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isabel-castillo
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ejercicios numero 1
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Trasformar los siguientes coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
A) (2,8) primero lo hacemos por definición
θ=¿ tan−1( yx) R2=X2+Y 2
θ=tan−1¿¿) R2= (2 )²+ (8 ) ²
θ=tan−1(4¿)¿ R2=4+64
θ=75.96R=√68
R=2√17
Luego transformando a radiaciones se tiene que
π−180
×−75 ∙9 6
×=75 ∙9 6π
180
¿96π ¿
180
B) (5 ,−6 )
θ=tan−1(−6−5
¿)¿
θ=50.19° R2= (−5 ) ²+(−6 ) ² R2=25+36 R=√61
√61 ,50.19 π180
C) (√2 , 15
) R2=(√2 ) ²+( 1
5) ²
θ=tan−1(15√2
¿)¿ R2=2+ 1
25
θ=tan−1( −15√2
¿)¿ R2=51
25
θ=8. 04 ° R=√5125
=R=√515
Tenemos que entonces transformando a radiales π−180×∙8.04×=8.04 π180¿)180
Calcular el área que encierra la curva de ecuación polar r ¿+senθ
R=1+senθ (2,π2
¿
sir=01+senθ=0senθ=−1 (0,0)
θ=sen−1 (−1 )
θ=−π2
sen θ=yπ2
=−π2
A ¿ 2Z∫0
π2
(1+senθ )2do
Producto notable
A¿∫0
π2
(1+2 senθθ+se n2 0 )do
Luego por identidad trigonométrica
sen2θ=1−cos2θ2
A¿∫¿¿) do
Por
A=∫( 1+4 senθ+1−cos2θ2
¿)do ¿
Se reducen términos semejantes
A=12∫0
π2
(3+4 senθ−cos2θ )do¿
¿
A=12
[3θ−Acosθ−sen2θ ]∫0¿¿
π2❑
2
A=12 [3( π2 )−4cos( π2 )°−sent 2( π2 )° ]+4cos (0 )
2
A=12 [ π 3
2+4 ]
A=12 [ 3 π+8
2 ]A=3 π+8
A
Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares
A ¿(2 , π4
)
×=rcosθ×=2́¿
×=2 cosπ4y=2 sen(π4 ) y=2√2
2y=√2 (√2 ,√2 )
b¿ (−8 ,3 π2 )
×=−8cos ( 3π2 )
y=−8 sen (3 π2 )×=0 y=8 (0,8 )
C ¿ (−12,5 π4 )
×=−12
cos ( 5π4 );×=−1
2 (−√22 )=×=√2
4
y=−12sen( 5 π
4 ); y=−12 (−√2
2)= y=√24 (√2
4,√2
4) Calcular el área que encierra la curva de ecuación polar r¿4 cos (200 )
R=4 cos (2θ ) Cambio de variable
4 cos (2θ )=0 u=2θθ=u2
cos2θ=0 c osuθ=0 u=cos−¹ (0 )
m= π2θ=5
4π θ=7
4π θ=π
4θ=3
4π
3π4π4
5π4
7 π4
A=0( 12 )∫
−π4
π4
[ 4 cos (2θ ) ]2do
A=08∫−π
4
π4
cos ²2θdo
A=2 ( 8 )∫0
π4
cos ² 2θ do
Por identidad trigonométrica
A=16∫0
π4
[ 1+cos2θ2 ]do
A=8∫0
π4
(1+cos+2θ )do
A=8[ 0+sen (2θθ )2 ]
π40
A=8[ π4 +sen[2( π4 )]− (0 )]A=2πu ² A=8πu ²
Transformar a coordenadas rectangulares
R=2cos= (3θ )R=2 cos (2θ+θ )R=2 [ cos2θcosθ−sen2θseno ]
Por identidad trigonométrica
r=−2 [(2 cos ²θ−1 ) ] cosθ−2 cos0 sen ²θ
r=[ (2cos ²θ−1 )cosθ−2 cos0 sen ²θ ]
r=2 [ (2 cos ²θ−1 ) cosθ−2cosθ (1−cos²θ ) ]
Propiedad distributiva
r=2 [2cos ³θ−cosθ−2cosθ+2 cos³θ ]
r=2 [ 4 cos ³θ−3cosθ ]
R2=8cos3θ−6cosθ
R ²=2cosθ [ 4 cos ²θ−3 ]
R=2(×y ) [ 4ײ−3r2 ]
R4=2× [ 4ײ−3 r ² ]
(× ²+4² )²=2× [ 4ײ−3 (ײ+4² ) ]
(× ²+ y ² ) ²=2× [A× ²−3×2−3 y ² ]
(× ²+ y ² ) ²=2× [× ²−3 y ² ]
Transformar las siguientes ecuación de variable × ²−2 y ²=4 (×+ y ) ²×=cosθ , y=rsenθ(rcosθ )²−2 (rsenθ )²=4 [rcosθ+rsenθ ] ²
R2 cosθ−2 r2 sen2θ=4 [r (×y )+r ( y× )]2
R ² [ cos²θ−2 sen ²θ ]=4 (×+ y ) ²
R ² [(×r ) ²−2( y× ) ²]=4 (×+ y )²
R ² [ײ−2 y ²r2 ]=4 (×+ y )²× ²−2 y ²=4 (×+ y ) ²
×2−2 y2=4 (×2+2× y+ y2 )×2−2 y2=4×2+8× y+4 y 2
3ײ+8× y+64²=0