan adalah garisnya. Sebaliknya dalam Sirkuit Hamilton, ynag dipentingkan adalah kunjungan pada titiknya (Munir, R.2009).

1.2.2 Representasi Graf dalam Matriks


Matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graf. Hal itu sangat membantu untuk membuat program komputer yang berhubungan dengan graf. Dengan menyatakan graf sebagai suatu matriks, maka perhitungan-perhitungan yang diperlukan dapat dilakukan dengan mudah,

Kesulitan utama dalam mempresentasikan graf dalam suatu matriks adalah keterbatasan matriks untuk mencakup semua informasi yang ada dalam graf. Akibatnya, ada bermacam-macam matriks untuk menyatakan suatu graf tertentu. Tiap-tiap matriks tersebut memiliki keuntungan yang berbeda-beda saat menyaring informasi yang dibutuhkan pada graf.


2.3.1. Representasi Graf Tak Berarah dalam Matriks

2.3.1.1. Matriks Hubung2.3.1.2.Matriks Biner2.3.1.3 Matriks Sirkuit

2.3.2. Representasi Graf Berarah dalam Matriks

2.3.2.1. Matriks Hubung2.3.2.2. Matriks Sirkuit


2.4. Algoritma Floyd-Warshall

Algoritma Floyd-Warshall adalahsebuah algoritma analisis graf

untuk mencari bobot minimum dari graf berarah.

keluarannya adalah path terpendek dari semua titik ke titik

yang lain

untuk mencari path terpendek, Algoritma Warshall memulai iterasi

dari titik awalnya kemudian memperpanjang path dengan

mengevaluasi titik demi titik hingga mencapai titik tujuan dengan

jumlah bobot yang seminimum mungkin.


2.5. Algoritma Johnson

Algoritma Johnson adalah dapat digunakan untuk graf

yang berbobot negatif dan untuk menyelesaikan masalah

lintasan terpendek di setiap titik ke semua titik lain.

Dalam Algoritma Johnson terdapat dua Algoritma untuk penyelesainnya, yaitu

2.5.1. Algoritma Bellman-Ford

2.5.2. Algoritma Dijkstra


2.6. JAVA

Java merupakan bahasa pemrograman yang

berbasis objek, maksudnya adalah semua aspek

yang terdapat pada Java adalah objek, sehingga

memudahkan untuk mendesain, membuat dan

mengembangkan program Java dengan cepat.


2.7. UML (Unified Modeling Language)

UML mempunyai diagram,diantaranya

2.7.1. Use Case Diagram (Diagram Pengguna Keadaan)

2.7.2. Activity Diagram (Diagram Aktivitas)2.7.3. Class Diagram (DiagramKelas)2.7.4. Sequence Diagram (Diagram Rangkaian)


2.8. Flowchart

Flowchart adalah suatu diagram alur (flow) yang menunjukan (flow) di dalam program atau prosedur sistem secara logika

Terima Kasih…!!


Education

Kel 1 teori graf