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LUGAR GEOMÉTRICO
. Un lugar geométrico se define
con el conjunto de todos los puntos del plano que tienen una característica en común.
Todo lugar geométrico se fundamento en una ecuación.
Y una ecuación geométrica se origina por la relación de proporcionalidad que se establece entre las coordenadas de los puntos del lugar.
Por el teorema de Pitágoras determinamos la relación entre las coordenadas del punto del lugar geométrico, así:
𝑥2+ 𝑦2=82
𝑥2+ 𝑦2=64Esta ecuación corresponde a la ecuación de la circunferencia cuyo radio mide 8 unidades.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Calcula la distancia entre los puntos P(5,4) y Q(-3,-2)
d(P,Q) = =
=
d(P,Q) = d(P,Q) =10µ
PENDIENTE DE UNA RECTA
Toda recta que corta al eje x forma con ese eje dos ángulos suplementarios . () <= <α (por correspondiente)
Los ángulos correspondientes son los que están situados aun mismo lado de las secantes o transversal el uno interno y el otro externo pero no adyacente.
Si θ es el ángulo de inclinación de la recta l ,y θ ≠ 0, entonces la pendiente m de la recta l se define así:
m=tgθTgθ=
Luego m = =
Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (7,5) y (-2,-4) y determinas el ángulo de inclinación
=
Tgθ=1θ= Tg-1(1)θ= 45º
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos:
a) P(-3,-2), Q(-6,2)
= =
b) W(2/3 , 1) , V(1/3 , 1/5)
=
𝑚=−43
𝑚=125
Encuentra el ángulo de inclinación θ con respecto a las horizontal de la recta que pasa por el origen y el punto dado
M=tgθ
Tgθ= = == =0,25
(-8,-2), (0,0)
θ=(0,25)
θ= 14,03º
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos .
1) 0(2,6), P(-3,-2)
X= = y= = =2
ECUACIÓN CANÓNICA O REDUCIDA DE LA RECTA
Y=mx+b
Pendiente InterceptoDeterminar la pendiente y el punto de corte en eje “y”
Y=m-5 y=3+4x
M=2 P(0,-5) (punto de corte con eje “y”)
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
AX + BY + C = 0
Dado y=2x-5, expresarlo como ecuación general:
-2x+y+5=0
AX+BY+C
A=-2 B= 1 C=5
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Determina la pendiente y el intercepto con el eje y, de las recta cuya ecuación es 3x+2y-5=0.
2y=-3x+5
Y= - x +
Pἱ (0.)
𝑚=−32
Grafica la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m, luego escribir su ecuación en forma canónica :
* P(1 , 3) , m=2
Y= mx + b
3= 2(1)+b
3=2+b
3-2=b b=1 Pἱ(0, 1)
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
1) Rectas coincidentes:
Ax+Bx+c= 0 A’x+B’x+c’=0
Ejemplo:
6x-4y+8=0 y 12x-8y+16=0
= = K
Se puede comprobar que los coeficientes respectivos son múltiplos entre si:
Grafica: 6x-4y+8=0
Corte con eje “y”: x=0 : 6(0)-4y+8=0 -4y= -8
(Pἱ)y = (0,2) y=
Corte con eje “x”: y=0 : 6x-4(0)+8=0 6x= -8
(Pἱ)x= (, 0) x= x=
Grafica: 12x-8y+16=0
Corte con “y”: x=0 : 12(0)-8y+16=0 -8= -16
(Pἱ)y= (0.2) y= y=2
RECTAS SECANTES
Son aquellas que se cortan en un solo punto
Ejemplo: 3x – 2y = -2 y 5x + 3y = 22
Podemos comprobar que estas dos rectas se cortan en el punto (2,4)
Grafica de: 3x – 2y = -2
Corte con “y”= x=0: 3(0) - 2y = -2 -2y= -2 y= y=1
(Pi)y=(0.1)
Corte con “x”: y=0: 3x – 2(0) = -2 3x= -2 x=
(Pi)x=
Grafica de: 5x + 3y = 22
Corte con “y”: x=0 : 5(0) + 3y =22 y=
(Pi)y=
Corte con “x”: y=0 : 5x + 3(0) = 22 5x= 22 x=
(Pi)x=
ANGULO ENTRE DOS RECTAS SECANTES
θ2= θ2 ( Alternos Internos)
Θ1= θ1 (Por correspondientes )
θ2= θ2 ( Opuesto por el vértice)
Ejemplo:
Encontrar la medida del ángulo de la recta -3x+2y=-1 a la recta 2x-3y=-6
En la recta -3x+2y=-1 la pendiente M1 es :
2y=3x-1
y=x - M1=
θ= 22,6
θ
RECTAS PERPENDICULARES
Como tg90º no esta definida entonces, en la expresión
El denominador es igual a cero:Es decir:
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Determina la posición…
X + y = 3 x + y = 3
2x – 6 = 2y 2x -2y =6Son coincidentes.