Cap. I Funcoes Racionais

1- Caracterısticas

Definicao: Uma funcao f(x) e uma funcao racional se

f(x) =p(x)

q(x)

tal que p(x) e q(x) sao polinomios.

Domınio: O domınio de uma funcao racional f(x) = p(x)q(x)

e:

Df = {x ∈ IR : q(x) 6= 0}

2- Equacoes Racionais

Para resolver uma equacao deste tipo basta seguir os seguintes passos:. Passar tudo para um dos membros da equacao;. Colocar tudo ao mesmo denominador e simplificar a expressao. Fica do tipo

p(x)

q(x)= 0

. As solucoes da equacao sao todos os valores que anulam o numerador e nao anulam odenominador, isto e:

p(x) = 0 ∧ q(x) 6= 0

3- Inequacoes Racionais

A resolucao de uma inequacao racional tem as seguintes etapas:. Passar tudo para um dos membros da inequacao;. Colocar tudo ao mesmo denominador e simplificar a expressao. Fica do tipo

p(x)

q(x)≥ 0

(O sinal ≥ serve apenas como exemplo pode tambem ser >, < ou ≤);. Calcular as raizes do numerador e denominador;. Introduzir as raizes obtidas por ordem crescente na primeira linha dum quadro de sinais.

Nas segunda e terceira introduz-se a p(x) e q(x) respectivamente. E na ultima linha a funcaop(x)q(x)

;. Preencher adequadamente o quadro de sinais obedecendo as caracteristicas das funcoes

p(x) e q(x) tal como as regras de sinais na divisao.. Para terminar, basta observar os sinais da ultima linha e escolher o intervalo solucao

com base na desigualdade obtida no segundo passo.

Cap. II Funcoes Irracionais

1- Caracterısticas

Definicao:Uma funcao f(x) e uma funcao irracional se

f(x) = n

√p(x)

1

tal que p(x) e um polinomio.

Domınio: O domınio de uma funcao irracional f(x) = n

√p(x) e:

. Df = IR se n for ımpar;

. Df = {x ∈ IR : p(x) ≥ 0} se n for par;

2- Equacoes Irracionais

Para resolver uma equacao deste tipo basta seguir os seguintes passos:. Passar a expressao com raiz para um dos membros da equacao e o resto para o outro

membro;. Elevar ao quadrado ambos os membros e resolver a equacao resultante;. Deve-se substituir as solucoes obtidas na equacao inicial de modo a confirmar se sao

validas.

Cap. III Operacoes com Funcoes

1- Definir funcoes e Domınios

Sempre que se define uma funcao deve-se indicar o seu domınio e tambem a sua expressaoanalitica:

f : Domınio −→ IRx ↪→ expressao

Obs.: Recorde que sao duas as situacoes em que e necessario o calculo de domınios:•Denominadores diferentes de zero;•Expressoes dentro de raızes de ındice par maiores ou iguais que zero.

2- Soma, Diferenca, Produto e Quociente de Funcoes

. Soma: Quanto a expressao analıtica (f + g)(x) = f(x) + g(x);

e o domınio Df+g = Df ∩Dg.

. Diferenca: Quanto a expressao analıtica (f − g)(x) = f(x)− g(x);

e o domınio Df−g = Df ∩Dg.

. Produto: Quanto a expressao analıtica (f × g)(x) = f(x)× g(x);

e o domınio Df×g = Df ∩Dg.

. Quociente: Quanto a expressao analıtica (fg)(x) = f(x)

g(x);

e o domınio D fg

= Df ∩Dg ∩ {x ∈ IR : g(x) 6= 0}.Obs.: Resumindo, para o calculo do domınio da Soma, Diferenca e Produto basta inter-

ceptar os domınios das funcoes. No caso do Quociente e ainda necessario retirar todos oszeros da funcao do denominador.

3- Funcao Composta

Para obter a expressao analıtica de fog basta substituir x por g(x) na funcao de f :

fog(x) = f(g(x))

O domınio calcula-se interceptando os pontos do domınio da funcao g (de dentro) com osvalores de g(x) que pertencem ao domınio de f (de fora):

2

Dfog = {x ∈ IR : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df}

Duas funcoes f e g sao ditas permutaveis se fog = gof (os domınios e as expressoesanalıticas sao iguais).

4- Funcao Inversa

Uma funcao f tem inversa se for injectiva, ou seja, se a duas abcissas (x) distintascorresponderem duas ordenadas (y) distintas.

Analiticamente f e injectiva se f(x1) = f(x2) e ao simplificar as expressoes se obtemx1 = x2. Para provar que uma funcao nao e injectiva basta que tenha dois valores disitintosde x com a mesma imagem.

Graficamente o teste das rectas horizontais permite testar se um uma funcao e injectiva.Se nao existir uma unica recta horizontal que ”toque”na funcao mais que uma vez entao estae injectiva.

Não Injectiva Injectiva

Passos para a construcao da expressao da inversa f−1 de uma funcao f :. Igualar a funcao f a y;. Isolar x;. Trocar x por y.Obs.: O contradomınio de uma funcao f e igual ao domınio da sua inversa f−1 (e vice-

versa).Para obter o grafico da inversa de uma funcao f basta fazer uma simetria do grafico de f

em relacao a bissectriz dos quadrantes ımpares y = x.

Cap. IV Tipos de Inequacoes

Essencialmente existem tres tipos de inequacoes a considerar:

Inequações

Grau 1 OutrasGrau 2−tal como as equações −isolar a expressão num dos membros

−calcular zeros com fórmula resolvente

−desenhar a parábola

−isolar a expressão num dos membros

−passar ao mesmo denominador e simplificar

−calcular zeros do numerador e denominador

−construir quadro de sinais

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