MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICACOLÉGIO PEDRO II - CPIIPró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e CulturaAvaliação 3 - Aritmética - MA14 - 2016Prof.a Luciana S. da Silva Martino

Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]

a) Mostre que nenhum quadrado ou soma de dois quadrados é da forma 4n+ 3

Se a ∈ Z então a é de uma das formas abaixo:

a = 4k ⇒ a2 = (4k)2= 16k2 = 4.4k2

a = 4k + 1⇒ a2 = (4k + 1)2= 16k2 + 8k + 1 = 4.(4k2 + 2k) + 1

a = 4k + 2⇒ a2 = (4k + 2)2= 16k2 + 16k + 4 = 4.(4k2 + 4k + 1)

a = 4k + 3⇒ a2 = (4k + 3)2= 16k2 + 24k + 9 = 4.(4k2 + 6k + 2) + 1

Logo, todo quadrado é da forma 4k ou 4k + 1.

Assim temos, para a soma de dois quadrados:

4k + 4k = 8k = 4.(2k)

4k + 4k + 1 = 8k + 1 = 4.(2k) + 1

4k + 1 + 4k + 1 = 8k + 2 = 4.(2k) + 2

Logo, toda soma de quadrados é da forma 4k, 4k + 1 ou 4k + 2

b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, ... é um quadrado ou soma de dois quadrados

Observe que todo número dessa sequência pode ser escrito como 100n+ 11, com n ∈ N,sendo 100n+ 11 = 4.(25n+ 2) + 3. E o resultado está dado, de acordo com o que vimos no item a.

c) Mostre que nenhum elemento das sequências

44, 444, 4444, ... , 55, 555, 5555, ... , 99, 999, 9999, ...

é um quadrado ou soma de dois quadrados

Observe que 444... = 4.111... e 999... = 9.111.... Logo, se 444... ou 999... fosse um quadrado o número 111... tambémo seria, o que não pode ocorrer de acordo com o que vimos no item b.

Por outro lado, 555... = 100n+ 55, com n ∈ N. Assim 555... = 100n+ 55 = 4.(25n+ 13) + 3, que também não podeser um quadrado.

Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

Sobre a Equação Pitagórica faça o que é pedido:

a) De�na terno pitagórico, triângulo pitagórico primitivo e terno pitagórico primitivo

. Um terno (a, b, c) de números naturais será dito um terno pitagórico quando for solução da equação pitagórica, ou seja,quando a2 + b2 = c2.

. Chamaremos de triângulo pitagórico primitivo a um triângulo retângulo cujos lados são números naturais coprimos.

. Um terno que representa os lados de um triângulo pitagórico primitivo será chamado de terno pitagórico primitivo.

b) Sejam n e m números natrais, com n > m, (n,m) = 1 e de paridades diferentes. Dados os números a = n2 −m2,b = 2nm e c = n2 +m2, soluções primitivas devidas à Euclides da Equação Pitagórica X2 + Y 2 = Z2, mostre que amédia aritmética da hipotenusa com o cateto ímpar de um triângulo pitagórico primitivo é um quadrado.

De fato, pelas soluções de Euclides, temos a hipotenusa c = n2 +m2 e o cateto ímpar a = n2 −m2. Assim

a+c2 = n2−m2+n2+m2

2 = n2.

Questão 3 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]

Sobre o Pequeno Teorema de Fermat faça o que é pedido:

a) Enuncie o Pequeno Teorema de Fermat.

Pequeno Teorema de Fermat: Dado um número primo p, tem-se que p divide o número ap − a, para todo a ∈ Z.

b) Enuncie o caso particular do Pequeno Teorema de Fermat para o caso de um número natural a não divisível por umprimo, p

Corolário: Se p é um primo e se a é um número natural não divisível por p, então p divide ap−1 − 1

c) Mostre que a12 − b12 é divisível por 13, se a e b são primos com 13

Se (a, 13) = (b, 13) = 1, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que 13 | a12 − 1 e 13 | b12 − 1.Logo 13 | [a12 − 1− (b12 − 1)], ou ainda, 13 | a12 − b12.

Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

a) Mostre por indução que para todo n ≥ 1 tem-se que Fn = 22n

+ 1 ≡ 5 mod 12

Fn = 22n

+ 1 ≡ 5 mod 12 é equivalente a 22n ≡ 4 mod 12, que provaremos por indução.

Para n = 1 temos 22 ≡ 4 mod 12.

Suponhamos que 22n−1 ≡ 4 mod 12.

Assim (22n−1

)2≡ 42 mod 12, ou ainda, 22

n−1.2 ≡ 16 mod 12, ou ainda, 22n ≡ 4 mod 12, como queríamos demonstrar.

b) Mostre que nenhum número de Fermat pode ser um quadrado

Para mostrar que nenhum número de Fermat é um quadrado, de acordo com o item a basta mostrar que a congruênciaX2 ≡ 5 mod 12 não admite solução.

Sabe-se que X2 ≡ 5 mod 12 tem solução se, e somente se, ambas as congruências X2 ≡ 5 mod 4 e X2 ≡ 5 mod 3, ouainda, X2 ≡ 1 mod 4 e X2 ≡ 2 mod 3 possuem uma solução em comum.

Mas, X2 ≡ 2 mod 3 não possui solução. De fato:a = 3q ⇒ a2 = 9q2 = 3.3q2 ⇒ resto 0a = 3q + 1⇒ a2 = 9q2 + 6q + 1 = 3.(3q2 + 2q) + 1⇒ resto 1a = 3q + 2⇒ a2 = 9q2 + 12q + 4 = 3.(3q2 + 4q + 1) + 1⇒ resto 1

Assim, X2 ≡ 5 mod 12 não admite solução.

Questão 5 [2,00 pts]

Determine quantas e quais são as soluções incongruentes mod 20 da congruência 12X ≡ −36 mod 20.

Como d = (12, 20) = 4, a congruência possui quatro soluções incongruentes módulo m = 20.É evidente que x0 = −3 ≡ 17 mod 20 é solução. Logo as soluções incongruentes módulo 20 são dadas por:

x0 = 17

x0 +md = 17 + 20

4 = 22

x0 + 2md = 17 + 10 = 27

2

x0 + 3md = 17 + 15 = 32

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