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Usted será capaz de platear y resolver problemas de ecuaciones, con la finalidad que utilice estas técnicas en la solución de problemas de aplicación en las materias de los ciclos sucesivos.
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Universidad Cesar Vallejo
Facultad de Ciencias Empresariales Matemática Superior I
1
Primera Unidad Didáctica
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
GUIA DIDÁCTICA 1 - (1º PARTE )
Universidad Cesar Vallejo
Facultad de Ciencias Empresariales Matemática Superior I
2
ÍNDICE
Pág.
INTRODUCCIÓN 4
CAPACIDADES 5
DESARROLLO TEMÁTICO
1. Introducción al Algebra
1.1. Teoría de exponentes. 6
1.2. Productos notables. 14
1.3. Factorización. 17
2. Ecuaciones con una incógnita
2.1 Ecuaciones lineales 20
2.2 Ecuaciones cuadráticas 24
2.3 Métodos de resolución de ecuación cuadrática 25
2.2.1. Por factorización
2.2.2. Por complementación de cuadrados
2.2.3. Por la fórmula general
3. Ecuaciones lineales
3.1 Tipos de sistemas. 36
3.2 Ecuaciones lineales con dos y tres variables. 44
4. Ejercicios y problemas de aplicación.
4.1 Ejercicios 51
4.2 Problemas
5. Desigualdades
5.1 Inecuaciones de primer 55
5.2 Inecuaciones segundo grado 56
5.3 Métodos 58
5.3.1. Método del punto crítico
5.3.2. Uso de discriminantes.
5.4 Inecuaciones orden superior. 61
6. Problemas aplicativos. 63
6.1 Ejercicios y problemas 63
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3
7. Introducción a la programación lineal. 65
7.1 Pasos para resolver 66
7.2 Ejercicios y problemas 76
8. Problemas de aplicación y programación. 79
8.1 Ejercicios
8.2 Problemas
9. Examen parcial Nº 01
BIBLIOGRAFÍA
ANEXOS
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4
INTRODUCCIÓN
Estimado (a) estudiante:
La formación profesional del estudiante de administración requiere de los conocimientos y
habilidades matemáticas, para la búsqueda y solución de problemas que se presenten en su
mercado de trabajo. Esta primera unidad se presenta como una herramienta de apoyo al
estudiante que le proporcionará los conceptos y habilidades matemáticas fundamentales
para su aplicación en las asignaturas sustantivas de su perfil profesional.
Usted será capaz de platear y resolver problemas de ecuaciones, con la finalidad que utilice
estas técnicas en la solución de problemas de aplicación en las materias de los ciclos
sucesivos.
El conocimiento que obtenga de esta unidad y su activa participación en el desarrollo de ella,
le permitirá comprender la importancia de las matemáticas en el contexto laboral, además
de su aplicación por medio de modelos matemáticos en las PYMES de la comunidad.
No olvide que el aprendizaje se logra con la perseverancia en el estudio y nosotros sabemos
que usted es capaz de lograrlo, con dedicación, constancia y amor a su carrera logrará éxitos
en esta unidad.
¡Èxitos!
José Haro B.
Maritza Luna V.
Rocio López P.
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5
CAPACIDADES
a) Opera correctamente valores en conjuntos de números naturales, enteros, racionales,
reales.
b) Realiza operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y factorización de
expresiones algebraicas.
c) Modela y resuelve problemas de aplicación de los procesos de una empresa utilizando
ecuaciones con una, dos y tres variables.
d) Resuelve problemas básicos aplicando inecuaciones lineales y cuadráticas con una
variable.
e) Toma decisiones al plantear y resolver problemas aplicativos dentro de una empresa con
programación lineal.
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6
DESARROLLO TEMÁTICO
Sesión Nro 1:
1.1 TEORIA DE EXPONENTES
MOTIVACION: COMPRAS POR INTERNET
Actualmente los negocios están encontrando un aliado muy
importante. Los clientes utilizan la Web para efectuar operaciones
de compras sin asistir a las tiendas comerciales, pueden ver sus
registros de precios actuales. Además, los costos por este medio
son cada vez más bajos, lo que permite a los centros comerciales
en línea reducir los costos a los clientes y darles mayores ofertas
por su dinero.
Para enero del año 2010 se estima que en el Perú existirán 20000
clientes que harán uso de este servicio y que el crecimiento
mensual será de 2% para los siguientes años.
1. ¿Cuántos clientes de compras por Internet existirán en el mes
de febrero de 2010?
2. ¿Cuántos clientes de compras por Internet existirán en el mes de junio de 2010?
3. ¿Cuántos clientes de compras por Internet existirán después de “t” meses a partir de enero
de 2010?
Expresión algebraica.- Es el conjunto de letras y números interrelacionados entre si,
mediante operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación
o por algunas combinaciones entre ellos. Ejemplos:
a) 5x4 b) 8x2+5x-4 c) 28x
Término algebraico.- Es aquel conjunto de letras y números interrelacionados entre sí,
mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación o por alguna
combinación entre ellas. Ejemplos:
a) -4x3 yz b) –x5 c) x
100
Partes de un término algebraico
-5x4
Valor absoluto y valor relativo.- El valor absoluto de un número es su valor sin considerar su
signo; en tanto que su valor relativo, es su valor considerando su signo.
Ejemplos: 1) número = 4 ( VA = 4 y VR = 4 ) 2) número = - 4 ( VA = 4 y VR = -4
)
Suma algebraica
A) Términos de igual signo.- Se escribe el signo igual, seguido de la suma de los valores
absolutos de los términos.
Ejemplos
1) 4 + 6 = 10 2) – 6 – 8 = – 14
Exponente
Signo Parte Literal
Coeficiente
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7
B) Términos de signos diferentes.- Se escribe el signo del mayor y se resta el mayor valor
absoluto y el menor valor absoluto.
1) – 4 + 6= 2 2) 6 – 10 = – 4 , observamos que la resta se hace siempre:10 – 6
Valor numérico de expresiones algebraicas.- Es el resultado que se obtiene al reemplazar
la parte literal de una expresión algebraica por los valores arbitrarios atribuidos a sus letras.
Ejemplo :
Determinar el valor numérico de X = cpbpapp ; si a = 9; b = 4; c =16 y p =24.
Solución.- Reemplazando valores:
X= 24 24 9 24 4 24 16 = 24 (15) (20) (8) = 240
Potenciación
Consideremos:
Conclusión En la potenciación en general podemos definir:
a · a · a · ... · a = se lee: “a” elevado a la n ( n veces).
n es un número natural que se llama exponente.
a es un número cualquiera que se llama base.
Lo anterior nos sugiere las siguientes propiedades:
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8
Reglas de los Exponentes:
Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son
enteros positivos diferentes.
Ejemplo:
Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se
queda igual. Ejemplo: 84242 xxx x
En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se
restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.
Ejemplo:
En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere
es su coeficiente numérico.
Reglas Básicas de Exponentes:
Regla: Ejemplo:
an
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9
Radicales
Un radical es una expresión en la forma: n b
Cada parte de un radical lleva su nombre,
El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente
omitido.
Propiedades de los Radicales:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
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10
Ejemplo:
Variados:
xp
amp p p pam...... (x radicales)
x
bn
xam
x
bn
am
x
aa 2
1
... (x radicales)
x
bnamxxbnam
mnp
axm n pax
x
bnxamx
bnam
abcd qpd
ncdmbcda b c d qpnm
Recordar:
Todo número elevado a cero es igual a la unidad: a0= 1
Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: a5. a 3= a8
Para dividir potencias de la misma base, se restan lo exponentes: a5/ a 3= a2
Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: (a5)3 = a15
Una potencia con exponente negativo será lo mismo que uno partido por la misma
potencia con exponente positivo: a- 5= 1 / a5
Una potencia con exponente fraccionario, equivale a una raíz: a3/4=
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11
1) 32x + 5= 37
2) 5x + 3= 25
3) 21 + x= 42 - x
4) 82 12x
5) 15 652 xx
6) 3x. (32)x= 93
7) 10x/ 103=
8) 1000 . 10x=
9) 621612x
10) xx aa 35
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
11. Determinar:
a) )7(7
771
13
n
nn
b*) mm
mm
3)3(5
)3(531
13
12. Calcular:
a) 11
11
ba
ba
b) (a-1 + b-1)(a + b)-1 c*)
22
11
ba
baab
13. Determinar:
a) 73
23
)3()35(
)45()21(
b) 294
336
301415
803521
xx
xx
c*) 7896
25133
73026
21151410
xxx
xxx
14. Hallar:
a*)
123
11
4
5
2
3
1 b) 3
11
122
5
32
2
5
5
1
15. Calcular:
a) 22
23
168
42nm
nmm
x
x b*) n
n
2222
3
2 2
)4(16
16. Determinar:
a) 7/32/73/8 2 b*)
8/75/123/5 4
17. Determinar:
a*) nmmn
nm
yx
yx
b) 3
2 22
42
n
n nn
nn
a
a
ACTIVIDAD 1.1
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12
18. Reducir:
a*) 6 212 54 k kk b)
acbc c-b x acab ba xx
19. Simplificar:
a) 3 4343
3
y
x
x
y
y
x b*)
5 3
5 33 5
x
xxx
1. Reducir :
bba
b2aba
18
3.16.6
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
2. Reducir :
veces n .... n n n
veces n ..... n n n
nnn
2n2n2n
n Z ; n 2
a) 1 b) n c) n-1 d) nn e) nn
3. Simplificar :
y
y
2y 3yyy
x
xx
a) xy b) x c) x-y d) y
x e) 1
4. Calcular el valor de:
5,03
23
3
1
9
2)2,0(2
2
1C
a) 1/8 b) 1/4 c) 1/2 d) 16 e) 8
5. Simplificar :
x1x3x
x
222
)6(5
a) 3 b) 1 c) 0
d) 3x e) 10
6. Simplificar : n1n2n
2n2
44
25
a) 2n b) 2-n c) 22/n
d) n2/1 e) 1
7. Reducir :
n3n
3n3 2n3n3 7n1n 4.28S
a) 2 b) 4 c) 16 d) 8n e) 2n
8. Simplificar :
abcbaacb
cba
)b.()a(
)a.b(
a) a/b b) b/a c) 1/ab d) ab e) 1
9. Simplificar :
1xx1xx
0x2 2/xx
a) x-2x b) x-x c) x2x
d) xx e) x4x
10. Resolver :
nxn2x
nxnx
xx
xxS
a) x-x b) x c) xn d) xx e) 1/x
11. Si aa=4 . Calcular :
8/11a2a1aa aa
a) 242 b) 252 c) 262 d) 272 e) 282
12. El valor de “x” que satisface la ecuación exponencial es :
x232753x29125
a) 3/2 b) 2/3 c) 7/5 d) 5/7 e) 1
13. Resolver :
x)31(
2791
3
a) –1 b) –2 c) 1 d) 2 e) 3
14. Resolver : 5
11x24 5
a) 2 b) 3 c) –1
ACTIVIDAD 1.1.1
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13
d) 1 e) 5
15. Hallar x de : 2
x8 248
1
2
1
a) 1/4 b) 3 c) 13 d) 10 e) 2
16. Se al ecuación :
4x255x26x24x325x3
el valor de x que la verifica es : a) 0 b) 4 c) –4 d) 1 e) 1/4
17. Hallar x si :
6
)1x()1x()1x()1x(3
a) 12 b) 2 c) 22
d) 12 e) 2
2
18. Resolver :
............x3x3x3x
a) 2 b) 8 c) 6 d) 4 e) 16
19. Calcular :
3 x x2
Si : 2121xx
a) 8 b) 16 c) 4
d) 2 e) 4 2
20. Resolver : 322xx2
e indicar el valor numérico de :
2x
a) 22 b) 10 c) 23
d) 44 e) 25
21. Calcular : 2x1xE
Si : 272
1x1xx a) 81 b) 243 c) 9 d) 27 e) 2
22. Resolver : 3
3)2x()2x()2x(
a) 23 3 b) 3 3 c) 23 3
d) 23 e) 23
23. Hallar x de :
2)2x(2 2x
a) 2 b) 22 c) 24
d) 2
2 e) 12
2
1. Hallar:
a*) 12
3/12/1
32
274 b)
131412
27
1
81
1
25
1
2. Calcular:
a*)
138124 2516 b)
14625243008,0
3. Simplificar:
a*) 2 1/51/231 ) m ( m m b)
n 2nn 4-n 4 2 2
4. Computar:
a) 5 23 4 32 8
b)
4
65
510
5,0
1
548
1812
x
x
5. Determinar:
a) 12125
21123
7272
7272mmmm
mmmm
xx
xx b)
53
31535
27 3
9 3 9
Autoevaluación 1.1
1
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14
6. Calcular:
a) nnnn
nnnnnn
cba
cbcaba b)
520
346
2 2
2 2 2
7. Simplificar:
a) abcbaacb
cba
ba
ab
)()(
)(
b)
nn n
n
2
13
44
2
8. Calcular:
a*) pqqp xx 1
1
1
1
b*) zyx
x
zxzyyx
zy
5 3 2
450 180 300
9. Efectuar: 5
4
8
4
2
22
c
ba
c
ba
c
ba
a) 1)1()1( babb babaab
10. Calcular:
a)2
222
)210(
2426n
nn
x
xx
b)222
)2(2)5,0(25,2
1
xx n
nn
11. Simplificar:
a) baa
abba
ab
bba
1)(
b) nnn
nn
112
1213
33
33
12.
13.
14. 4x + 2x + 1 - 80 = 0
15. 2x + 3 + 4x + 1 = 320
16. 9x + 1 + 3x + 2- 810 = 0
17. 2x + 2y= 32
23x - 5y= 16
18. 3x = 3y
4x . 4y= 256
19. 5x = 5y. 625
2x. 2y= 256
20. Simplificar: a) 12 42
6 23 2 ab
ba
ba
b*)
5,05/43/2
32
1
27
1
21. Calcular:
a) 3
2
31
32
662
3
2
3
b)
133
92
1
5
1
2
1
22. Hallar “x” en:
a) 164 813
x
b) 6561322 x
*c) 244
48x
23. Hallar “x” en:
a) x322 = 2048 b)
3
2
27
8
4
91xx
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15
*c) 16
9
3
4
4
31x
24. Hallar “x” en:
a) 3
39 327x
b) 2933 273
xx
c) 27 94 24x
25. . Señale verdadero (V) o falso (F)
I. Si (-2)x = -8, entonces x = 3
II. Si x5 = 35, entonces x = 3
III. Si x2 = 42, entonces x = 4
a) VVV b) FFV c) VVF d) VFV e) FVF
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16
MOTIVACION - INTRODUCCIÓN:
01. BINOMIO AL CUADRADO. ( Trinomio Cuadrado Perfecto) * (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 * (a - b)2 = a2 -2ab +b2 02. SUMA POR DIFERENCIA (Diferencia de Cuadrados ) * (a+b)(a-b) = a2 - b2 03. BINOMIO AL CUBO * (a+b)3 = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 forma desarrollada * (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3ab2 - b3 * (a+b)3 = a3 + b3 +3ab(a +b) forma semidesarrollada * (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) 04. BINOMIO POR TRINOMIO (Suma o Diferencia de cubos ) * (a+b) (a2 - ab +b2 ) = a3 +b3 * (a - b) (a2 +ab +b2) = a3 - b3 05. BINOMIO CON UN TERMINO COMUN * (x+b)(x+d) = x2 + (b+d)x + bd 06. PRODUCTO DE BINOMIOS * (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x +bd 07. TRINOMIO AL CUADRADO * (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc forma desarrollada * (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) forma semidesarrollada
1.2. PRODUCTOS NOTABLES
Productos Notables o Identidades Algebraicas: Son productos indicados que tienen una forma determinada de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación, llamadas también EQUIVALENCIAS NOTABLES. Las más importantes son:
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17
08. TRINOMIO AL CUADRADO * (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3a2b + 3a2c+3b2a+ 3b2c+3c2a+3c2b+6abc * (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)
Escribir el resultado de
1. 2)3( p
2. 22 )1(x
3. 232 )( byax
4. 2)( bnam
5.
6. 22( )a b a b
7. 22( )a b a b
8. ))(( yxyx
9. )1)(1( 22 xx
10. ))(( 3232 byaxbyax
11. ))(( bnambnam
12. ))(( zyxzyx
13. )3)(3( xx
14. )6)(6( mm
15. )4)(4( xx aa
16. ))(( 3232 baba
17. ))(( yxyx
18. ))(( 2
1
2
1
2
1
2
1
aaaa
ACTIVIDAD 1.2
Universidad Cesar Vallejo Matemática Superior I
18
1. Reducir :
402)6x(2x)2x)(1x)(4x)(5x(
a) 0 b) 13 c) 13x (x+6) d) 91 e) x (x+6)
2. Calcular :
34
84
323
224 3
224E
a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 9
3. Calcular el valor numérico de :
16 8y)4y4x)(2y2x)(yx(2E
Para : x = 8 ; y = 6
a) 2 b) 22 c) 24
d) 8 e) 28
4. Si : 4x
1x ; calcular :
x
12x x
11E
a) 16 b) 22 c) 3 2
d) 2 e) 4
5. Si para : 0yx se verifica :
yx3
y3x33y3x
Entonces el equivalente de : 9 2xy
es :
a) 1 b) 0 c) x
d) y e) 9 y
6. Sabiendo que se verifica la relación :
2)ba()bx2a)(bx2a(
Reducir : bx2a
)bx)(ax(E
a) 0 b) x c) 2x d) 2x e) abx
7. Calcular : 1x2
6yx
y
x
yx
3xyE
2 -5 y
25 x para
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
8. Sabiendo que : x2232x
Calcular el valor numérico de :
8/1)x2(
2xE
a) 0 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5
9. Si : 7na
nb
nb
na; el valor de :
nn
nn
ba
baE es :
a) 3 b) 3 c) 2 d) 2 e) N. A.
10. Hallar el valor numérico de:
31036
31036S
a) 1 b) 2 c) 2 d) 22 e) 4
11. Si a y b verifican la relación :
)1b)(1a(12)ba(
Calcular :
)1b(2b
)1a(2aR
a) 1 b) -1 c) ½ d) -1/2 e) -2
12. Se cumple : zy2x
4
zy
1
yx
1
Calcular : 2)zx(
z2zx2xN
a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 1/4
13. Si : N q;p;n;m , tal que :
II ....24x 2q2p
x 2n2m
I .....6x pqx mn
Calcular : x pqx mn
a) 3 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4
14. Si : 3 71x ; 13 6y
Calcular el valor numérico de :
83x
x2x
3y5
y2yE
a) 1/3 b) 2/3 c) 3 d) 4/3 e) 5/3
15. Si a y b verifican las ecuaciones
ACTIVIDAD 1.2.1
Universidad Cesar Vallejo Matemática Superior I
19
103)12b2a(
)1310(3101ab
Hallar : 4
74)ba(4)ba(E
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
16. Calcular “p” para que la igualdad
)zy(x
)zyx()pzyx(P
222
222222
Se
convierta en una identidad.
a) x+y+z b) 2(xy+xz+yz) c) x2+y
2+z
2
d) xy+xz+yz e) xyz
17. Si : a + b + c = 0 ; abc = 4 Calcular el valor numérico de :
E = ab(a + b)4 + ac(a + c)4 + bc(b + c)4
a) 32 b) 48 c) 52 d) 72 e) 36
18. Si : x312x
Calcular : 7x13
)2x3x)(8xx(20E
a) 5 b) 10 c) 1 d) 25 e) 4
19. Si se cumple que : x2 – 3x + 1 = 0
Calcular : 5x
3x5x7xE
a) 7 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
20. Calcular m para que el trinomio :
F(x,y) = mx2 + 3mxy + 9y2
Tenga raíz cuadrada exacta, e indicar el valor de :
m 2m
a) 24 b) 2 c) 8 d) 23 e) 12
21. Hallar el valor numérico de :
E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2]
Sabiendo que : 12a3
12b3
a) 9 b) 24 c) 26 d) 6 e) 1
22. Sabiendo que :
(a+b+c)2 – (a2+b2+c2) (ab+ac+bc) = 2
Hallar : a2 + b2 + c2 , siendo: ab+ac+bc 1
a) 2 b) 1 c) –1 d) 1/2 e) –1/2
23. Si : {x ; y ; z} R tal que :
x2 + y2 + z2 + 14 = 2(x + 2y + 3z)
Hallar el valor de : 3z3y3x
xy z)zyx(S
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
24. Si : 33
24x
Calcular : )6x)(6x(xP
a) 6 b) 9 c) 3 d) 2 e) 0
1. Escribir el resultado de :
1) 2)1( x
2) )10)(11( aa
3) ))(( axxa
4) 22 )31( x
5) )21)(21( xyxy
6) )1)(1( aa
7)
8) )3)(3( 22 yyyy
9) 212 )( yx cb
10) )2)(2( 77 aa
11) ))(( nmnm baba
12) 2)( nm yx
13) )2)(2( cbacba
2. Simplificar:
2
2 1
1
1
xx
xx
xx
3. Si : a+b=3 y ab=1. Hallar el valor de: 5 5a b
4. Si : x2 +2y2 = m+n y 2xy=m-n
Hallar: x4 +4y4
AUTOEVALUACIÓN 1.2
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20
5. Hallar el valor de: 2222 )cba()ca()cb()ba(
Si: 7cba 222
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
6. Efectuar:
3 633 63 nmmm.nmmm
a) m b) n c) 2m d) 2n e) 1
7. Si: yz8yz2xyz2x
Calcular: yz2xyz2x
a) 3 b) 2 c) 1 b) 1/2 e) 1/3
8. Si: x)23()1x( 2
Calcular:
1x
)1x(F
4
22
a) 2 b) 3 c) 4 d) – 2 e) – 3
9. Si: 0cba 333
Calcular:
)cb)(ca)(ba(
abc27cbaP
333
a) 0 b) – 1 c) – 3 d) 3 e) 1
10. Efectuar:
)4x)(3x)(5x)(2x()3x)(2x)(4x)(1x(
56)10xx(2 22
a) 5x – 20 b) 3(x – 10) c) 1
d) x2+3x-84 e) 0
11. Efectuar:
124224223322 b)bbaa)(baba)(ba)(ba)(ba(
a) a
12 b) – a
12 c) 2b
12 d) a
24 e) 2a
12
12. Si se cumple que:
(a + b + c)2 = 3 (a
2 + b
2 + c
2)
donde : {a , b , c} R, hallar el valor
de:
22
22
c3a2
)b3a5(4T
a) 2 b) 4 c) 8 d) – 16 e) – 32
13. Si : 2c;2b;2a 36 . Calcular:
3333 )cba()bac()acb()cba(H
a) 12 b) 24 c) 48 d) 64 e) 128
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21
. 01. FACTOR COMÚN
a x y ax ay
02. FACTOR POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS ax bx ay by x(a b) y(a b) (a b)(x y)
03. DIFERENCIA DE CUADRADOS.
2 2a b a b a b
04. BINOMIO CUADRADO PERFECTO
2 2 2
2 2 2
2
2
a b a ab b
a b a ab b
05. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
3 3 2 2
3 3 2 2
a b a b a ab b
a b a b a ab b
06. Generalizando
1 2 3 2 2 1n n n n n n na b a b a a b a b ab b
1 2 3 2 2 1n n n n n n na b a b a a b a b ab b
07. TRINOMIO DE LA FORMA 2x bx c .
2
1 2x bx c (x )(x )
Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones. 2x 3x 10
Pasos:
2
1 2x 3x 10 (x )(x )
1 2 3
1 2* 10
En este ejercicio es fácil ver que los valores son:1 25 y 2 por lo tanto la
solución es: 2x 3x 10 (x 5)(x 2) .
1.3 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio es el primer método para obtener las raíces o ceros de la expresión. Para factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad
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22
08. FACTORIZACIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS.
22ax bx c x con a ,
b
2 a,
2bc
4a
09. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado tiene
cuatro raíces enteras, , , y se factoriza así:
1. Factorizar:
1.1. aa2
1.2. yzxy
1.3. 353 mm
1.4. 232 357 axxa
1.5. 936 3mmm
1.6. 269 mm
1.7. 22 )1()1)(1(4)1(4 mmnn
1.8. 22
929
srsr
1.9. 22 )()(2 yxyxxx
1.10. 22 94 vu
1.11. 46291 wvu
1.12. 494
1́a
1.13. 121
4
49
106 ax
1.14. mn ba 24 225
1.15. 4
124 aa
1.16. 4248 96 vvuu
1.17. 1032 mm
1.18. 672 cc
1.19. 3048 yy
1.20. 44 4ba
1.21. 8 8a b
1.22. 53 48u u
edxcxbxax 234
1x 2x 3x4x
4321
234 xxxxxxxxaedxcxbxax
ACTIVIDAD 1.3
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23
1. Indique el número de factores primos lineales de :
P(x;y) = x8y + 3x7y + 2x6y + 6x5y
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 48
2. Indicar un factor primo de :
F(x;y) = x3 + x2 + x2y + y2 + 2xy
a) x2+y b) x2+y2+y c) x+y2
d) xy+x2+y2 e) x2+x+y
3. Indicar un factor primo de :
F(x;y) = (x+y) (x–y+z) – (x2–y2) – x – y
a) x-y b) x+y+1 c) z-x-y d) z-1 e) xy-z
4. Indicar la suma de factores primos de :
F(x;y) = x2 + x – y2 – y + x2y – xy2
a) 2x+2y+2 b) x+2y c) 2x+2 d) 2x+y e) 2x-2y
5. Factorizar los polinomios :
F(x) = 9x2 – 25
G(x;y) = 8x3 – y3
R(x;y) = x9 + x6 – x3y2 – y2
6. P(x,y) como suma de factores primos tiene :
44)y;x( y64xP
a) xy8x2 2 b)
22 y16x2 c) 2x2
d) 22 y8x4 e)
2x4
7. Indique un divisor del polinomio :
F(x;y) = (x+y)3 + 2xy (1-x-y) –1
a) x+y b) x-y+1
c) x2+y2-x+y+1 d) x2+y2-x-y+1
e) x2+y2 -x+y-1
8. Factorizar los polinomios :
F(x) = 15x2 + 14x – 8
G(x;y) = 21x2 – 31xy + 4y2
R(x) = 8x4 – 2x2 – 3
9. La expresión :
R(x) = 8x2 – mx – 15
Se factoriza : (8x + a) (bx – 5) Indique : “a + b + m”
a) 41 b) –33 c) –34 d) 40 e) 39
10. Indicar el término independiente de uno de los factores primos del polinomio :
P(x) = 3x8 + (15a – 2b)x4 – 10ab
a) 5 b) 2a c) –b d) –2b e) 3a
11. Factorizar :
P(x,y,z,w) = (w+x) (w+y) – (x+z) (y+z)
Indicar un factor primo. a) w+z b) x+y+z+w c) x-y d) x+y e) x-y+z-w
12. Al factorizar :
P(x) = (x+1)(2x+1)(3x+1)+(x+1)2+x+x2
Presenta un factor primo de la forma : (a+1)x +a Hallar la suma de los valores que toma “a”.
a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 8
13. Al factorizar :
R(x,y,z) = (6x+7y+18z) (x+3y+3z) + 3y2
Indique la mayor suma de coeficientes obtenida en algún factor primo. a) 20 b) 11 c) 21 d) 32 e) 17
14. Factorizar : 92x24x)x(P e Indicar la
suma de los términos independientes de los factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10
15. Factorizar e indicar un factor primo de:
2abb2a33b93a
a) b32a b) b32a
c) b3a d) 2b32a
e) b3a
16. Factorizar 322x924x30 e indicar un
término independiente y el coef. principal de uno de ellos.
a) 10 y -8 b) 10 y 3 c) –8 y 3 d) 6 y 4 e) 11 y -12
17. Factorizar e indicar el término independiente de uno de los factores primos de grado “n” en :
mx10
nmx7
n2mx)x(P
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
ACTIVIDAD 1.3.1
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24
18. Factorizar : 22
)y,x( )2y(3)2y)(3x(2)3x(A
Luego dar como respuesta la suma de los términos independientes de cada factor primo.
a) 5 b) -5 c) 2 d) -2 e) -8
19. Luego de sumar los factores primos de:
)2a2ax62x2(ax2)2aax32x()a,x(F
se obtiene :
a) 2)ax(2 b)
2aax32x2
c) )2aax2x(2 d) 2aax32x
e) 2aax2x
20. Un factor primo repetido en :
5x)6x)(5x()7x)(6x)(5x( )x(P es :
a) (x+5) b) (x+6) c) (x+7) d) (x+8) e) (x+18)
21. Factorizar :
4y542y2x154x4)y;x(R
e indicar un factor primo lineal.
a) (x+6y) b) (2x+3y) c) (3x+2y)
d) (y+6x) e) 6x+y2
22. Factorizar : 92x24x)x(P e Indicar la
suma de los términos independientes de los factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10
23. Factorizar :
M(x) = (ac-bdx)2 + x(bc+ad)2
Indique la suma de coeficientes de los factores primos obtenidos.
a) a2-b2-c2+d2 b) a2-b2+c2-d2
c) a2+b2-c2-d2 d) d2-c2+b2-a2
e) a2+b2+c2+d2
24. Factorizar
2b2a)ax(b2ax22x)b,a,x(P
e indicar la multiplicidad de un factor primo.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
25. Señalar la suma de los factores primos de:
2)2c2b(2a)2c2b(24a
a) a+b+c b) 2a+3b+4c c) a+b-c d) 4a e) 0
2. Factorizar las siguientes expresiones:
1) 3445 abxbxaxx
2) 225332253 rqprqprqp
3) 252m
4) 4224 497025 yyxx
5) 24 21 xx
6) uvvuu 15129 223
7) 256642 cba
8) 242 30259 uvvu
9) 248121620 aaaaaa
10) 4357 1173 aaaa
11) 400412 uu
12) 4357 1173 aaaa
13) 2
2
4bab
a
14) mabbxabaabba 22232 48563
15) 5425335345525432 cbacbacbacbacba
16) 305234 xxxx
17) 32 2 xx
18) )()()( 222 bacacbcba
19) ))(())(( 2222 yxzxzxyx
20) 24223 )()( xxxx
AUTOEVALUACIÓN 1.3
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25
3. ¿Cuántos factores de primer grado admite la expresión:
44 235 aaa
4. ¿En cuántos factores se descomponen la expresión:
137764 abba
5. Proporcionar la suma de factores al factorizar la expresión
22222 )(4)12( baabbca en 4 factores.
6. La suma de los factores de:
:2232222 eszxyzxyyzxzyx
7. Al factorizar el polinomio:
1682 222 xzyzyx
La suma algebraica de los términos independientes de los factores primos es:
8. Al factorizar 122 2345 xxxxx se obtuvo una expresión de la forma:
)1()1( xx Hallar +
9. La suma de los Factores de 222 )12()1( xxx al factorizar es:
10.¿Cuántos factores se obtienen al factorizar x6-m6 ?
Saber no es suficiente; tenemos que aplicarlo. Tener voluntad no es suficiente: tenemos que implementarla. (Tonatihu)
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26
Sesion Nro. 02 MOTIVACIÓN
Milagros, una costurera, dice: “Gasté los 2/7 de lo que
tenía en comprar telas y S/. 20 más en hilos,
quedándome con la quinta parte de lo que tenía y S/. 16
más.” ¿Cuánto tenía Milagros?
Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.
El ingreso total de una cafetería con base en la venta de x cafés
especiales está dado por r = 2.25x y sus costos totales diarios
están dados por c = 0.75x + 300.
¿Cuántos cafés especiales se necesitan vender cada día para
obtener el punto de equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo el
ingreso es igual a los costos?
Rpta. 200 cafés especiales.
1.1. ECUACIONES
1.1.1. DEFINICION
Una ecuación es una proposición que indica que dos
expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman
2. ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita.
¿Qué es una ecuación?
DEFINICIONES
¿Qué solución planteas?
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27
una ecuación son llamados sus lados o miembros, y están separadas por el signo
de igualdad.
Ejemplo:
Ejemplo de ecuaciones
a. x + 2 = 3
b. x2 + 3 x + 2 = 0
c. 64y
y
d. w = 7 - z
Cada ecuación contiene al menos una variable, que es un símbolo que puede ser
reemplazado por un número cualquiera de un conjunto de números diferentes: x, y,
z ....
Números y se conocen como constantes, ya que son números fijos: 2, 3, ....
Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de
la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.
Ejemplo:
La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos
dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que
X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si
usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)
Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones.
Ejemplo:
5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
X2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma
de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0
sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones,
como: x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.
1.2. ECUACIONES LINEALES
1.2.1. DEFINICION
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que
puede escribirse en la forma:
ax + b = c
donde a, b y c son constantes y a 0
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28
También se le conoce como ecuación de primer grado o ecuación de grado uno, ya
que la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera.
Ejemplo:
Resolver
5x – 6 = 3x
2(p + 4) = 7p + 2
64
89
2
37 xx
Para resolver una ecuación de primer grado se recomienda que las incógnitas estén
en un mismo miembro y las cantidades numéricas o conocidas en el otro y así se
podrá despejar más fácil.
Ejemplo:
Resolver (a + c) x + x2 = (x + a) 2 para x
1.2.2. ECUACION COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES
Todo negocio, consiste básicamente en satisfacer necesidades
y deseos del cliente vendiéndole un producto o servicio por
más dinero de lo que cuesta fabricarlo.
La ventaja que se obtiene con el precio, se utiliza para cubrir
los costos y para obtener una utilidad.
La mayoría de los empresarios, principalmente
de pequeñas empresas definen sus precios de
venta a partir de los precios de sus
competidores, sin saber si ellos alcanzan a cubrir
los costos de sus empresas. La consecuencia
inmediata derivada de ésta situación es que los
negocios no prosperan. Conocer los costos de la
empresa es un elemento clave de la correcta
gestión empresarial, para que el esfuerzo y la
energía que se invierte en la empresa den los frutos esperados.
Por otra parte, no existen decisiones empresariales que de alguna forma no
influyan en los costos de una empresa. Es por eso imperativo que las decisiones a
tomarse tengan la suficiente calidad, para garantizar el buen desenvolvimiento de
las mismas.
Veamos un ejemplo:
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29
Ejemplo:
“Muebles IKASA” vende en su sede del centro de Lima muebles de oficina, en donde
se tienen los siguientes costos de un modelo nuevo que se está ofreciendo en esta
sede:
COSTOS FIJOS
Alquiler del local de ventas
S/ 1,900
Sueldos y jornales vendedora
S/ 800
Energía eléctrica S/ 400
Teléfono S/ 100
Impuestos S/ 473
Honorarios Contador S/ 827
TOTAL
S/ 4,500
COSTOS VARIABLES
Costo por unidad de cada juego de muebles S/ 1,500
Por otro lado, el juego de muebles se está vendiendo a S/. 2.000. En este primer
mes la gerencia se ha propuesto una utilidad de S/. 20.000. Por lo tanto, ¿cuántos
juegos de muebles debe vender para obtener la utilidad propuesta?
Solución:
¿Cuál es nuestra incógnita?........................................................................
Así, sea x:...............................................................................................
Por lo tanto, la inversión total para dicha cantidad de juegos de muebles es
Esta inversión se denomina Costo Total y tal como te has dado cuenta, si se produce ¨x¨ unidades entonces la inversión es igual a:
.........................................................................................TotalC
Por otro lado, teniendo en cuenta la venta de cada par de zapatos a:
Venta: Cada juego de muebles se vende a S/. 2,000 por lo cual si se venden un
total de ¨x¨ muebles, se obtendrá un ingreso de:
Dicha cantidad se denomina Ingreso Total y por lo cual se dice que, si se vende ¨x¨ unidades entonces el ingreso total es igual a:
.........................................................................................TotalI
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30
Teniendo en cuenta ello, por los ¨x¨ juegos de mueble que produce y vende se obtendrá una ganancia de:
.........................................................................................TotalG
Por otro lado, la gerencia se ha propuesto obtener un ganancia total de S/. 20.000. Por lo tanto reemplazando:
00020...................................................................TotalG
Así el nro. de juegos de muebles a producir y comprar es:.....................
EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
1. El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al triple del número
disminuido en 10. ¿Cuál es el número?
Resolución:
Sea ”x” el número
El exceso del doble del número sobre 18 es: 2x – 18
El triple del número disminuido en 10 es: 3(x – 10)
Luego, según el enunciado
2x – 18 = 3(x – 10)
Resolviendo:
2x – 18 = 3x – 30
. 12 = x .
Por tanto . El número es 12 .
2. Se tienen dos números, el mayor excede al menor en 15 unidades. Si al menor
se le aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la mitad del mayor
Resolución:
Recuerda que:
Si A excede a B en 15, entonces:
. A + B = 15 .
Sean los números:
# menor = x
# mayor = x + 15
Según el enunciado
2
15
4
3
2
#
4
3#
xxx
mayorsusmenor
Resolviendo
4x + 3x = 2(x + 15)
7x = 2x + 30
5x = 30
. x = 6 .
Luego los número son:
. 21156
6
# mayor
# menor .
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31
ACTIVIDAD 2.1
Instrucciones. A continuación te presentamos algunos ejercicios de
aplicación en cada uno de ellos tú mismo eres el protagonista.
1. 0.2x = 7
2. 3y = 0
3. 2x – 4x = -5
4. –5x = 10 – 15
5. 3 – 2x = 4
6. 5x – 3 = 9
7. 2 x + 3 = 8
8. 7x + 7 = 2(x + 1)
9. 6z + 5z – 3 = 41
10. 2(p – 1) – 3(p –4) = 4p
11. t = 2 – 2[2t – 3(1 – t)]
12. 5
x = 2x – 6
13. 7
5y –
7
6 = 2 – 4y
14. 7 + 9
4x =
2
x
15. 3
x – 4 =
5
x
16. q = 2
3q – 4
17. 2
x +
3
x= 7
18. 3x + 5
x – 5 =
5
1 + 5x
19. 9
1x2
4
1x
2
1
9
4x
4
3x
20.
21. 10
5x8
3
x4
3
x7
4
1x
5
8x3
22. 1x
3
1x
2
23. 03x
11
3x2
13
24. 01x6
x6
1x3
2x3
25. xxx
1)3
241(
3
4
2
3
26. 02
5
2x
3
27. x6
x731
3
1
x4
9
x3
8
x2
7
28. x
3
2
3
x
5
29. 0x2
5x2
3x
4x
30. 072
13
x24
1
x12
1
x9
1
x8
1
31. x14
11
4
1
x
1
x7
8
14
5
x4
3
32. 25,1x6,1
5
x8,0
3
33. x5,1
16
3
7
x6,0
5
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32
1. Resolver :
4 - [2 – x - (4-2x)-5] = x + (-5 + 2x)
a) 15 b) 16 c) 4 d) 3 e) 8
2. Hallar “x” de :
8))x((x3)2x(3)4x2(7x2
a) -7/5 b) 22/7 c) –6/7 d) -6/11 e) 6/11
3. Si al resolver : 4x – (2x+3) (3x-5) = 49 – (6x-1) (x+2)
se obtiene la fracción irreductible x = a/b entonces “a + b” es :
a) 12 b) 15 c) 10 d) 14 e) 13
4. Calcular “x” de:
3(x - 4) + (x+3).(x-7) = (x+5)2 – 3
e indicar el valor numérico de:
7x1xE
a) 16 b) -4 c) -5 d) 6 e) 9
5. Hallar “x” de : 5
3x
4
2x
15
x7
6
1x
3
x2
a) –12/19 b) –76/25 c) –4/19 d) –4 e) -2
6. Resolver :
1x3
2x
4
1x
3
2)1x(
2
1
a) 4/3 b) –4/3 c) –2/3 d) –1/9 e) 1/9
7. Hallar “x” de la ecuación :
06
x5
51
3x
2
17
26
1x
3
13
a) –2/7 b) 4/7 c) –6/7 d) –7/2 e) –4/7
8. Hallar “x” que verifique la ecuación:
(2x–3).(x2
+ x –2) = 2x(x.x) – x(x– 5) + 6
a) 1/12 b) 12 c) 0 d) –1 e) 1
9. Resolver para “x” :
2a3x2
1
a
1a
a) a b) a/2 c) 2a d) -a e) 3a
10. Resolver :
2
3 4 1x x x+ - - =
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
11. Resolver la ecuación se reduce a 1er grado en “x”.
ax2 + 2x + a = 5x2 – 3ax + 4 ; (a R)
a) – 1 b) – 16 c) – 15/17 d) – 1/17 e) – 1/9
12. En la ecuación : x2 + 6x – m = 0
Hallar “m”, si una raíz es -2.
a) -2 b) -6 c) -8 d) -4 e) 4
13. Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a = 0; una
de las raíces es 2. Indicar el valor que adopta “a”.
a) -5 b) 5 c) -4/3 d) 4/7 e) -4/7
14. Resolver para “x” :
2a2x)1a(a2)xa(
a) 2
1a b)
2
1a c) a d) a-1 e)
2
a1
15. Resolver para “x” :
a(x-a) + 2bx = b.( b+2a+x )
a) a+2ab+b b) a+b c) 2b2a
c) ab e) 22b2a
16. Hallar “x” :
2b)b3a2(x2a)b2a3(x
a) a+b b) a-b c) ab
d) 2b2a e) ba
2b2a
17. Resolver para “x” :
ab
2a2b
b
abx
a
bax
a) 1 b) ab c) a-b d) 2(a-b) e) 2(a+b)
18. Resolver en “x” :
01bx
a
1ax
a
a) ba
2 b)
ba
a2 c)
ba2
3
d) b2a
b e)
ba
1
ACTIVIDAD 2.1.1
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33
19. Resolver para “x” :
2a
b
ba
b2a2
bx
ax
a) a+b b) a-b c) 1 d) 2b2a e) ba
ba
20. Hallar “x” de :
a
ax
)ax(a
2x
ax
1
a) 2
a1 b)
2
1a c)
2
a
d) 1a
1a e)
1a
a
21. Para que valor de “x” en términos de “a” y “b” se obtiene A = B donde :
2x)bx)(ax(B
)ax(b)bx(a2A
a) ba
ab b)
ba
ab3 c)
ba
ab3
d) ba
ab3 e)
ba
ab
22. Indicar el valor de “x” que haya posible la igualdad :
)5x(5
2
2
x
4
2x)1x(
3
2
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
23. Despejar el valor de “x” para que verifique :
2x4
8
5
3
1x2
4
2x
1x
a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/5 e) 5/2
24. Hallar “x” de : xa
)xb(b
b
)xa(a
a) a+b b) a-b c) a d) b e) ab
25. Resolver : 2
x
1
2
1
1
2
1
11
a) 1/3 b) 3 c) 2/3 d) -3 e) -1
26. Resolver para “x” :
2b2a
ba
bxab2
ba
ax
a) 2b2a b) 2b2a c) 2b2a2
d) 2b22a e) 2b2a2
27. Resolver la ecuación :
x6x3x2
e indicar el valor numérico de :
x2)3x(E
a) 12 b) –1 c) 33 d) 9 e) Dos anteriores son correctas
28. Resolver la ecuación :
7
1x3xx9
a) 1/7 b) 7 c) 1/49 d) 7
1 e) 49
29. Indique el valor de “x” que verifique la igualdad :
x)4x3x(x)3x3x)(5x3x( 2222
a) 0 b) 1 c) ½ d) –1/2 e) 2
30. Hallar “x” de :
0x;
7x
43
x27x
43
3x2
43
x21
a) 6 b) 4 c) 9 d) 12 e) 10
31. Hallar “x” para obtener A = B donde :
4x
52
9x
3x2
32
3xB
4x
52
5x
3x2
32
7xA
a) -3/7 b) –7/3 c) 3/7 d) 7/3 e) 10
32. Si una de las soluciones de la ecuación dada
es “ab” : x
2
1b
ax
1a
bx
lo correcto es :
a) ab(a+b) = 1 b) 2ba
ab c) ab(a+b) = 2
d) ab(a+b) = 2 e) ab+a+b = 2
33. En la ecuación :
2x)bx)(ax()ax(b)bx(a2
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34
Se obtiene para “x” el valor :
a) ba
ab4 b)
ba
ab3 c)
ba
ab3
d) ba
ab5 e)
ba
ab
34. Hallar “x” si : (a -1) (x+a) –2a(a-1) = 2a(x-a)
a) a b) -a c) 2a d) a + 1 e) a – 1
35. Resolver para “x” :
2a2x)1a(a2)xa(
a) 2
1a b)
2
1a c) a
d) a - 1 e) 2
a1
36. Hallar la solución de la ecuación :
1ax
x3
1x
ax
si esta se reduce a una ecuación lineal. a) 7/5 b) 7/3 c) –3/7 d) –2/3 e) 1/7
ACTIVIDAD 2.2
Instrucciones. A continuación te presentamos algunos ejercicios de
aplicación en cada uno de ellos tú mismo eres el protagonista.
1. La edad de Juan aumentada en 8 es 27 ¿Cuál es la edad de Juan?
2. El doble del dinero que tengo disminuido en 70 es 48. ¿Cuánto es el dinero
que tengo?
3. El triple de la suma de un número de empleados de una empresa con 6 es
48 ¿Cuál es el número de empleados?
4. El número de hombres es 5 veces el número de mujeres, si en total hay 42
personas, entre hombres y mujeres ¿Cuántas mujeres hay?
5. El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres, si en total
hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿Cuántos hombres hay?
6. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”
7. El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45 ¿Cuánto tengo?
8. Hallar un número, tal que al agregarle 432 obte Al retirarse 14 personas de
una reunión se observa que ésta queda disminuida en sus 9
2 partes.
¿Cuántas quedaron?
9. A Gildder le preguntan la hora y responde: “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas”. ¿Qué hora es?
10. Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
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35
11. ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre
los 5
3 del número y sexta parte del mismo?
12. Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas?
AUTOEVALUACIÓN 2.1
1. El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta, P (x)
en miles de soles., está relacionado con el número de asistentes que estén interesados en su adquisición, a través de la siguiente expresión: P (x) = 5x+ 50 si 0 ≤ x ≤ 10. ¿Si el precio es de 95 mil soles cual es el numero de asistentes?
2. Doce es excedido por 18 en la misma medida que el número es excedido por su
triple. Hallar el exceso de 20 sobre el número.
3. Tenía S/. 85, gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que
gasté ¿Cuánto gasté?
4. El martes gané el doble de lo que gané el lunes, el miércoles el doble de lo que
gané el martes, el jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes S/. 30
menos que el jueves y el sábado S/. 10 más que el viernes. Si en los 6 días he
ganado S/. 911 ¿Cuánto gané el miércoles?
5. Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da 6 pasos más que subiendo
de cinco en cinco. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera.?
6. Compré el cuádruple del número de caballos que de vacas. Si hubiera
comprado 5 caballos más y 5 vacas mas tendría el triple de número de
caballos que el de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré?
7. Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela
por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $
20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta
cada material?
8. Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas
y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto
tardarían si la pintaran entre las tres?
9. Calcular cuatro números consecutivos tales que la tercera parte de la
suma de los mayores sea 10 unidades menos que la suma de los dos
primeros.
10. La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $
25, niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $
14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?
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36
2.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
MOTIVACIÓN
En una frutería se venden un promedio de 55
kilogramos por día cuando el precio es de S/ 9 por
kilogramo. Las ventas aumentan 4 kilogramos
diarios por cada S/. 0.50 que se disminuye en el
precio.
Encontrando un ecuación para el ingreso
X número de
disminuciones
Soles
Ingreso
0 55(9)=495
1 (55 + 4x1)(9 - 0.50x1) = 501.5
2 (55 + 4x2)(9 - 0.50x2) = 504
x (55 + 4x)(9 - 0.50x)=
4955.82 2 xx
Así la ecuación par el ingreso sería: 4955.82 2 xxingreso
. ¿Cuánto le ingresa
si el precio llegó un día a S/. 5.5?. ¿Cuánto fue el precio, un día en que hubo un
ingreso de S/ 490?
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.
¿Qué es un ecuación cuadrática?
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37
Llamadas también ecuaciones CUADRÁTICAS, son aquellas ecuaciones que
presentan la siguiente forma general:
02 cxbxa . . . . . . . . . . . (1)
Rcbaya ,,0
donde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos (1).
El coeficiente “a” se llama coeficiente cuadrático o de segundo grado.
El coeficiente “b” se llama coeficiente lineal o de primer grado y
El coeficiente “c” se llama término lineal.
Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuación de segundo grado se
llama completa y si b ó c o ambos, son ceros, la ecuación de segundo grado se
llama incompleta.
Así dado: a , b y c ≠ 0 entonces : ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación de segundo
grado completa.
Toda ecuación de segundo grado presenta dos raíces o soluciones, llamémoslas, x1
y x2.
Estas raíces se pueden obtener mediante dos métodos:
1.2.3. METODOS DE SOLUCION:
1.2.3.1. METODO DE LA FORMULA GENERAL:
De la ecuación 02 cxbxa
se deduce la formulación clásica que despeja la
variable:
a
acbbx
2
42
. . . . . . . . . . . (2)
siendo: a
acbbx
2
42
1
. . . . . . . . . . . (3)
a
acbbx
2
42
2
. . . . . . . . . . .(4)
Se define la cantidad subradical: b2 – 4ac como el discriminante (invariante
Característico) de la ecuación cuadrática y se le denota por :”Δ”, luego:
acb 42
. . . . . . . . . . . . . . . . .(5)
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38
1.2.3.2. METODO DE FACTORIZACION:
Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 siempre y
cuando se pueda.
Los pasos de este método son los siguientes:
Se trasladan todos los términos a un sólo miembro dejando el otro miembro
igual a cero.
Se factoriza este miembro por el método del aspa simple.
Para obtener las raíces de la ecuación, se iguala cada factor a cero.
Discusión de las raíces de una ecuación de segundo grado.
Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, a≠0
dependen de la discriminante Δ dado por (5) así:
Primer caso:
Si Δ > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y desiguales.
Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones:
a) si Δ es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son racionales.
b) si Δ no es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son irracionales conjugadas.
Segundo caso:
Si Δ = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíces dobles) donde:
a
bxx
221
. . . . . . . . . . . . . . . .(6)
Tercer caso:
Si Δ < 0 entonces las raíces x1 y x2 son complejos y conjugados.
1.2.4. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO.
Sea la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, a≠0 y sus raíces x1 y x2
tendremos las siguientes propiedades:
a) Suma de raíces:
a
bxx 21
. . . . . . . . . . . . . . . .(7)
b) Producto de raíces:
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39
a
cxx 21.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .(8)
c) Diferencia de raíces:
a
acbxx
42
21
. . . . . . . . . . . .(9)
d) Suma de cuadrados de las raíces:
2
22
2
2
1
2
a
acbxx
. . . . . . . . . . . .(10)
e) Identidad de Legendre aplicada a las raíces:
21
2
21
2
21 .4)()( xxxxxx . . . . .(11)
CONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
CONOCIENDO SUS RAÍCES:
Conociendo las dos raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado ,esta se
construye empleando la suma y el producto de dichas raíces.
Luego la ecuación que dio origen a x1 y x2 es :
0).()( 2121
2 xxxxxx . . . . . . .(12)
llamada también : forma canónica de la ecuación de segundo grado.
O bien :
02 PSxx
siendo: 21 xxS y
21.xxP
1.2.5. PROPIEDADES ADICIONALES DE LAS RAÍCES:
* La ecuación de segundo grado: : ax2 + bx + c = 0, a≠0 tiene raíces
simétricas (raíces de igual valor pero de signo contrario) si y solo si :
21 xx de allí que :
021 xx entonces
0b. . . . . . . . . . . . . . . (13)
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40
* La ecuación de segundo grado: : ax2 + bx + c = 0, a≠0 tiene raíces
recíprocas (una de las raíces es la inversa de la otra) si y solo si:
2
1
1
xx
de allí que : 1. 21 xx entonces
ca. . . . . . . . . . . . . . .(14)
RAÍZ NULA:
Dada la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0, si esta presenta una
raíz nula (x=0) entonces:
0c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15)
RAÍZ UNIDAD:
Dada la ecuación de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a≠0, si esta presenta una
raíz unidad (x=1) entonces :
0cba . . . . . . . . . . . . . . . .(16)
Soluciones de una ecuación cuadrática
1.2.6 Solución por completación de cuadrados.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una
ecuación cuadrática.
Se supone que la ecuación: ,con a 0 ,es equivalente a la
ecuación cuadrática:
(1).
Sumando en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:
ó
Para resolver la ecuación cuadrática, puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
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41
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene
sentido solo si ), se obtiene:
,de donde (2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación
cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación : .
Casos especiales
Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas
porque les falta uno de los términos : :
1er. Caso: ax2 + bx = 0 2do. Caso: ax2 + c = 0
Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas
despejando directamente la x.
En el primer caso, ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0 (hemos factorizado)
Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo
la ecuación lineal ax+b=0.
Por ejemplo: 3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0 → 3x+5=0
ó x = 0, despejando x concluimos que las soluciones
son: x = 0 y x = – 5/3.
En el segundo caso, ax2 + c = 0 → ax2 = – c → x2 = – c/a →
Por ejemplo: 3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17 →
Tipos de soluciones: Reales e imaginarias
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:
Dos raíces reales distintas
Una raíz real (o dos raíces iguales)
Dos raíces imaginarias distintas
El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:
D = b2 - 4.a.c
Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se
generan dos raíces reales distintas
Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.
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42
Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.
Ejemplos de verificación de las soluciones
A continuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos
posibles ya mencionados.
1.- Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0
2.- Resolver: 6x - x2 = 9
3.- Resolver: -6x + 13 = - x2
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
1. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el
ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.
Supóngase que:
x = ancho de la sala // El largo es 3 metros mayor que el ancho, así que:
x + 3 = largo de la sala. // El área de un rectángulo es la multiplicación de
ambos:
x. (x + 3 ) = área de la sala. Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ).(x + 5) = nueva área de la sala
La nueva área es el doble de la primera, así que planteamos la ecuación:
(x + 3 ).(x + 5) = 2 . x. (x + 3 )
Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0
Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver. Se
aplica la resolvente y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3. La solución x = -3 se desecha, ya
que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única
respuesta que el ancho original era 5 metros. Mirando las condiciones iniciales, se
deduce que el largo es: x + 3 = 8 metros. Así que el área original era 8m.5m = 40 m2.
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43
2. Halle el área y perímetro de una tienda comercial
de forma de un tríángulo
rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros
Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras: "El
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La
hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos; se plantea entonces la ecuación:
(x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:
x2 + 2.3.x + 32 + x2 - 2.4.x + 42 = (2x)2 - 2.(2x).5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 - 8x +
16 = 4x2 - 20x + 25
Reagrupando: x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0
Finalmente: -2 x2 + 18x = 0 Esta es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9. La solución x = 0 se desecha, ya que
entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9.
De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con
hipotenusa 13 metros. El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y
la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es A = 12 . 5 / 2
= 30 m2. El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.
3. La empresa Nail S.A. que se dedica a la
producción de zapatos, tiene un costo fijo mensual de
S/. 300 y un costo variable por unidad producida de S/.
10. Además, se sabe que su ingreso está dado por:
xx,xI 10010 2
donde x es el número de artículos que produce y vende la empresa
mensualmente.
(Recordemos que xCxIxU )
a) Determinar la utilidad mensual de la empresa en función de x .
b) Hallar la utilidad que obtendrá la empresa si produce y vende 200 artículos.
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44
4. Usted de solución a lo siguiente
En un comercio se pueden encargar espejos enmarcados a medida. El precio es de 3 000 soles
por m2 de espejo y 500 soles por m. lineal de marco. Calcula las dimensiones del espejo que se
puede comprar por 2280 soles. c)
d)
ACTIVIDAD 2.2
1. Resolver:
a) (x + 2)(x – 1) = 0
b) (2x + 1)(4 –3x) = 0
c) 10x2 – x – 3 = 0
d) 5x2 – 7x + 2 = 0
e)
f) 6x2 – 11x – 7 = 0
g) 3x2 + 8x – 6 = 0
h) -x2 – 11x = 0
i) 2x2 – 2
1x = 0
j) (x + 3)2 = (x – 1)2 + 28
k) 10202xx
l) xxx 4842
m) 122334 22 xxxxx
n)
¿Qué solución planteas?
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45
1. Resolver la ecuación :
2x x- =
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
2. Resolver : 2 1 2x x- + =
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
3. Resolver : 20X X+ =
A) 12 B) 14 C) 16 D) 12 E) 20 4. Hallar la menor solución de:
2 4
2 8
x
x
-=
+
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5
5. Si: x2 – nx +36 = 0, admite como raíces a: x1
x2, tal que : 12
5
x
1
x
1
21 encontrar el valor
de “n” . a) 25 b) 18 c) 12 d) 24 e) 15 6. Resolver: 3x
2 + 5x – 12 = 0 indicar una de
las soluciones:
a) 1/3 b) 2/3 c) 5/3 d) 4/3 e) N.A.
7. Resolver : 4x2 – 13x + 3 = 0 e indicar la mayor
solución:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/4
8. En la siguiente ecuación, hallar la suma
de raíces :
x(x + 2) + 5 = 3(2 - x) + x – 4
a) -2 b) -3 c) -4 d) -5 e)
4
9. Calcular “m” en la ecuación:
(m + 1)x2 - (m + 8)x + 10 = 0
Para que la suma de raíces sea 9/2.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Resolver la ecuación: x
2 – 7x + 12 = 0
y dar como respuesta el producto de las raíces dividido entre la suma de las raíces.
a) 12
7 b)
7
12 c)
12
7 d)
7
12 e) 1
11. Calcular “a” en la ecuación:
(a + 4)x2 - (a + 3)x + 10 = 0
Para que la suma de raíces sea 6/7.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones presenta como raíces a:
3x;3x 21 ?
a) x2 + 3x + 1 = 0 d) x
2 + 3x + 3 = 0
b) x2 + 9 = 0 e) 03x2
c) x2 – 3 = 0
13. Resolver : 5x
1
4
x . Indicar la mayor raíz:
a) 1 b) -1 c) -4 d) 4 e) 5
14. Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a = 0; una de
las raíces es 2. Indicar el valor que adopta “a”.
a) -5 b) 5 c) -4/3 d) 4/7 e) -4/7
15. En la ecuación: x2 – (m + n)x + 2m + 2 = 0
tiene por raíces a : x1 = 2 y x2 = 3
Hallar: “m - n”
a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3
16. Resolver : . Dar una raíz.
A) 3/5 B) 5/3 C) 25/3 D) -25/4 E) N.A.
17. Resolver :
Indicando la menor de sus raíces.
A) 0 B) 1 C) 7/3 D) -7/3 E) N.A.
18. Indica una raíz de:
A) 3 B) -4 C) 1 D) -2 E) N.A.
19. Resolver e indicar la menor raíz:
A) B) C)
D) E) N.A.
20. Resolver indicando la mayor raíz:
A) B) C)
D) E) N.A.
29x 625
23x 7x
2(3x 4) 64
2x 8x 4 0.
4 2 3 4 2 3 4 2 3
4 3
2x(x 1) 5 3x
1 41
2
1 41
4
1 41
4
1 41
ACTIVIDAD 2.2.1
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46
Instrucciones. A continuación te presentamos algunos ejercicios de
aplicación en cada uno de ellos tú mismo eres el protagonista.
2. El taller artesanal “La pastorcita S.A.” está especializado en la producción de
cierto tipo de juguetes de madera. Los costos de fabricación, C(x) en soles,
están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la
siguiente expresión:
250000200010 2 xxxC
El precio de venta de cada juguete es de 8000 soles.
a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de
los juguetes producidos.
b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre
ingresos y costos de fabricación.
c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para tener 650 000 de beneficios?
3. El costo total para un fabricante esta conformado por costos indirectos fijos de
$ 20 mas costos de producción de $ 50 por unidad. Si en el presente mes el
fabricante ha tenido por costos totales la suma de $200200, cuál ha sido el
numero de unidades fabricadas?
4. La empresa “El Porvenir. S.A.” ha estimado que los ingresos y los gastos
anuales (en soles) que genera la fabricación y venta de x unidades de un
determinado producto, vienen dados por las funciones:
7000001200044
36000282
2
xxxC
xxxI
Determina, justificando las respuestas:
a) la función que define el beneficio anual.
b) el número de unidades que hay que vender para que el beneficio sea
300000.
5. Alguien regala US$ 525 para repartirlos entre los niños de Comas del cuarto
año del nivel primario de un centro educativo. Como 25 niños estaban
ausentes, cada uno de los niños presentes obtuvo US 0,50 más. ¿De cuántos
niños se componía el cuarto año del nivel primario?
6. Dámaris compró cierto número de objetos en $ 300. Podría haber comprado 10
objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos. ¿Cuántos objetos
compró Dámaris?
7. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá
dentro de 6 años. Determina la edad actual.
8. Francisco tiene dos años mas que Augusto y la suma de los cuadrados de
ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades.
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47
9. Se quiere hacer una caja de 50 cm3
de volumen con una cartulina cuadrada.
Para hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de 2 cm de lado. ¿Cuánto
mide el lado de la cartulina cuadrada?
AUTOEVALUACIÓN 2.2 1. A tiene 3 años más que Juan y el cuadrado de la edad de Alberto aumentado
en el cuadrado de la edad de Juan equivale a 317 años. Hallar ambas
edades.
2. Hallar el mayor de cinco números enteros consecutivos; sabiendo que el
exceso de la suma de los tres menores sobre la suma de los dos mayores es
28.
3. Para cerrar la finca “El Majeño” que tiene forma rectangular de 4.2 m2
se
han utilizado 260 m de alambre. Halla las dos dimensiones del rectángulo.
4. La producción de alcachofas en un invernadero, Q(x) en kg., depende
de la temperatura, x en ºC, según la expresión:
Q(x) = (x + 1)2
(32 − x)
Calcular cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero para tener una producción de 5324 kg.
5. La entidad financiera “Crecer” lanza al mercado un plan de inversión cuya
rentabilidad, R(x) en miles de soles., viene dada en función de la
cantidad que se invierta, x en miles de soles., por medio de la siguiente
expresión: R(x) = −0.001x2
+ 0.5x + 2.5.
Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un
cliente en dicho plan si la rentabilidad es de 65 mil soles.
6. Gerardo, un granjero, obtiene un beneficio de x soles. por cada (x + 5)
huevos que pone su gallina. Si su beneficio fue de 84 soles, determina el
número de huevos que puso su gallina.
7. El área de una parcela rectangular mide 37.500 m2. Si la base de la parcela
mide 100m más que su altura, ¿cuáles son sus dimensiones?
8. Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 13 m de diámetro
para hacer una piscina rectangular que tenga un lado 7 m más que el otro y
la diagonal del rectángulo coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles
serán las dimensiones de la piscina?
9. El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre
el número. ¿Cuál es el número?
Cualquier cosa que valga la pena tener merece que se trabaje por ella.
(Andrew Carnegie)
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48
Sesion Nro. 03
Sistema de Ecuaciones
Roxana invirtió en total de 20 000 soles en tres inversiones, al 6%,
8% y 10%. La ganancia total anual fue de 1 624 soles. Si se sabe
que la ganancia de la inversión al 10% fue el doble de la ganancia
de la inversión al 6%, ¿cuánto invirtió Roxana en cada tipo de
inversión?
1. INTRODUCCIÓN
Era el final del verano de 1949. El profesor de Harvard Wassily Leonief, estaba
introduciendo cuidadosamente la última de sus tarjetas perforadas en el
computador MarkII de la universidad. Las tarjetas contenían información sobre la
economía de los Estados Unidos de Norteamérica y representaban un total de
250,000 piezas de información producidas por las agencias de Estadísticas del
Trabajo de E.U.A. tras dos años de intensa labor. Leontief había dividido la
economía Norteamérica en 500 sectores, tales como la industria del carbón, la
industria automovilística, comunicaciones y así sucesivamente.
Para cada sector, había escrito una ecuación lineal que describía de cómo este
distribuía su salida hacia otros sectores de la economía. Debido a que Mark II,
uno de los computadores más grandes de aquella época, no podía manejar los
sistemas resultantes de 500 ecuaciones con 500 incógnitas, Leontief destiló el
problema a un sistema de 42 ecuaciones con 42 incógnitas.
Programar el computador Mark II para las ecuaciones de Leontief había
requerido varios meses de esfuerzo y él estaba ansioso por ver cuánto llevaría
al computador resolver el problema. El Mark II zumbó y parpadeó durante 56
horas antes de producir finalmente una solución.
Leontief, quien obtuvo el precio nóbel de economía en 1973, abrió una puerta a
una nueva era de modelos matemáticos en economía. Sus esfuerzos en
Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos significativos del uso de
¿Qué solución planteas?
MOTIVACIÓN
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49
las computadoras para analizar lo que en entonces era un modelo matemático
a gran escala.
Debido a la gran cantidad masiva de datos implicados, los modelos son
generalmente lineales, es decir se escriben como sistemas de ecuaciones
lineales.
Los científicos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho más complejos
que los que se podían imaginar hace algunas décadas. Hoy el álgebra lineal
tiene un valor potencial para los estudiantes en muchos campos científicos y de
negocios que cualquier otra materia de las matemáticas y en este texto se dará
las bases para un trabajo posterior en muchas áreas importantes.
2.
Una ecuación lineal con las variables x1, x2,...,xn es una ecuación que puede
escribirse de la forma
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b (1)
donde b y los coeficientes a1, a2,..., an son números reales o complejos.
En los ejercicios de este texto, n normalmente está entre 2 y 5. En los
problemas de la vida real, n puede ser 50 ó 5000 ó incluso mayor.
Más en general un Sistema de m ecuaciones con n incógnitas, o simplemente
un sistema lineal, es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una con n
incógnitas y se puede denotar como:
11 1 12 2 1 1
21 2 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
.............................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(2)
Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z,
t..
Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número
de incógnitas.
3x – 2y + z – t = 2
y + z + 2t = 1
x + y – 3z + t = 0
CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
El subíndice n puede ser cualquier entero
positivo.
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50
Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.
Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -
2,1,-1.
El término independiente de la misma es el 2.
En un sistema de ecuaciones de 2 variables con 2 incógnitas podemos tener
geométricamente las siguientes posibles soluciones.
(a) (b) (c)
tenemos:
(a) Única solución (b) ninguna solución (c) infinitas soluciones
Es decir:
Decimos que un sistema lineal es “consistente” si tiene una solución o bien un
número infinito de soluciones; un sistema es “inconsistente” si no tiene ninguna
solución.
3.
Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones:
1. Incompatible: No tiene solución.
2. Compatible: Tiene solución
TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS
Un sistema de ecuaciones lineales tiene ya sea:
Ninguna solución, o
Exactamente una solución, o
Un número finito de soluciones
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51
a. Compatible determinado: Única solución
b. Compatible indeterminado: Infinitas soluciones.
Ejemplos: verificar que;
x + y = 3
2x + 2y = 8
x + y = 3
x - y = 1
x + y = 3
2x + 2y = 6
Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de
tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible
o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o
indeterminado.
4.
Los conocimientos adquiridos sobre matrices facilitan la escritura de un sistema de
ecuaciones lineales de manera más reducida.
Consideremos un sistema como el (1), escrito en forma clásica.
En él se pueden considerar las siguientes matrices:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...21
............
...
...
22221
11211
nx
x
x
X...
2
1
nc
c
c
C...
2
1
El sistema (1) se puede escribir en forma matricial, así: A . X = C (3)
Si en el sistema [1] consideramos las siguientes matrices:
1
21
11
1...
na
a
a
A
2
22
12
2...
na
a
a
A ...
mn
n
n
n
a
a
a
A...
2
1
nc
c
c
C...
2
1
El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:
A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn = C (4)
Consideremos el sistema :
Incompatible. No tiene solución
Compatible determinado. Única solución
Compatible indeterminado. Infinitas soluciones
TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS
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52
4253
024
62
zyx
zyx
zyx
se tiene que
153
241
112
A
4
0
6
153
241
112
B
A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de
orden 3x4.
El sistema se puede escribir de las siguientes formas:
Forma matricial:
4
0
6
153
241
112
z
y
x
Forma Vectorial:
4
0
6
1
2
1
5
4
1
3
1
2
zyx
Observemos que en el sistema:
3x + 2y – 3z + t = -8
x + y + 2z – t = 4
x + y + z + 2t= 7
el elemento S=(1,1,13,2) es solución, ya que se verifica
eCompruébes.
7
4
8
)2(
2
1
1
)3(
1
2
3
)1(
1
1
2
)1(
1
1
3
5.
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es
solución del segundo y viceversa (No es necesario que tengan el mismo número
de ecuaciones).
Los sistemas son equivalentes
x + 3y = 6
2x - y = 5 y x + 3y = 6
x - y = 2 3x – 2y = 7
SISTEMAS EQUIVALENTES
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53
Ambos son compatibles determinados y su solución es: x=3, y=1
Nos vamos a referir a un sistema de ecuaciones especialmente fáciles de
resolver, a las que luego reduciremos todos los demás sistemas: todo
sistema de ecuaciones lineales resultará ser equivalente a algunos de los
sistemas escalonados de este modo surge:
Ejemplo 1 Solución única.
Resolver el sistema
225
332
1
zyx
zyx
zyx
Solución
para resolver escribiremos el sistema como una matriz aumentada.
2215
3132
1111
entonces se obtiene sucesivamente
2
3
1
215
132
111
133
122
5
2
FFF
FFF
3
1
1
760
310
111
133 6FFF
3
1
1
2500
310
111
3325
1FF
253
1
1
100
310
111
322
311
3FFF
FFF
253
2516
2528
100
010
011
211 FFF
253
2516
2512
100
010
001
Entonces tendríamos que:
25
12,
25
16,
25
3xyz
Se trata de un sistema compatible determinado, es decir posee una única
solución.
Ejemplo 2 Número infinito de soluciones.
Resolver el sistema:
METODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-
JORDAN
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54
301272
24654
932
zyx
zyx
zyx
Solución
A fin de resolver escribiremos el sistema como una matriz aumentada.
301272
24654
9321
entonces se obtiene sucesivamente.
301272
24654
9321
133
122
2
4
FFF
FFF
12630
12630
9321 233 FFF
0000
12630
9321
22
211
3
1
2
FF
FFF
0000
4210
1101
Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma:
42
1
zy
zx esto es:
zy
zx
24
1 esta será una solución sea cual sea
el valor de z
estas soluciones se escriben como:
zzzz ),24,1(
Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro z .
Esto es un sistema compatible indeterminado.
Ejemplo 3. Sistema inconsistente.
Resolver el sistema:
1842
342
1
zyx
zyx
zy
Solución
La matriz ampliada del sistema es:
1
3
2
842
421
110
haciendo operaciones elementales se tiene:
1
3
2
842
421
110
21 FF
1
2
3
842
110
421
133 2FFF
5
2
3
000
110
421
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55
Observemos que la última ecuación es: 5000 zyx , lo cual es imposible
porque 50
Se observa que el sistema es incompatible o inconsistente.
Ejemplo 4.
Resuelve e interpreta geométricamente el sistema:
Solución:
En primer lugar, lo resolvemos mediante el método de Gauss:
La última ecuación es imposible. El sistema es incompatible.
Geométricamente, el sistema representa tres planos que se cortan dos a dos,
pero sin ningún punto común a los tres.
Ejemplo 5.
En una reunión hay 22 personas, entre contadores, administradores y secretarias.
El doble del número de administradores más el triple del número de secretarias, es
igual al doble del número de contadores.
a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de contadores que hay?
b) Si, además, se sabe que el número de contadores es el doble del de
administradores, ¿cuántos contadores, administradores y secretarias hay?
Solución:
a) Llamemos x al número de contadores, y al de administradores y z al de
secretarias.
Como hay 22 personas, tenemos que: x +y +z = 22
3262
54
43
zyx
yx
zyx
11000
97
43
11000
9170
4131
3262
5041
4131
aa
aa
a
123
12
1
zyx
zy
zyx
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56
Con el otro dato, planteamos otra ecuación: 2y + 3z = 2x
Solo con estos datos no podemos saber el número de contadores (ni el de
administradores, ni el de secretarias) que hay. Es un sistema compatible
indeterminado; como tenemos tres incógnitas, para que pueda ser
compatible determinado, necesitamos otra ecuación.
b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el
sistema:
Por tanto, hay 12 contadores, 6 administradores y 4 secretarias.
ACTIVIDAD 3.1
I.- Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resuelve los
sistemas:
12
66611
41822
09662
322
032
223
2
0322
22
x
yy
z
yy
yz
zy
zy
yx
zyx
zyx
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57
1) x y
x y
3 7
4 5 6
2) x y
x y
3 4
2 1
3) 2 4 2
7 5 11
x y
x y
4)
x y
x y
4 57
3 41
5)
2
3
3
45
5
3 23
x y
x y
6)
x y
y x
2
3
4
21
2
4
2
3
7)
x
y
x y x
35
2 3 9( )
8)
11423
11243
42
zyx
zyx
zyx
9)
103
2925
3142
zyx
zyx
zyx
10)
11423
11243
42
zyx
zyx
zyx
11)
1322
243
03
zyx
zyx
zyx
12)
x y z
x y z
x y z
11
3 2 15
2 3
13)
743
223
222
zyx
zyx
zyx
14)
259
3352
145
zyx
zyx
zyx
15)
354
0
523
zyx
zyx
zyx
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58
Resolver los siguientes problemas
1) Elmer, alumno de la UCV, obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas,
una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en
la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en
cada una de las preguntas.
b) Resolver el sistema.
2) En el hotel “La Bella Durmiente” tiene habitaciones dobles y sencillas. En total
hay 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
3) Sergio, un oficinista, compra 30 objetos entre lápices y bolígrafos con un costo
de 1.24 soles. Si los lápices cuestan 25 soles y los bolígrafos 60 soles ¿Cuánto
bolígrafos y lápices compró Sergio?
La clave del éxito depende sólo de lo que podamos hacer de la mejor manera posible.
-H.W. Longfellow
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59
1. Resolver el sistema :
13y8x95y4x7
. Indique : y – x
a) 2 b) 1/4 c) 4 d) 1/2 e) 8 2. Resolver el sistema :
5y5x2485y18x6
. Indique : y.x –1
a) 1/2 b) 1/6 c) 4 d) 1/9 e) 6 3. Resolver el sistema :
14y4x25y2x3
. Indique : y x
a) 1/2 b) 9 c) 4 d) 8 e) 6 4. Dado el sistema :
)2(..........8y2x6
)1(..........1y3x4 . Hallar : “x + y”
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Al resolver el sistema :
5x – 4y = -14 2x + 3y = K Se halla que “y” es el triple de “x” , entonces “K” es : a) 15 b) 2 c) 22 d) 18 e) 21
6. Halle el valor de xy del sistema :
14y3x2 ............... (1)
4x – 9y = -56 ................ (2) a) 12 b) 5,2 c) 7,5 d) 8 e) 4,5
7. Resolver el siguiente sistema :
x + y = m 3 xy ................. ( )
x3 + y3 = nxy ................. ( )
Y dar como respuesta 3 xy en función de “m” y “n”
a) m3
nm3
b) n
m3
c) 3
mn 3
d) 1 e) 0 8. Halla “x.y” en : 4x - 5y + 5 = 2x - 8y + 9
3x + 8y - 6 = 2y - 2x + 1
a) -1/2 b) 6 c) -2 d) -6 e) 2/3
9. Halla “x” en : 2(x + 3) + 3(y + 2) = 18 3(x + 4) + 4(y + 3) = 36
a) -12 b) 12 c) -6 d) 0 e) 6
10. Hallar : “x + y” en :
(2) .......... 2
1
y
50x
5
3y
50-x
(1) .......... 2y
x
5
y3
x
a) 9
188 b)
9
688 c)
9
887 d)
9
888 e) 88
11. Dado el sistema :
)zx(36xz13
)zy(18yz5
)yx(12xy5
Hallar : “x + y + z”
a) 2 b) 19 c) 4 d) 20 e) 8
12. Dar como respuesta “xy” al resolver :
1yx
0y20x205yx
a) 16 b) 9
115 c)
9
16 d) 4 e) 2
13. Resolver: 52y45x3
32y35x2 . Indique : y
x
a) 81 b) 4 c) 9 d) 1 e) 25
14. Resolver el sistema: 2x – 3y + z = 11
5x – y – 2z = -10 . Hallar : “ xyz ” 2y + 3z = 6 a) 3 b) 4 c) 12 d) 24 e) -24
15. Sea el sistema compatible determinado:
(3m + 1)x + my = 2 12x + 3y = 1 . Indicar lo correcto: a) m ≠ 2 b) m ≠ 1 c) m ≠ 3 d) m ≠ -1 e) m ≠ -2
16. Sea el sistema indeterminado:
(a + 1)x + (b + 2)y = 12 2x + 3y = 4 . Indicar: “a + b” a) 2 b) 5 c) 7 d) 12 e) 3
ACTIVIDAD 3.1.1
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17. Determine el valor de “k” para que el sistema : (k + 1)x + y = 3
2x + (k - 1)y = 1 sea incompatible.
a) 2 b) 3 c) - 3
d) - 2 e) Hay dos correctas
18. Resolver :
42y3x3
122y23x4 . Indicar: “x - y”
a) 1 b) -1 c) 0 d) -2 e) 2
19. Halla “x.y” en :
5x + 8y - 3 = 3x + 5y + 5 3x + 7y - 8 = 2y - x + 6
a) 2 b) 8 c) 20 d) 6 e) 10
20. Determine “a + p” de modo que el sistema : (a - 1) x + 4y = 10
2x + (p + 1) y = 5 tenga infinitas soluciones.
a) 5 b) 7 c) 6 d) 3 e) 9
21. Si : ayx
xy ; b
zx
xz ; c
zy
y z
donde : a, b, c 0. Entonces el valor de “x” es :
a) 1)bcacab(abc b) 1)bcacab(abc2
c) 1)bcacab(abc2 d) 1)abacbc(abc2
e) abc(ab – bc - ac)
22. ¿Cómo debe ser la dependencia entre “a” y “b” para que el sistema : x + y = 3 ax + by = 5b 5x – 3y = 7
tenga solución única?
a) 3a=5b b) a=b c) b=2a d) 3b=5a e) a=2b
23. Indicar el valor de “x” al resolver :
czyx2z
bzyx2y
azyx2x
Si : a + b+ c =16
a) a-10 b) a+16 c) a-4 d) a-8 e) a+12 24. Después de resolver :
555y5x5y5x
255y25x5yx
Señale el valor de “xy” .
a) 249 b) -750 c) – 285 d) 432 e) 125 25. El valor que debe dársele a “k” en el sistema:
13k - ky = 29 7k + kx = 51 para que “x”e “y” sean iguales es: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 26. Hallar el valor de “c” en el sistema:
3x - 2y = c 2x + 3y = c sabiendo que el valor de “x” excede en 12 al de “y”. a) 25 b) 36 c) 37 d) 39 e) 40 27. Para qué valores de “a” y “b” el sistema :
(a + b)x + (a - b) y = 15 (2a-3b)x + (2a-5b)y = 2b tiene por solución : x = 3 , y = - 7 Indicar : “ b/a ” a) 6 b) 10 c) 20 d) 20 e) 3 28. Para qué valor de “k” el sistema :
(2k + 1) x + 5y = 7 (k + 2) x + 4y = 8 es incompatible. a) 2 b) 3/2 c) 3 d) -3/2 e) ½
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Sesión Nro. 04
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) En La tienda “El Recuerdo” donde venden antigüedades hay 12 candelabros de 2
y 3 brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de
cada tipo?
2) Ernesto invirtió en total de 20 000 soles en tres inversiones, al 6%, 8% y 10%.
La utilidad total anual fue de 1 624 soles. Si se sabe que la utilidad de la
inversión al 10% fue el doble de la utilidad de la inversión al 6%, ¿cuánto se
invirtió en cada tipo de inversión?
3) El número de pasajeros de una línea de ómnibus es de 1 000. Si el pasaje de niño
cuesta S/. 0.50, el de adulto S/. 1.20 y el ingreso total obtenido del cobro de los
pasajes es S/. 1 042.5, ¿cuántos niños y cuántos adultos utilizaron dicha línea de
ómnibus?
4) En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de
distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta
compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5
euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los
estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar
el 20% más que de vainilla.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada
sabor se compran a la semana.
b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado
anterior.
5) Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de papas, manzanas y
naranjas a un precio de 1.00, 1.20 y 1.50 soles/kg., respectivamente. El importe
total de la compra fueron 11.60 soles. El peso total de la misma 9 kg. Además,
compró 1 kg. más de naranjas que de manzanas.
a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto.
b) Resolver el problema.
6) Una compañía mezcla 4 tipos de maíz para abastecer sus pedidos. En la siguiente
tabla se muestran las características de cada tipo de maíz:
TIPO DE MAIZ KG. POR SACO MATERIAL DAÑADO
(KG. POR SACO)
I 50 3
II 40 2,5
III 40 3
IV 30 2
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62
¿Cuántos sacos de cada tipo deben mezclarse para abastecer un pedido de 20
sacos de maíz que contenga 900 Kg. Y 56 de materiales dañados, si se desea
tener el mayor número posible de sacos del tipo IV?
7) Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C.
El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo
contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40
g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo
que contenga 15 g de A,
35 g de B y 50 g de C.
¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?
8) Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el
precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la
carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador.
Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos
precios se ha hecho el 10% de descuento.
Sugerencia. Considera el siguiente cuadro.
AUTOEVALUACIÓN 4
1) En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. y 1 kg.
Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño
pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del
kg. de bombones es 4.00 soles. y que el importe total de los bombones
envasados asciende a 125.00 soles:
a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada
tipo.
b) Resolver el problema.
2) El precio de entrada a cierta exposición es de 2.00 soles. para los niños, 5.00
para los adultos y 2.50 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposición
fué visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes adultos
al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a 73.500
soles.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y
jubilados visitaron la exposición ese día.
b) Resolver el problema.
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63
3) Un carpintero fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se necesitan
10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan
12 minutos para lijar una mesa para café, ocho para pintarla y 12 para
barnizarla. Se necesitan 15 minutos para lijar una mesa para comedor, 12 para
pintarla y 18 para barnizarla. La mesa de lijado está disponible 16 horas a la
semana, la mesa de pintura 11 horas a la semana y la mesa de barnizado 18
horas ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de modo
que las mesas de trabajo se ocupen todo el tiempo disponible?
4) Una cafetería estudiantil tiene 24 mesas, x mesas con 4 asientos cada una, y
mesas con 6 asientos cada una y z mesas con 10 asientos cada una. La
capacidad total de asientos de la cafetería es de 148. Con motivo de una reunión estudiantil especial, se emplearán la mitad de las x mesas, un cuarto de las y
mesas y una tercera parte de las z mesas, para un total de 9 mesas. Hallar x ,
y y z .
5) Un comerciante compró dos relojes distintos por $ 3.000 y los vendió por
$ 3.225 ¿Cuánto pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en
la del segundo perdió un 5%?
6) Un ejercicio realizado en clase consta de 16 cuestiones. El profesor suma 5
puntos por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada cuestión no
contestada o mal contestada. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en el ejercicio,
¿cuántas cuestiones ha contestado correctamente?
7) La Twins Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1,
2 y 3. Como parte del proceso de elaboración, estos productos pasan por la
planta técnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempos empleados por unidad
en cada una de estas plantas se muestra en la siguiente tabla:
Modelo Planta Planta de ensamblaje
1 30 minutos 0,5 horas
2 12 minutos 2 horas
3 36 minutos 2 horas
Tiempo total empleado
en un mes en cada planta 116 horas 370 horas
¿Cuántas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad
mensual de 37 500 dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de
los modelos 1, 2 y 3 fueron de 200, 50 y 100 dólares por unidad,
respectivamente? Asumir que se vendió toda la producción. Resolver los
siguientes problemas, empleando el método de eliminación gaussiana.
8) Un Administrador debe seguir una dieta con base a tres tipos de alimentos. Los
porcentajes de requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro contenidos
en cada gramo de tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla:
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Alimento 1 Alimento 2 Alimento 3
Porcentaje
de proteínas 10 6 8
Porcentaje
de
carbohidratos
10 12 6
Porcentaje
de hierro 5 4 12
Indique cuántos gramos de cada tipo de alimento debe incluir el nutricionista en
la comida para cubrir con exactitud los requisitos diarios de proteínas,
carbohidratos y hierro (100% de cada uno).
La persona que realmente quiere hacer algo encuentra la forma de hacerlo. Los
demás encuentran razones y excusas.