Guia #2 Areas

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICAGUIA Nordm2

AREASLos antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten

Supongamos que nos dan la funcioacuten f(x) = x en el intervalo I = [0 3] y nos piden hallar el aacuterea de la regioacuten limitada por encima por la funcioacuten abajo por el eje x a la derecha por la recta x = 3 y a la izquierda por la recta x = 0 La regioacuten descrita es un triangulo dibujado en el plano cartesiano Los puntos que describen este triangulo que ademas es rectangulo son(00) (30) (33) Para hallar el aacuterea de este triangulo debemos decidir cual de los tres lados sera la base y teniendo en cuenta ello calcular la altura respecto de dicha baseSupongamos que tomamos el segmento de recta definido entre los puntos (0 0) y (3 0)como la base del triangulo La altura del triangulo estaria determinada por el segmento de recta entre los puntos (3 0) y (3 3) Ya hemos definido quien es la base y la altura correspondiente pero no sabemos cuanto mide la base yla altura correspondientes Para ello calculamos la distancia entre los puntos referidos usando la formula de distancia entre dos puntos del plano cartesiano

Donde la base b= 3 y la altura h= 3 Por lo que el aacuterea del triangulo equivale a 29

233

2 === hbA

Adicionalmente dependiendo la unidad de medida usada que aqui supondremos que tanto en el eje x como en el eje yla unidad esta en cmdariamos como respuesta final A = 92 cm2

ACTIVIDAD Nordm1Determinar el aacuterea bajo la funcioacuten en cada caso1 Siendo f(x)= 5 en el intervalo [0 3]2 Si g(x)= 2x definido [0 5]3 Si h(x)= 3x + 5 [1 2]4 Dado m(x) = x2 [-1 1]5 Hallar el aacuterea del triaacutengulo determinado por la bisectriz del primer cuadranteel eje OX y la recta

x=4Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria

EL MEacuteTODO DE EXHAUCIOacuteNEl meacutetodo de exhaucioacuten fue ideado por el matemaacutetico griego Arquiacutemedes para determinar el aacuterea de un recinto Este meacutetodo consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en regiones poligonales cada vez maacutes proacuteximas a eacutel tendiendo a llenarlo y cuyas aacutereas se pueden calcular faacutecilmente Asiacute se obtienen valores mayores y menores que el aacuterea que deseamos calcular y que se

PROF SONIA MARITZA MENDOZA LCALCULO INTEGRAL

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y


DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICAaproximan tanto maacutes a dicho valor cuanto mayor sea el nuacutemero de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas

Seguacuten el meacutetodo de exhaucioacuten para aproximar el aacuterea encerrada entre la funcioacuten el eje OX y las rectas x = 0 x = 2 tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto En este caso dichas poligonales son rectaacutengulos y es evidente que el aacuterea se conoceraacute con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectaacutengulos tomados

Consideremos primero rectaacutengulos inscritos en el recinto En este caso la suma de las aacutereas de los rectaacutengulos es menor que el aacuterea del recinto pero se van aproximando maacutes a su valor seguacuten vayamos tomando rectaacutengulos de menor base como podemos ver en las aproximaciones de los dibujos

Si consideramos ahora rectaacutengulos que circunscriban al recinto es evidente que la suma de las aacutereas de dichos rectaacutengulos es mayor que el aacuterea que encierra la funcioacuten pero a medida que vamos tomando rectaacutengulos cuyas bases sean menores nuestra aproximacioacuten seraacute maacutes exacta

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [02] en un nuacutemero infinitamente grande de intervalos iguales el aacuterea por defecto coincide con el aacuterea por exceso y ambas con el aacuterea del recinto que se estaacute calculando Revisar la siguiente pacuteghttpdocentesuacjmxsterrazamatematicas_en_movimientomathematicahtml



DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA

(fig1)

(fig2)

(fig3)




Analizar el siguiente ejemplo1 Solucioacuten

ACTIVIDAD2

3 SUMA DE RIEMANN

Sea P = x0 x1 x2 xn una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f una funcioacuten acotada definida en ese intervalo Entonces

La suma superior de f respecto de la particioacuten P se define asiacute S(f P) = cj (xj - xj-1) donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1 xj]




La suma inferior de f respecto de la particioacuten P se define asiacute I(f P) = dj (xj - xj-1) donde dj es el iacutenfimo de f(x) en el intervalo [xj-1 xj]

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la particioacuten particular escogida mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas Sin embargo esta definicioacuten es difiacutecil para ser aplicada de forma praacutectica pues es necesario conocer el iacutenfimo y el supremo sobre cualquier particioacuten

Caracterizacioacuten de las funciones Riemann-Integrables Supongamos que f es una funcioacuten acotada definida en el intervalo cerrado [a b] Entonces f es integrable Riemann si y soacutelo si para todo gt 0 existe al menos una particioacuten P tal que

| S(f P) - I(f P) | lt donde S(f P) es la suma superior de f respecto de la particioacuten P e I(f P) es la suma inferior de f respecto de la particioacuten P

DEFINICIOacuteN DE UNA SUMA DE RIEMANNSi f es una funcioacuten continua y no negativa definida para a le x le b dividimos el intervalo

[ab] en n subintervalos de igual ancho

nabx )( minus=∆

Denotamos con ((xo= a) x1 x2 x3 (xn =b)) los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos de muestra x1 x2 x3 xn en [xi-1 xi] Entonces la suma de f desde a hasta b es

xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr)(

1 Donde jtX

i=

La suma de Riemann corresponde geomeacutetricamente con la suma de las aacutereas de los rectaacutengulos con base xj - xj-1 y altura f(tj)

Tipos de aproximacioacuten de la integral Por tanto surge la duda de queacute punto tj tomar dentro de cada subintervalo de la particioacuten para evaluar la funcioacuten en ese punto En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1 xj] y las maacutes utilizadas son eacutestas

Punto izquierdo se toma como valor tj el liacutemite inferior del subintervalo es decir xj-1 Graacuteficamente

Punto derecho se toma como valor tj el liacutemite superior del subintervalo es decir xj Graacuteficamente

Punto medio se toma como valor tj el punto medio entre los liacutemites del subintervalo es decir (xj-1 + xj) 2 Graacuteficamente

Punto aleatorio se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo Graacuteficamente

Punto iacutenfimo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el iacutenfimo en ese subintervalo Graacuteficamente



DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA Punto supremo se toma como valor tj aquel

punto del subintervalo tal que f(tj) es el supremo en ese subintervalo Graacuteficamente

Los dos uacuteltimos tipos de aproximacioacuten no son uacutetiles en la praacutectica pues para aplicarlos seriacutea necesario calcular el iacutenfimo o el supremo de f(tj) teniendo que recorrer todo el subintervalo Pero esto no es necesario iquestPor queacute Si una funcioacuten es Riemann-Integrable podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(fP) tomando tj como queramos

Veamos esto si la funcioacuten es Riemann-Integrable cualquier suma de Riemann R(f P) tiende al valor de la integral porque para cualquier punto tj tenemos que dj f(tj) cj (siendo dj el iacutenfimo y cj el supremo en ese subintervalo) luego I(fP) R(fP) S(fP)

Funciones Riemann-Integrables Toda funcioacuten continua en un intervalo

cerrado y acotado es Riemann-Integrable Toda funcioacuten continuacutea y acotada en un

intervalo cerrado y acotado excepto en una cantidad numerable de puntos es Riemann-Integrable

Reciacuteprocamente si una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable entonces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos

Toda funcioacuten monoacutetona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable

ACTIVIDAD1 Porque n debe tender a infinito2 Tiene alguna relacioacuten la particioacuten y el

nuacutemero de rectaacutengulos3 Que otros meacutetodos existen para hallar el

aacuterea bajo las curvas

INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS PROPIEDADESDefinicioacuten Si f estaacute definida en el intervalo cerrado [ ]ba y existe el liacutemite

xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr

)(

1 Entonces f es integrable en

[ ]ba y el liacutemite se denota por

intsum =∆=infinrarr

b

ai

n

indxxfxf xLim )()(

1

Ese liacutemite se llama la integral definida de f entre a y b El nuacutemero a se llama liacutemite inferior de integracioacuten y el b liacutemite superior de integracioacuten

Concluimos que la integral definida y la integral indefinida son entes distintos porque la integral definida es un nuacutemero mientras que la integral indefinida es una familia de funciones

Teorema CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILID Si una funcioacuten f es continua en el intervalo cerrado [ ]ba entonces f es integrable en [ ]ba Ejemplo 1 Calcular la siguiente integral

indefinida como liacutemite intminus

1

2

2 dxx

Solucioacuten La funcioacuten f(x) = 2x es integrable en el intervalo [ ]12minus por ser continua Ademaacutes la definicioacuten de integrabilidad afirma que podemos utilizar cualquier particioacuten con norma tendiendo a infinito para calcular el liacutemite

Luego ∆x = nn

ab 3=minus y Xi = a + i ∆x = ndash 2 +

ni3

por lo tanto la integral definida estaacute dada por

Coacutemo la integral es negativa no representa el aacuterea de la regioacuten de la figura Una integral definida puede ser positiva negativa o cero Para que pueda ser interpretada como un aacuterea



DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA(tal como se ha definido) la funcioacuten f debe ser continua y no negativa en [ ]ba como establece el proacuteximo teorema

Teorema LA INTEGRAL DEFINIDA COMO AacuteREA DE UNA REGIOacuteN Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [ ]ba el aacuterea de la regioacuten limitada por la graacutefica de f el eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por

int=b

a

dxxfAacuterea )(

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDASSe enuncian algunas propiedades y teoremas baacutesicos de las integrales definidas que ayudaraacuten a evaluarlas con maacutes facilidad

1 donde c es una constante2 Si f y g son integrables en [a b] y c es una

constante entonces las siguientes propiedades son verdaderas

(se pueden generalizar para maacutes de dos funciones)

Propiedades de orden de la integral Si f(x) ge 0 para a le x le b entonces

Si f(x) le g(x) para todo x en [a b] entonces

3 Si x estaacute definida para x = a entonces

= 0 Es el aacuterea de una regioacuten de

altura finita y de anchura cero Ejemplo

0)33(3

3

=minus=int dxx

4 Si f es integrable en [a b]

entonces Es la definicioacuten de una integral definida cuando

a gtb Ejemplo 221)2()2(

0

3

0

3

minus=+minus=+ intint dxxdxx

5 Propiedad de aditividad del intervalo si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a b y c entonces

SIMETRIacuteA El siguiente teorema permite simplificar el caacutelculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetriacutea

Teorema Sea f una funcioacuten continua sobre el intervalo [ndashaa]

a) Si f es par

b) Si f es impar

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULOInformalmente el teorema afirma que la derivacioacuten y la integracioacuten (definida) son operaciones mutuamente inversas Cuando se define la pendiente de la recta tangente se utiliza el cociente ∆y∆x (pendiente de la recta secante) Anaacutelogamente al definir el aacuterea de una regioacuten bajo una curva se usa el producto

∆y∆x (aacuterea de un rectaacutengulo) Asiacute pues en su primer paso derivacioacuten e integracioacuten son operaciones inversas El teorema fundamental del Caacutelculo establece que el proceso de liacutemite usado para definir ambas operaciones preserva esa relacioacuten inicial de inversas




TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CAacuteLCULO Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [ ]ba y F es una primitiva de f en [ ]ba entonces

)()()( aFbFdxxfb

a

minus=intEjemplo Calcular la siguiente integral definida

(1) Calcular el aacuterea de la regioacuten acotada por la graacutefica de y = 2x2 ndash 3x + 2 el eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2 Graficar

El teorema del valor medio para integrales Se ha comprobado que el aacuterea de una regioacuten bajo una curva es mayor que el aacuterea de un rectaacutengulo inscrito y mayor que la de uno circunscrito El teorema del valor medio para integrales afirma que existe ldquoentrerdquo el inscrito y el circunscrito un rectaacutengulo cuya aacuterea es precisamente la misma que la de la regioacutenSi f es continua en el intervalo cerrado [ ]ba

existe un nuacutemero c en [ ]ba tal que intb

a

dxxf )( =

))(( abcf minusDefinicioacuten del valor medio de una funcioacuten en un intervalo Si f es integrable en el intervalo cerrado [ ]ba el valor medio de f en [ ]ba es

intminus

b

a

dxxfab

)(1

(2) Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 ndash 2x en el intervalo [14]Segundo Teorema Fundamental del Caacutelculo

Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene el punto a entonces para todo x de este intervalo

)()( xfdttfdxd x

a

=

int

Se puede decir que es importante porque nos provee de una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas Su maacutes profundo significado es que sirve de eslaboacuten entre la derivacioacuten y la integracioacuten entre derivadas e integrales Este eslaboacuten aparece claramente

cuando escribimos siendo F(x) una primitiva de f(x)

ACTIVIDAD1 Construir una integral donde la integral

definida sea positiva otra donde sea negativa y otra donde sea cero

2 En los problemas 1 y 2 calcule la suma de Riemann que se sugiere para cada figura

3 Consultar en que consisten las reglas para aproximar integrales definidas (aproximacioacuten trapecial regla de Simpson)


y= f(x) = -

y= f(x) = x2- 4x + 3


DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICAaproximan tanto maacutes a dicho valor cuanto mayor sea el nuacutemero de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas

Seguacuten el meacutetodo de exhaucioacuten para aproximar el aacuterea encerrada entre la funcioacuten el eje OX y las rectas x = 0 x = 2 tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto En este caso dichas poligonales son rectaacutengulos y es evidente que el aacuterea se conoceraacute con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectaacutengulos tomados

Consideremos primero rectaacutengulos inscritos en el recinto En este caso la suma de las aacutereas de los rectaacutengulos es menor que el aacuterea del recinto pero se van aproximando maacutes a su valor seguacuten vayamos tomando rectaacutengulos de menor base como podemos ver en las aproximaciones de los dibujos

Si consideramos ahora rectaacutengulos que circunscriban al recinto es evidente que la suma de las aacutereas de dichos rectaacutengulos es mayor que el aacuterea que encierra la funcioacuten pero a medida que vamos tomando rectaacutengulos cuyas bases sean menores nuestra aproximacioacuten seraacute maacutes exacta

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [02] en un nuacutemero infinitamente grande de intervalos iguales el aacuterea por defecto coincide con el aacuterea por exceso y ambas con el aacuterea del recinto que se estaacute calculando Revisar la siguiente pacuteghttpdocentesuacjmxsterrazamatematicas_en_movimientomathematicahtml




(fig1)

(fig2)

(fig3)





ACTIVIDAD2

3 SUMA DE RIEMANN












nabx )( minus=∆


xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr)(

1 Donde jtX

i=























xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr

)(




b

ai

n

indxxfxf xLim )()(

1





1

2

2 dxx


Luego ∆x = nn


ni3







int=b

a

dxxfAacuterea )(










0)33(3

3

=minus=int dxx




0

3

0

3





a) Si f es par

b) Si f es impar







)()()( aFbFdxxfb

a





a

dxxf )( =


intminus

b

a

dxxfab

)(1



)()( xfdttfdxd x

a

=

int








y= f(x) = -

y= f(x) = x2- 4x + 3



(fig1)

(fig2)

(fig3)





ACTIVIDAD2

3 SUMA DE RIEMANN












nabx )( minus=∆


xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr)(

1 Donde jtX

i=























xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr

)(




b

ai

n

indxxfxf xLim )()(

1





1

2

2 dxx


Luego ∆x = nn


ni3







int=b

a

dxxfAacuterea )(










0)33(3

3

=minus=int dxx




0

3

0

3





a) Si f es par

b) Si f es impar







)()()( aFbFdxxfb

a





a

dxxf )( =


intminus

b

a

dxxfab

)(1



)()( xfdttfdxd x

a

=

int








y= f(x) = -

y= f(x) = x2- 4x + 3




ACTIVIDAD2

3 SUMA DE RIEMANN












nabx )( minus=∆


xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr)(

1 Donde jtX

i=























xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr

)(




b

ai

n

indxxfxf xLim )()(

1





1

2

2 dxx


Luego ∆x = nn


ni3







int=b

a

dxxfAacuterea )(










0)33(3

3

=minus=int dxx




0

3

0

3





a) Si f es par

b) Si f es impar







)()()( aFbFdxxfb

a





a

dxxf )( =


intminus

b

a

dxxfab

)(1



)()( xfdttfdxd x

a

=

int








y= f(x) = -

y= f(x) = x2- 4x + 3









nabx )( minus=∆


xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr)(

1 Donde jtX

i=























xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr

)(




b

ai

n

indxxfxf xLim )()(

1





1

2

2 dxx


Luego ∆x = nn


ni3







int=b

a

dxxfAacuterea )(










0)33(3

3

=minus=int dxx




0

3

0

3





a) Si f es par

b) Si f es impar







)()()( aFbFdxxfb

a





a

dxxf )( =


intminus

b

a

dxxfab

)(1



)()( xfdttfdxd x

a

=

int








y= f(x) = -

y= f(x) = x2- 4x + 3















xf xLim i

n

in∆sum

=infinrarr

)(




b

ai

n

indxxfxf xLim )()(

1





1

2

2 dxx


Luego ∆x = nn


ni3







int=b

a

dxxfAacuterea )(










0)33(3

3

=minus=int dxx




0

3

0

3





a) Si f es par

b) Si f es impar







)()()( aFbFdxxfb

a





a

dxxf )( =


intminus

b

a

dxxfab

)(1



)()( xfdttfdxd x

a

=

int








y= f(x) = -

y= f(x) = x2- 4x + 3




int=b

a

dxxfAacuterea )(










0)33(3

3

=minus=int dxx




0

3

0

3





a) Si f es par

b) Si f es impar







)()()( aFbFdxxfb

a





a

dxxf )( =


intminus

b

a

dxxfab

)(1



)()( xfdttfdxd x

a

=

int








y= f(x) = -

y= f(x) = x2- 4x + 3




)()()( aFbFdxxfb

a





a

dxxf )( =


intminus

b

a

dxxfab

)(1



)()( xfdttfdxd x

a

=

int








y= f(x) = -

y= f(x) = x2- 4x + 3

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