Geometrías no Euclidianas

Segundo Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.

Geometrías no Euclidianas

Efraín Vega Landa

2011-08-15

Geometrías no Euclidianas 2

1.- La geometría Euclidiana y las ideas que hay detrás (Programa de Erlangen).

2.- El grupo de Möbius

3.- Subgrupo de movimientos del semi plano

4.- Movimientos del semiplano



La intención de esta plática es dar un ejemplo de geometría no euclidiana a partir de

un modelo de geometría hiperbólica.

En el estudio de la geometría hiperbólica se usan herramientas de varias materias:

Geometría Moderna

Cálculo

Variable Compleja

Ecuaciones Diferenciales

Geometría Diferencial

Grupos de Lie

Topología



Empezaremos analizando las ideas que hay detrás de una geometría, mencionando

el trabajo1 de Felix Klein. Son estas ideas las que se extienden a conceptos más

modernos como el de espacio homogeneo que sirve de marco a las geometrías no

euclidianas más sencillas.

1 El Programa de Erlangen



Veremos después el módelo del semiplano de Beltrami-Poincaré2 de la geometría

hiperbólica.

2 Fue descubierto por Beltrami. El mérito de Poincaré fue de descubrir el vínculo entre la geometría hiperbólica y la Variable Compleja.

La piedra ángular de dicha conección es el hecho de que los movimientos (directos) en el plano hiperbólico son transformaciones de

Mobius.



1 La geometría Euclidiana (de congruencia).

Es el estudio de las propiedades geométricas de las figuras geométricas en el plano.

Figura geométrica sera cualquier cosa que podamos dibujar en un plano.

Si dos figuras tienen las mismas propiedades geométricas, deberán ser iguales iguales

o congruentes.

Si tenemos una buena definición de congruencia entonces podemos voltear las cosas

y decir que las propiedades geométricas serán aquellas comunes a todas las figuras

congruentes.



Dos figuras son congruentes si existe un movimiento que lleva una en la otra.



¿Qué es un movimiento?

Un movimiento es una traslación del plano.



Notamos que la composición de dos traslaciones es de nuevo una traslación



Que la traslación por el vector cero no mueve a los puntos del plano



Que dada una traslación existe otra traslación que al componerla con la primera da

como resultado no trasladar nada.



Las Traslaciones son un grupo.

De hecho son un grupo de Lie de dimensión 2.

Es decir, además de ser un grupo son tantas como un plano (una variedad de dimien-

sión 2)



Ahora diremos que dos figuras son iguales o congruentes bajo los ojos (módulo) del

grupo de traslaciones

Si existe una traslación que lleva una en la otra.



Más en general, si imaginamos que el cuadrado se mueve de la posición inicial a la

final, entonces existirá una curva de traslaciones que lleva el cuadrado inicial al final.

¿Cuales serán todos los cuadrados iguales a un dado?



Dos cuadrados que no son iguales módulo traslaciones.



Dada una traslación hay un flujo generado por ella, que consiste en fluir a velocidad

constante determinada por la traslación

Dicho flujo moverá a cada punto del plano a lo largo de una trayectoría, que será una

línea recta.



Ahora cambiemos de Grupo, tomemos a las rotaciones del plano con centro en el

origen.



Dos cuadrados que eran iguales módulo traslaciones ahora ya no lo serán, pues ya

que no existe rotación que lleve uno en el otro. Los cuadrados que sí son iguales

ahora tendrían que estar girados. Para ver cuales son todos los cuadrados iguales a

uno dado tenemos que aventarle todos los elementos del grupo a un cuadrado dado

y ver que da. Eso se llama la órbita del cuadrado. Así dos cuadrados son iguales si

están en la misma órbita



Ahora las líneas de flujo seran círculos.



Si consideramos ahora el grupo de las expansiones. Ahora son iguales los cuadrados

a los que puedo llegar por medio de una expansión del cuadrado original



Ahora las líneas de flujo seran rayos recorridos a rapidez no constante. OJO con el

tamaño de los vectores, que para un habitante del mundo de las expansiones serían

de tamaño constante.



En general podemos tener un grupo G de transformaciones3 del plano y podemos

decir que dos figuras son iguales si existe una transformación de G que lleva una en

la otra.

Si dicha transformación va cambiando de manera continua entonces será una curva

de transformaciones

3 Una transformación es un mapeo

T : R2 → R2

del plano en si mismo que es biyectivo.



Precisando.

¿Qué es una curva de transformaciones?

Es un mapeo que a cada instante de tiempo le asigna una transformación del plano

[0, 1] 3 t→ Tt

En nuestro caso en t = 0 tenemos la transformación identidad.



Una transformación en G generará un flujo.

En algunas ocaciones las soluciones a dicho flujo serán líneas rectas (geodésicas).



Para la geometría euclidea (de congruencia), el grupo euclidiano de transformaciones

E+ (2) crece, es un grupo de Lie tridimensional que consiste en todas las traslaciones

junto con todas las posibles rotaciones tomando como centro de giro cualquier punto

en el plano.

Topológicamente es R2 × SO (2).

El grupo E− (2) esta conformado por los elementos del anterior compuestos con una

reflexión.

En términos de transformaciones complejas E+ (2) es el grupo generado por

{h (z) = az + b, donde |a| = 1, o a ∈ S1

}Segundo Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.


Entonces para que dos triángulos sean directamente congruentes en la geometría

euclidea deberá existir una curva de transformaciones en E+ (3) que lleva uno en el

otro.



Grupo de similitud (geometría de semejanza).

Nuestro grupo se hará más grande, ahora tendremos que agregarle a las expansiones.

Y con ello ahora podremos llegar de un triángulo a cualquier otro triángulo semejante.

Ahora todos los cuadrados en el plano serán iguales. Nuestro grupo ahora será el

grupo S+ (2) de similitud de dimensión 2 que es el grupo generado por las transforma-

ciones

{g (z) = az + b}



La geometría bajo los ojos de Felix Klein.

En términos modernos un espacio homogeneo, es decir, una variedad diferenciable Xy un grupo G ⊂ diff (X) que actúa en X.

En nuestros ejemplos

X = R2

G1 = SO (2)

G2 = traslaciones

G3 = Expansiones

E+ (2)

S+ (2)



En el ejemplo que veremos el espacio homogeneo X será el semiplano superior.

Y nuestro grupo G será un subgrupo de Lie de 3 dimensiones del grupo de Möbius

que también es un grupo de Lie de dimensión 6.



2 El grupo de Möbius.



Las transformaciones de Möbius son transformaciones del plano complejo extendido 4

en si mismo dadas por

M (z) =az + b

cz + d

donde a, b, c y d son complejos tales que ad− cb 6= 0.4 Que se puede interpretar como la esfera de Riemann.



Si ad− cb = 0, entonces ac =

bd, M (z) = az+b

cz+d es constante, es decir, colapsa todo C en

un solo punto.



Cada transformación de Möbius se puede ver como una composición5 de tres trans-

formaciones

M (z) = g2 ◦ f ◦ g1

g1 = cz + d

f (z) =1

z

g2 =(b− a

cd)z +

a

c

donde g1 y g2 son elementos en el grupo de similitud y la tercera es la inversión com-

pleja f , y será ella quien le aportará al grupo de Similitud la riqueza extra para volverlo

el grupo de Möbius.

5

g2 ◦ f ◦ g1 =(b− a

cd)[ 1

cz + d

]+a

c=(cb− ad)c (cz + d)

+a

c=(cb− ad) + a (cz + d)

c (cz + d)=az + b

cz + d



3 Examinemos la transformación f (z) = 1z.

Para ello nos fijaremos en una transformación I (z) familiar muy cercana6 de f (z), la

inversión de geométrica respecto de una circunferencia de radio 1 con centro en el

origen.

I (z) =1

z= I (r, θ) =

(1

r, θ

)

6 Estudiada en Geometría Moderna 2.



Generalización de la reflexión



I mapea círculos en círculos (una recta es un círculo de radio∞)

Un círculo en posición general es mapeado en otro círculo



El círculo pasa por el centro de inversión



El círculo es concéntrico con el círculo de inversión.



Círculos especiales

Un círculo que es ortogonal a la circunferencia de inversiónK es mapeado en el mismo



Cada punto y su inverso tienen asociada una familia de círculos ortogonales que pasan

por ellos.



La inversión es anticonforme



4 Proyección estereográficaUna manera de introducir la proyección estereográfica usando la inversión en esferas.

Si K es la esfera de radio√2 centrada en N , entonces la proyección estereografica es

la restricción a C o S2 de la inversión en la esfera K.



Definición usual de la proyección estereográfica.

Mapeo de los puntos del plano complejo a la esfera de Riemann.



Proyección estreográfica preserva círculos



VIDEO PROYECCION ESTEREOGRÁFICA

http://www.youtube.com/watch?v=6JgGKViQzbc



Proyección estereográfica preserva ángulos

Noción de ángulo en el infinito



Transfiriendo las funciones complejas a la esfera de Riemann.



La conjugación compleja en C induce una reflección de la esfera de Riemann respecto

del plano vertical que pasa através del eje real.

La inversión I (z) geométrica en C induce una reflección de la esfera de Riemann en

el plano del ecuador.



La inversión compleja f (z) = 1z en C induce una rotación de la esfera de Riemann

alrededor del eje real por un ángulo π.

La inversión es conforme en todo el plano extendido, es decir, en la esfera de Riemann.



5 De regreso a la geometría de las transformaciones

de Möbius

Las transformaciones de Möbius mapean círculos en círculos y son conformes.

Ya que las tres transformaciones

M (z) = g2 ◦ f ◦ g1

que las conforman mapean círculos en círculos y son conformes.



Si puntos son simétricos respecto de un círculo, sus imagenes serán simétricas re-

specto de la imagen del círculo. Esto es llamado el principio de simetria.



Flujos que generan las transformaciones de Möbius que pertenecen al subgrupo de

similitud S+ (2).Una rotación

M (z) = az, con |a| = 1

Los círculos horizontales son curvas invariantes del flujo de rotaciones. Los meridianos

son intercambiados por el flujo



Las expansiones

M (z) = az, con a ∈ (1,∞)

El rol de la familia de curvas se intercambia, ahora las soluciones del flujo son los

meridianos que van intercambiando a los círculos horizontales.



El efecto combinado de una rotación y una expansión

M (z) = az

Ahora las soluciones son espirales que van intercambiandoo a los meridianos y a los

círculos horizontales.



Las traslaciones

M (z) = z + b, con b ∈ C

Las soluciones al flujo es una familia de círculos por el polo norte con una tangente

común (paralela a las soluciones del movimiento en el plano).



Puntos fijos al infinito. Las transformaciones de Möbius en el subgrupo de similitud

S+ (2) dejan fijo al infinito. Y al cero si no son traslaciones.



Puntos fijos de una transformación de Möbius general. Toda transformación de Möbius

S2 → S2 distinta de la identidad tiene dos puntos fijos (tomando en cuenta su multipli-

cidad7).

7 En el sentido del índice de Lefchetz



Para que el infinito no sea punto fijo necesariamente deberá aparecer la transforma-

ción

f (z) =1

z

en la composición

M (z) = g2 ◦ f ◦ g1



En general, toda transformación de Möbius puede ser llevada a una transformación M̃dentro del grupo de similitud por medio de una conjugación que lleve los puntos fijos

en 0 y∞.

M (z) = F−1M̃F



El concepto de semenjanza del grupo de Similitud se pierde al pasar al grupo de

Möbius. Cuando empieza a interactuar la inversión compleja se pierde la semejanza

que preservaba el grupo de similitud S+ (2). Esto abre la puerta para que las trans-

formaciones de Möbius puedan ser los movimientos o isometrías de geometrías no

euclidianas.



El grupo de similitud S+ (2) es un grupo de Lie de dimensión 4.

Cuando metemos al juego la inversión compleja, el grupo S+ (2) crece en dos dimen-

siones y se convierte en el grupo de Möbius M , generado por las composiciones

M (z) = g2 ◦ f ◦ g1.



Para ver porque 6 pensemos primero en un grupo que estará contenido en el grupo

de Möbius, las Rotaciones en el espacio tridimensional.



Tres son los parámetros necesarios para describir una rotación tridimensional, dos

parámetros para especificar el eje de giro (RP 2) y un parámetro para el ángulo (S1).



MOSTRAR EL VIDEO DE LAS TRANSFORMACIONES DE Möbius.

http://www.youtube.com/watch?v=0z1fIsUNhO4



Ahora para nuestro modelo de geometría hiperbólica tomaremos un subgrupo deM (z)que actuará en el semiplano R× (0,∞) de Beltrami-Poincaré.



Necesitamos entonces saber cuales son las transformaciones de Möbius que dejan

invariante dicho semiplano.

Anticipamos la respuesta, dicho subgrupo estará generado por las transformaciones

de Möbius con coeficientes reales

{M (z) =

az + b

cz + d: donde a, b, c, d ∈ R y ad− cb > 0

}

y es llamado grupo especial lineal proyectivo8 real de dimensión dos y es denotado

PSL (2,R).

8 PSL (2,R) = Gl (2, R) /RI



Chequemos que las transformaciones de Möbius que dejan invariante al semiplano

deberán tener coeficientes reales.

Notamos que el eje real deberá quedar invariante, por la continuidad de las transfor-

maciones de Möbius.

Si c = 0 entonces ad− bc = ad 6= 0

M (z) =az + b

cz + d=az + b

d=a

dz +

b

d

y básicamente estamos en el grupo S+ (2), de donde vemos que ad y b

d deberán ser

reales para que el eje x quede invariante. De modo que supongamos de ahora en

adelante que c 6= 0.Segundo Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.


Si d tiene parte imaginaria, usando la composición

M (z) = g2 ◦ f ◦ g1donde

g1 = cz + d, f (z) =1

zy g2 =

(b− a

cd)z +

a

c,

vemos que el eje real va a dar en una recta que no pasa por el origen bajo g1, luego al

componer con f obtienes un círculo por el origen de radio finito.

Finalmente al aplicarle g2 a dicho círculo obtendremos su imagen bajo M (z) , que será

de nuevo un círculo de radio finito, es decir no queda el eje real. Por lo tanto d ∈ R.



Por otro lado la imagen del cero es

M (0) =a0 + b

c0 + d=b

d∈ R, pero d ∈ R

de modo que b ∈ RSi c tiene parte imaginaria (ya sabemos que d ∈ R), entonces en la composición

M (z) = g2 ◦ f ◦ g1,

donde

g1 = cz + d, f (z) =1

zy g2 =

(b− a

cd)z +

a

c,

la imagen del eje real bajo g1 es una recta inclinada movida d ∈ R. Su imagen bajo fserá

1. un círculo por el origen, de radio finito si d 6= 0. Finalmente g2 transformará dicho

círculo en otro círculo de radio finito, es decir, no queda el eje real.



2. Una recta distinta del eje real por el origen, si d = 0. Luego

g2 = bz +a

c

no podrá regresarla al eje real puesto que ya vimos que b ∈ R. Por lo tanto c ∈ R.

Finalmente para ver que a ∈ R usemos que la imagen del infinito (porque c 6= 0) es un

número real:

M (∞) = az + b

cz + d=a + b

z

c + dz

=a

c∈ R

y como c ∈ R tendremos que a ∈ R.



Entonces cuales son los movimientos en el semiplano? Habrá 3 tipos de movimientos

Rotación hiperbólica

Rotación Límite

Traslación hiperbólica.

Los tres tipos de movimiento corresponden a los movimientos no loxodrómicos que

vimos antes.



Rotación hiperbólica corresponderá con las transformaciones elípticas



Rotación Límite



Traslación hiperbólica



Una inversión en un semicírculo ortogonal al horizonte es un movimiento opuesto del

semiplano hiperbólico.



Diferencia con el caso Euclideo: dado un punto q en una h-línea L existe una infinidad

de paralelas por un punto p que no esta L. A dichas líneas les llaman líneas ultra

paralelas. La asintóticas cortan a L en el horizonte.



Gracias a todos.



T. Needham, Visual complex analysis, Oxford University Press.

D. Mumford, C. Series & D. Wright, Indras Pearls, the vision of Felix Klein, Cambridge

University Press

D. Arnold & J. Rogness, Mobius Transformation Revealed, Notices of the AMS, Novem-

ber 2008, Volume 55, Number 10.

R. Penrose, The Road to reality, Jonathan Cape.

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/programs/moebius.html


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