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Prof. Jorge
Professor Antônio Carlos Carneiro Barroso Graduado em Matemática pela UFBAGraduado em Ciências naturais pela UFBAPós graduado em Metodologia e Didática de ensino Superiorwww.ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.youtube.com/accbarrosowww.facebook.com/acmatematicowww.twitter.com/profbarrosoSalvador-Ba
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Estudo da reta
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x
y
O (0, 0)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
eixo das abscissas
eixo das ordenadas
Origem
Plano cartesiano
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P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
Coordenadas no plano
3 é a abscissa de P; 4 é a ordenada de P;
3 e 4 são as coordenadas de P;
P(x, y)
Em geral:
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Sinais no plano
x
y
+
+
++
––
– –
y = 0
O( 0, 0)
x = 0
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Bissetrizes no plano
x
y
y = xy = –x
1ª bissetriz2ª bissetriz
Prof. Jorge
Equação da reta
Prof. Jorge
Equação geral da reta
A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles.
Retas paralelas aos eixos;Retas não-paralelas aos eixos;
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Retas paralelas aos eixos A figura mostra duas retas r e s, contidas no
plano cartesiano xOy.
x
y
O 4
2
r
s
Equação da reta r: x = 4
Equação da reta s: y = 2
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Retas paralelas ao eixo y A figura mostra três retas r, s e t, contidas
no plano cartesiano xOy.
x
y
O 3–2
r s Equação de r: x = –2
1
t Equação de s: x = 1 Equação de t: x = 3
Geral: retas ∕∕ eixo y:
x = k
k é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x.
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Retas paralelas ao eixo x A figura mostra três retas w, u e p, contidas
no plano cartesiano xOy.
x
y
O
3
–1 p
u
Equação de w: y = 3
2w Equação de u: y = 2
Equação de p: y = –1
Geral: retas ∕∕ eixo x:
y = h
h é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.
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Retas não-paralelas aos eixos A figura mostra a reta r, contidas no plano
cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).
x
y
O 3
1
r
2
3
P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão alinhados
x y 11 2 13 3 1
= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0
⇒ y – 2x + 3 = 0
A
B P(x, y)
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Equação geral da reta
Toda reta do plano cartesiano xOy está associada a uma equação de 1.º grau Ax + By + C = 0, com A, B e C reais, sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0.
A equação de uma reta pode ser escrita de infinitas formas, todas equivalentes.
2x – y – 3 = 0 4x – 2y – 6 = 0 6x – 3y – 9 = 0
... e assim por diante.
Cada uma dessas igualdades é uma equação geral da reta.
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Exemplos Traçar no plano cartesiano xOy, a reta r de
equação geral 3x + 2y – 5 = 0.
x = 1 ⇒ 3.1 + 2y – 5 = 0
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1x = 3 ⇒ 3.3 + 2y – 5 =
0⇒ 2y = –4
⇒ y = –2
x
y
O3
1
r
–2
1
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Exemplos Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da
reta de equação geral 5x + y – 9 = 0.
⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0
Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação.
M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0
⇒ 0 = 0
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0
N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0
⇒ 11 ≠ 0
Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
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Inclinação de uma reta
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40 m
Inclinação de uma reta Imagine um carro subindo uma rampa reta,
conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m.
40 m
6 m
O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa.
6 mInclinação = tg α =
= 0,15= 15 %
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta Vamos analisar agora duas situações
extremas. Quando o carro percorre um trecho
horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).
α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta Vamos analisar agora duas situações
extremas. O auto não sobe uma rampa
vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido).
α = 90o
⇓
Inclinação não se define.
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Q
Inclinação de uma reta Considere uma reta r, não paralela aos eixos
x e y, contida no plano cartesiano xOy.
x
y
O
yQ
yP
xQxP
P
M
xQ – xP
yQ – yP
Inclinação = tg α
yQ– yP
xQ– xP
a = tg α =
xy a
=
r
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Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 30º =
x
y
O30ºM
3√3
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Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 45º = 1
x
y
O45ºM
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Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 60º = √3
x
y
O60ºM
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Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
x
y
O
120º
M
a = tg 120º = – tg 60º = –√3
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 135º = – tg 45º = – 1
x
y
O
135º
M
Prof. Jorge
Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 150º = – tg 30º =
x
y
O
150º
M
3–√3
Prof. Jorge
Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e
classificar o ângulo α de inclinação da reta MN.
x
y
Oα
M
N
–2 1
3
5
xN – xM
yN – yM a = tg α =
1 – (–2)5 – 3 a
=
32 a
= a > 0 e α é
agudo(α < 90º)
a) M(–2, 3) e N(1, 5)
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Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e
classificar o ângulo α de inclinação da reta MN.
x
y
Oα
M
N–2
3
3
xN – xM
yN – yM a = tg α =
3 – (–2)–1 – 3 a
=
5– 4 a
= a < 0 e α é
obtuso(90º < α <
180º)
b) M(–2, 3) e N(3, –1)
–1
Prof. Jorge
Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e
classificar o ângulo α de inclinação da reta MN.
x
y
O
M N
–1 3
3
xN – xM
yN – yM a = tg α =
1 – (–1)3 – 3 a
=
a = 0
a = 0 ⇒ α = 0º (nulo)
c) M(–1, 3) e N(2, 3)
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Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e
classificar o ângulo α de inclinação da reta MN.
x
y
O
M
N
–12
3
xN – xM
yN – yM a = tg α =
2 – 23 – (–1) a
= a = não é definida
α = 90º (reto)
d) M(2, –1) e N(2, 3)
α⇓
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Inclinação de uma reta - resumo O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤
180º. Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula,
conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
α = 0º ⇔ a = 0. 0º < α < 90º ⇔ a > 0. α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida. 90º < α < 180º ⇔ a < 0.
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Exemplos Achar as inclinações das retas r, s e t da
figura abaixo.
x
y
O 120º45º 45º
r st
ar = tg 45º = 1 as = tg 45º = 1
at = tg 120º
– √3= – tg 60º =
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Equação reduzida da reta
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Equação reduzida da reta Uma reta é determinada, quando são dados sua
inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.
Vamos obter a equação da reta r.
x
y
O
135º
A
2
3M(x, y)
xM – xA
yM – yA
a = tg 135º = –1.
x – 2y – 3
–1 =
a =
y – 3 = –1(x – 2) y – 3 = –1x + 2 y = –1x +
5
⇒
y = –x + 5
Prof. Jorge
Equação reduzida da reta – Caso Geral Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e
que passe pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
x
y
Oα
P
xP
yP
M (x, y) xM – xA
yM – yAx – xP
y – yP a =
a =
y – yP = a(x – xP)
⇒
⇒ y – yP = ax – axP
⇒ y = ax + (–axP + yP)
⇒ y = ax + b
Equação reduzida da reta
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Equação reduzida da reta Na equação reduzida y = ax + b, temos:
Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.
x = 0 ⇒ y = a.0 + b
⇒ y = b
O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta.
O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.
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Exemplos Uma equação geral da reta r é 2x – y + 4 = 0. Escrever a
equação na forma reduzida, indicar os coeficientes angular e linear e representar a reta no plano cartesiano xOy.
O coeficiente angular a = 2 e o coeficiente linear é b = 4.
2x – y + 4 = 0
⇒ –y = –2x – 4
⇒ y = 2x + 4
a = 2, o ângulo de inclinação α < 90º. b = 4, a reta intercepta o eixo y no ponto (0,
4).Vamos obter o ponto em que a reta corta o eixo x. Para isso, vamos fazer y = 0.
y = 0 ⇒ 2x – 0 + 4 = 0
⇒ 2x = –4
⇒ x = –2
⇒ (–2, 0)
Prof. Jorge
Exemplos Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0
no plano xOy.
x
y
O
r
–2
4
y = 2x + 4
Prof. Jorge
Exemplos O gráfico a seguir mostra uma reta s.
Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta.
x
y
O
s
45º
2
y = ax + b A reta corta o eixo y no
ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2.
α = 180º – 45º = 135ºa = tg 135º = –1.
y = – x + 2
⇒ x + y – 2 = 0
α
Prof. Jorge
Exemplos Achar a equação reduzida da reta r que
passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3).
xA – xB
yA – yB
–2 – 16 –(–3) a
= xy = =
Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
–39= ⇒ a = –
3 Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a
equação fundamental, em seguida a equação reduzida da reta. y – yP = a(x – xP)
⇒ y – 6 = –3(x + 2)
⇒ y – 6 = –3x – 6
⇒ y = –3x