Upload
sahril-sandrian
View
130
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
INTEGRAL TAK TENTU & PENGGUNAANNYA
OLEH : WASIS SUROSO
Hal.: 2 Integral
INTINTEEGRAL TAK TENTUGRAL TAK TENTU
Misal : y = F(x) maka turunannya adalah y’ = F’(x) = f(x)
F(x) = X4 turunannya
F(x) = X4 - 5 turunannya
F(x) = X4 + 1 turunannya
F(x) = X4 + 50 turunannya
F(x) = X4 + c turunannya
Proses untuk menentukan fungsi F(x) jika F’(x) diketahui disebut
ANTI TURUNAN atau ANTI DEFERENSIAL atau INTEGRAL
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
F’(x) = 4x3
INTEGRAL TAK TENTUINTEGRAL TAK TENTUPengertian Hitung IntegralHitung Integral adalah kebalikan dari hitung
deferensialMisal : y = F(x) = x4 maka
dx
xdF
dx
dy )(
)()(
xfdx
xdF
Hal.: 3 Integral
4x3 = f(x)
dF(x) = f(x) dx
Untuk menyatakan f(x) kembali, digunakan INTEGRAL dengan lambang ""Sehingga dF(x) = f(x)dx F(x) = dxxf )(
Secara Umum dituliskan bahwa cxFdxxf )()(
INTEGRAL TAK TENTUINTEGRAL TAK TENTU
Rumus – rumus Pengintegralan
a.
b.
c.
d.
e.
1,1
1
ncn
xdxx
nn
1, ndxxadxax nn
Hal.: 4 Integral
cxdxx
dxx ln11
caxadx dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu
Contoh:1. Tentukan Penyelesaian
cx
13
2 13
Hal.: 5 Integral
dxx32
=
cx
4
2 4
=
=
cx 42
1
2. Integralkanlah
Penyelesaian
dxx32
=
= cxxx 23
2
12
3
36
12x3 – 6x2 + x + c
dxxx )11236( 2
dxxx )11236( 2
Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu
3. Tentukan
Penyelesaian
dxxxx )510420( 14 cxxxx ln5102
4
5
20 25
Hal.: 6 Integral
dxxxx )510420( 14
=
= 4x5 + 2x2 + 10x – 5 lnx + c
4. Tentukan dxXX
)1
(
=dxXX
)1
( dxxx )( 2
1
2
1
cxx 2
3
2
1
3
22
=
=
cxxx 3
22
Penyelesaian
Integral Tak TentuIntegral Tak Tentu
5. Tentukan
Penyelesaian
dxx 2)13( dxxx )169( 2
Hal.: 7 Integral
dxx 2)13(
=
= 3x3 - 3x2 + x + c
6. Tentukan dxxXx
23
)1(
7. Tentukan dxxx )1)(3( 23
PR halaman 182 no 6 dan 7
PENGGUNAAN PENGGUNAAN INTEGRAL TAK INTEGRAL TAK TENTUTENTU
Contoh :1. Tentukan fungsi y = F(x) apabila diketahui:
a. F’(x) = x² - 4 dan F(3) = 5b. F’(x) = 6x² + 1/x² dan F(1) = 7
2. Tentukan persamaan kurva y = F(x) yang gradien garis singgungnya pada titik (x,y) adalah 3x² +2 dan kurva melalui titik (1,-1)
Hal.: 8 Integral
Hal.: 9 Integral
Media Presentasi Pembelajaran
Integral Tak Tentu & Penggunaannya
Selesai
Terima Kasih
INTEGRAL TERTENTU
OLEH : WASIS SUROSO
Hal.: 11 Integral
=
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-
1)2]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
2
1
2 dx 46 xx 2123 22 xx
Hitunglah nilai dari
2
1
2 dx 46 xx
Contoh 2.Contoh 2.
JawabJawab
NextBack Home
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,
b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang
tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan
sebagai
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,
b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang
tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan
sebagai
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
)(F)(F )( abdxxfb
a
bax)(F
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
Bentuk umum intergral tertentu
)()()( )( xfbfdxxfb
a
b
axF
Hal.: 12 Integral
a disebut batas bawah
b disebut batas bawah
F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)
F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b
F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a
INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
Sifat-sifat intergral tertentu 1.
2.
3.
4.
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
c
a
b
a
c
b
cbadxxfdxxfdxxf ;)()()(
Hal.: 13 Integral
a
a
dxxf 0)(
b
a
b
a
Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(
INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
Contoh :1.Tentukan nilai dari
2
1
3dxx
2
1
4
2
1
x
Hal.: 14 Integral
Penyelesaian
2
1
3dxx =
44 1
4
12.
4
1=
4 - 41
=
= 4
33
2. Tentukan nilai dari
Penyelesaian
dxxx )32(1
0
2
dxxx )32(1
0
2 = 1032 xx
=
=
= 3232 00311
011
2
LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR
Penggunaan IntegralPenggunaan IntegralHal.: 16 Integral
9
2xy
Hal.: 17 Integral
Menggunakan integral untuk menghitung
luas daerah dan volume benda putar.
KompetensiKompetensi Dasar Dasar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan
dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang
dibatasi oleh beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan
menggunakan limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas
daerah dan menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume
benda putar dari daerah yang diputar
terhadap sumbu koordinat dan
menghitungnya.
Indikator Hasil BelajarIndikator Hasil Belajar
Penggunaan Integral
Hal.: 18 Integral
Runtuhnya Jembatan Tacoma, WashingtonJembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli
1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena
badai yang berkekuatan 68 km/jam.
NextBack
Hal.: 19 Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-
partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan
menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.NextBack
Penggunaan Integral
Hal.: 20 Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda
putar jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari
juga penggunaan integral
untuk menghitung volume
benda putar.
Penggunaan Integral
Hal.: 21 Integral
X
Y
xy sin
Menentukan luas daerah
dengan limit jumlah dapat
diilustrasikan oleh gambar
di samping. Langkah utama
yang dilakukan adalah
memartisi,
mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan
menghitung limitnya.
Home NextBack
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Hal.: 22 Integral
Langkah menghitung luas
daerah dengan limit jumlah
adalah:
1. Bagilah interval menjadi
selang yang sama
panjang.
2. Partisilah daerah
tersebut.
3. Masing-masing partisi
buatlah persegi
panjang.
4. Perhatikan persegi
panjang pada interval
[xi-1 , xi].
y
a
x
0
Li
x
xi
)(xfy
)( ixf
NextBack Home
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Hal.: 23 Integral
Langkah menghitung luas
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua
persegi panjang
7. Hitung nilai limit
jumlahnya
y
a
x
0
Li
x
xi
)(xfy
)( ixf
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x
Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x
Limit jumlah : L = lim f(xi) x ( n ∞ ) NextBack Home
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Hal.: 24 Integral
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x =
3 dengan menggunakan cara limit jumlah.
Contoh 1.Contoh 1.
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi
panjang pada interval [xi , xi+1]
dan hitunglah luasnya.
x0 = 0
x1 = 3/n
x2 = (3/n) × 2 = 6/n
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n
y
0x
3
Li
3/n
21ix
2)( xxf
xi+1xix1 x2 x3
23i 1
27L i
n
nni
nix32)1(332
1iL
JawabJawab
NextBack Home
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Hal.: 25 Integral
4. Jumlahkan luas semua
partisi
1
0
23
127
Ln
ii
n
2223
...2127
L nn
)12)(1(6127
L3
nnnn
)2)(1(29
L 11nn
5. Tentukan
limitnya )2)(1(
29
L 11lim nnn
9)02)(01(29
L
Jadi luas daerah = 9 satuan
6)12)(1(
1
2
nnnn
kk
0x
3
Li
3/n
21ix
2)( xxf
xi+1xix1 x2 x3
y
NextBack Home
Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Hal.: 26 Integral
Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan selang [a, b] dibagi
menjadi n bagian (lebar tidak
harus sama) dengan lebar selang
ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada
selang [xi-1, xi] diambil titik
sampel xk maka jumlah Riemann
dituliskan sebagai : kn
kk xxf Δ )(
1
y
ax
0 b
xi-1 xixk
xi
NextBack Home
Selanjutnya didefinisikan
bahwa:
kn
kk
nxxfdxxf Δ )( lim )(
1
b
a
Bentukb
a )( dxxf disebut dengan integral tertentu (Integral
Riemann)
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
Hal.: 27 Integral
=
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-
1)2]
= 16 – 8 + 2 - 2 = 8
2
1
2 dx 46 xx 2123 22 xx
Hitunglah nilai dari
2
1
2 dx 46 xx
Contoh 2.Contoh 2.
JawabJawab
NextBack Home
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,
b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang
tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan
sebagai
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,
b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang
tersebut, maka berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan
sebagai
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
)(F)(F )( abdxxfb
a
bax)(F
Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
Hal.: 28 Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat
diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada
interval [a, b]. y
x0 a bx
y
ax
0 b
b
adxxf )(
Jumlah Luas Partisi
Berubah Menjadi
Integral
Tentukan limitnya
n
)(xf
n
iii xxf
1)(
)(xf
in
ii
n
b
axxfdxxfL
1)()( lim
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 29 Integral
Kegiatan pokok dalam
menghitung luas daerah dengan
integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah
partisi Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
L f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim f(xi)
xi
6. Nyatakan dalam integral
x0
y)(xfy
a
xi
xi
)( ixfLi
a
dxxf0
)(L
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 30 Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,
dan garis x = 3
Contoh 3.Contoh 3.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2
xi
4. Jumlahkan luasnya L
xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim xi2 xi
6. Nyatakan dalam integral
dan hitung nilainya
y
0x
3
2)( xxf
dxx3
0
2L
903
333
03
3L
x
Li
xi
xi
2ix
JawabJawab
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 31 Integral
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan
A -(4xj - xj2)xj
5. Ambil limitnya L = lim (4xi -
xi2)xi dan A = lim -(4xj - xj
2)xj
6. Nyatakan dalam integral
y
0x54
24)( xxxf
dxxx 4
0
2)4(L dxxx 5
4
2)4(A
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5
Contoh Contoh 44..
JawabJawab
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 32 Integral
dxxx 4
0
2)4(L
dxxx 5
4
2)4(A
y
0x54
24)( xxxf
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
40
33122L xx
3643
312 320)4()4(2L
54
33122A xx
33123
312 )4()4(2)5()5(2A
364
3125 3250A
18A 361
1832 daerah Luas 361
364
13 daerah Luas NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 33 Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVAPerhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x)
pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara
: partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya,
integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua
kurva tersebut.Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ]
x
4. Jumlahkan : L [ f(x) –
g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral
tertentu
y
ba
dxxgxfb
a )()(L
)(xfy
)(xgy
0x
Li
x
x
)()( xgxf
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 34 Integral
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan
garis y = 2 - x
Contoh 5.Contoh 5.
Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 13. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya
Li (2 - x - x2)x
4. Jumlahkan luasnya
L (2 - x - x2)x
5. Tentukan limit jumlah luasnyaL = lim (2 - x - x2)x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1
-2
-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
JawabJawab
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah
Hal.: 35 Integral
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2-1
-2
-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
1
23
3
22L
xxx
3
3)2(2
2)2(3
312
21 )2(2)1(2L
3831
21 242L
38
31
21 242L
21
21 45L
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 36 Integral
Untuk kasus tertentu
pemartisian secara vertikal
menyebabkan ada dua
bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama
untuk menghitungnya.
)(xfy y
a b
Lix
x
)()( xgxf
)(2 xf
Ai
0x
)(xgy
Luas daerah = a
dxxf0
)(2 b
adxxgxf )()(
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 37 Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan
diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas
daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih
sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy y
0x
)()( ygxxgy
Luas daerah = d
cdyyfyg )()(
Li y
c
d
)()( yfyg
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 38 Integral
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Contoh Contoh 66..
Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y
– 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 23. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
4. Jumlahkan luasnya
L (6 - y - y2)y
5. Tentukan limitnyaL = lim (6 - y - y2)y
6. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah =
2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
06
Liy
y
2)6( yy
JawabJawab
NextBack Home
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 39 Integral
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
06
Li yy
2)6( yy
Luas daerah = 2
03
3
26
yyy
Luas daerah = 0332
22)2(6
Luas daerah =
38112
Luas daerah = 325
Home Back Next
Menghitung Luas dengan Integral
Hal.: 40 Integral
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu
sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar.
Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda
putar dengan integral adalah:
partisi, aproksimasi,
penjumlahan, pengambilan
limit, dan menyatakan dalam
integral tentu.
Gb. 4
Home NextBack
Volume Benda Putar
Hal.: 41 Integral
Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika
diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode
yang digunakan untuk menentukan volume benda putar
dibagi menjadi : 1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabungy
0 x
y
x
0x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
NextBack Home
Volume Benda Putar
Hal.: 42 Integral
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume mentimun
dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk
cakram.
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
Hal.: 43 Integral
Bentuk cakram di samping
dapat dianggap sebagai tabung
dengan jari-jari r = f(x), tinggi h
= x. Sehingga volumenya dapat
diaproksimasi sebagai V r2h
atau V f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
integral diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 xdxxfa0
2)]([v
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfr
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
Hal.: 44 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh 7.Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk integral.
y
2x
12 x
x
12 xy
1
y
h=x
x
x
12 xr
x
JawabJawab
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
Hal.: 45 Integral
y
h=x
x
x
12 xr
V r2h
V (x2 + 1)2 x
V (x2 + 1)2 x
V = lim (x2 + 1)2
x dxxV 2
0
22 )1(
dxxxV 2
0
24 )12(
20
3325
51 xxxV
1511
316
532 13)02( V
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
Hal.: 46 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh
360º.
Contoh 8.Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
2
yy
2xy
x
y
y
x
y
h=y
y
yr
JawabJawab
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
Hal.: 47 Integral
V r2h
V (y)2 y
V y y
V = lim y y
dyyV 2
0
20221yV
)04(21 V
x
y
h=y
y
yr
2
dyyV 2
0
2VNextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cakram
Hal.: 48 Integral
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotong-
motongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cincin
Hal.: 49 Integral
Menghitung volume benda
putar dengan menggunakan
metode cincin dilakukan
dengan memanfaatkan
rumus volume cincin seperti
gambar di samping, yaitu V=
(R2 – r2)h
hr
R
Gb. 5
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cincin
Hal.: 50 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh 9.Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
limitnya, dan
nyatakan dalam
bentuk integral.
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
x2
2x
y
x
JawabJawab
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cincin
Hal.: 51 Integral
y
x
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
r=x2
R=2x
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
V (4x2 – x4) x
V (4x2 – x4) x
V = lim (4x2 – x4) x
dxxxV 2
0
42 )4(
20
5513
34 xxV
)( 532
332 V
)( 1596160V
1564V
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Cincin
Hal.: 52 Integral
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar
disamping.
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Hal.: 53 Integral
rr
h
h
2rΔr
V = 2rhΔr
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Hal.: 54 Integral
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 10.Contoh 10.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi.
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan nyatakan
dalam bentuk integral.
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
JawabJawab
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Hal.: 55 Integral
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
r = xx
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
V 2rhx
V 2(x)(x2)x
V 2x3x
V = lim 2x3x
dxxV 2
0
32
20
4412 xV
8V
NextBack Home
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Hal.: 56 Integral
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara
horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,
maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda
putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai
berikut.
0
x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
V (R2 – r2)y
V (4 - x2)y
V (4 – y)y
V = lim (4 –
y)y dxyV 4
04
40
2214 yyV
)816( V
8V
0
x
1 2x
2xy y
1
2
3
4
y r=x
R = 2
Home Back Next
Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Hal.: 57 Integral
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Latihan (6 soal)
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 58 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
0X
Y 2xy
2
4dxx
2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
Soal 1.Soal 1.
A
B
C
D
E
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 59 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Soal 1.Soal 1.
0X
Y 2xy
2
4dxx
2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 60 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat
dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....
Soal 1.Soal 1.
dxx2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
0X
Y 2xy
2
4
x
x
4 - x2
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 61 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 62 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
22
3314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 63 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
2-2
x
x
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
22
3314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 64 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 65 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
L (8 – x2 -2x)
x dxxx )28(L2
0
2 ( Jawaban D )
319L
3
28
20
23318L xxx
416L 38
0X
Y
28 xy
xy 2
2
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 66 Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
2
L (8 – x2 -2x)
x dxxx )28(L2
0
2 ( Jawaban D )
319L
3
28
20
23318L xxx
416L 38
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 67 Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 68 Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,429
L
12
3312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
0X
Y
2yx yx 2
-2
1
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 69 Integral
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,429
L
12
3312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2
adalah ….A
B
C
D
E
Soal 4.Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas 0X
Y
2yx yx 2
-2
1
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 70 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 71 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 72 Integral
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 73 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 74 Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
40
221V x
8V
Jawaban Anda Benar
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 75 Integral
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
40
221V x
8V
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home Back Next
Penggunaan Integral Latihan
Hal.: 76 Integral
Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan IntegralSelesai
Terima Kasih