GeometríaGeometríaAnalítica.Analítica.

PM 4001.PM 4001.

Geometría Analítica.Geometría Analítica.

Prof.: Carlos Humberto Vázquez Prof.: Carlos Humberto Vázquez Castellanos.Castellanos.

Instituto Tecnológico y de Estudios Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Monterrey.Monterrey.

IEC, ‘01.IEC, ‘01.

Plano Cartesiano.

X

Y

O

Distancia entre dos puntos.Y

XO

P1

P2

y1

y2

x1 x2

y2 - y1

x2 - x1

(x2, y2)

(x1, y1)

d

Viaje en Baja California.

¿A medio camino?

División de un segmento rectilíneo en una razón dada.

X

Y

O

A (x1, y1)

P (x, y)

B (x2, y2)

Ax (x1, 0) Px (x, 0) Bx (x2, 0)

Ay (0, y1)

Py (0, y)

By (0, y2)

Vuelo de reconocimiento.Vuelo de reconocimiento.

El último mensaje emitido por un El último mensaje emitido por un avión de reconocimiento con quien avión de reconocimiento con quien se perdió todo contacto indicaba que se perdió todo contacto indicaba que se hallaba a 250 km. del punto de se hallaba a 250 km. del punto de partida y a 350 km. del punto donde partida y a 350 km. del punto donde debía llegar. ¿Cuáles son las debía llegar. ¿Cuáles son las coordenadas del sitio desde donde coordenadas del sitio desde donde envió su señal, si el avión se envió su señal, si el avión se desplaza en línea recta y los lugares desplaza en línea recta y los lugares de partida y llegada se ubican en A(-de partida y llegada se ubican en A(-2, 4) y B(8, 5)?2, 4) y B(8, 5)?

Flauta indígena.Flauta indígena.

La quena es una flauta de 30 La quena es una flauta de 30 cm. de longitud, con 5 o 6 cm. de longitud, con 5 o 6 agujeros. Si las coordenadas de agujeros. Si las coordenadas de los extremos de la flauta son los extremos de la flauta son A(2, 6) y B(7, 0), y la del primer A(2, 6) y B(7, 0), y la del primer agujero son P(4, 3.6), ¿cuál es agujero son P(4, 3.6), ¿cuál es la razón en que divide este la razón en que divide este agujero al instrumento?, a qué agujero al instrumento?, a qué distancia de cada extremo se distancia de cada extremo se halla el agujero? (cada unidad halla el agujero? (cada unidad representa 4 cm. en la realidad.representa 4 cm. en la realidad.

Longitud del brazo de una guitarra.Longitud del brazo de una guitarra.

Las longitudes del brazo y del cuerpo de una Las longitudes del brazo y del cuerpo de una guitarra eléctrica son, respectivamente, 64 cm y guitarra eléctrica son, respectivamente, 64 cm y 32 cm. Los extremos del cuerpo de la guitarra son 32 cm. Los extremos del cuerpo de la guitarra son A(4, 5) y B(4, 20). ¿Cuáles son las coordenadas A(4, 5) y B(4, 20). ¿Cuáles son las coordenadas del extremo final del brazo de la guitarra?del extremo final del brazo de la guitarra?

Un punto P(x, y) está sobre la recta que Un punto P(x, y) está sobre la recta que pasa por A(-4, 4) y B(5, 2). Encuentre (a) las pasa por A(-4, 4) y B(5, 2). Encuentre (a) las coordenadas de P si el segmento AB se coordenadas de P si el segmento AB se extendió de B a P de manera que P está extendió de B a P de manera que P está alejado de A el doble que de B, y (b) las alejado de A el doble que de B, y (b) las coordenadas de P si AB se extiende de A a coordenadas de P si AB se extiende de A a P de manera que P se encuentra alejado de P de manera que P se encuentra alejado de B el triple que de A.B el triple que de A.

(a) (14, 0) (b) (-8.5, 5)

Una recta pasa por A(2, 3) y B(5, 7). Una recta pasa por A(2, 3) y B(5, 7). Encuentre (a) el punto P sobre AB Encuentre (a) el punto P sobre AB extendido a través de B, de manera que P extendido a través de B, de manera que P está dos veces más lejos de A que de B; (b) está dos veces más lejos de A que de B; (b) el punto, si P está sobre AB extendido el punto, si P está sobre AB extendido desde A, de modo que P está dos veces desde A, de modo que P está dos veces más lejos de B que de A.más lejos de B que de A.

(a) (8, 11) (b) (-1, -1)

La pendiente de una línea.

Pendiente.- Inclinación, o una desviación de la horizontal.

A (x1, y1)

B (x2, y2)

Recorrido

Ele

vaci

ón m = Pendiente de AB = Elevación

Recorrido

Elevación = y2 – y1

Recorrido = x2 – x1

m = y2 – y1

x2 – x1

Líneas de diversas pendientes.

X

Y

O

m = 0

m = -1/2

m = -3 m = 3

m = 3/2

m = 1/2

O

Y

X a

b

y = b

x = a

Ecuación simétrica de la recta.

• Encontrar la ecuación de la recta que intercepta los ejes X y Y en (3, 0) y (0, 5).

O

Y

X(3, 0)

(0, 5)

33005

0 xy

335 xy

535 xy

535 yx

153

yx

Ecuación simétrica de la recta.

• La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son y , respectivamente, tiene por ecuación:

0a 0b

1by

ax

• Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 02045 yx

2045 yx 202045 yx

154

yx O

Y

X

(0, -5)

(-4, 0)

2hb

A

2

54 A

210uA

Ecuaciones de líneas rectas en el plano cartesiano.

Suponga que un productor sabe que el costo total de la manufactura de 1000 unidades de su producto es de $8500, mientras que el costo total de la manufactura de 2000 unidades es de $11500. Suponiendo que esta relación entre el costo y el número de unidades fabricadas es lineal, encuentre la relación. ¿Cuál es el costo total de la producción de 2500 unidades? Grafique la ecuación.

Ecuaciones de líneas rectas en el plano cartesiano.

Una compañía de renta de autos alquila automóviles por un cargo de $22 por día más $0.20 por milla. Escriba una ecuación para el costo y dólares en términos de la distancia x millas recorridas si el carro se alquila por N días. Si N = 3, dibuje una gráfica de la ecuación.

Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad.

O O

Y Y

X X

l1l2

l1l2

21 mm 2

1

1m

m

Ángulo entre dos rectas.

X

Y

O

l1l2

θ2

θ1

θ2θ1

α

Geometría Analítica y las secciones cónicas.

La Circunferencia.

X

Y

O

k

h

r

(x, y)

(h, k)

La Circunferencia.

La circunferencia.

• Expresar en la forma estándar.

0136422 yxyx

0136422 yxyx

1364 22 yyxx

94139644 22 yyxx

032 22 yx

3,2C 0r Representa un punto.

La circunferencia.

• Expresar , en la forma estándar.

0198222 yxyx

0198222 yxyx

1982 22 yyxx

1611916812 22 yyxx

241 22 yx

)4,1( C 2r

No representa ningún lugar geométrico.

La circunferencia.

Condiciones para determinar una circunferencia.

X

Y

O

P1(x1, y1)

P3(x3, y3)

P2(x2, y2)

La parábola.

Ecuación de la parábola con vértice en el origen.

X

Y

O

lP(x, y)

F(p, 0)

x = -p

LR

V(0, 0)

La parábola. Ecuación de la parábola con vértice en el origen.

X

Y

O

x2 = 4py

La parábola.

X

Y

OX

Y

O

XO

Y

XOY

p > 0

p < 0p > 0

p < 0

La parábola. Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje

paralelo a un eje coordenado.

XO

Y

(h, k)

(y – k)2 = 4p(x – h)

X

Y

O

(h, k)

(x – h)2 = 4p(y – k)

La parábola.

X

Y

OX

Y

O

XO

Y

XOY

p > 0

p < 0p > 0

p < 0

La parábola.Intersección de una recta y una parábola.

X

Y

O

Antenas parabólicas: una aplicación práctica.

• La antena mostrada en esta fotografía tiene 2 m de ancho, en la parte donde está situado su aparato receptor.

¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el receptor de señales? Escribir la ecuación que describe a la sección parabólica de esta antena.

Puentes colgantes.• Si las torres de un puente colgante tienen una

separación de 400 m. y los cables están atados a ellas a 200 m. arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 50 m. de la torre izquierda? Supongamos que el cable toca el piso en el punto medio, V, del puente.

Túnel parabólico.

• Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel con forma de arco parabólico, que tiene 4 m de claro y 6 m de altura. ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 2 m de ancho, para pasar sin atorarse dentro de un túnel?

Elipse.Elipse con centro en el origen.

X

Y

O

P(x, y)

F’ FV’ V

c c

b

b

(-c, 0) (c, 0) (a, 0)(-a, 0)

B

B’ x2 y2

a2 b2

+ = 1

Elipse.Elipse con centro en el origen.

X

Y

O

x2 y2

b2 a2

+ = 1

Elipse. Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejes

paralelos a los coordenados.

X

Y

O X

Y

O

(x - h)2 (y - k)2

b2 a2

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2+ = 1 + = 1

Elipse.Intersección de una recta y una elipse.

X

Y

O

Elipse.Desigualdades y la elipse.

X

Y

O

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2+ = 1

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2+ > 1

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2+ < 1

Propiedades de la Elipse.

National Statuary Hall Collection

Propiedades de la Elipse.

La hipérbola.Ecuación de la hipérbola con centro en el origen.

X

Y

O

P(x, y)

c cF’ F

(-c, 0) (c, 0)V’ V(a, 0)(-a, 0)

b

b

B(0, b)

B’(0, -b)

La hipérbola.Ecuación de la hipérbola con centro en el origen.

X

Y

O X

Y

O

x2 y2

a2 b2

= 1y2 x2

a2 b2

= 1

La hipérbola.

b

ay = + x

a

by = + x

Asíntotas de la hipérbola con centro en el origen.

Y

Y

XX

La hipérbola. Hipérbolas con eje focal paralelo a un eje

cartesiano.

X

Y

O X

Y

O

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2- = 1

(y - k)2 (x - h)2

a2 b2- = 1

La hipérbola. Asíntotas de la hipérbola con centro fuera del origen.

b

a(y – k) = + (x – h)

a

b(y – k) = + (x – h)

Forma general de la ecuación de la Hipérbola.

• Ejemplo: Encontrar las coordenadas del centro, los vértices, los focos y el bosquejo de

01421223 22 yxyx

14)22()123( 22 yyxx

14)(2)4(3 22 yyxx

2/11214)4/1(2)44(3 22 yyxx

2/51)2/1(2)2(3 22 yx

2/512/51

2/51)2/1(2

2/51)2(3 22

yx1

4/51)2/1(

6/51)2( 22

yx

Forma general de la ecuación de la Hipérbola.

14/51

)2/1(6/51)2( 22

yx

)2/1,2(C

6512 a

91.2651 a

)2/1,651

2( V

222 bac

451

6512 c

4852 c

6.44

85 c )2/1,4

852( F

Forma general de la ecuación de la Hipérbola.

• Ejercicio: 056422 yxyx

5)6()4( 22 yyxx

945)96()44( 22 yyxx

0)3()2( 22 yx

022 ba 0))(( baba

0ba 0 ba

2xa 3yb

y

Forma general de la ecuación de la Hipérbola.

0)3()2( yx 0)3()2( yx

032 yx

01 yx

032 yx

05 yx

La hipérbola.Desigualdades y la hipérbola.

O’

Y

X

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2- = 1

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2- > 1

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2- > 1

(x - h)2 (y - k)2

a2 b2- < 1

Ecuación General de Segundo Grado.

0124 22 xxyRepresenta una hipérbola o un par de rectas que se cortan.

026101422 yxyx

Representa una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.

Ecuación General de Segundo Grado.

• Puede representar una parábola.

015282 yxy

05824 22 yxyx

• Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.

Ecuación General de Segundo Grado.

• Puede representar una parábola.

0401202 yx

03410622 yxyx

• Representa una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.

Ecuación General de Segundo Grado.

• Representa una hipérbola o un par de rectas que se cortan.

0891864916 22 yxyx

07683649 22 yxyx

• Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.

Ecuación General de Segundo Grado.

• Puede representar una elipse, un punto o el conjunto vacío.

03636150925 22 yxyx

Traslación de ejes.

X

Y

O

P

O’

(h, k) X’

Y’(x, y)

(x’, y’)

Transformación de la ecuación general por rotación de los ejes

coordenados.La ecuación general de segundo grado

en donde B 0, puede transformarse siempre en otra de la forma

sin término en x’y’, haciendo girar los ejes coordenados un ángulo positivo agudo .

022 FEyDxCyBxyAx

0''''')'(')'(' 22 FyExDyCxA

Rotación de los ejes coordenados.

X

Y

O

P

X’

Y’

r

A’

A

θ

α

Rotación de ejes coordenados.

Rotación de ejes.Reemplazando respectivamente x y y en la

ecuación de una curva por

se obtiene la nueva ecuación de la misma curva, referida a los ejes x’y’.

sin'cos'

sin'cos'

xy

yx

Rotación de ejes coordenados.

Ejemplo 1. Escribir la nueva ecuación de la curva

41x2 – 18xy + 41y2 = 800,

cuando los ejes coordenados se giran 45º.

Rotación de ejes coordenados.

Rotación de ejes coordenados.

Ejemplo 2. Determinar una nueva representación de

x2 + 4xy – 2y2 – 6 = 0,

después de hacer girar los ejes el ángulo

. Trazar la curva y mostrar los sistemas de coordenadas anterior y nuevo.

2/1arctan

Rotación de ejes coordenados.

Eliminación del término Bxy

Para eliminar el término Bxy de la ecuación de una cónica, el ángulo de giro se escoge así

si A = C,

si A C,CAB

2tan

045

Rotación de ejes coordenados.

Eliminación del término Bxy

22cos1

sin

22cos1

cos