Informatica industriala

Cursul 9 Prelucrarea digitala a semnalelor

Procesarea semnalelor

Obiective: extragerea din semnal a unor componente considerate relevante

pentru problema studiată (ex.: filtrare), transformarea semnalului pe baza unei anumite reguli

(amplificare/atenuare, întârziere, etc.). Domenii:

Analiza semnalelor - domeniul care se ocupă de descompunerea semnalelor complexe în semnale elementare

Un semnal complex se descrie ca o suma (ponderata) de semnale simple; (ponderea=amplitudinea semnalului simplu)

Sinteza semnalelor - generarea unor semnale complexe, cu anumite proprietăţi date, care se obţin prin combinarea unor semnale elementare.

Ex: modulatoare, multiplexare, generatoare de semnal, etc.

Semnale

Def.: semnal - o mărime fizică purtătoare a unei informaţii Clasificare:

Din punct de vedere al predictibilităţii, semnalele pot fi: deterministe, dacă evoluţia lor este previzibilă şi se pot descrie

prin funcţii de timp (ex.: x(t) = A sin(ωt+φ)) aleatoare, dacă au o evoluţie imprevizibilă sau mult prea

complexă pentru a putea fi exprimată printr-o expresie matematică (ex.: zgomot)

Din punct de vedere al evoluţiei în timp semnalele pot fi: continue, dacă sunt descrise prin funcţii continue de timp discrete, dacă au valori definite doar la anumite momente de

timp Din punct de vedere al amplitudinii semnalele pot fi :

continue, dacă domeniul de variaţie al amplitudinii este un interval continuu

cuantizate, dacă amplitudinea poate lua un număr finit de valori

Semnale

Semnale analogice - semnalele continue în timp şi ca domeniu de valori Se studiaza in teoria clasica a semnalelor (integrale/derivate

continue, transformata Fourier, Laplace, etc.) Semnale digitale – semnale discrete din punct de vedere al evoluţiei în

timp şi cuantizate ca domeniu de valori sunt denumite Se studiaza prin teoria semnalelor digitale sau discrete (sume

integrale, transformata in Z, etc.)

t

t

t

t

x(t)

x(t)

x(nT)

x(nT)

Continuu Discret

Continuu

Cuantizat

timpamplitudine

Sisteme liniare

Sisteme descrise prin ecuatii integro-diferentiale liniare Sisteme la care este valabil principiul suprapunerii efectelor:

Efectul unui semnal complex asupra unui sistem este egal cu suma efectelor produse de semnalele simple ce compun semnalul complex

Efectul produs de un sistem liniar asupra unui semnal complex de intrare este egal cu suma efectelor produse asupra componentelor semnalului

Sisteme reale: Neliniare in ansamblu Linearizabile pe portiuni Cauze de neliniaritate:

Efect de saturatie (la valori prea mari) Legea de variatie a sistemului este neliniara prin natura

fenomenelor incorporate Transformari de stare (ex: fierbere, rupere, etc.)

Exemple de semnale (in domeniul continuu)

Semnal sinusoidal x(t) = A sin(ωt+φ) = A sin (2πf*t + φ) = A sin (2π/T * t + φ)

unde: A – amplitudinea semnalului

ω – pulsaţia

φ – faza iniţială a semnalului

f – frecvenţa semnalului

T – perioada

t – timpulφ

A

x(t)

t

Exemple de semnale

Semnal de tip treaptă unitară 0 pentru t < 0

σ(t) =

1 pentru t > 0

Semnal rampă 0, pentru t <0

x(t) =

a*t, pentru t ≥ 0

σ(t)

t

Vsat

tg α = a

α

Exemple de semnale

Semnal de tip impuls aperiodic

0 pentru t < 0

π(t) = 1 pentru 0 < t < Δt

0 pentru t > Δtt

Δt

a0

a1

a2

a3

T

t

N

x(t) = Σ ak π(t-kT)

k=0

Δt = T

Exemple de semnale

Impulsuri periodice 1, pentru t є (kT, kT+ Δt), k = 0, ∞

x(t) = 0, în rest

Semnal de tip Dirac 0 pentru t < 0

δ(t) = lim 1/ Δt pentru 0 ≤ t ≤ Δt Δt0 0 pentru t > ΔtUn semnal discret se exprimă ca o sumă ponderată de impulsuri

Dirac.: N

x(t) = Σ ak δ(t-kT) k=0

T

t

Δt

Δt1/ Δt

Semnale in domeniul discret Semnal discretizat in timp: secventa de valori ale semnalului la

momente kT (T- perioada de esantionare a semnalului) Exemple:

a. Semnal sinusoidal discret

x(kT) = A sin(ω*kT+φ)

b. Semnal treaptă unitară în domeniul discret

0, pentru k < 0σ(kT) = 1, pentru k ≥ 0

c. Impuls Dirac discret

1, pentru k = 0δ(kT) = 0, pentru k ≠ 0

Analiza semnalelor

Aproximarea semnalelor Un anumit semnal x(t) se poate descompune într-un

număr finit sau infinit de funcţii elementare

N

x(t) = Σ an* fn(t)

n=0

unde: an – ponderea funcţiei fn (valoare constantă)

fn(t) – set predefinit de funcţii elementare

N – numărul maxim de funcţii elementare necesare pentru exprimarea funcţiei x(t)

Set ortogonal de semnale elementare (simple) Relatia de ortogonalitate intre functii (semnale)

elementaret0+T C2 dacă m = n

∫ fm(t)*fn(t) dt=

t0 0 dacă n ≠ munde: fm şi fn - două funcţii elementare

C – norma (mărimea) funcţiei elementareT – intervalul de ortogonalitatet0 – momentul considerat pentru calcul

Un set de funcţii elementare este ortogonal dacă se respectă proprietatea de ortogonalitate pentru oricare două perechi de funcţii

Aproximarea unui semnal x(t) prin functii elementare ortogonale

Un set de funcţii elementare este ortogonal dacă se respectă proprietatea de ortogonalitate pentru oricare două perechi de funcţii t0+T t0+T N ∫ x(t)*fm(t) dt = ∫ (Σ an* fn(t))*fm(t) dt = t0 t0 n=0

N t0+T = Σ an ( ∫ fn(t)*fm(t)dt) = am* C2 , de unde rezultă n=0 t0

t0+T am = 1/C2 ∫ x(t)*fm(t) dt

t0

Componenta spectrala a unui semnal complex a0, a1,… an – amplitudinile componentelor

spectrale ale semnalului

a0

a1

a2

a3

a4

n

a5

Transformata Fourier discretă

Set ortogonal de semnale trigonometrice: 1/√2 , cos(n ωt), sin(n ωt), n = 0 .. N, ω=2π/T

Se verifică relaţiile de ortogonalitate:

t0+T T/2, pentru n = m ∫ cos (m ωt)*cos (n ωt) dt = t0 0, pentru n ≠ m

t0+T ∫ cos (m ωt)*sin (n ωt) dt = 0 t0

Analiza Fourier a unui semnal

exprimarea semnalului ca o sumă ponderată de semnale sinusoidale de forma:

∞ ∞

x(t) = C0 + Σ Cn cos(n ωt) + Σ Sn sin(n ωt) n=1 n=1

t0+TCn = 2/T ∫ x(t)*cos (n ωt) dt t0

t0+T

Sn = 2/T ∫ x(t)*sin (n ωt) dt t0

t0+T

C0 =√2/T ∫ x(t) dt t0

Transformata Fourier discretă a unui semnal

periodic x(t), de perioadă T forma trigonometrică a transformatei Fourier discrete

∞ ∞

F(t) = C0 + Σ Cn cos(n ωt) + Σ Sn sin(n ωt) n=1 n=1

F(t)=x(t) x(t)F(t)

t t

x(t) - semnal periodic x(t) – semnal aperiodic

Forma armonică a transformatei Fourier discrete Perechile de termeni Sn sin(n ωt) şi Cn cos (n ωt) se pot exprima

printr-o singură funcţie de formaAn cos (n ωt + φn) unde:

An2 = Cn

2 +Sn2 - reprezintă pătratul amplitudinii armonicii de

rang n, iar φn = - arctg Sn/Cn - reprezintă defazajul armonicii de rang n

unde: cos(ωt + φ1) – este componenta fundamentală de frecvenţă f

cos(nωt + φn) – este armonica de rang n şi frecvenţă n*fφn – este faza (unghiul de defazaj) al armonicii n

An – amplitudinea armonicii de rang n

∞

F(t) = A0 + Σ An cos(n ωt + φn) n=1

Forma complexă a transformatei Fourier

discrete

În expresia de mai sus, cos(n ωt + φn) se poate considera ca parte reală a numărului complex e j(n ωt + φn) (de reamintit forma trigonometrică a unui număr complex e jα = cosα +jsinα). Astfel termenul n din sumă devine:

An cos(n ωt + φn) = Re [An e j(n ωt + φn)] = Re [Anc e j(n ωt) ]

unde: Anc = An * e j(φn) – este amplitudinea complexă a armonicii n

+∞

F(t) = 1/2 Σ Anc ej(n ωt)

-∞

∞

F(t) = A0 + Re Σ Anc e j(n ωt) n=1

Exemple de transformate Fourier pentru semnale simple pentru semnal constant:

x(t) = A- transformata Fourier are numai componenta constantă

C0 = A, Cn=0, Sn=0, pt, n=1.. ∞

pentru semnal sinusoidal: x(t) = A sin (ω0t)

- transformata Fourier are numai componenta fundamentală de pulsaţie ω0t

C0 = 0, Cn=0, S1=A, Sn=0, pt, n=2 .. ∞

ωt

A

ωtω0t

A

Exemple de transformate Fourier pentru semnale simple

semnal dreptunghiular: A pentru t∈ [2kT, (2k+1)T)

x(t) =

-A pentru t∈ [ (2k+1)T, (2k+2)T)

+∞

x(t) = 2A/π Σ 1/(2k+1) * sin((2k+1) ωt)

k=0

- transformata Fourier conţine un număr infinit de funcţii sinus; amplitudinea sinusurilor scade asimptotic la 0, în raport cu pulsaţia

C0 = 0, Cn=0, S2k=0, S2k+1=2A/(2k+1)π- O aproximare buna a semnalului dreptunghiular se

poate face cu primele 3 componente spectrale ω 2ω 3ω 4ω 5ω ω

S2k+1 =2A/(2k+1)π

Sn

Transformata Fourier pentru semnale aperiodice (de tip impuls)

Impuls – semnal aperiodic de durata limitata Exemple de semnale de tip impuls:

semnal dreptunghiular singular impuls Dirac singular o semiperioadă a unui semnal sinusoidal

Perioada semnalului “T” tinde la infinit Pulsatia ω tinde la 0 => distanta dintre componentele spectrale este

infinitezimal de mica In transformata Fourier coeficientii Anc devin o funcţie continuă de

variabilă jω Integrala care calculeaza coeficientii=>transformata Fourier continua:

Transformata Fourier inversă permite generarea (reconstruirea) unui semnal pe baza distribuţiei sale spectrale

∞

X(jω) = ∫ x(t) * e- jωt dt -∞

∞

x(t) = 1/2π ∫ X(jω) * e- jωt dω -∞

Proprietatile Transformatei Fourier

Teorema întârzieriiF(x(t-t0)) = e-jωt0 X(jω)

Teorema derivăriiF( dx(t)/dt) ) = jω X(jω)

Teorema integrăriiF(∫ x(t)dt) ) = 1/jω * X(jω)

Teorema convoluţieiConvoluţia a două funcţii x(t) şi y(t) se defineşte în felul următor: ∞

x(t)○y(t) = ∫ x(τ)*y(t - τ) dτ -∞Convoluţia se utilizează frecvent pentru evaluarea efectului produs

de un sistem liniar asupra unui semnal complex. ∞

F [ (∫ x(τ)*y(t - τ) dτ ] = X(jω) *Y(jω) -∞