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Norlan Rodríguez García
Enrique Malavé Rivera
Luis Albizu Pons Pérez
Matemática Discreta Avanzada
Dr. Balbino García
Universidad Interamericana de Puerto Rico
Recinto de San German
Departamento de Matemática
Cuando las personas están conectadas en una red, es
posible que puedan influir en dos aspectos:
la conducta
La tomar decisiones de la persona.
Este principio básico, da lugar a una serie de
procesos sociales, en la cual las redes sirven para el
comportamiento individual agradable a los demás y por
tanto producen en toda la población, los
resultados colectivos.
Las opiniones
Los productos que compran
Las posiciones políticas
Las tecnologías
Posición social
La razón de la investigaciones es el ¿porque sucedeeste fenómeno?
Hay muchas situaciones en las que de hecho puedeser racional para una persona imitar las decisiones deotras personas, aunque la información delindividuo sugiere una alternativa de elección.
Ejemplo: Los restaurantes A y B de una ciudad
desconocida. Trabajo de Banerjee
La información inferida de un evento puede ser mas
poderosa que la información privada o investigada para
tomar una decisión, por consecuente, tiene sentido para
usted el unirse al evento que realizan otra personas,
independientemente de su información privada .
Esta es la información que tiene el potencial de quelas personas tome decisiones de formasecuencial, esto ocurre cuando laspersonas después de ver las acciones de losanteriores, y de estas acciones inferir algo sobre loque las personas sabe antes.
Una cascada se desarrolla cuando laspersonas abandonan sus propia información(investigación) en favor de las inferencias basadasen acciones de las personas antes de comprobarlas.
Imitación: es el copiar el comportamiento de los
demás.
Esto surge por dos razones:
el resultado de inferencias racionales a partir
de información limitada
la presión social para cumplir, sin
causa subyacente de información
Una demostración de una fuerza social
de conformidad que se fortalece con el
grupo conforme a la actividad se hace más
grande, es decir un posible mecanismo que da lugar
a la conformidad observados en este tipo de
situación.
Por tanto, las cascadas de información puede ser al menos parte de la explicación de muchos tipos de la imitación en los entornos sociales.
Los cuales pueden ser: Moda y tendencias
El voto por algún candidatos
Lograr la venta de un libro como un best - seller
la propagación de una elección tecnológica de los consumidores y las empresas
Diferente clase de razones por la cual un individuo
podría querer imitar lo que hacen los demás:
Beneficio directo a usted de la alineación su
comportamiento.(Adaptarse a la circunstancias)
Beneficiarse de la elección de una opción que tiene
una gran población de usuarios.
Experimento de pastoreo es creado por Anderson y Holt.
El experimento está diseñado para capturar las situaciones con las condiciones básicas: No es una decisión que debe tomarse | por ejemplo, la posibilidad
de adoptar una nueva tecnología, llevar un nuevo estilo de ropa, comer en un restaurante nuevo, o apoyar una posición política en particular.
La gente toma la decisión de forma secuencial, y cada persona puede observar las elecciones hechas por los que actuaron antes.
Cada persona tiene alguna información privada que ayuda a guiar su decisión.
Una persona no puede observar directamente la información privada que otras personas sepan, pero él o ella pueden hacer inferencias acerca de esta información privada de lo que hacen.
Si queremos construir un modelo matemático decomo una cascada de información ocurre, es necesarioenvolver a la persona para que se pregunte. Cual es laprobabilidad de que un evento ocurra? Pregunta queresponderá en base a sus investigaciones, lo que lee ylo que ve en otras personas, en otras palabras,necesitamos un medio para determinar posibilidadesde eventos utilizando las experiencias que tenemos ynuestras observaciones
La probabilidad de que un evento A ocurra se le denotacomo Pr [A] y a un evento B como Pr [B]. Cuando doseventos ocurren juntos, como en el caso de A y B, se leconoce como intersección de A y B. y se denota comoA∩B y se puede demostrar a través de un Diagrama
de Venn.
Pr[reporte=Y│ cierto=Y] es 0.8 ,
Pr[cierto=Y]es 0.2,
Pr[cierto =Y]*Pr [reporte= Y│ cierto=Y] =0.2*0.8=0.16
La posibilidad de un reporte de amarilla es la suma de dos probabilidades.
Pr[reporte=Y]= Pr[ cierto=Y .
Pr[reporte=Y| cierto=Y]+Pr[cierto=B] .
Pr[[reporte=Y│ cierto=B]= 0.2 .0.8+0.8 .0.2=0.32
Comencemos con el Experimento Herding de la
Sección 6.2:
Este experimento sirve como comparación para cualquier
situación donde personas toman decisiones
secuencialmente.
Donde estas decisiones están basadas en combinaciones de
su información privada.
Y de observaciones sobre lo que personas anteriores han
ejecutado.
Veremos como la Regla de Bayes’ predice en estemodelo general:
Que las Cascadas informan con una probabilidadtendiente a 1 en la medida que el número depersonas tiende a infinito.
Considere un grupo (enumerado 1, 2, 3,…) que
secuencialmente va a tomar decisiones.
Individuo 1 va a tomar decisiones primero.
Individuo 2 va a tomar decisiones segundo.
Individuo 3 va a tomar decisiones tercero.
Se describirán las decisiones como alternativas de:
1. Rechazo
2. Aceptación
La aceptación y el rechazo será sobre algunas opciones: Si aceptar o no una nueva tecnología.
Vestir una nueva moda.
Comer en un nuevo restaurante.
Ejecutar o no un crimen.
Votar o no por un candidato particular de algún partidopolítico.
El escoger una ruta para un destino común v/s escoger unaruta alternativa.
Estados Del Mundo
Antes que nada, antes que ningún individuo tome alguna
decisión, se debe asumir que el mundo esta colocado de
forma aleatoria en dos posibles estados:
1. Esta colocado en un estado en el cual la opción es una buena
idea.
2. Esta colocado en un estado en el cual la opción es una mala
idea.
Hay que imaginar que el estado del mundo se determina
por algunos eventos iníciales aleatorios que los individuos
no pueden observar.
Ejemplo:
El estado del mundo es uno en el que el nuevo restaurante es
bueno , o establece que el restaurante es malo.
Los individuos en el modelo conocen que han sido
colocados aleatoriamente en uno de estos dos estados, y
tratan de adivinar en cual.
Dos posibles estados del mundo:
G = representa que la opción es una buna idea.
B = representa que la opción es una mala idea.
Suponemos que cada individuo conoce los siguientesechos.i. El evento inicial aleatorio que coloca el mundo en
estado de G o B lo coloca en estado de G conprobabilidad p.
ii. Y en estado B con probabilidad 1-p.
Esto servirá como Probabilidad Previa a G y B
Si Pr(G)= p y Pr(B)= 1-Pr(G)
Pr(B)=1-p
Cada individuo recibe un “Payoff” referente a su decisión
de Aceptar o Rechazar la opción.
El Individuo rechaza:
Recibe un “Payoff” de 0.
El “Payoff” de aceptar depende de si la opción es buena idea
o mala idea.
Supongamos que la opción es buena idea.
El “Payoff” obtenido al aceptar es un número positivo vg > 0.
Supongamos que la opción es mala.
El “Payoff” obtenido al aceptar es un número negativo vb < 0.
Asumiremos que el esperado “Payoff” por aceptar en
ausencia de otra información es igual a 0.
vg p + vb (1-p) = 0
Esto hace que previo a que ninguna persona obtenga
ningún tipo de información adicional, el esperado
“Payoff” por aceptar es el mismo que el “Payoff” por
rechazar.
Debemos modelar el efecto que tiene la informaciónprivada.
Tenemos que asumir que antes de que los individuostomen alguna decisión, cada uno de los individuos tieneacceso privado a Señales que le proveen información quele sirve para aceptar si es la idea buena o rechazar si laidea es mala.
Estas Señales privadas están diseñadas para modelarinformación privada que el individuo ya conoce, mas alláde la Probabilidad Previa p de aceptar la opción por seresta una buena idea.
Las Señales privadas no proveen una perfecta certeza
sobre que hacer.
Queremos poder modelar la incertidumbre personal
incluso después que la Señal allá sido recibida.
Las Señales privadas si proveen información valiosa.
• Hay Dos Posibles Señales:
• Alta Señal (H)= sugiere que aceptar es una buena idea.
• Baja Señal (L)= sugiere que el aceptar es una mala idea.
Podemos ser preciso al decir que si aceptar es en si una buenaidea, entonces las Altas Señales son mas frecuentes que lasBajas Señales.
Pr[H|G] = q > ½
Mientras que
Pr[L|G] = 1-q < ½
Si aceptar la opción es una mala idea, entonces la BajasSeñales serán mas frecuentes.
Pr[L|B] = q
y
Pr[H|B] = 1- q
Para q > ½
La probabilidad de recibir una Baja Señal o Alta Señal,
como función de dos posibles Estados Del Mundo (G o B).
Señales
B G
L q 1- q
H 1 - q q
Estados
Noten como las propiedades del Experimento de Herding
encajan de este modelo mas abstracto.
Las dos posibilidades de Estados Del Mundo son que la
urna colocada al frente del salón era Mayoría-Azul, o que
era Mayoría-Roja.
Podemos pensar que aceptar como adivinar “Mayoría-
Azul”, es una buena idea (G) si la verdadera urna
realmente es Mayoría-Azul y mala idea (B) lo contrario.
B G
L q 1- q
H 1 - q q
La Probabilidad Previa de aceptar siendo una buena idea
es p = ½.
La información privada en el experimento es el color de la
bola que los individuos colocaron, esta es una Alta Señal
si la bola es Azul, y así
Pr[H|G]= Pr[Azul | Mayoría-Azul] = q = 2/3.
Similar al ejemplo el de los dos restaurantes:
Aceptar puede corresponder a escoger el primer restaurante
A; y será una buena idea si restaurante A es mejor que el
restaurante B.
La información privada puede provenir de una ensayo
culinario que leíste en el primer restaurante, con una Alta
Señal correspondiendo a una comparación culinaria donde
se favorece al restaurante A y no al B.
Debe entonces haber una alto número de estas
comparaciones donde Pr[H|G] = q >1/2.
En esta etapa queremos modelar como las personas toman
decisiones sobre como aceptar o rechazar.
Supongamos que una persona obtiene una Alta Señal.
Esto cambia su esperado “Payoff” de:
vg Pr[G] + vg Pr[B]= 0
a
vg Pr[G|H] + vg Pr[B|H]
Para determinar este nuevo “Payoff”, utilizaremos la regla de Bayes’.
Expandimos el denominador Pr[H] expandiendo así las dosposibilidades de obtener una Alta Señal ( ya sea la opciónbuena o mala idea); y así la final inecuación dice:pq + (1-p)(1-q) < pq +(1-p) q = q en el denominador.
p
HG
q)-p)(1-(1pq
pq
B]|Pr[H*Pr[B]+G]|Pr[H*Pr[G]
G]|Pr[H*Pr[G]
Pr[H]
G]|Pr[H*Pr[G]]|Pr[
Este resultado tiene sentido:
Una Alta Señal es mas propensa a ocurrir si la opción es
buena, que si la opción es mala.
En el resultado el esperado “Payoff” cambia de 0 a un
número positivo, por lo que ellos deberán aceptar la opción.
Un cálculo análogo completo muestra que si el individuo
recibe una Baja Señal deberá rechazar la opción.
Sabemos del Experimento de Herding que unimportante escalón en el entendimiento sobre comoindividuos toman decisiones en secuencia, es elentender como un individuo debe utilizar la presenciade múltiples señales.
Utilizando la Regla de Bayes’, no es difícil entendercomo las decisiones de un individuo cuando están ensecuencia S de señales generadas independientementeconstituyendo una a Alta Señal y b Baja Señalentrelazadas de alguna forma.
Se derivan los siguientes echos:
i. La Probabilidad Posterior Pr[G|S] es mayor que la
Probabilidad Previa Pr[G] cuando a > b;
ii. La Probabilidad Posterior Pr[G|S] es menos que la
Probabilidad Previa Pr[G] cuando a < b;
iii. Las Dos probabilidades Pr[G|S] y Pr[G] son iguales
cuando a=b.
Estos planteamientos se justifican utilizando la Regla de
Bayes’ y el álgebra.
Al aplicar la Regla de Bayes’
Donde S es una secuencia con a Alta Señal y b BajaSeñal.
Para calcular Pr[S|G] en el numerador, notamos que silas señales son generadas de forma independiente,podemos simplemente multiplicar sus probabilidades.
]Pr[
]|Pr[*]Pr[]|Pr[
S
GSGSG
Esto nos da a factores de q y b factores de (1-q), tal que Pr[S|G]= qa(1-q)b.
Para calcular Pr[S], consideramos que S puede subir si la opción es buena idea o mala idea también,
baba qqpqpq
BSBGSGS
)1)(1()1(
]|Pr[*]Pr[]|Pr[*]Pr[]Pr[
Si juntamos todo esto dentro de la ecuación obtenemos:
Es importante averiguar como esta expresión se compara con p
Si remplazamos el segundo en el denominador por (1-p) qa (1-q)b, el denominador se transforma en:
baba
ba
qqpqpq
qpqSG
)1)(1()1(
)1(]|Pr[
bababa qqqqpqpq )1()1()1()1(
Así toda la expresión se transforma en:
pqq
qpqba
ba
)1(
)1(
¿Este cambio hace al denominador mas pequeño o mas
grande?
i. Si a>b, entonces este cambio hace el denominador mas
grande, en q >1/2 y ahora tenemos mas factores de q y
menos factores de 1-q. Si el denominador se hace grande,
la expresión misma se hace pequeña a la ves que se
convierte a un valor de p, de tal forma
Pr[G|S]>p=Pr[G].
ii. Si a<b, el argumento es simétrico: este cambio hace al
denominador mas pequeño, y entonces la expresión en si
se hace grande. Tal que Pr[G|S]< p =Pr[G].
iii. Finalmente si a=b, entonces este cambio mantiene los
valores del denominador iguales, y entonces
Pr[G|S]=p=Pr[G].
Consideremos ahora que ocurre cuando individuos toman
decisiones en secuencia.
En nuestro modelo un individuo decide si acepta o rechaza
la opción, donde los individuos tienen acceso a sus
propias señales privadas y a la vez a la aceptación o
rechazo de los individuos anteriores; aunque no pueden
ver las señales privadas que estos previos individuo
tuvieron.
Paralelismos:i. El individuo 1 sigue sus señales privadas, como ya hemos
hablado.
ii. El individuo 2 conocerá que las decisiones que elindividuo 1 revela, revelan también sus señales privadas.Si estas señales son iguales, las decisiones del individuo 2son sencillas. Si son diferentes, el individuo 2 seráindiferente a aceptar o rechazar. Aquí debemos asumir queseguirá sus señales privadas.
iii. Como resultado, el individuo 3 conoce que el individuo 1y 2 ambos aceptan basándose en sus señales privadas, a lavez se piensa que el individuo 3 a recibido tresindependientes señales. Sabemos que el argumento que elindividuo 3 seguirá es el de la mayoría en las señales(Altas o Bajas) en la selección de aceptar o rechazar.
Estas cascada comienza cuando la diferencia entre el
numero de aceptaciones y rechazos alcanza dos.
Por otro lado, si el individuo 1 y 2 toman la misma
decisión, el individuo 3 los seguirá sin considerar sus
propias señales. Así futuros individuos sabiendo que el
individuo 3 se unió a los demás sin tomar en
consideración sus propias señales, también seguirán a este
imitando su conducta. En este caso comienza una
cascada.
Consideremos la perspectiva de un individuo N.
Suponga que este individuo N conoce que todo el mundo
antes que el a seguido sus propias señales.
Suponga que la aceptación o rechazo de estos individuos
previos coincide exactamente con el recibimiento de parte
de los mismos de Altas o Bajas señales, y que el individuo
N sabe esto.
Hay que considerar varios posibles casos: Si el numero de aceptación en los individuos antes que N es
igual al numero de rechazos, entonces las señales de Ndeben estar muy parejas y N seguirá sus señales.
Si el numero de aceptación en los individuos antes que Ndifiere del numero de rechazos por uno, entonces las señalesprivadas de N lo harán indiferente, o re-enforzara la señal dela mayoría. De todas forma que N seguirá sus propiasseñales.
Si el numero de aceptaciones dentro de los individuosanteriores a N se diferencia del numero de rechazos por doso mas, entonces las señales privadas de N cambiaran, y N nole dará peso a esto sobre la mayoría por adelantado.
Resumen del comportamiento.
Así como el numero de las aceptaciones se diferencia del
numero de los rechazos por al menos uno, cada persona en
secuencia esta simplemente siguiendo sus propias señales
privadas en la decisión de que hacer.
Pero cuando el numero de las aceptaciones se diferencia del
numero de los rechazos por dos o mas, la cascada toma
fuerza y todo el mundo sigue las decisiones de la mayoría
para siempre.
Una vez la diferencia entre los números de la aceptación y
los números de rechazo escapa del estrecho corredor
alrededor del 0, como en la grafica presentada, una vez se
mueve al menos dos espacios alejándose del eje de X la
cascada se dispara y corre para siempre.
Es bien difícil que la diferencia se sostenga para siempre
en tan estrecho intervalo ( entre -1 y 1).
Pues durante el periodo de tiempo cuando las personas
están siguiendo sus señales privadas, si tres individuos en
línea les ocurre el que reciben la misma señal, es
definitivo que una cascada a comenzado.
1. Las Cascadas Pueden Estar Erróneas- Si aceptar la opción
es en si una mala idea pero las primeras dos personas reciben
Señal Alta, una cascada comenzará de inmediato, aunque se
piense que es la peor decisión para la población.
2. Las Cascadas Pueden Estar Basadas En Muy Poca
Información - Como los individuos ignoran la información
personal que poseen una vez la cascada comienza, solo la
información previa a la cascada influencia el comportamiento
de una población. Lo que implica que si una cascada
comienza relativamente esporádica en una población grande,
la mayoría de la información privada que se encuentra
colectivamente disponible para dicha población no se usara.
3. Las Cascadas Son Frágiles- Las cascadas pueden estar
basadas en relativamente poca y pobre información, lo
que hace fácil su generación. Pero esto a la vez es su
debilidad, pues fácilmente pueden detenerse. Una forma
es que los individuos que reciben mayor información en
la población pueden cambiar su postura aun así a partir
de cascadas de mayor vida.
La Lección Principal:
Al estudiar las cascadas se debe ser cuidadoso en elestablecimiento de conclusiones que tengan que ver conel curso de acción extraído del comportamiento de unamultitud.
Pues como hemos visto una multitud puede estarerrónea y tomar una misma decisión, aunque cadaindividuo de la multitud sea un individuo racional.
Un Gran Contraste. Esto planteado contrasta el argumento hecho por un libro popular
de audiencia-general de James Surowiecki “The Wisdom ofCrowds”.
En este libro Surowiecki plantea que el comportamiento agregadode personas con una limitada información sobre un tema puedeproducir resultados muy precisos.
Surowiecki explica que cuando muchas personas especulan deforma independiente, entonces el promedio de su especulación essorprendentemente un buen estimado sobre lo que especulan.
Este argumento expresa que los individuos, cada uno, tieneinformación privada, y por eso especula independientemente, sinconocer que especulan los demás.
Mientras que si especulan secuencialmente y son capaces deobservar la especulación de los demás, entonces marca elpanorama para una cascada y no existirá razón alguna paraesperar que el promedio de la especulación pueda ser bueno.
Consideremos las tensiones.
Existen tensiones que se crean cuando un grupo de expertos
es forzado a trabajar juntos y construir sobre las ideas
producto del equipo.
Se le da a los expertos la oportunidad de formar sus propias
opiniones, basadas en las opiniones de otros.
Esto sugiere el desarrollo de estrategias para el balance de las
tensiones creadas por el intercambio de opiniones. Cuando se
fuerza al experto a alcanzar una decisión parcial independiente
antes de que entre en la etapa de colaboración y consenso.
Esto también sugiere el que hay individuos que se sabe que
poseen buena información sobre algún asunto particular, y que
esto importa y tiene peso en el pre-proceso de decisión o después
del proceso.
Networks, Crowds, and Markets: Reasoning about a
Highly Connected World, David Easley & Jon
Kleinberg,2010
“The Wisdom of Crowds”, James Surowiecki .
