Click here to load reader
Upload
sri-ayu-fadhilah
View
304
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
1
Modul I
1.2 Kajian Mendalam Tentang Limit
1. Objek Pembelajaran
1.1 Kompetensi Dasar
1.1.1 Memahami Definisi Limit secara mendalam
1.1.2 Memahami Definisi Limit secara formal
1.2 Tujuan Pembelajaran
1.2.1 Mahasiswa memahami definisi limit secara mendalam
1.2.2 Mahasiswa mampu membuktikan limit fungsi secara formal.
2. Materi
Pada bagian 1.1 anda telah mengkaji pengertian limit secara intuitif dan memahami
definisi limit secara informal. Di bagian 1.2 ini anda akan memulai mengkaji definisi limit
sedikit lebih baik dan mendalam meskipun masih secara informal juga, dengan
memparafrasekan definisi limit secara intuitif yang telah di pelajari di bagian 1.1.
Berdasarkan definisi limit secara intuitif:
Definisi tersebut mempunyai arti bahwa f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L yang
dimana x sangat dekat namun tidak sama dengan c.
Untuk mengilustrasikan paraphrase definisi tersebut, coba anda cermati contoh berikut ini.
Perhatikan gambar grafik fungsi
๐ฆ = 3๐ฅ2 di samping ini, selanjutnya
anda diminta untuk menentukan
seberapa dekat x ke 2 agar menjamin
f(x) berada dekat 0,05 ke 12.
Untuk membuat f(x) dekat 0,05 ke 12, maka anda harus memiliki nilai f(x) pada interval
12 โ 0,05 < ๐ ๐ฅ < 12 + 0,05, seperti pada gambar di bawah ini.
๐๐ง๐ญ๐ฎ๐ค ๐ฆ๐๐ง๐ ๐๐ญ๐๐ค๐n bahwa ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐ ๐ ๐ = ๐ณ berarti pada saat ๐ mendekati namun
tidak sama dengan ๐ maka ๐(๐) mendekati ๐ณ.
2
Jika anda menyelesaikan bentuk ๐ฆ = 3๐ฅ2 untuk mendapatkan ๐ฅ, maka akan didapatkan
๐ฅ = ๐ฆ
3 .
Dengan demikian nilai x dan f(x) yang berpadanan dapat dicari dengan hubungan
๐ 11,95
3 = 11,95 dan ๐
12,05,95
3 = 12,05, yang secara ilustrasi dapat dilihat pada
gambar di bawah ini.
Gambar di atas mengindikasikan jika 11,95
3< ๐ฅ <
12,05
3 maka f(x) memenuhi syarat
berada dalam interval 11,95 < ๐(๐ฅ) < 12,05.
Interval nilai untuk x aproksimasinya adalah 1,99583 < ๐ฅ < 2,00416. Dari dua titik ujung
interval, batas atas 2,00416 paling dekat ke 2 dan dalam jarak 0,00416 ke 2. Dengan
demikian jika x dekat ke 2 dalam jarak 0,00416 ke 2 maka f(x) dalam jarak 0,05 ke 12.
3
Dengan menggunakan cara yang sama, coba anda tentukan batasan nilai x yang bersesuaian
untuk nilai f(x) yang berada dalam jarak 0,01 ke 12 serta untuk nilai f(x) yang berada dalam
jarak 0,001 ke 12.
Selanjutnya dari apa yang anda kerjakan coba tarik kesimpulan tentang hubungan antara
batasan nilai x dan nilai f(x) dalam jarak terdekat ke 12.
Dari contoh di atas, sangat jelas bahwa seberapa dekatpun f(x) ke 12 yang anda inginkan,
maka aka nada batasan nilai x yang bersesuaian untuk hal tersebut.
Jika anda sudah paham dengan uraian contoh di atas, maka anda bersiap-siap untuk
melanjutkan membuat definisi limit secara akurat.
Membuat Definisi Limit Secara Akurat
Menurut tradisi Yunani dalam penggunaan lambang, ํ (epsilon) dan ๐ฟ (delta) digunakan
untuk melambangkan suatu bilangan positip yang biasanya sangat kecil.
Langkah I:
Untuk mengatakan bahwa f(x) berada dalam jarak ํ terhadap L, itu berarti ๐ฟ โ ํ < ๐ ๐ฅ <
๐ฟ + ํ, yang ekivalen dengan bentuk ๐ ๐ฅ โ ๐ฟ < ํ . Hal tersebut menyatkan bahwa f(x)
terletak dalam interval terbuka (๐ฟ โ ํ, ๐ฟ + ํ) , seperti diiliustrasikan oleh gambar berikut.
Langkah II:
Selanjutnya untuk mengatakan bahwa x cukup dekat namun tidak sama dengan c, dalam jarak
๐ฟ, berarti x berada dalam interval terbuka (๐ โ ๐ฟ, ๐ + ๐ฟ) dengan c tidak termasuk
didalamnya. Dan bentuk yang lebih tepat untuk hal tersebut adalah 0 < ๐ฅ โ ๐ < ๐ฟ, seperti
yang digambarkan berikut ini.
4
Jika anda sudah tidak bermasalah dengan dua langkah dasar di atas, berarti anda siap untuk
menyajikan suatu definisi limit yang akurat.
Definisi Limit Secara Akurat
Jika anda masih mengalami kesulitan untuk mencerna definisi limit tersebut, coba perhatikan
ilustrasi gambar dibawah ini.
Untuk setiap ํ > 0
yang diberikan
Terdapat ๐ฟ > 0,
sedemikian hingga 0 < ๐ฅ โ ๐ < ๐ฟ โ ๐ ๐ฅ โ ๐ฟ < ํ
Anda harus mencermati bahwa dari ilustrasi gambar di atas menegaskan bahwa bilangan real
ํ harus yang diberikan pertama kali, selanjutnya dihasilkan bilangan real ๐ฟ yang bersesuaian.
Jika anda sudah memahami definisi serta ilustrasi gambar limit secara akurat tersebut, berarti
anda sudah siap menerima tantangan teman anda untuk mencari nilai ๐ฟ yang bersesuaian
dengan nilai sebarang ํ yang diberikan teman anda untuk suatu nilai limit fungsi tertentu.
0 < ๐ฅ โ ๐ < ๐ฟ โ ๐ ๐ฅ โ ๐ฟ < ํ
Untuk mengatakan lim๐ฅโ๐ ๐ ๐ฅ = ๐ฟ, berarti untuk setiap ํ > 0 yang diberikan
(berapapun kecilnya) akan terdapat ๐ฟ > 0 yang bersesuaian, sedemikian hingga
๐ ๐ฅ โ ๐ฟ < ํ yang dipenuhi oleh 0 < ๐ฅ โ ๐ < ๐ฟ; yaitu
5
Silahkan anda mencoba menerima tantangan dari teman anda untuk menentukan nilai ๐ฟ yang
bersesuaian dengan setiap nilai ํ yang diberikan teman anda untuk nilai dari
lim๐ฅโ3(2๐ฅ + 1).
Adapun langkah-langkah yang perlu anda perhatikan sebagai berikut:
1. Anda harus mencari nilai limit dari fungsi yang dimaksud, dalam hal ini anda boleh
berasumsi bahwa lim๐ฅโ3(2๐ฅ + 1) = 7.
2. Selanjutnya anda harus meminta teman anda untuk memberikan suatu bilangan real
positip yang sangat kecil nilainya (ํ > 0), misalkan teman anda mengajukan nilai
ํ = 0,1
3. Kemudian anda harus mencari ๐ฟ yang bersesuaian dengan 2๐ฅ + 1 โ 7 < ํ = 0,1
pada saat 0 < ๐ฅ โ 3 < ๐ฟ
4. Gunakan kemampuan anda dalam manipulasi bentuk aljabar pada bagian
2๐ฅ + 1 โ 7 < ํ = 0,1.
5. Dengan manipulasi aljabar bentuk 2๐ฅ + 1 โ 7 < ํ = 0,1 โ 2๐ฅ โ 6 < 0,1 โ
2 ๐ฅ โ 3 < 0,1 โ ๐ฅ โ 3 <0,1
2
6. Dari bentuk sederhana terakhir yaitu ๐ฅ โ 3 <0,1
2 , anda dapat menjawab tantangan
teman anda dengan memberikan padanan ๐ฟ =0,1
2 atau bahkan yang lebih kecil dari
itu.
7. Dengan padanan ๐ฟ =0,1
2 atau bahkan yang lebih kecil dari itu anda dapat menjamin
bahwa fungsi ๐ฆ = 2๐ฅ + 1 berada dalam jarak 0,1 dari 7 pada saat ๐ฅ berada dalam
jarak 0,1
2 dari 3.
Dengan cara yang sama seperti langkah-langkah di atas, coba anda layani tantangan teman
anda dimana nilai-nilai yang diberikannya adalah ํ = 0,002 dan ํ = 0,00004.
Namun yang perlu anda catat adalah apa yang anda lakukan dengan menjawab setiap
tantangan tersebut, hal itu belum dapat dikatakan sebagai bukti bahwa lim๐ฅโ3 2๐ฅ + 1 = 7
karena definisi mensyaratkan untuk setiap ํ > 0 bukan untuk beberapa ํ > 0.
Oleh karena itu anda harus menggunakan asumsi secara umum untuk sebarang ํ > 0 terdapat
๐ฟ > 0 sedemikian hinggga 2๐ฅ + 1 โ 7 < ํ untuk 0 < ๐ฅ โ 3 < ๐ฟ.
Dengan memanipulasi bentuk 2๐ฅ + 1 โ 7 < ํ โ 2๐ฅ โ 6 < ํ โ 2 ๐ฅ โ 3 < ํ โ
๐ฅ โ 3 <ํ
2 , anda dapat memilih ๐ฟ =
ํ
2 sebagai padanan dari setiap ํ > 0 yang diberikan.
Dengan kata lain anda telah menjamin ๐ฆ = 2๐ฅ + 1 berada dalam jarak ํ > 0 dari 7 untuk ๐ฅ
yang berada dalam jarak ํ
2 dari 3, yang memenuhi syarat dari definisi limit dan menjadi bukti
bahwa lim๐ฅโ3 2๐ฅ + 1 = 7 .
6
3. Sumber Pembelajaran
Modul Online dari MoDELss, Buku Calculus Purcell, Materi terkait yang didapat dari
internet.