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Exercícios resolvidos sobre logaritmos. As demostrações das propriedades e muitas formas de resolução de logaritmos
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Filipe Mathusso Lunavo Página
Nb
aNa
b
=
=log
Exercícios Resolvidos
1. Calcule o valor de:
a) log
81log81log 39 ÷=
b) log3
c) 225,0log 2 ⇔= α
d) 5 1255
125
5log =⇔ x
55 2
2
=⇔=⇔−
xx
e) 3
log
3
9log
33
3=
f) 5
16log16log 45
4 =
g) 5
6log6log
365 3
6 =
h) 7
16log
16log 2
1
7
2
1 =
i) 4
8log8log 44
4 ==
2. Calcule o valor dos logaritmos
a) log6log18log 33 −−
log)1518(log 3 −×=
b) 27log64log 32 − para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de
cada logaritmo, isto é:
264log2 =⇒= a a
Filipe Mathusso Lunavo Página 1
Exercícios Resolvidos sobre Logaritmos
Calcule o valor de:
29log81log 299 == ou
2243log3log9log 23
433 =−=÷=÷
32log2
1log 3
22 −== −
222
12
4
12
100
252 2
2=⇔=⇔=⇔= −αααα
25
15
25
15
125
55
125
5
=⇔=⇔=⇔ xxx
12
2 −=⇔−= x
13
3log3
93 ==
4,05
2
5
4log16 24 ===
6,05
33
==
7
4
7
4
7
2
1log
7
2log164
2
14
2
1
−=−=
==
−
8
3
4
1
2
3
42
3
4
2log 3
22
=×===
Calcule o valor dos logaritmos
15log5log 33 + 6log15log18log 333 −−+⇒
9log33log56
1518log56log 3333 ==×=
××=×
para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de
626 =⇒= a
sobre Logaritmos
2−=⇔ α
2
122
1
55×−
=⇔
x
5log3−
23log 23 =
para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de
Filipe Mathusso Lunavo Página 2
33627log64
33327log
32
33
=−=−∴=⇒=⇒=
lo
bb b
c) 32log16log 42 −
42216log 42 =⇒=⇒= aa a
2
5222432log 525
4 =⇒=⇒=⇒= bb bb
2
3
2
58
2
5432log16log
)1()2(
42 =−=−=−∴
d) 36log227log8log 63
2
1 −+
32
1log2log8log
3
2
13
2
1
2
1 −=
⇔=⇔=−
αα
( )443336log227log8log
46log36log2
33log27log
63
2
1
2266
333
−=−+−=−+−=⇔=⇔=−
=⇔=⇔=− δδδ
βββ
e) ( ) 23log9log12108log12618log12log6log18log 23333333 ===÷=÷×=−+
f) ( )125loglog 5
3
1 Vamos resolver em partes.
355125log 35 =⇔=⇔= αα α
( ) 13
1
3
13
3
13log125loglog
1
3
15
3
1 −=⇔
=
⇔=
⇔==∴−
ββββ
g) ( )5log2
102331log2log +++ Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo
12log2 =
( )
( ) 46450131log2log
4559333
01log
5log2102
5log25log2
10
3
33
=++=++∴
=×=×=
=
+
+
Filipe Mathusso Lunavo Página 3
h) ( )
2
184
2
36
4
2
1log2log
40
2log2log
3log0
8log64log
81log1log
2
3
2
16
2
3
2
16
2
43
2
12
33
−=
−×=
×
+=×
+=
×+
−
3. Calcule o valor de y.
Lembre-se que caca bb =⇔= loglog
a) 8
512loglog
8
1632loglog8log16log32loglog 44444444 =⇒
×=⇒−+= yyy
6464loglog 44 =∴=⇒ yy
b) 3log210log27log27loglog 22222 −++=y
( )
30
30loglog9270loglog9log270loglog
3log270loglog3log1027loglog
2222222
2222
2222
=⇒
=⇒÷=⇒−=⇒
−=⇒−×=
y
yyy
yy
c) 55loglog 22 =⇔= yy
d) 88loglog 1515 =⇔= yy
e) 10log10lglog1000log 3
3
13
3
13
3
1
3
1 =⇔=⇔= yyy
f) 77loglog 10001000 =⇔= yy
g) 44lglg =⇔= yy Lembre-se dos logaritmos de base 10.
h) 2
1
2
1238log
3333 =⇔
=⇔=⇔−=−
−− yyyy
i) 99332
13log 2
222
12
2
1
=⇔=⇔=⇔=⇔=×
yyyyy
j) ( ) ( ) 3322623216log 333332 =⇔×=⇒=⇔= yyyy
k) 1515lglg53lglg5lg3lglg =⇔=⇔×=⇔+= yyyy
l) 2
7
2
34
2
322
2
32lg
2
3lg
)1()2(
=⇔+=⇔+=⇔=−⇔=
− yyyyy
9
4
18
8
18
24 −=−=
−×=2
2
Filipe Mathusso Lunavo Página 4
m) ( ) ( ) 9252952lg95lg2lglg95lg −=−⇔=+⇔=+⇔+=+ yyyyyyyy
33
993 −=⇔−=⇔−=⇔ yyy
n) 4
5
33 1
5
3 8log2log yy =−
( ) ( ) yyyy
yyyy
4
3
3
1
3
1222282 4
3
3
1
3
1
4
133
1143 1 =−⇔=⇔=⇔=⇔
−−−
5
4
5
12
12
4
12
4
12
5
12
4
12
9
12
4
3
1
4
3
3
1
)4()3()4(
=−⇔×=−⇔=−⇔=−⇔=−⇔ yyyyyyy /-1
5
4−=⇔ y
o) 22222222
322log 2
3
2
332
322
3
2
3
=⇔=⇔=⇔×=⇔=⇔= yyyyyy
p) ( ) yyyyyy =⇔=⇔=⇔=
⇔=⇔= 3222225log 52
55
2
15
2
4. Calcule:
q) 31000101000
110001,0lg 3 −=⇔=⇔=⇔= − aa aa
r) 4101010000lg 4 =⇔=⇔= aa a
s) 210010100
1lg 2 −=⇔=⇔= − aa a
5. Sendo 3log3 −=a , 4log3 =b e 2log3 =c , determine:
a) ( )ab3log Resolução : 143loglog 33 =+−=+ ba
b) 23log
c
ab Resolução: 341243logloglog 22
333 −=−=−+−=−+ cba
c) ba3log
Resolução: 12
2
2
46
2
43
2
log3loglog 3
33 −=−=+−=+−=+−=+b
ba
6. Sabendo que 5log =ab e 3log −=cb determine o valor de :
a) ( )acblog Resolução: ( ) ( ) 23535logloglog =−=−+=+= caac bbb
b)
a
cblog Resolução: 853logloglog −=−−=−=
ac
a
cbbb
Filipe Mathusso Lunavo Página 5
c) 3log acb Resolução: ( )
3
2
3
35
3
loglog
3
loglog 3 =−+=
+==
caacac bbb
b
d) ( )4log acb Resolução: ( ) ( ) 162)35(35logloglog 4444444 ==−=−+=+= caac bbb
7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos
a) ( )ba22log
Resolução: ( ) bababa 2222
22
2 loglog2logloglog +=+=
b)
65 4
5log π
Resolução: πππ 5556
556
5 log64log5loglog4
5log
4
5log +−=+=
c) 2
log
log2logloglog2log2log8
888888
g
l
g
l
g
l ++=++=
πππ
g
l
g
l
g
l
22log
2
12log22log 888 +=×+=÷+×= πππ