Electromagnetismo Luis Francisco Garcia Russi-William Javier Trigos

CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1

ELECTROMAGNETISMO

LUIS F. GARCIA R. & WILLIAM J TRIGOS G

2Ed


ELECTROMAGNETISMO

LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI

&

WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA

BUCARAMANGA

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

DEPARTAMENTO DE FISICA

28 de septiembre de 2014


A mis padres: BLANCA Y EFRAIN, destellos divinos,

Manantiales de amor.

Luis F. García.


AGRADECIMIENTO

El autor desea expresar su sincero agradecimiento a la Señorita LUZ

MARINA RAMOS HORTUA, Tecnóloga en Arte y Decoración, artífice del diseño

de la portada, de la transcripción a máquina del manuscrito, de la

elaboración de las gráficas, y en una palabra, la persona que facilitó con

su ayuda, paciencia y estímulo, la realización de esta obra.

A la Dra. GRACIELA CHALELA, Decana de la Facultad de Ciencias,

por haber incentivado con sus acertadas insinuaciones, la producción

intelectual.

Al Dr. AUGUSTO LOPEZ Z., Director del Departamento de Física, por su

ejemplar dinamismo y laboriosidad, que constituyeron el estímulo

determinante para la feliz terminación de este texto.

A los colegas, por sus valiosas sugerencias.

A los estudiantes, por haber conducido a muchas mejoras en la

presentación de los temas.

A los FISICOS DEL MUNDO, por haber plasmado su sabiduría, su

creatividad y su vigorosa disciplina intelectual, en los magníficos textos

que constituyeron la fuente bibliográfica.

AUTOR LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI

REVISOR



ÍNDICE ANALÍTICO

Tabla de contenido

ELECTROMAGNETISMO ...................................................................................................................................................... 2

AGRADECIMIENTO ........................................................................................................................................................... 4

ÍNDICE ANALÍTICO ........................................................................................................................................................... 5

INTRODUCCION ............................................................................................................................................................. 12

CAPÍTULO 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ............................................................................................................. 2

I. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ......................................................................................................................... 3

1.1. ESBOZO HISTORICO: ................................................................................................................................................. 3

1.2. MATERIA Y CARGA ELECTRICA: ................................................................................................................................. 4

1.3. PROPIEDADES DE LA CARGA: .................................................................................................................................... 4

1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON ............................................................................ 4

1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA: ........................................................................................................................ 4

1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA: ....................................................................................................................... 5

1.3.4. CLASES DE CARGA: .......................................................................................................................................... 5

1.4. UNIDADES DE CARGA: .............................................................................................................................................. 6

1.5. LEY DE COULOMB: .................................................................................................................................................... 6

1.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO: ....................................................................................... 7

1.7. FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL QJ. .......................... 8

1.8. FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA DQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION

CONTINUA DE CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL. ................................................................................................ 9

1.9. CAMPO ELÈCTRICO. .................................................................................................................................................. 9

1.10. LINEAS DE FUERZA: ................................................................................................................................................. 10

1.11. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: ........................................................................................... 11

1.12. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES: .............................................................. 12

1.13. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA: ............................................................ 12

1.14. MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS: ............................................................................................. 12

1.15. FLUJO ELÉCTRICO: ................................................................................................................................................... 13

1.16. LEY DE GAUSS: ........................................................................................................................................................ 15

1.17. OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ...................................................................................... 18

1.18. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 19

1.18.1. PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS: .................................................................................................... 19

1.18.2. PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS: ................................................................................ 25

1.18.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ................................................................................................................ 47

1.18.4. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (ley de gauss) ......................................................................................... 62

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO ................................................................................................................................... 82

II. POTENCIAL ELÉCTRICO .............................................................................................................................................. 83

2.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................................... 83


2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL ..................................................................................................................................... 83

2.3. POTENCIAL EN UN PUNTO ...................................................................................................................................... 84

2.4. POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL Q................................ 84

2.5. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES (SISTEMA

DISDRETO) ............................................................................................................................................................................ 85

2.6. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA .................................................. 86

2.7. EJEMPLOS SOBRE CÁLCULO DE POTENCIALES ........................................................................................................ 86

2.7.1. DETERMINAR EL POTENCIAL DE UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DE UNA CARGA

PUNTUAL Q. ..................................................................................................................................................................... 86

2.7.2. DETERMINAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA X, DENTRO DE DOS

PLACAS CONDUCTORAS DE DENSIDADES CARGA IGUALES Y OPUESTAS , SI SU SEPARACIÓN D ES

MUCHO MENOR QUE SUS DIMENSIONES GLOBALES. EL CAMPO ES UNIFORME, SIENDO

, Y . VER FIG. (2.7.2) ......................................................................................................................... 87

2.7.3. HALLAR EL POTENCIAL EN EL PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DEL ANILLO CARGADO, DE

CARGA Q Y DENSIDAD UNIFORME DE CARGA Λ = A, INDICANDO EN LA FIG. (2.7.3) ........................................ 87

2.7.4. HALLAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DE UN DISCO CARGADO

UNIFORMEMENTE DE RADIO A DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA UNIFORME ,

COMO SE MUESTRA EN LA FIG. (2.7.4) ............................................................................................................................ 88

2.7.5. HALLAR LA DIFERENCIA DE POTENCIAL EN LAS PROXIMIDADES DE UNA LÍNEA DE CARGA DE

DENSIDAD UNIFORME Λ. ................................................................................................................................................ 89

2.8. CÁLCULO DEL POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO ELECTRÓNICO ............................................................................. 89

2.9. SIGNIFICADO FÍSICO DE GRADIENTE ....................................................................................................................... 91

2.10. SUPERFICIES EQUI-POTENCIALES ............................................................................................................................ 91

2.11. POTENCIAL DE UN CONDUCTOR ............................................................................................................................. 92

2.12. DIPOLO ELECTRICO ................................................................................................................................................. 92

2.13. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA .................................................................................................................. 93

2.13.1. ENERGÍA POTENCIAL DE UN DÍPOLO EN UN CAMPO ELÉCRICO UNIFORME. ............................................... 94

2.14. ENERGIA EN FUNCIÓN DEL CAMPO ........................................................................................................................ 95

2.15. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 97

2.15.1. PROBLEMAS DE POTENCIAL ELÉCTRICO: ...................................................................................................... 97

2.15.2. PROBLEMAS SOBRE TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA: ............................................................. 111

2.15.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 116

2.16. MODELO DE EVALUACIONES: ............................................................................................................................... 136

2.16.1. EVALUACIÓN 1 (1 P): ................................................................................................................................... 136

2.16.2. EVALUACIÓN 2 (1 P): ................................................................................................................................... 139

2.16.3. EVALUACIÓN 3 (1P): .................................................................................................................................... 142

2.16.4. EVALUACIÓN 4 (1 P): ................................................................................................................................... 146

CAPÍTULO 3. CAPACITANCIA ............................................................................................................................................ 152

III. CAPACITANCIA ........................................................................................................................................................ 153

3.1 DEFINICIÓN ........................................................................................................................................................... 153

3.2 CONDUCTOR AISLADO Y DOS CONDUCTORES CERCANOS .................................................................................... 153

3.3 CONDENSADOR (O CAPACITADOR) ....................................................................................................................... 154

3.4 CALCULO DE CAPACIDADES .................................................................................................................................. 154

3.4.1 CAPACITADOR DE LÁMINAS PLANAS PARALELAS: ................................................................................................ 155


3.4.2 CAPACITADOR CILINDRICO .................................................................................................................................... 156

3.4.3 CAPACITADOR ESFERICO ....................................................................................................................................... 157

3.5 COMBINACIÓN DE CONDENSADORES .................................................................................................................. 158

3.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: ..................................................................................................................................... 158

3.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: ............................................................................................................................................. 159

3.6 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR .................................................................................................. 160

3.7 AUTOENERGIA DE CARGAS ELÉCTRICAS ............................................................................................................... 162

3.8 FUERZA ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR ............................................................................................. 162

3.9 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES.................................................................................... 163

3.10 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 165

3.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................................ 172

CAPÍTULO 4. DIELÉCTRICOS .............................................................................................................................................. 193

IV. DIELÉCTRICOS ......................................................................................................................................................... 194

4.1. DESCRIPCIÓN ........................................................................................................................................................ 194

4.2. POLARIZACIÓN DE LA MATERIA ............................................................................................................................ 196

4.3. LEY DE GAUSS ....................................................................................................................................................... 199

4.4. TRES VECTORES ELÉCTRICOS ................................................................................................................................. 202

4.5. CONDICIONES DE FRONTERA PARA EN LA SUPERFICIE LIMITE ENTRE DOS DIELÉCTRICOS ......................... 204

4.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS SITUADAS EN UN MEDIO DIELÉCTRICO ................................................................... 206

4.7. CONDENSADORES CON MATERIALES DIELÉCTRICOS ............................................................................................ 207

4.8. ENERGÍA ALMACENADA EN UN DIELÉCTRICO ....................................................................................................... 208

4.9. FUERZA SOBRE UNA LÁMINA DIELÉCTRICA INTRODUCIDA EN UN CONDENSADOR ............................................. 209

4.10. VARIACIONES DE ENERGÍA POR INTROMISION DE UN DIELÉCTRICO .................................................................... 210

4.11. OBJETIVOS, DESCRPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES ..................................................................................... 214

4.12. PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 216

4.13. MODELO DE EVALUACIONES ................................................................................................................................ 236

4.13.1. MODELO DE EVALUACIÓN No 1 (2 P) ......................................................................................................... 236


4.13.2 MODELO DE EVALUCIÓN No 3 (2 P) ............................................................................................................ 244

4.13.3 MODELO DE EVALUACIÓN No 4 (2 P) ......................................................................................................... 251

CAPÍTULO 5. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA ............................................................... 256

V. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA .......................................................................... 257

5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 257

5.2 CORRIENTE ELÉCTRICA:......................................................................................................................................... 257

5.2.1 CORRIENTE ELECTRÓNICA Y CORRIENTE CONVENCIONAL:......................................................................... 257

5.3 DENSIDAD DE CORRIENTE ..................................................................................................................................... 258

5.4 LEY DE OHM .......................................................................................................................................................... 258

5.5 COMBINACIÓN DE RESISTENCIAS: ........................................................................................................................ 265

5.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: ........................................................................................................................... 265

5.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: ................................................................................................................................... 266

5.5.3 TRANSFORMACIÓN Δ – Y y Y – Δ: ............................................................................................................. 267

5.5.4 PUENTE DE WHEATSTONE .......................................................................................................................... 268

5.6 LEY DE JOULE ........................................................................................................................................................ 269


5.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y RESISTENCIA INTERNA .............................................................................................. 269

5.8 LEYES DE KIRCHHOFF ............................................................................................................................................ 270

5.8.1 LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE (LKV): ...................................................................................................... 270

5.8.2 LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE: ........................................................................................................ 271

5.8.3 SOLUCIÓN DE CIRCUITOS: ........................................................................................................................... 271

5.9 CIRCUITOS RC ........................................................................................................................................................ 274

5.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 277

5.11 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 279

5.11.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 288

5.11.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Circuitos de Corriente Continua) ......................................................... 297

5.12 MODELO DE EVALUACIÓN .................................................................................................................................... 315

CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO ................................................................................................................................... 323

VI. CAMPO MAGNETICO .............................................................................................................................................. 324

6.1 DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO ............................................................................................................................ 324

6.2 LEY DE BIOT Y SAVART ........................................................................................................................................... 325

6.3 FUERZA ENTRE DOS ELEMENTOS DIFERENCIALES DE CORRIENTE ........................................................................ 327

6.4 MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA POR LA QUE CIRCULA UNA CORRIENTTE I, SITUADA EN UN CAMPO

MAGNETICO UNIFORME ..................................................................................................................................................... 327

6.5 RESUMEN DIPOLAR .............................................................................................................................................. 330

6.6 FLUJO MAGNETICO ............................................................................................................................................... 330

6.7 LEY DE AMPERE ..................................................................................................................................................... 331

6.7.1 PRUEBA DE LA LEY DE AMPERE................................................................................................................... 334

6.8 FUERZA SOBRE CARGA AISLADAS EN MOVIMIENTO ............................................................................................. 335

6.9 FUERZA DE LORENTZ ............................................................................................................................................. 339

6.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINOPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 340

6.11 PROBLEMAS DE CAMPO MAGNÉTICO .................................................................................................................. 342


CAPÍTULO 7: FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA ........................................................................................................... 389

VII. FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................................................................. 390

7.1 FUERZA ELECTROMOTRIZ DEBIDA AL MOVIMIENTO ............................................................................................ 390

7.2 LEY DE INDUCCION DE FARADAY .......................................................................................................................... 391

7.3 LEY DE LENZ .......................................................................................................................................................... 393

7.4 EJEMPLOS ............................................................................................................................................................. 395

7.4.1 GENERADOR AMBIENTAL ........................................................................................................................... 395

7.4.2 MOTOR ELECTRICO ..................................................................................................................................... 396

7.4.3 DISCO FARADAY: ......................................................................................................................................... 397

7.4.4 VARILLA QUE ROTA EN UN CAMPO ....................................................................................................... 398

7.4.5 CAMPO ELECTRICO INDUCIDO POR UN INCREMENTO DE ..................................................................... 399

7.4.6 TRABAJO MECANICO REALIZADO PARA MOVER UNA BOBINA ................................................................... 399

7.5 INDUCTANCIA MUTUA Y AUTOINDUCTANCIA ...................................................................................................... 401

7.5.1 INDUCTANCIA MUTUA ................................................................................................................................ 401

7.5.2 AUTOINDUCCION ........................................................................................................................................ 404

7.6 CONVINACIÓN DE INDUCTANCIAS ....................................................................................................................... 406


7.6.1 EN SERIE SIN INTERACCIÓN ......................................................................................................................... 406

7.6.2 EN SERIE CON INTERACCIÓN ....................................................................................................................... 406

7.6.3 EN PARALELO SIN INTERACCIÓN ................................................................................................................. 407

7.6.4 INDUCTANCIA MUTUA EN CIRCUITOS ACOPLADOS .................................................................................... 408

7.7 CIRCUITOS RL ........................................................................................................................................................ 410

7.8 ENERGIA ALMACENADA Y DENSIDAD DE ENERGIA MAGNETICA .......................................................................... 412

7.9 OBJETIVOS DESCIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ....................................................................................... 414

7.10 PROBLEMAS SOBRE FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................................... 416


7.10.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Inductancia) ........................................................................................ 424


7.11 MODELOS DE EVALUACIÓN .................................................................................................................................. 435

7.11.1 MODELO DE EVALUACION No 1 (3P) ......................................................................................................... 435

7.11.2 MODELO DE EVALUACION No 2 (3P) .......................................................................................................... 440

7.11.3 MODELO DE EVALUACION # 3 (3P) ............................................................................................................. 443

CAPÍTULO 8: PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA .............................................................................................. 447

VIII. PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA ..................................................................................................... 448

8.1 MAGNETIZACION DE LA MATERIA ........................................................................................................................ 448

8.2 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO .............................................................................................................. 451

8.3 MATERIALES MEGNETICOS. .................................................................................................................................. 452

8.4 PARAMETROS MAGNÉTICOS ................................................................................................................................ 453

8.5 CONDICIONES DE FRONTERA ................................................................................................................................ 454

8.6 ENERGIA MAGNETICA ALMACENADA ................................................................................................................... 456

8.7 PARAMAGNÉTISMO.............................................................................................................................................. 458

8.8 DIAMAGNETISMO:................................................................................................................................................ 461

8.9 FERROMAGNETISMO ............................................................................................................................................ 468

8.10 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINÓPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 476

8.11 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 478

CAPÍTULO9: CORRIENTE ALTERNA ................................................................................................................................... 484

IX. CORRIENTE ALTERNA .............................................................................................................................................. 485

9.1. INTRODUCCION .................................................................................................................................................... 485

9.2. GENERADOR DE CORRIENTE ALTERNA ................................................................................................................. 485

9.3. RELACIONES ENTRE TENSION E INTENSIDAD: ....................................................................................................... 486

9.3.1. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA RESITENCIA....................................................... 486

9.3.2. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA AUTOINDUCCION: ............................................ 487

9.3.3. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD DE UN CONDENSADOR: ................................................. 488

9.4. CIRCUITO RLC EN SERIE: ........................................................................................................................................ 490

9.5. CIRCUITO RLC EN PARALELO: ................................................................................................................................ 493

9.6. RESONANCIA: ....................................................................................................................................................... 495

9.7. POTENCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA: ....................................................................................... 497

9.8. ENERGIA Y COMPONENTE ACTIVA DE L A CORRIENTE: ........................................................................................ 500

9.9. OBJETIVOS, DESCRIPTIVOS SINOPTICA Y OBSERVACIONES: .................................................................................. 501

9.10. PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 504


CAPÍTULO10: ECUACIONES DE MAXWELL ........................................................................................................................ 516

X. ECUACIONES DE MAXWELL ..................................................................................................................................... 517

10.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 517

10.2 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ........................................................................................................................ 517

10.3 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL:............................................................................................... 519

- LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO: ............................................................................................... 519

- LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO: ............................................................................................ 519

- LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY: ............................................................................................................... 519

- LEY DE AMPERE GENERALIZADA POR MAXWELL: ....................................................................................... 520

1 LA PRIMERA HIPÓTESIS: LA CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ............................................................................... 520

10.4 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL: .......................................................................................... 521





10.5 ECUACION DE ONDA: ............................................................................................................................................ 523

10.6 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES: ................................................................................... 526

10.7 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 528

10.8 MODELOS DE EVALUACIONES............................................................................................................................... 532

9.8.1 MODELO DE EVALUACION No 1 ( 4P ) ......................................................................................................... 532

2 OBSERVACIÓN ........................................................................................................................................................ 533

9.8.2 MODELO DE EVALUACION No 2( 4P ) ......................................................................................................... 536


ANEXOS ........................................................................................................................................................................... 544

MODELOS DE EVALUACIÓN DEL PRIMER PARCIAL: .......................................................................................................................... 545

MODELO No.1 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 546




MODELOS DE EVALUACIÓN DEL SEGUNDO PARCIAL: ....................................................................................................................... 567

MODELO No.1 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO............................................................... 569




MODELOS DE EVALUACIÓN DEL TERCER PARCIAL: .......................................................................................................................... 591

MODELO No.1 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO ................................................................... 592






CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Cap. 1 BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................................. 612

PRIMER PARCIAL: .................................................................................................................................................................... 612

SEGUNDO PARCIAL: ................................................................................................................................................................. 613

TERCER PARCIAL: ..................................................................................................................................................................... 614


INTRODUCCION

El propósito de este libro consiste primordialmente, en facilitar la

comprensión de las leyes, conceptos y fórmulas que describen los procesos

físicos relacionados con la parte del ELECTROMAGNETISMO que trata sobre

carga, fuerza, campo, energía potencial, capacitancia, dieléctricos, circuitos de

corriente continua, campo magnético, fuerza electromotriz inducida, propiedades

magnéticas de la materia, circuitos de corriente alterna y ecuaciones de

Maxwell.

Comprende el desarrollo completo del programa ELECTROMAGNETISMO

13-22, expuesto en forma clara, concisa y llamativa.

Problemas importantes, propuestos en los textos clásicos, que se utilizan en

el desarrollo de la asignatura ELECTROMAGNETISMO 13-22, que se ofrece en la

Universidad Industrial de Santander, como materia básica de servicio para las

distintas Ingenierías, han sido solucionados didácticamente con el fin de mostrar la

correcta aplicación de las fórmulas, mecanizar su empleo, adiestrar al estudiante en

el manejo de las mismas y aumentar su capacidad de razonamiento, para que

adquiera una base sólida que le permita solucionar problemas similares a los enun-

ciados, los cuales incluyen interacciones entre sistemas discretos y continuos con

cargas puntuales, como también diferentes clases de sistemas físicos que

requieren el cálculo de capacidades, diferencias de potencial, energías

potenciales, campos magnéticos, fuerzas electromotrices inducidas, parámetros

magnéticos, solución de circuitos eléctricos y determinación de otras magnitudes

pertinentes.

Además, se incluyen novedosos resúmenes junto con algunas

observaciones, que son útiles para resaltar los tópicos de mayor interés, reforzar

los conceptos y facilitar el aprendizaje.

Al final se presentan algunos modelos de evaluación que constituyen una

guía ejemplar para la preparación de los exámenes parciales, los cuales

contribuirán al mejoramiento del rendimiento académico.




0

Ca

pít

ulo

1.

U n i v e r s i d a d I n d u s t r i a l d e S a n t a n d e r

E s c u e l a d e F í s i c a

l f r a g a r @ g m a i l . c o m m a l l i w i 8 8 @ h o t m a i l . c o m

Resumen:

A lo largo de este primer capítulo se realizara un recorrido (esbozo) histórico a través de los acontecimientos que marcaron el inicio de la teoría del campo eléctrico. De igual forma, durante este capítulo se abordaran las concepciones que son la base de los siguientes capítulos, como es el caso de las leyes de coulomb entre cargas puntuales, distribuciones discretas de carga (superposición) y distribuciones continuas de carga (densidad de carga).

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1

Página en blanco Intencionalmente




2

Ca

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1.

Capítulo 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO

CAPÍTULO 1. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ............................................................................................................. 2

I. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO ........................................................................................................................ 3

1.1. ESBOZO HISTORICO: .................................................................................................................................................. 3

1.2. MATERIA Y CARGA ELECTRICA: ................................................................................................................................. 4

1.3. PROPIEDADES DE LA CARGA: .................................................................................................................................... 4

1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON ............................................................................ 4

1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA: ........................................................................................................................ 4

1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA: ....................................................................................................................... 5

1.3.4. CLASES DE CARGA: .......................................................................................................................................... 5

1.4. UNIDADES DE CARGA: ............................................................................................................................................... 6

1.5. LEY DE COULOMB: ..................................................................................................................................................... 6

1.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO: ........................................................................................ 7

1.7. FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL QJ. .......................... 8

1.8. FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA DQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE

CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL. ........................................................................................................................ 9

1.9. CAMPO ELÈCTRICO.................................................................................................................................................... 9

1.10. LINEAS DE FUERZA: ................................................................................................................................................. 10

1.11. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: ............................................................................................ 11

1.12. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES:............................................................... 12

1.13. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA: ............................................................. 12

1.14. MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS: ............................................................................................. 12

1.15. FLUJO ELÉCTRICO: ................................................................................................................................................... 13

1.16. LEY DE GAUSS: ......................................................................................................................................................... 15

1.17. OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ....................................................................................... 18

1.18. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 19

1.18.1. PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS: .................................................................................................... 19

1.18.2. PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS: ................................................................................. 25

1.18.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ................................................................................................................ 47

1.18.4. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (ley de gauss) ......................................................................................... 62




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.

3

I. CARGA, FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO

1.1. ESBOZO HISTORICO:

La ciencia de la electricidad tiene sus orígenes alrededor del año 600 a. de C., cuando Tales de Mileto observó que cuando se frotaban pedazos de ámbar se podían atraer pedacitos de paja.

CUADRO SINOPTICO SOBRE EL ESBOZO HISTORICO

ELECTRICIDAD MAGNETISMO

Se remonta a Tales de Mileto Se remonta a Plinio (800 A.C)

(600 A.C) quien observo que el quien conocía las propiedades Ámbar frotado atraía pedacitos de la magnetita. de paja.

ELECTROMAGNETISMO

En 1819 Hans Christian Oersted observo que una

corriente

Eléctrica puede afectar la aguja de una brújula.

CONTRIBUYERON AL DESARROLLO DEL

ELECTROMAGNETISMO.

JAMES CLERK MAXWELL Estableció las leyes del electromagnetismo.

OLIVER HEAVESIDE hicieron aclaraciones sobre la teoría de

H.A LORENTZ maxwell.

GUILLERMO MARCONI realizo las primeras transmisiones




4

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1.

El magnetismo se remonta a la observación de piedras como la magnetita (mineral de hierro que consta primordialmente de FeO-Fe2O3), estas dos ciencias estuvieron separadas hasta 1819, cuando Hans Christian Oersted descubrió que un conductor por el que fluye una corriente eléctrica tiene propiedades similares a las de un imán. Poco después, Michael Faraday observó que si se desplaza un imán cerca de un lazo de alambre (una espira) circula por este último una corriente eléctrica. Posteriormente James Clerk Maxwell observó que estos y una gran variedad de hechos experimentales podían correlacionarse mediante las ecuaciones que ordinariamente se conocen como ecuaciones de Maxwell. Maxwell dedujo que si el flujo de la corriente en un alambre varía en el tiempo, se irradian ondas. Veinte años después Heinrich Hertz produjo experimentalmente esas ondas electromagnéticas, del tipo que hoy conocemos como ondas cortas de radio, pero correspondió al italiano Guillermo Marconi realizar las primeras transmisiones inalámbricas. Contribuyeron al desarrollo del electromagnetismo clásico: Oliver Heaveside, H.A. Lorentz y otros. El siguiente cuadro sinóptico ilustra lo expuesto en los párrafos anteriores. Estos cuadros facilitan el aprendizaje y la comprensión de los temas tratados.

1.2. MATERIA Y CARGA ELECTRICA:

La materia está compuesta por tres clases de partículas elementales: el protón, el neutrón y el electrón. Los átomos están compuestos por un núcleo positivo, rodeado por una nube de electrones.

1.3. PROPIEDADES DE LA CARGA:

1.3.1. PROPIEDADES DEL PROTON, EL NEUTRON Y EL ELECTRON

Partícula Símbolo Carga Masa

Protón + e

Neutrón 0

Electrón -e

1.3.2. CUANTIZACION DE LA CARGA:

Experimentalmente se demuestra que el fluido eléctrico no es continuo sino que está formado por un múltiplo de cierta cantidad mínima de carga, la cual se denomina carga fundamental y se le asigna el símbolo e. La carga fundamental es igual a 1.60210x10-19coul. La característica de la carga eléctrica de aparecer en múltiplos de una carga elemental indivisible, se conoce como cuantización de la carga, y se dice que la carga eléctrica está cuantizada en unidades iguales a la carga del electrón.




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.

5

1.3.3. CONSERVACION DE LA CARGA:

La hipótesis de la conservación de la carga ha sido comprobada experimentalmente en eventos a nivel nuclear y atómico, tanto en colisiones como en decaimientos radioactivos y en todas las reacciones nucleares. Ejemplo de colisión: La aniquilación del electrón y el positrón. Al colisionar las partículas, estas desaparecen dando origen a dos rayos gamma dirigidos opuestamente. Teniendo en cuenta que la carga de un fotón es cero. Del principio de conservación de la carga se sigue que:

Carga antes de la colisión = -e + e = O Carga después de la colisión = 0 + 0 = O

Ejemplo de decaimiento radioactivo:

Carga antes del decaimiento = 92 e = 92 protones Carga después del decaimiento = 90e + 2 e = 92 e

Ejemplo de reacción nuclear:

Carga antes de la colisión = 7 e + 0 = 7 e Carga después de la colisión = 6 e + e = 7 e.

1.3.4. CLASES DE CARGA:

Se demuestra que hay dos clases de carga, porque al frotar una barra de vidrio con un pedazo de seda se observa que la barra de vidrio queda cargada positivamente y la seda queda cargada negativamente. Al acercar dos barras de vidrio cargadas de la manera anteriormente indicada, se observa repulsión elec-trostática.

Fig. 1.2.4 Dos barras de vidrio cargadas positivamente se repelen una de otra.




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1.

Similarmente al frotar una barra de caucho con cuero se observa que la barra queda cargada negativamente y el cuero queda cargado positivamente. Dos barras de caucho cargadas de la manera anterior experimentan re-pulsión electrostática. Al acercar una barra de vidrio cargada mediante el frotamiento con seda y una barra de caucho cargada me-diante el frotamiento con cuero se produce atracción. Benjamín Franklin denominó a la clase de electricidad que aparece sobre el vidrio positiva y la que aparece sobre el caucho negativa. Los experimentos anteriores se resumen diciendo:

“Cargas contrarias se atraen y cargas iguales se repelen"

1.4. UNIDADES DE CARGA: En el sistema CGS electrostático, la unidad de carga es el statcoulomb, que se define como la cantidad de carga que a 1 cm de distancia de una carga igual, produce una fuerza eléctrica de repulsión de una dina. La unidad de carga en el sistema internacional (SI) es el Coulomb o también llamado culombio, que se abrevia Coul o C y se define como la cantidad de carga que se transporta en un segundo a lo largo de un alambre por el que circula una corriente de un amperio. El físico estadounidense Murray Gell-man recibió el premio Nobel en 1969, por haber postulado la existencia de ciertas partículas fundamentales, a las que denominó "quarks", cuyas cargas son múltiplos de ± 1/3e. De acuerdo a tales proporciones teóricas, existen seis quarks diferentes: tres ordinarios, de cargas 1/3e -1/3e y 2/3e y tres antiquarks, con cargas de signos opuestos. Además, existen diferentes variedades de quarks: se cree que hay como mínimo seis "sabores", que se denomi-nan "arriba", "abajo", "extraño", "encanto", "fondo" Y "cima". Cada sabor puede tener uno de los tres posibles "colores", rojo, verde y azul. Los quarks son mucho más pequeños que la longitud de onda de la luz visible y, por lo tanto, no poseen ningún color en el sentido normal de la palabra, simplemente son formas de llamar a las nuevas partículas. Un protón o un neutrón están constituidos por tres quarks, uno de cada color. En la colisión entre un protón de alta energía y un antiprotón se produjeron varios quarks casi libres, los cuales fueron detectados por las estelas o "chorros" observados en las fotografías tomadas por los científicos del CERN (Centro Europeo para la investigación nuclear).

1.5. LEY DE COULOMB:

En 1784, el físico francés Charles Augustin de Coulomb, descubrió la ley cuantitativa entre las fuerzas entre dos cargas puntuales, midiendo las fuerzas de atracción y repulsión con un dispositivo llamado balanza de torsión, semejante al aparato utilizado por Cavendish para investigar la acción de las fuerzas gravitacionales La ley de Coulomb establece que la fuerza entre dos cargas puntuales q1 y q2 es directamente proporcional a la magnitud de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Los resultados obtenidos por Coulomb pueden resumirse diciendo:

"La magnitud de la fuerza entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto

de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa"




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.

7

Por lo tanto, tendremos:

Entonces:

Siendo:

La constante de proporcionalidad expresada en el sistema SI, tiene el siguiente valor: Siendo:

0

1

0

1

1.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES EN EL ESPACIO:

Figura 1.6 Fuerza que q2 ejerce sobre ql .

La ley de Coulomb para cargas puntuales, puede formularse concisamente en forma vectorial, mediante:




8

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1.

En donde:

Siendo F12 la fuerza sobre la carga qL , r12 es el vector que va de ql a q2 , r12 es la magnitud de r12 y k es la

constante de proporcionalidad.

La expresión anterior suele escribirse en términos del vector unitario r12 de la siguiente manera:

Si las partículas tienen carga del mismo signo, se repelarán y la fuerza P12 tendrá el sentido de r12. Si las cargas

son de signo opuesto, la fuerza tendrá el sentido de r12 . Esto equivale a decir, que en la expresión de la fuerza

se debe tener en cuenta el signo de las cargas.

1.7. FUERZA QUE UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL qj.

La fuerza sobre la partícula j-ésima debida a un conjunto de N cargas puntuales, se halla mediante la Ley de Coulomb, haciendo uso de una suma vectorial de fuerzas, conocida como principio de superposición, así:

∑

∑

Donde la sumatoria de la derecha se extiende a todas las cargas excepto la j-ésima. Esto

es por supuesto, el principio de superposición de fuerzas, que dice que la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas individuales que actúan sobre él.

El diagrama siguiente muestra la fuerza resultante sobre q. debida a un conjunto de dos cargas puntuales q1 y q2, como puede apreciarse la fuerza Fj es la suma de las fuerzas F1j y F2j debidas a q1 y q2 respectivamente.

1.7 Fuerzas que q1 y q2 ejercen sobre qj




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.

9

1.8. FUERZA QUE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE CARGA dQ PERTENECIENTE A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA EJERCE SOBRE UNA CARGA PUNTUAL.

Fig. 1.8 Fuerza que un diferencial de carga dQ ejerce sobre qj

El diferencial de fuerza está dado por la expresión

∑

Para obtener la fuerza total, que el sistema continuo ejerce sobre la carga puntual q., debe integrarse la expresión anterior teniendo en cuenta la simetría.

En general:

∫

En la expresión anterior el diferencial de carga dQ puede escribirse de acuerdo a la clase de distribución que se tenga, así:

A dl, para una distribución lineal de carga a dA, para una distribución superficial de carga. P dv, para una distribución volumétrica de carga. Donde A es la densidad lineal de carga, o es la densidad superficial de carga y P es la densidad volumétrica de carga. r es un vector unitario de dirección variable, dirigido desde cada dQ hacia la posición de la carga q.

1.9. CAMPO ELÈCTRICO.

La intensidad del campo eléctrico E en un punto dado del espacio se define como la fuerza eléctrica por unidad de carga, es decir:

Y se expresa en newtons por coulomb (N/C).

La definición del campo eléctrico en un punto se escribe en la forma:




10

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1.

12

En donde se incluye el límite para asegurar que la carga de prueba no afecte a la distribución de carga que pro-duce el campo.

1.10. LINEAS DE FUERZA: Es una línea imaginaria dibujada de tal manera que su dirección en cualquier punto es la dirección del campo eléctrico en dicho punto. Estas líneas también se denominan líneas de campo y fueron introducidas por Michael Faraday para visualizar el comportamiento de los campos eléctricos.

Las líneas de fuerza asociadas a una carga puntual positiva q1 son líneas radiales que se dirigen hacia afuera de q1. De manera semejante las líneas de fuerza asociadas con una carga puntual negativa aislada son también radiales, pero esta vez se dirigen hacia la carga negativa.

Las líneas de campo eléctrico se construyen de tal modo que tengan las siguientes propiedades:

En cada punto a lo largo de una línea, la tangente a la línea es paralela al campo eléctrico en ese punto.

El número de líneas del campo eléctrico en cualquier región del espacio es proporcional a la intensidad

del campo eléctrico en esa zona. No hay dos líneas de campo que se puedan cruzar la una con la otra, excepto en un punto en el que exista una partícula cargada.

Todas las líneas de campo son continuas en todas las regiones del espacio que no contengan cargas eléctricas. Por tanto, una línea de campo se debe originar en una partícula con carga positiva y terminar en otra de carga negativa; pero ninguna línea se puede originar o terminar en un punto en el que no haya una carga eléctrica.

Las siguientes figuras muestran una vista plana de las líneas de campo asociadas a ciertas configuraciones de carga.

Fig. 1.10-a Líneas de campo de una Fig. 1.10-b Líneas de campo de una Partícula cargada positivamente. Partícula cargada negativamente.

Fig. 1.10-c Líneas de campo de dos cargas iguales y opuestas.




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.

11

Fig. 1.10-d Líneas de campo de dos cargas positivas.

Fig. 1.10-e Líneas de campo de un disco Fig. 1.10-f Líneas de campo de un plano no conductor. infinito de carga.

La figura 1.10 (a) corresponde a las líneas de campo de una partícula cargada positivamente.

La figura 1.10 (b) corresponde a las líneas de campo de una partícula cargada negativamente.

La figura 1.10 (c) corresponde a la configuración de las líneas de campo de dos cargas iguales y

opuestas.

La figura 1.10 (d) muestra las líneas de campo de dos cargas positivas.

La figura 1.10 (e) ilustra la configuración de las líneas de campo asociadas a una vista de canto de un

disco no conductor.

La figura 1.10 (f) señala la estructura de las líneas de campo de un plano infinito de carga.

1.11. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: El campo eléctrico en el punto r debido a una carga puntual q está dado por la siguiente expresión:

r es un vector unitario dirigido de la carga al punto en consideración. La dirección de E es radial, saliendo cuando q es positiva y entrando cuando q es negativa.




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1.

1.12. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UN CONUNTO DE N CARGAS PUNTUALES: El campo eléctrico en un punto debido a un conjunto de N cargas puntuales, se obtiene sumando vectorialmente los campos debidos a cada una de las cargas, así:

∑ ∑

∑

1.13. CAMPO ELECTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGA:

El campo eléctrico en un punto, debido a un sistema continuo de carga se obtiene mediante la suma (integración) de todas las contribuciones dE debidas a los diferenciales de carga dQ, por tanto:

∫

∫

Según el sistema, el diferencial de carga puede escribirse en términos de la densidad de carga, como: A dl, para una distribución lineal de carga. a dA, para una distribución superficial. P dv, para una distribución volumétrica. En cualquier caso debe tenerse muy en cuenta la simetría.

Fig. 1.13 Campo eléctrico debido a un diferencial de carga dQ

1.14. MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS:

La fuerza ejercida sobre una partícula de carga q, situada en un campo eléctrico g, está dada por:

Esta fuerza produce una aceleración dada por:

Donde m es la masa de la partícula. En el cálculo del movimiento de la partícula en un campo se ignora el campo debido a la misma partícula.




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.

13

1.15. FLUJO ELÉCTRICO: Si una magnitud fluye en el espacio tridimensional, la rapidez a la cual fluye a través de una superficie fija, se denomina flujo.

En un campo eléctrico no existe nada material, ni tampoco fluye nada. Sin embargo, la idea de un flujo eléctrico es muy sugestiva por las similitudes de las líneas de campo eléctrico y las líneas de corriente utilizadas para describir el flujo de fluidos.

Para un campo eléctrico el flujo (I)se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie. Definimos el elemento de flujo eléctrico d 4) que sale a través del elemento de superficie dS, mediante:

En el caso de una superficie finita S, el flujo total se obtiene integrando respecto a la superficie:

∫

Para superficies cerradas el flujo es positivo si las líneas de fuerza apuntan hacia afuera y es negativo si apuntan hacia adentro. Consideremos una superficie cerrada arbitraria inmersa en un campo eléctrico, como lo indica la fig. 1.15-a. Fig. 1.15-a Superficie hipotética inmersa en un campo eléctrico con tres elementos de área sobre su superficie.

Dividamos la superficie en cuadrados elementales A 8, cada uno de los cuales es suficientemente pequeño que pueda considerarse plano, Tal Memento de área puede ser considerado como un vector A S, cuya magnitud es el área A S. La dirección de A S se toma perpendicular a la superficie.

En estas condiciones, la definición aproximada de flujo eléctrico es:

∑

La definición exacta de flujo se encuentra en el límite, reemplazando la suma por una integral sobre la superficie, obteniéndose la siguiente expresión:

∮

El círculo sobre la integral indica que la superficie de integración es una superficie cerrada. La unidad de flujo

es el N-m2 /C.




14

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1.

Si tenemos un elemento de área ΔS asociado con una superficie dada S, en una región donde existe un campo el eléctrico E, definimos el flujo Φ como el producto escalar del campo eléctrico y el elemento de área ΔS, así:

Si θ es el ángulo entre E y ΔS, una forma equivalente de expresar esta definición es la siguiente:

| | | | ( )

El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o cero. Los siguientes dibujos ilustran los diferentes casos:

Fig. 1.15-b Valores del flujo eléctrico según el ángulo entre t y AS

Para calcular el flujo eléctrico que pasa a través de una superficie cerrada imaginaria que rodea una carga q, es particularmente fácil si tomamos como superficie una esfera centrada en la carga. En este caso E es paralelo a dg, por tanto tenemos:

| | | | ( ) Entonces,

∮

Pero E puede sacarse de la integral por cuanto tiene el mismo valor en cualquier punto sobre la superficie centrada en la carga puntual, luego:

| | ∮| |

El valor de la integral es exactamente , o sea, el área total de la esfera. Por consiguiente tenemos:

Utilizando ley de Coulomb evaluamos E para puntos sobre la superficie de la esfera, dando por resultado:




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.

15

Obsérvese cómo el radio de la esfera se elimina en los cálculos y no aparece en la expresión que relaciona el flujo con el valor de la carga fuente q.

Si se tiene un conjunto de n cargas puntuales: q1, q2 ,...,qn, todas dentro de la misma superficie cerrada, el flujo total que pasa por la superficie cerrada, se puede escribir como:

Siendo,

Téngase en cuenta que cuando q es positivo, el flujo eléctrico es positivo y las líneas de campo atraviesan la esfera que rodea la carga en sentido hacia afuera. Cuando q es negativo, el flujo eléctrico es negativo y las líneas de campo atraviesan la esfera en la dirección hacia adentro.

El valor absoluto del flujo eléctrico es en ambos casos igual al número de líneas de campo.

Cuando se trata de cargas positivas tal número es el número de líneas que comienzan en la carga, si la carga es negativa, corresponderá al número de líneas que terminan en la carga.

1.16. LEY DE GAUSS: La ley de Gauss, que se aplica a cualquier superficie hipotética cerrada, establece una conexión entre el flujo eléctrico que atraviesa la superficie y la carga neta encerrada por la superficie. Esto es

∮

En 1839 Karl Friedrich Gauss dedujo esta ley basado en el hecho de que la ley de Coulomb establece que la fuerza eléctrica es exactamente proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. La ley de Gauss se puede probar de la siguiente manera: Consideremos una partícula aislada de carga q situada en un punto O, e imaginémosla rodeada por una superficie cerrada de forma cualquiera, denominada superficie gaussiana. Imaginemos un cono infinitesimal de ángulo sólido dQ que tenga como vértice el punto O.

Fig. 1.16-a Representación geométrica para la prueba de la ley

de Gauss




16

Ca

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ulo

1.

El cono intercepta la superficie en un elemento de área dS. En el punto P, situado a una distancia r, la intensidad del campo eléctrico debido a la carga q es

Si ө es el ángulo existente entre E y ñ en el punto P, entonces

( ) Entonces

En donde la expresión final se obtiene utilizando la definición de ángulo sólido. Integrando la expresión anterior entre los límites y (el ángulo sólido que subtiende cualquier superficie cerrada vista desde un punto en su interior), el flujo total debido a q es

∮

∫

Recordemos que la unidad utilizada para describir los ángulos sólidos es el estereorradián (sr) según la

Fig. 1.16-b Diagrama geométrico para mostrar el ángulo sólido subtendido por los diferenciales de área dS1 y dS2

Cual una esfera subtiende un total de

En la fig. 1.16-b un par de conos de áreas dS1 y dS2 subtienden el mismo ángulo sólido infinitesimal




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.

17

En donde dS1cosθ y dS2cosθ son las proyecciones respectivas de dS1 y dS2 sobre el plano perpendicular al eje de los conos. La importancia del teorema de Gauss estriba en el hecho de que la integral de superficie cerrada de Eds. es igual al número de líneas de fuerza que salen cualquiera que sea la forma de la superficie cerrada. Si se tienen varias cargas, la integral debe realizarse sobre una superficie cerrada que incluya todas las cargas, entonces

∮ ∑

La ley de Gauss se utiliza para determinar el campo eléctrico en problemas de elevado grado de simetría.




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1.

1.17. OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES




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.

19

1.18. PROBLEMAS

1.18.1. PROBLEMAS SOBRE CARGAS ELECTRICAS:

1. ( 1.1 K ) Tres cargas +Q1, -Q2 y +Q3 están espaciadas igualmente a lo largo de una recta tal como se indica en la figura anexa. Si los valores de Q1 y Q2 son iguales, Cuál habrá de ser el valor de Q3 para que la fuerza neta sobre Q2 sea cero?

Solución:

La fuerza neta sobre Q1 debe ser cero, entonces:

| | | |

2. ( 2.3 K ) En un cierto volumen entran mil líneas de fuerza y salen tres mil. Cuál es la carga total en culombios existente en el interior de dicho volumen?

Solución:

| | | |

3. ( 16.1 M ) Una gota de aceite esférica y cargada, con una masa de 10-4 gramos se halla estacionaria en

un campo eléctrico vertical que tiene 200 N/C de intensidad. Determine la carga neta de la gota. Solución:

∑




20

Ca

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ulo

1.

4. ( 16.3 M ) Un anillo circular delgado de 20 cm. De radio tiene una carga por unidad de longitud dada por A = 10-6 cosθ columbios por centímetro, como se ilustra en el diagrama. Calcule la carga total que tiene el anillo.

Solución:

∫ ∫

∫

( )

5. ( 16.5 M ) Un disco circular de 10 cm de radio contiene una carga total de 10-6C. La densidad de carga

superficial Q es directamente proporcional a la distancia r desde el centro del disco. Si r se expresa en centímetros, obtenga el valor de la constante de proporcionalidad. ¿Cuánta carga está contenida en el círculo de 5 cm de radio?

Solución:

( )

( ) ∫ ( )

La carga contenida en un círculo de 5 cm. está dada por:

(

)( )




C

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.

21

6. ( 16.7 M ) Se coloca una placa metálica grande, delgada y con un área de 10 m2, en un campo uniforme perpendicular a su superficie. Si el campo es de 50.000 N/C, halle la carga inducida en su superficie.

Solución:

Usando el teorema de Gauss:

∮ ∮

.

/ (

* ( )

7. ( 29.3 T ) Dos cargas ql y q2 cuando se combinan dan una carga total de 6 C. Cuando están separadas 3 m, la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8 x 10-3N. Hallar q y q si:

a ) ambas son positivas de'modo

2que se repelen entre sí.

b ) Una es positiva y la otra es negativa de modo que se atraen entre sí. Solución:

a)

(1)

(2)

De (2)

Reemplazando en (1):

√( )

( )

Por tanto:




22

Ca

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ulo

1.

b)

(3)

(4)

De (4)

Reemplazando en (3):

√( )

√

Reemplazando este valor en (3):

( √ )

8. ( 16.15 M ) El radio de una esfera conductora es de 1 cm. Determine cuánta carga puede recibir sin

provocar la ruptura eléctrica del aire circundante.

Solución:

Entonces:

(

) ( )

9. ( 26.3 H ) Dos bolas similares de masa m se cuelgan de hilos de seda, de longitud 9. y llevan cargas

similares q, como se muestra en la figura anexa. Supóngase que es tan pequeña, que tan θ puede reemplazarse por seno, por ser aproximadamente igual. Haciendo esta aproximación demuestre que

.

/

donde X es la separación entre las bolas. Si Q = 120 cm, m = 10 gr, y X = 5.0 cm, ¿cuál es q ?




C

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lo 1

.

23

Solución:

a)

∑

(1)

∑

(2)

( )

( )

( )

.

/

b)

.

/

( )(

)( )( )( )

10. ( 16.35 M ) Se carga un conductor esférico aislado de radio r2 hasta que su superficie está al potencial Vo y entonces tiene una carga total ql. Luego se desea poner la carga q en un segundo conductor esférico de radio r2, también aislado e independiente del primero, tal que su potencial superficial alcance el mismo valor Vo. Demuestre que para que esto suceda, q1/q2 = r1/r2. Demuestre también que lo anterior implica que las densidades de carga superficial σ1 y σ2 están relacionadas por σ1/σ2 = r2/r1. Este resultado, que indica que la densidad de carga superficial para un potencial dado, y por tanto para el campo superficial varia inversamente con el radio de curvatura; explica por qué los campos eléctricos




24

Ca

pít

ulo

1.

son muy intensos en la proximidad de objetos conductores con curvas de radio muy pequeño, o sea agudos.

Solución:




C

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.

25

1.18.2. PROBLEMAS SOBRE FUERZAS Y CAMPOS ELECTRICOS:

11. ( 1.3 K ) a) Encontrar la fuerza neta sobre una carga puntual de 2Q culombios situada en el centro de un cua-drado de 20 cm de lado, si se sitúan cuatro cargas puntuales idénticas de Q culombios en las esquinas del cuadrado. b ) Encontrar la fuerza que actúa sobre la carga central cuando se quita una de las cargas de las esquinas.

Solución:

a)

, por simetría

b )

Supongamos que quitamos la carga del extremo superior derecho. Entonces la situación es la siguiente:

√ ( )

√

Por simetría se anulan y ; Entonces:

( )

( )

( )

. √ /

.√

√

/

( )(

√ )

( ) .√ /

( ) ( )

| |

12. (1.5 K) Un anillo circular delgado de 3 cm de radio tiene distribuida uniformemente sobre él una carga

total de 10-3C. Cuál es la fuerza sobre una carga de 10-2C, situada en su centro? Cuál sería la fuerza




26

Ca

pít

ulo

1.

sobre esta carga si estuviera colocada sobre el eje del anillo, pero a una distancia de 4 cm del plano del mismo ?

Solución:

En el primer caso se tiene: Por simetría F = O En el segundo caso se tiene:

( )( )( )

( )( )( ) ∫

13. ( 1.7 K ) Calcular la relación entre la repulsión electrostática y la atracción gravitatoria entre dos

electrones. La carga del electrón es -1,6 x 10-19 culombios y su masa 9,0 x 10-31 Kg. La constante de gravitación universal vale 6,670 x 10-11 N-m2/Kg2.

Solución:

Repulsión electrostática:| | ( )

Atracción electrostática: | | ( )

| |

| |

( )

( )

| |

| |

14. ( 2.13 K ) Un dipolo de momento p = Qa está alineado paralelamente a lo largo del eje x. El campo no es

uniforme y varia a lo largo del eje x, siendo dE/dx = K. Calcúlese la fuerza que actúa sobre el dipolo.

Solución:




C

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lo 1

.

27

( ) ( ) Como:

∫

Luego:

( ) y ( )

15. ( 26.5 H ) Tres bolitas, cada una de masa igual a 10 gr. se cuelgan separadamente de un mismo punto, mediante hilos de seda, cada uno de 1,0 m. de largo. Las bolitas tienen exactamente la misma carga y quedan suspendidas en los vértices de un triángulo equilátero de 0,1 metro de largo cada lado. ¿ Cuál es la carga que tiene cada bola ?

Solución:

√

( )

√ ( ) √ ( ( )) ( )

Pero:




28

Ca

pít

ulo

1.

( )

( )

Pero:

√( ) ( )

( ) (

) ( )

√

Sin hacer la aproximación tan (θ) ≈ seno (θ) se tiene:

( )

√

√

16. ( 26.10 H ) Una cierta carga Q se va a dividir en dos partes: Q-q y q. L Cuál es la relación de Q a q si las

dos partes, separadas una distancia dada, deben producir una máxima repulsión culombiana.? Solución:

( )

17. ( 29.1 T ) Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L,

según se ve en la figura anexa; a ) Hallar el valor y dirección de la fuerza ejercida sobre la carga situada en el vértice inferior izquierdo por las otras cargas. b ) Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es:




C

ap

ítu

lo 1

.

29

Solución:

√

a)

[ ( )( ) ( ( ))]

.

√

/

.

√

/

( )

( )

| |

( )

b)




30

Ca

pít

ulo

1.

( )

( ( ) ( ) ( )( ) )

( )

( ( ) ( ) ( )( ) )

( )

( )

( )

( ( )( ) )

( )

√

( )

.

√( ) ( )/ ( )

(

√ * ( )

18. ( 30.10 T ) Un hilo delgado posee una densidad de carga lineal a y está doblado en forma de arco

circunferencial que subtiende un ángulo 28°, como puede verse en la figura anexa. Demostrar que el campo eléctrico en el centro de curvatura del arco tiene el valor

( )

Solución:

∫

⌈ ⌉

( )

( ( ) ( ))

( )

19. (30.3T) Una carga lineal de densidad A tiene la forma de un cuadrado de lado L, que está contenido en el plano yz y tiene su centro en el origen. Hallar el campo eléctrico en el eje x , a una distancia arbitraria x, y comparar el resultado con el campo en el eje de un anillo cargado del mismo tamaño aproximadamente y que lleva la misma carga total.




C

ap

ítu

lo 1

.

31

Solución:

√ ( )

∫

√ ( )

( ( ) ( ))

√ ( )

( ( ) ( ))

√ ( )

( ( ))

√ ( )

√( )

( )

(

√ ( )

√ ( )

√ ( )

)

[. (

*

/

. (

*

/

]

20. ( 30.1 T ) Demostrar que E en el eje de una carga en forma de anillo tiene sus valores máximo v mínimo para

√

√




32

Ca

pít

ulo

1.

Solución:

∫

( )

( )

( )

( )

‖ ‖

( )

(

( )

+

(

( )

+

(

( )

+

( )

(

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

√

21. ( 16.13 M ) El átomo de hidrógeno en su más bajo estado de energía permitido tiene un electrón cuya

distancia media al protón nuclear es de 0.5 x 10_ 8cm. Calcule el campo eléctrico que produce el protón en el sitio de localización del electrón. Si se supone que este último está en una órbita circular, obtenga su velocidad en Km/h.




C

ap

ítu

lo 1

.

33

Solución:

El campo eléctrico que produce el protón en el sitio del electrón es:

( )

La velocidad del electrón se obtiene así:

√

√( ) ( )

( ) ( )

22. ( 16.11 M ) Una semicircunferencia de radio R tiene una densidad de carga longitudinal uniforme A en

toda su periferia. Demuestre que el campo eléctrico en el centro de la semicircunferencia es:

Solución:




34

Ca

pít

ulo

1.

( ) ∫

( )

∫ ( )

| ( )|

( )

[

]

23. ( 2.15 K ) Una sustancia aislante de forma hemisférica y radio R, lleva distribuida uniformemente sobre

su superficie curva una carga Q. Calcular el campo eléctrico en el centro de la superficie plana que limita el hemisferio.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

Pero, en coordenadas esféricas ( )

( )

( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( )

( )

∫ ( ) ( )

( ) . ( )

/

( )

(

* (

*

. ( )

/ ( )

(

* (

* ( ) [

]




C

ap

ítu

lo 1

.

35

24. ( 2.9 K ) Una varilla en forma de semicircunferencia, como indica la figura anexa, está cargada uniformemente con una carga total de Q culombios. Calcular la intensidad del campo eléctrico en el centro de la curvatura.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( ) ( )

| ( )|

( )

* (

) (

)+ ( )

( )

( ) ( ) (

* (

( ) * ( ) [

]

25. ( 2.5 K ) un anillo circunferencial delgado de 20 cm de radio está cargado con una densidad uniforme de 0 Culombios/m. Si se quita una pequeña parte del anillo de 1 cm de longitud, calcúlese la intensidad del campo eléctrico en el centro del anillo.

Solución:

Teniendo en cuenta la simetría, el campo producido por el arco AC es igual y opuesto al campo producido por el arco BD, entonces el problema se reduce al cálculo del campo producido por el arco AB, así:




36

Ca

pít

ulo

1.

( ) ( )

( ) ( )

∫ ( ) ( ) ( )

( )

( )

(

) ( )

Pero:

( )

( )( ) [

] ( )

26. ( 2.7 B ) Se tiene un arco de circunferencia de carga Q que subtiende un ángulo Y , el resto del anillo tie-

ne una carga -Q. Demuestre que si R es el radio del anillo, el campo eléctrico en el centro está dado por:

‖ ‖ ( )

( )

Solución: De acuerdo a la simetría el sistema se reduce a:

Las contribuciones a los campos de los arcos AB y CD se anulan, entonces:

Pero: ∫ ( )

∫

( )




C

ap

ítu

lo 1

.

37

∫ ( )

( )

( )

( )

* (

) (

) + ( )

(

) ( )

(

) ( )

Además:

∫ ( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( ) (

) ( )

(

) ( )

( ) (

) ( )

(

) [

( ) ] ‖ ‖

( )

( )

27. ( 27.3 H ) Una varilla delgada de vidrio está doblada en forma de una semicircunferencia de radio R. Una carga +Q está uniformemente distribuida a lo largo de la mitad superior y una carga -Q está distribuida uniformemente a lo largo de la mitad inferior, corlo se muestra en la figura anexa. Encuentre el campo eléctrico E en el punto P en el centro de la circunferencia.

Solución:




38

Ca

pít

ulo

1.

∫ ( )

( ( ) ( ) )

(

) * ( (

) (

) )+

De manera análoga:

(

) * (

) ( ) (

)( )+

(

) ( (

)) ( )

( )

( )

28. ( 30.2.15 T ) Un cilindro infinitamente largo de radio R, tiene una densidad de carga volúmica uniforme p .

Demostrar que el campo eléctrico tiene el valor,

E =

Solución:

Para : ∮ ( )

( )

( )

Para : ∮ ∫ ∫ ( )

( ) .

/

( )

29. ( 30.7 T ) Una esfera de radio R, posee una densidad de carga volúmica proporcional a la distancia al centro;

p = Ar para r < R, p = O para r > R, siendo A una constante.

a ) Hallar la carga total sumando las cargas en cortezas de espesor dr y volumen 4irr

2dr.

b ) Hallar el campo eléctrico E tanto en el interior como en el exterior de la distribución de la carga.

Solución:




C

ap

ítu

lo 1

.

39

a)

∫

∫ ( ) ∫

b) r < R :

∮ ∫

∫ ( ) ∫

(

)

r < R :

∮ ( )

30. ( 2.7 K ) En el interior de una esfera de 20 cm. de radio, existe distribuida uniformemente una carga total

de Q Culombios. Calcular la intensidad del campo eléctrico:

a ) En el centro de la esfera. b ) En un punto a 10 cm del centro de la esfera. c ) En un punto de la superficie de la esfera. d ) En un punto a 50 cm del centro de la esfera.

Solución:

a) En el interior de la esfera el campo eléctrico se obtiene usando el teorema de Gauss, así:

∮ ∫ ∫ ( ) ∫

‖ ‖ ( )

‖ ‖

‖ ‖

b) Para r =0,1 m

‖ ‖ ( )

( )

[

]

c) Para r= R m:

‖ ‖

‖ ‖

[

]




40

Ca

pít

ulo

1.

d) Para r = 0,5 m:

‖ ‖

( ) ‖ ‖

[

]

31. ( 16.17 M ) El electrodo conductor esférico de un generador de Van de Graff, está cargado hasta un

potencial de 2 x 106 V. Halle el radio mínimo que debe tener el cascarón esférico para que no ocurra la ruptura eléctrica del aire.

Solución:

Pero la ruptura eléctrica de aire se produce cuando

32. ( 27.15 H ) Un trozo de varilla delgada no conductora de longitud finita tiene una carga q, distribuida -

uniformemente a lo largo de ella. Demuestre que E en el punto P sobre la perpendicular que la bisecta, como lo muestra la figura anexa, está dada por:

√

Demuestre además que cuando . Este resultado se aproxima a :

, el cual aplica para

una varilla de longitud infinita.

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

√

√ ( )




C

ap

ítu

lo 1

.

41

∫

( )

( )

(

) .

√ /

( )

(

√( )

( )

√( ) )

( )

√

( )

Dividiendo por l:

√

( )

√

( )

( )

33. ( 27.23 H ) Demuestre que para puntos distantes, las componentes del campo eléctrico E debido a un

dipolo, están dadas por: donde x y y son las coordenadas del punto mostrado en la figura anexa

.

( )

( )

( )

( )

( )

Solución: Hallamos primero el potencial así:

( ) ( )

( )

( )

. ( )

( )

/




42

Ca

pít

ulo

1.

(

( )

*

(

( )

, ( )

( )

( )

( )

4

( )

5 4 ( )

(

) ( )

( )

( ) 5

4

( )

5

( )

( )

( )

34. ( 29.19 H ) El potencial en un punto situado a una distancia r sobre el eje del disco cargado de radio a,

está dado por:

(√ )

A partir de este resultado demuestre que E para puntos sobre el eje está dado por:

(

√ )

Solución:

(

(√ )*

(

(

( )

( ) )*

(

√ )

35. ( 29.5 T ) Dos cargas iguales q están en el eje y; una está en y = a y la otra en y = -a.

a) Demostrar que el campo eléctrico en el eje x está dirigido a lo largo de dicho eje viniendo E, dada

por:

( )

b) Demostrar que cercano al origen, cuando x es mucho menor que a,

vale

aproximadamente

c) Demostrar que para x mucho mayor que a ( x »a ),

es aproximadamente. Explicar por qué

deberá esperarse este resultado incluso antes de ser calculado.




C

ap

ítu

lo 1

.

43

Solución:

a)

√

( )

b) Si x <<a

( )

c) Si x >> a

( )

Este resultado es equivalente al que se obtendría si se hallara el campo producido por dos cargas puntuales situadas a una distancia x.

36. ( 16.41 M ) En una región del espacio, hay un potencial dado por:

( )

en el que U es una constante.

a ) Evalúe el campo eléctrico dentro de la región. b ) Obtenga la distribución de densidad de carga que da lugar a un potencial de esta forma:

Sugerencia utilice:

√




44

Ca

pít

ulo

1.

Solución:

a)

(

) (

( )

)

( )

( )

b) Usando la primera ecuación de Maxwell en forma diferencial:

[

( )] 0

( ) ( )

.

/1

[

( )] 0

( ) ( ) .

( ) ( )

/1

[

( ) (

)

*]

Tomando los términos hasta el orden

, se tiene:

( )

37. ( 16.43 M ) Una distribución de carga continua esférica simétrica, produce un potencial que varía

proporcionalmente a Ln r ¿Cómo varia el campo eléctrico? L Qué clase de distribución de carga produciría este campo ? .

Solución:

Sea C la constante de proporcionalidad, entonces:

( )

Por tanto, E varia inversamente con r. Además:

∫

∫

∫

Luego ρ es inversamente proporcional a r

2.




C

ap

ítu

lo 1

.

45

38. ( 16.39 M ) Una región del sacio está caracterizada por un potencial V(x) = -30-0.1 volts, en que x está en metros. El potencial es independiente de y y de x. Un protón se halla inicialmente en reposo en el punto x = 10 m, y = z = 0. Obtenga su velocidad cuando llegue al punto x = 1.0 m, y = z = 0 .

Solución:

√ √ ‖

‖

Entonces:

( ) ( ( ))( )

( )( ) ‖ ‖ ( )( )

√ ( )( )( ( ))( ) (

)

39. ( 20.44 G ) La figura anexa, es una esfera de radio a, que contiene

una densidad de carga uniforme Po de la que se corta un orificio esférico de radio c, cuyo centro está situado a la distancia vectorial b del centro de la esfera grande. Demuestre que si r es cualquier punto de la cavidad, entonces el campo eléctrico E de la cavidad es uniforme y tiene el valor,

Solución:

El campo en r se puede obtener mediante el principio de superposición así:

Donde E es el campo debido a una esfera cargada uniformemente de radio:

Situada en b y con densidad de carga -P0 . Entonces:

∮ (

* (

) (

*

.

( ) /




46

Ca

pít

ulo

1.

Análogamente:

∮ (

* ( ) ( ( )

) (

( ) *

( )

( )




C

ap

ítu

lo 1

.

47

1.18.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Tres cargas puntuales están localizadas en los vértices de un triángulo equilátero. Calcule la fuerza neta sobre la

carga de C7 .

SOLUCION:

El campo eléctrico debido a la carga de C2 , es:

rm

CxCmNxr

r

qkE e ˆ

)5.0(

)102)(/109(ˆ

2

6229

21

Pero:

jijir ˆ86.0ˆ5.0ˆ60senˆ60cosˆ00

Luego:

CNjxixE /)ˆ1019.6ˆ106.3( 441

El campo eléctrico debido a la carga de C4 ,es:

rm

CxCmNxr

r

qkE e ˆ

)5.0(

)104)(/109(ˆ

2

6229

21

donde

jijir ˆ86.0ˆ5.0ˆ60senˆ60cosˆ00

Luego:

CNjxixE /)ˆ1023.1ˆ102.7( 542

El campo eléctrico resultante, está dado por:

CNjxixEEE /)ˆ1011.6ˆ1008.1( 4521

Luego la fuerza neta sobre la carga de C7 , es:

C

NjxixCEqF )ˆ1011.6ˆ1008.1)(0.7( 45

NjxixEqF )ˆ102.4ˆ1056.7( 11

7.0 C

60º

y

x

2.0 C -4.0 C

0.5 m

+

+

_




48

Ca

pít

ulo

1.

2. Determine la fuerza eléctrica que una línea finita de carga de longitud l y densidad carga uniforme , ejerce sobre una

carga puntual q situada a una distancia y sobre su mediatriz, como se indica en la figura:

SOLUCION:

)ˆsenˆ(cos ijdFFd

)ˆsenˆ(cos22

ijyx

dxqkFd e

)ˆsenˆ(cos2/

2/

22ij

yx

dxqkFdF

l

l

e

Por simetría, la integral anterior se reduce a:

)ˆ(cos2/

2/

22j

yx

dxqkFdF

l

l

e

Sustituyendo el valor de cos , se sigue que:

jyx

y

yx

dxqkFdF

l

l

eˆ

)(

2/

2/2222

Usando la fórmula de integración:

222

23

22 )( axa

x

ax

dx,

se obtiene:

jl

l

yx

x

y

yqkFdF e ˆ

2/

2/

222

jyl

l

yl

l

y

qkF e ˆ

)2/(

)2/(

)2/(

2/

2222

jyly

lqkF e ˆ

)2/(

1

22

3. Tres cargas de igual magnitud se encuentran en las esquinas de un triángulo

equilátero de lado a.

a) Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P

situado en medio de las dos cargas negativas, en términos de ke ,q y a.

b) ¿Dónde debe situarse una carga de –4qde manera que cualquier carga

localizada en P no experimentará fuerza eléctrica neta?

En el inciso b) deje que la distancia entre la carga q y P sea 1 m.

q

dQ= dx

y

x

+

aa

+q

-q -qp . a/2a/2

y

x




C

ap

ítu

lo 1

.

49

SOLUCION:

a) 321 EEEEP

Pero:

13 EE

Entonces:

)ˆ(

4

22

2

2 j

aa

qkEE eP

)ˆ(3

4

4/3 22j

a

qk

a

qkE e

eP

b) La suma de las fuerzas que actúan sobre la carga Q situada en P debe ser cero. Luego:

2121 0 FFFF

2

)4(

r

qQkEQ eP

33)4(

3

4 22

22arar

r

qQke

a

qkQ e

Como la distancia entre +q y P es m1 , entonces de acuerdo al teorema de Pitágoras:

3

2431

4

22

2 aaa

a

Por consiguiente:

233

2r .

4. Dos esferas pequeñas de masa m están suspendidas de cuerdas de longitud l que están conectadas a un punto común. Una

esfera tiene carga Q; la otra tiene carga 2Q. Suponga que los ángulos 21 y que forman las cuerdas con la vertical son

pequeños.

a) Cómo se relacionan 21 y ?.

b) Demuestre que la distancia entre las esferas es: 3/1

24

mg

lQkr e




50

Ca

pít

ulo

1.

SOLUCION:

2

2

2

1

2

2

mgr

Qk

mg

r

Qk

tan e

e

2

2

2

2

2

2

mgr

Qk

mg

r

Qk

tan e

e

De la figura:

2121 sensen llxxr

)()sen(sen 2121 tantanllr

Pero :

2

2

21

4)(

mgr

Qktantan e

Entonces:

2

24

mgr

Qklr e

Luego:

31

223 44

mg

lQkr

mg

lQkr ee

5. Una barra delgada de longitud l y carga uniforme por unidad de longitud está a lo largo del eje x.

a) Demuestre que el campo eléctrico en el punto P, situado a una distancia y sobre la mediatriz, no tiene componente en x y

está dado por ykE e /sen2 0 .

b) Demuestre, utilizando el resultado del inciso a) que el campo eléctrico producido

por una barra de longitud infinita es ykE e /2 .

SOLUCION:

a) )ˆsenˆ(cos ijEdEd

)ˆsenˆ(cos22

ijyx

dxkEd e

ll

Q 2Qr

x2x1mm

1 2

mg

2

2Q

T

2

22

r

Qke

p

dQ= dx

y

x

y

O

x

l

.




C

ap

ítu

lo 1

.

51

)ˆsenˆ(cos2/

2/

22ij

yx

dxkEdE

l

l

e

Por simetría, la integral anterior se reduce a:

)ˆ(cos2/

2/

22j

yx

dxkEdE

l

l

e

Sustituyendo el valor de cos , se sigue que:

jyx

y

yx

dxkEdE

l

l

eˆ

)(

2/

2/2222

Usando la fórmula de integración:

222

23

22 )( axa

x

ax

dx,

se obtiene:

jl

l

yx

x

y

ykEdE e ˆ

2/

2/

222

jyl

l

yl

l

y

kE e ˆ

)2/(

)2/(

)2/(

2/

2222

jyl

l

y

kE e ˆ

)2/(

2/2

22

jy

kE e ˆsen

20

b) De la figura se ve que:

y

xtan

Por tanto:

2secydxytanx

Luego:

)ˆ(cossec2/

2/

222

2

jytany

dykEdE e




52

Ca

pít

ulo

1.

Teniendo en cuenta que:

22 sec1tan

se sigue que:

2/

2/2/

2/

senˆcos

y

kjd

y

kEdE ee

6. Una bola de corcho cargada, de masa m está suspendida en una cuerda ligera en presencia de un campo eléctrico uniforme,

como se muestra en la figura anexa.

Cuando CNjEiEE yx /)ˆˆ(

, la bola está en equilibrio formando un ángulo con la vertical.

Encuentre:

a) la carga de la bola

b) la tensión en la cuerda.

SOLUCION:

Como la bola está en equilibrio, aplicamos las condiciones de equilibrio

estático traslacional:

0sencos:0 TFFx (1)

0cossen:0 mgTFFy (2)

De (1):

sen

cosFT

Sustituyendo en (2):

mgF

F

cos

sen

cossen

mgFF cotcossen

cotcossen

mgF

cotcossen

mgqEF

y

k

y

kE ee 2

2sen

2sen

q

m

E




C

ap

ítu

lo 1

.

53

cotxy EE

mgq


cosEEx y que senEEy

se obtiene:

cotxy EE

mgq

c) De (1):

sensen

xx qEFT

Insertando el valor de q, obtenido en a), se sigue que:

sencotcossen

xE

EE

mgT


cosEEx y que senEEy

Se obtiene:

cotsensen xy

x

EE

mgET

cossen xy

x

EE

mgET

.

7. Determine el campo eléctrico a una distancia x, sobre el eje de un anillo radio a, que tiene una carga Q distribuida

uniformemente. A qué distancia del centro del anillo se presenta el máximo valor del campo eléctrico y diga cuál es.

SOLUCION:

iax

x

ax

dlkidEEd eP

ˆ)()(

ˆcos2222

iax

x

ax

dlkidEEd eP

ˆ

)()(ˆcos

2222




54

Ca

pít

ulo

1.

i

ax

axkE eP

ˆ

)(

)2(

23

22

i

ax

QxkE eP

ˆ

)( 23

22

La distancia a la cual se obtiene el máximo valor del campo eléctrico se obtiene de acuerdo al criterio de la primera derivada,

así:

0)(

)(3)(0

322

21

22223

22

ax

axxax

dx

dE

Luego simplificando se obtiene:

223 22222 a

xaxxax

El máximo valor del campo eléctrico es:

2

322

322 2/3)2/(

2/

a

Qak

aa

aQkE ee

21

20

21

22 32/342/32/3

2/

aa

Q

aa

QakE e

2036 a

QE

8. Un protón acelera desde el reposo en un campo eléctrico de 640 N/C. Cierto tiempo después su velocidad es 1.2x106 m/s

(no relativista puesto que v es mucho menor que la velocidad de la luz).

a) Encuentre la aceleración del protón.

b) ¿cuánto tarda el protón en alcanzar su velocidad?

c) Qué distancia ha recorrido en ese tiempo?. d) ¿Cuál es su energía cinética en este tiempo?.

SOLUCION:

a) La aceleración del protón está dada por:

kgx

CNCx

m

qE

m

Fa

27

19

1067.1

)/640)(106.1(

210 /1012.6 smxa

idl

ax

xkE eP

ˆ

)( 23

22




C

ap

ítu

lo 1

.

55

b) De la fórmula de la cinemática:

210

6

0/1012.6

/102.1

smx

smx

a

vtatvv

sxt 5109.1

c) La distancia recorrida se obtiene de la expresión:

)109.1)(/1012.6(2

1

2

1 521020 sxsmxattvx

mx 04.11

d) La energía cinética está dada por:

26272 )/102.1)(1067.1(2

1

2

1smxkgxmvK

9. Un protón se mueve a 4.5 x 105 m/s en la dirección horizontal. Entra a un campo eléctrico uniforme de 9.6 x 10

3 N/C

dirigido verticalmente hacia abajo. Ignore todos los efectos gravitacionales y encuentre:

a) El tiempo que tarda el protón en viajar 5.0 cm horizontalmente

b) Su desplazamiento vertical después de que ha recorrido 5.0 cm horizontalmente

c) Las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de que ha recorrido 5.0 cm en la dirección horizontal.

SOLUCION:

a) El tiempo que tarda el protón en viajar 5 cm horizontalmente, se obtiene a partir de la fórmula:

b) El desplazamiento vertical después de que ha recorrido 5 cm horizontalmente se obtiene a partir de:

22

2

1

2

1t

m

eEaty

27

27

319

)101.1(106.1

)106.9)(106.1(

2

1sx

kgx

xCxy

mmmxy 8.5108.5 3

c) Las componentes horizontal y vertical de la velocidad después de haber recorrido 5.0 cm en dirección horizontal, son:

smxvvx /105.4 5

JxK 151020.1

sxsmx

m

v

xtvtx 7

5101.1

/105.4

05.0




56

Ca

pít

ulo

1.

ym

eEayvy 22

)108.5(106.1

)106.9)(106.1(2 3

27

319

mxkgx

xxvy

./1005.1 5 smxvy

10. Considere un cascarón cilíndrico circular recto con una carga total

Q, radio R y altura h. Determine el campo eléctrico en un punto a una

distancia d del lado derecho del cilindro, como se indica en la figura

anexa. Resuelva el mismo problema suponiendo que el cilindro es

sólido.

SOLUCION:

Sabemos que el campo eléctrico debido a un anillo de radio R y carga Q a una distancia x sobre el eje, está dado por:

i

ax

QxkE eP

ˆ

)( 23

22

Para el caso presente, haciendo la correspondiente analogía, la contribución al campo de un diferencial de carga dQ, esta

dado por:

i

Rx

xdAkEd eP

ˆ

)( 23

22

Teniendo en cuenta que el diferencial de área es:

dxRdA )2(

Se sigue que:

i

Rx

dxxRkEd eP

ˆ

)(

)2(

23

22

Integrando con respecto a x, se tiene:

i

Rx

xdxRkE

hd

d

ePˆ

)(

)2(

23

22

Dividiendo por 2 antes de la integral y multiplicando por 2 dentro de la integral, para completar la derivada interna, se sigue

que:

i

Rx

xdxRkE

hd

d

eP

ˆ

)(

2

2

)2(

23

22




C

ap

ítu

lo 1

.

57

La integral que se obtiene es inmediata y tiene la forma :

1

1

n

vdvv

nn

Luego:

id

hdRxRkE eP

ˆ2/1

)()(

21

22

id

hdRxRkE eP

ˆ)()2( 21

22

Multiplicando y dividiendo por h y teniendo en cuenta que

hRQ 2 ,

se obtiene:

iRhdRdh

QkE eP

ˆ)()( 21

2221

22

Para determinar el campo producido por el cilindro macizo debemos buscar primero el campo producido por un disco, así:

23

22

)(

rx

xdAkEd e

Pero el diferencial de área está dado por:

drrdA 2

Luego:

23

22

)2(

rx

xdrrkEd e

Integrando con respecto a r, se obtiene:

R

e i

rx

rdrxkE

0 23

22

ˆ

)(

2

La integral es inmediata, tiene la forma:

1

1

n

vdvv

nn




58

Ca

pít

ulo

1.

Por lo tanto:

iRrx

xkE eˆ

02/1

)( 21

22

iRx

x

x

xkE e

ˆ222


2R

Q

,

se sigue que:

iRx

x

x

x

R

QkE e

ˆ2222

Esta expresión nos sirve para calcular el diferencial de campo producido por un diferencial de carga del cilindro macizo, así:

iRx

x

x

x

R

dQkEd e

ˆ2222


dxRdQ 2

iRx

x

x

x

R

dxRkEd e

ˆ2222

2

Integrando con respecto a x, se obtiene:

iRx

xdxdxkE

hd

d

hd

d

eˆ2

22

id

hdRxdhdkE e

ˆ)(2 22


hR

Q2

,

iRdRhdhkE eˆ)(2 2222




C

ap

ítu

lo 1

.

59

se sigue que:

iRhdRdhhR

QkE e

ˆ)(2 2222

2

11. Una partícula cargada negativamente –q, se coloca en el centro de un anillo cargado uniformemente, el cual tiene una

carga positiva total Q. La partícula restringida a moverse a lo largo del eje x se desplaza una distancia pequeña x a lo largo

del eje (donde x<<a) y se libera. Demuestre que la partícula oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje x y

con una frecuencia dada por:

21

32

1

ma

qQkf e

SOLUCION:

La fuerza que el campo eléctrico, debido al anillo, ejerce sobre la carga –q es:

i

ax

QxkqEqF e

ˆ

)( 23

22

De la segunda ley de Newton

amF

Luego:

imaami

ax

Qxkq e

ˆˆ

)( 23

22

Por tanto:

ma

ax

Qxkq e

2

322 )(

Teniendo en cuenta que

2

2

dt

xda ,

se sigue que:

0

)( 23

222

2

ax

xqQk

dt

xdm e

Según el enunciado del problema ax , entonces podemos hacer la




60

Ca

pít

ulo

1.

siguiente la aproximación 222 aax .

032

2

a

xqQk

dt

xdm e

Entonces, dividiendo por m:

032

2

xma

qQk

dt

xd e

Que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple con frecuencia angular natural de oscilación dada por:

30ma

qQkw e

Usando la definición de frecuencia angular en función de la frecuencia fw 2 , se sigue que:

3

0

2

1

2 ma

qQkwf e

.

12. Cada uno de los electrones en un haz de partículas tiene una energía cinética de 1.6 x10-17

J. ¿Cuáles son la magnitud y la

dirección del campo eléctrico que detendrán estos electrones en una distancia de 10.0 cm?

SOLUCION:

La energía cinética de una partícula en función del campo eléctrico, puede expresarse mediante:

qExK

Luego, despejando el campo eléctrico, se tiene:

qx

KE

Por tanto:

C

N

mCx

JxE 3

19

17

10)1.0)(106.1(

106.1

La dirección del campo debe ser en la misma dirección del haz de electrones, porque en dirección contraria lo aceleraría.

13. Cada uno de los electrones en un haz de partículas tiene una energía K. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo

eléctrico que detendrá estos electrones en una distancia d?.




C

ap

ítu

lo 1

.

61

SOLUCION:

La energía cinética de una partícula carga dentro de un campo eléctrico está dada por:

qEdK

Luego:

qd

KE

El campo debe ser paralelo a la velocidad de la partícula.

14. Un protón se lanza en una dirección x dentro de una región de un campo eléctrico uniforme ./ˆ106 5 CNixE

El

protón viaja 7.0 cm antes de detenerse. Determine a) La aceleración del protón, b) su velocidad inicial, y c) el tiempo que

tarda en detenerse.

SOLUCION:

a) La fuerza que un campo eléctrico ejerce sobre una partícula cargada está dada por:

EqF

De la segunda ley de Newton:

amF

Por tanto, igualando las dos expresiones anteriores:

m

EqaamEq

.106.1

ˆ)/106)(106.1(27

519

kgx

iCNxCx

m

Eqa

213 /106 smxa

b) De la fórmula de la cinemática axvv 22

02 , para velocidad final nula axv 2

20

Luego:

)07.0)(/106(22 2130 msmxaxv

smxv /108.2 60

c) Para determinar el tiempo que tarda en detenerse la partícula, usamos la ecuación de la cinemática:

atvv 0 .




62

Ca

pít

ulo

1.

Como la velocidad final es cero, se obtiene:

sxsmx

smx

a

vt 8

213

60 1066.4

/106

/108.2

15. Un cono de radio R en la base y altura h está sobre una mesa horizontal , y un campo eléctrico uniforme horizontal E

penetra el cono, como en la figura anexa. Determine el flujo eléctrico que entra al cono.

SOLUCION:

El flujo eléctrico que entra al cono está dado por:

AdEe

Pero como puede verse, el valor del flujo corresponde al producto

del campo eléctrico por el área del triángulo perpendicular a la

dirección del campo, así:

ERhh

REEAe

22

1.18.4. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (ley de gauss)

1. Determine el campo eléctrico en el interior y en el exterior de una esfera aislante de densidad de carga uniforme , radio

a y carga total positiva Q.

SOLUCION:

a) Para puntos situados en el exterior de la esfera Rr , la esfera se comporta

como si fuera una carga puntual, veámoslo:

0/QAdE

.

Pero:

EdAAdEAdE 00cos

.

Entonces:

0/QdAE .

Además:

24 rdA ,

Entonces:

02 /)4( QrE .

a

r




C

ap

ítu

lo 1

.

63

Despejando E , se obtiene:

Rrr

QE ;

4

12

0.

b) Para puntos situados en el interior se debe calcular la carga situada en el interior de la superficie gaussiana usando la

densidad de carga, así:

0

3

0

)3/4(

rQAdE in


EdAAdEAdE 00cos

Se sigue que:

0

3

3

2 )3/4(

3

4)4(

r

a

QrE

Rra

Qrk

r

a

QE e ;

4 30

3

Esto significa que cuando se hace la gráfica del campo eléctrico dentro de la esfera aislante de radio a en función de la

distancia r, es una línea recta.

2. Calcule el campo eléctrico debido a un cascarón esférico delgado, de radio a y carga

total Q distribuida uniformemente sobre su superficie, en puntos interiores y

exteriores.

SOLUCION:

a) Para puntos exteriores el cascarón esférico se comporta como una carga puntual,

veámoslo:

Usando la ley de Gauss, se sigue que:

0/QAdE

Pero:

EdAAdEAdE 00cos

Entonces:

0/QdAE

Además:

24 rdA

E

ar

2r

QkE e

3a

QrkE e

a




64

Ca

pít

ulo

1.

Luego:

02 /)4( QrE

Despejando E, se obtiene:

Rrr

QE ;

4

12

0

b) Para puntos situados dentro del cascarón el campo eléctrico es nulo. Veámoslo:

De la ley de Gauss:

0/QAdE

Pero, la superficie gaussiana, en esta oportunidad no envuelve ninguna carga eléctrica, puesto que en los conductores toda la

carga se localiza sobre su superficie, por tanto:

00 EAdE

.

3. Determine el campo eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga positiva con densidad lineal de carga uniforme

.

SOLUCION:

Aplicando la ley de Gauss, se obtiene:

0

0/

lQAdE in

Debemos tener en cuenta que la integral cerrada se reduce solamente a la integral sobre la

superficie lateral de la superficie gaussiana cilíndrica. Por lo tanto se obtiene:

0/)2( lrlE

Luego:

0)2(

rE

O también:

rkE e

2

4. Determine el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor con densidad superficial de carga uniforme .

SOLUCION:

De la ley de Gauss se sigue que:

0/ AAdE

.

Integrando sobre las dos bases del cilindro de área A, se sigue que:

0/2 AEA




C

ap

ítu

lo 1

.

65

Simplificando por A, se obtiene:

02/ E .

5. Determine el campo eléctrico debido a una lámina conductora infinita de densidad

superficial de caga uniforme , justo en el exterior del conductor.

SOLUCION:

De la ley de Gauss:

0/inQAdE

Luego, teniendo en cuenta que en el interior del conductor el campo eléctrico es nulo, se

obtiene:

0

0/

EAEA

6. Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio R con densidad de carga uniforme . Encuentre el campo

eléctrico a una distancia r del eje donde r<R.

SOLUCION:

De la ley de Gauss:

0/inQAdE

La carga en el interior de la superficie cilíndrica gaussiana es:

)( 2lrQin

Luego:

02 /)()2( lrrlE

Entonces,

02/ rE .

7. Un alambre largo y recto está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide con el eje del alambre. El alambre

tiene una carga por unidad de longitud y el cilindro tiene una carga neta por unidad de longitud 2 . De acuerdo con esta

información utilice la ley de Gauss para encontrar: a) la carga por longitud unitaria en las superficies interior y exterior del

cilindro, y b) el campo eléctrico fuera del cilindro a una distancia r del eje.

SOLUCIÓN:

a) En el interior de la superficie del cilindro se induce una carga - , que hace aparecer una carga en el exterior del

cilindro que al sumarla con la ya existente 2 , da un resultado de una carga neta en el exterior igual a 3 .

b) El campo eléctrico fuera del cilindro a una distancia r perpendicular al eje se obtiene a partir de la ley de Gauss, así:




66

Ca

pít

ulo

1.

0

0

3/

lQAdE

Teniendo en cuenta que la integral cerrada se reduce solamente a la superficie lateral de la superficie gaussiana cilíndrica, se

obtiene:

0/3)2( lrlE

Entonces, despejando E, se obtiene:

rE 02/3

8. Una carga puntual Q se localiza justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como se muestra en la

figura anexa. ¿Cuál es el flujo eléctrico a) a través de la superficie curva, y b) a través de la cara plana?.

SOLUCION:

a) Como 0 , el flujo eléctrico que atraviesa la superficie curvada es:

)2( 2

2R

R

QkEdAAdE ee

b)Teniendo en cuenta que el flujo neto que atraviesa toda la superficie es nulo, puesto que no encierra ninguna carga neta,

tendremos:

0supsup planacurva

Entonces:

0

supsup2

Q

curvaplana

9. Una esfera aislante sólida de radio a tiene una densidad de carga uniforme y una carga total Q, concéntrica con ella está

una esfera hueca conductora descargada cuyos radios interior y exterior son b y c, como se muestra en la figura anexa,

Determine la magnitud del campo eléctrico en las siguientes regiones:

a) Para: ,.ar

b) ,bra

c) Para crb

d) cr

e) Determine la carga inducida por área unitaria en las superficies interior y exterior

de la esfera hueca.

00 24

1)2()2(

QQQkee




C

ap

ítu

lo 1

.

67

SOLUCION:

a) Para r<a, tenemos:

0

3

0

)3/4(

rQAdE in

Entonces:

00

32

33

4)4(

rE

rrE

b)Para a < r < b:

0

2

0

)4(

QrE

QAdE

Entonces:

2204 r

Qk

r

QE e

c) Para b <r <c, el campo eléctrico es nulo, porque dentro de un conductor el campo es cero.

e) Para r > c:

0

2

0

)4(

QrE

QAdE

Entonces:

2204 r

Qk

r

QE e

e) La carga inducida en el interior de la esfera conductora es Qint = - Q, y en la superficie exterior se induce una carga Qext =Q

10. Una esfera de radio 2a.está hecha de un material no conductor que tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ,

(suponga que el material no influye en el campo eléctrico). Una cavidad esférica de radio a se separa después de la esfera,

como se indica en la figura.

Demuestre que el campo eléctrico dentro de la cavidad es uniforme y está dado

por 03/y0 aEE yx . (Sugerencia: El campo dentro de la cavidad

es la superposición del campo debido a la esfera original sin corte, más el campo

debido a una esfera del tamaño de la cavidad con una densidad de carga

negativa uniforme ).

SOLUCION:

00

2133

)(

rraEEE

0

213

aEEE

03

ˆ

jaE

y

x

2a

a

r




68

Ca

pít

ulo

1.

11. Una placa de material aislante (infinita en dos de sus tres dimensiones) tiene una densidad de carga positiva uniforme .

Una vista de canto de la placa se muestra en la figura anexa. a) Demuestre que el campo eléctrico a una distancia x de su

centro y en el interior de la placa es 0/ xE b) Suponga que un electrón de carga –e y masa m se coloca dentro de la

placa. Si se suelta desde el reposo a una distancia x del centro, demuestre que el electrón exhibe movimiento armónico

simple con una frecuencia :

02

1

m

ef

SOLUCION:

a) De la ley de Gauss:

0

2

0

)2(

xLQAdE in

0

222 2

xLELEL

00

22 2

2

xE

xLEL

b) Cuando el electrón es desplazado una distancia x > 0, experimenta una fuerza eléctrica dada por:

amix

eEeF

ˆ0

im

xea ˆ

0

La ecuación anterior corresponde a la ecuación de un oscilador armónico simple con una frecuencia angular:

0

0

0 2 fm

ew

Luego:

0

02

1

m

ef .

12. Dos láminas no conductoras infinitas con densidad superficial de carga uniforme

están situadas una al frente de otra como se muestra en la figura anexa.

Determine el valor del campo eléctrico en puntos

a) a la izquierda,

b) entre las láminas

c) a la derecha de las dos láminas.

Ox

y

d

2x

L




C

ap

ítu

lo 1

.

69

SOLUCION:

La magnitud del campo eléctrico para cualquier punto próximo a cualquier lámina no conductora está dado por:

0

E

.

a) Usando el principio de superposición a la izquierda de las láminas se sigue que:

)ˆ(2

)ˆ(2 00

21 iiEEEizq

)ˆ()ˆ(2

200

iiEizq

b) Entre las dos láminas, el campo eléctrico se calcula haciendo uso nuevamente del principio de superposición, así:

c) El campo eléctrico a la derecha de las láminas se calcula usando el principio de superposición, así:

)ˆ(2

)ˆ(2 00

21 iiEEEizq

)ˆ()ˆ(2

200

iiEizq

13. Una esfera de radio R rodea a una carga puntual Q, localizada en su centro.

a) Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de medio ángulo ,

ver figura anexa, es:

)cos1(2 0

Q

b)¿Cuál es el flujo para =900 y c) para =180

0.

SOLUCION:

a) De acuerdo a la definición de flujo eléctrico

EAEdAAdEe

)cos)(2(4 2

0

RRRR

QEAe

0)ˆ(2

)ˆ(2 00

21 iiEEEizq




70

Ca

pít

ulo

1.

)cos1(2 0

Q

e

b) Para cuando = 900, sustituimos en la expresión anterior, teniendo en cuenta que cos 90

0 = 0. Luego:

02

Qe

c) Análogamente, para =1800, Tenemos en cuenta que cos (180

0)=-1, entonces:

002

2

QQe

14. Un cilindro aislante infinitamente largo de radio R tiene una densidad volumétrica de carga que varía con el radio como:

)(0b

ra donde ba y,0 son constantes positivas y r es la distancia desde el eje del cilindro.

Utilice la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo eléctrico

a distancias radiales

a) r < R

b) r>R.

SOLUCION:

a) Para r < R:

Utilizando la ley de Gauss, tenemos:

0

0

0

r

in

dvQ

AdE

rdlrb

rarlE

r

)2()()2(

00

0

r r

rdb

rrdra

lrlE

0 0

2

0

02)2(

3

1

2

32

0

0 r

b

rarE

3

1

2

2

0

0 r

b

raE

b) Para r > R, se tiene:




C

ap

ítu

lo 1

.

71

0

0

0

R

in

dvQ

AdE

drrlb

rarlE

R

)2()()2(

00

0

R R

drb

rrdra

lrlE

0 0

2

0

02)2(

3

1

2

32

0

0 R

b

RarE

3

1

2

32

0

0 R

b

Ra

rE

r r

rdb

rrdra

lrlE

0 0

2

0

02)2(

3

1

2

32

0

0 r

b

rarE

3

1

2

2

0

0 r

b

raE

15. La figura anexa muestra un semicascarón esférico de radio R y densidad superficial constante.

Hallar el campo para un punto ubicado en el origen.

SOLUCION:

Para un punto situado en el origen se tiene:

)ˆ(cos jdEEd C

)ˆ(cos2

jR

dAkEd eC

Teniendo en cuenta que el diferencial de área en coordenadas esféricas está dado por:

ddRdA sen2




72

Ca

pít

ulo

1.

2

0

2/

02

2 cossenˆ

R

ddRkjE eC

2/

0

)ˆ(cossen)2(

jdkE eC

)ˆ(0

2/

2

sen2

2

jkE eC

)ˆ(4

)ˆ(0

jjkE eC

16. Una línea de carga positiva se forma dentro de una semicircunferencia de radio R=60 cm., como se muestra en la figura

anexa. La carga por unidad de longitud a lo largo de la figura se describe por medio de la expresión cos0 . La

carga total en el semicírculo es 12 C. a) Calcule la fuerza total en una carga de 3 C situada en el centro de curvatura.

SOLUCION:

a) La fuerza total ejercida sobre la carga de 3 C, se obtiene a partir de la fuerza que un elemento diferencial de carga de la

semicircunferencia ejerce sobre la carga puntual, así:

)ˆ(cos jdFFd

)ˆ(cos)(

2j

R

dlqkFd e

Integrando se obtiene la fuerza total sobre la carga puntual q.

Teniendo en cuenta que Rddl , se sigue que:

)ˆ(cos

2/

2/

2

2

0 jdRR

qkF e

)ˆ(cos

2/

2/

20 jdR

qkF e

)ˆ(2

cos12/

2/

0 jdR

qkF e

)ˆ(cos2

1

2

12/

2/

2/

2/

0 jddR

qkF e

)ˆ(sen2

1

2 2/

2/0 j

R

qkF e




C

ap

ítu

lo 1

.

73

)ˆ(12

0 jR

qkF e

)ˆ(126.0

103)109( 0

69 jN

xxF

Pero como lo veremos más adelante

mC /10 50

,

luego:

)ˆ(12

101045 53 jNxxF

)ˆ(15.1 jNF

El cálculo de 0 se realiza de la siguiente manera:

dldQdl

dQ coscos 00

Teniendo nuevamente en cuenta que Rddl , se obtiene que:

2/

2/

0 )cos(

RddQQ

RRQ 02/

2/

0 2sen

Luego:

mCm

Cx

R

Q/10

)6.0(2

1012

2

56

0

.

17. Una esfera aislante sólida de radio R tiene una densidad de carga no uniforme que

varía con r de acuerdo a la expresión 2Ar , donde A es una constante y r < R se

mide desde el centro de la esfera.

a) Demuestre que el campo eléctrico exterior a la esfera es ).5/( 20

5 rARE

b) Muestre que el campo eléctrico en el interior de la esfera es )5/( 03 ArE

R

r

r




74

Ca

pít

ulo

1.

SOLUCION:

a) Para r > R, el campo eléctrico se obtiene a partir de la ley de Gauss, así:

0

0

0

R

in

dvQ

AdE

R

drrArrE

0

22

0

2 )4(1

)4(

20

55

02 55

1

r

ARRA

rE

b) Para r < R, el campo eléctrico se obtiene utilizando la ley de Gauss, así:

0

0

0

r

in

dvQ

AdE

R

rdrrArE

0

22

0

2 )4(1

)4(

0

35

02 55

1

ArrA

rE

.

18. Considere una caja triangular cerrada que descansa dentro de un campo eléctrico horizontal de magnitud

CNxE /108.7 4 , como se muestra en la figura anexa.

Calcule el flujo eléctrico a través de

a) la superficie vertical,

b) la superficie inclinada,

c) toda la superficie de la caja.

SOLUCION:

a) El flujo eléctrico a través de la superficie vertical viene dado por:

vvve EAAEAE 0180cos

CmNe /2340 2

)03.0)(/108.7( 24 mCNxe




C

ap

ítu

lo 1

.

75

b) El flujo eléctrico a través de la superficie inclinada está dado por:

060cosinclincle AEAE

)5.0)(06.0)(108.7()5.0( 4xEAincle

CmNe /2340 2

El área de la superficie inclinada se obtiene teniendo en cuenta que:

Por tanto el área de la superficie inclinada es: 206.0)3.0()2.0( mmxmAincl

c) El flujo eléctrico sobre toda la superficie de la caja está dado por:

023402340 entrassalee

19. Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de radio R a una distancia b del plano del disco (ver figura anexa).

Muestre que si un cuarto del flujo eléctrico de la carga pasa por el disco, entonces

bR 3 .

SOLUCION:

El flujo total que produce la carga está dado por:

0

Q

AdEe

0

2

2)4(

Qr

r

Qkee

Un cuarto de este flujo, que es el que pasa por el disco y que denotaremos por ed ,

corresponde a:

0

2

2 4

1

4

)4(

Qr

r

Qkeed

Esto significa que un cuarto del flujo eléctrico producido por la carga Q pasa por la cuarta

parte del área de la esfera de radio r. Como se sabe, el área de un casquete esférico como

el que se muestra en la figura anexa, está dado por: Rh2 .

Luego un cuarto del área de la esfera es igual al área del casquete esférico, así:

rhr 2)4(4

1 2

mm

hiphip

m2.0

5.0

1.01.060cos 0




76

Ca

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ulo

1.

Luego simplificando se obtiene:

22

rhhr

Como

2

rh ,

entonces

2

rhb

Usando el teorema de Pitágoras y teniendo en cuenta la expresión anterior se sigue que:

2

222

2

rRbRr

Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes, se obtiene:

hrRRr 32

3

4

3 22

20. Un cono de radio R en la base y altura h está sobre una mesa horizontal

, y un campo eléctrico uniforme horizontal E penetra el cono, como en la

figura anexa. Determine el flujo eléctrico que entra al cono.

SOLUCION:

El flujo eléctrico que entra al cono está dado por:

AdEe

Pero como puede verse, el valor del flujo corresponde al producto del campo eléctrico por el área del triángulo perpendicular

a la dirección del campo, así:

ERhh

REEAe

22

21. La línea ag en la figura anexa es una diagonal del cubo, y una carga puntual q se localiza muy cerca del vértice a (en la

extensión de ag), como puede verse en la figura anexa.

Determine el flujo eléctrico a través de cada cara del cubo.

SOLUCION:

Si la carga q estuviera exactamente en el vértice a, el flujo en las caras A, B y C sería

nulo, puesto que las líneas de campo serían perpendiculares al vector área de cada

superficie.

q

A

B C

a

g




C

ap

ítu

lo 1

.

77

En tal caso el flujo que saldría por las otras tres caras sería

08

1

qe , ya que la carga q al colocarse en el vértice,

distribuiría su flujo sobre ocho cubos idénticos.

Esto significa que por cada una de las tres caras saldría un flujo igual a

024

1)(

qcarae .

Como la carga no está en el vértice a del cubo sino fuera del el, debe cumplirse que el flujo neto que atraviesa al cubo debe

ser nulo. Esto significa que el flujo eléctrico que entra debe ser igual al flujo eléctrico que sale, por tanto, por cada una de las

caras A, B y C entrará un flujo igual a

024

1)(

qcarae , y por cada una de las tres caras restantes saldrá un flujo igual a

024

1)(

qcarae . Esto quiere decir que el flujo total que entra al cubo es

08

1

qentra , y el flujo total que sale del

cubo es

08

1

qsale

22. Cuatro superficies cerradas S1 a S2, junto con las cargas –2Q, Q y –Q se dibujan en la figura anexa. Encuentre el flujo

eléctrico a través de cada superficie

SOLUCION:

El flujo eléctrico a través de la superficie S1 es:

00

2

QQQe


00

QQ

e


00

22

QQQQe


00

0

e

23. Si el campo eléctrico constante de la figura anexa tiene una magnitud E0, , calcule el flujo eléctrico total a través de la

superficie paraboloide.

S4

s

S2

S1

S3

-2Q

+Q

-Q

E0

r




78

Ca

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ulo

1.

SOLUCION:

El flujo eléctrico que sale por la superficie paraboloide es igual al flujo

eléctrico que entra por la base circular del paraboloide con signo contrario,

por tanto:

)( 20 rEe

24) Tres cargas puntuales q, -2q y q se localizan a lo largo del eje x, como se

muestra en la figura anexa. Muestre que el campo eléctrico en P (y>>a) a lo

largo del eje y es:

jy

qakE e

ˆ3

4

2

SOLUCION:

Los campos eléctricos producidos p

En la figura anterior se muestran los campos eléctricos debidos a las tres cargas eléctricas.

El campo eléctrico en el punto P está dado por:

321 EEEE

Pero:

jiya

qkE e

ˆcosˆsen)( 221

)ˆ(2

22 jy

qkE e

jiya

qkE e

ˆcos)ˆ(sen)( 223

Luego sumando y reduciendo términos semejantes:

jy

qkj

ya

qkE ee

ˆ2ˆcos2)( 222


22cos

ya

y

jya

y

yayqkE e

ˆ)(

112

22222

j

y

ayayqkE e

ˆ

1

1

)(

112

2

2222

y

q -2q q

x

y

P 0

a a

y

q -2q q

x

y

P 0

a a

E1

E2

E3




C

ap

ítu

lo 1

.

79

Haciendo la siguiente aproximación:

2

2

2

2

2

111

y

a

y

a

se tiene:

j

y

ayayqkE e

ˆ

)2

11(

1

)(

112

2

2222

j

ayy

aa

yqkE e

ˆ

)2

1

2

1(

112

22

2

42

2

Reduciendo términos semejantes:

j

yayqkE e

ˆ

)2

3(

112

222

Haciendo común denominador:

j

yay

yya

qkE eˆ

)2

3(

2

3

2222

222

Haciendo la aproximación

222

2

3yya j

y

aqkE e

ˆ3

4

2




Resumen:

En el presente capitulo se abordara el concepto de potencial eléctrico inherente con la existencia de campo electrico en el espacio, bien sea debido a arreglos de carga puntuales o distribución de cargas. Por otra parte, se busca que al final del estudio de este capítulo, se comprendan los conceptos físicos de gradiente, superficies de potencial y energía electrostática almacenada en el espacio ante la presencia y existencia de campo eléctrico.

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2

POTENCIAL ELÉCTRICO Cap. 2



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2.

81





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2.

82

Capítulo 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO .................................................................................................................................. 82

II. POTENCIAL ELÉCTRICO .............................................................................................................................................. 83

2.1. INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................................... 83

2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL ..................................................................................................................................... 83

2.3. POTENCIAL EN UN PUNTO ...................................................................................................................................... 84

2.4. POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL Q. ............................... 84

2.5. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES (SISTEMA DISDRETO) ................. 85

2.6. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA .................................................. 86

2.7. EJEMPLOS SOBRE CÁLCULO DE POTENCIALES ......................................................................................................... 86

2.7.1. DETERMINAR EL POTENCIAL DE UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DE UNA CARGA PUNTUAL Q. .. 86

2.7.2. DETERMINAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA X, DENTRO DE DOS PLACAS

CONDUCTORAS DE DENSIDADES CARGA IGUALES Y OPUESTAS , SI SU SEPARACIÓN D ES MUCHO MENOR QUE SUS

DIMENSIONES GLOBALES. EL CAMPO ES UNIFORME, SIENDO , Y . VER FIG. (2.7.2) ..... 87

2.7.3. HALLAR EL POTENCIAL EN EL PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DEL ANILLO CARGADO, DE CARGA Q Y

DENSIDAD UNIFORME DE CARGA Λ = A, INDICANDO EN LA FIG. (2.7.3) ........................................................... 87

2.7.4. HALLAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DE UN DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE DE

RADIO A DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA UNIFORME , COMO SE MUESTRA EN LA FIG. (2.7.4) .. 88

2.7.5. HALLAR LA DIFERENCIA DE POTENCIAL EN LAS PROXIMIDADES DE UNA LÍNEA DE CARGA DE DENSIDAD

UNIFORME Λ. .................................................................................................................................................................. 89

2.8. CÁLCULO DEL POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO ELECTRÓNICO ............................................................................. 89

2.9. SIGNIFICADO FÍSICO DE GRADIENTE ....................................................................................................................... 91

2.10. SUPERFICIES EQUI-POTENCIALES ............................................................................................................................ 91

2.11. POTENCIAL DE UN CONDUCTOR ............................................................................................................................. 92

2.12. DIPOLO ELECTRICO .................................................................................................................................................. 92

2.13. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA .................................................................................................................. 93

2.13.1. ENERGÍA POTENCIAL DE UN DÍPOLO EN UN CAMPO ELÉCRICO UNIFORME. ................................................ 94

2.14. ENERGIA EN FUNCIÓN DEL CAMPO ......................................................................................................................... 95

2.15. PROBLEMAS ............................................................................................................................................................ 97

2.15.1. PROBLEMAS DE POTENCIAL ELÉCTRICO: ....................................................................................................... 97

2.15.2. PROBLEMAS SOBRE TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA: ............................................................. 111

2.15.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS .............................................................................................................. 116

2.16. MODELO DE EVALUACIONES: ................................................................................................................................ 136

2.16.1. EVALUACIÓN 1 (1 P): ................................................................................................................................... 136

2.16.2. EVALUACIÓN 2 (1 P): ................................................................................................................................... 139

2.16.3. EVALUACIÓN 3 (1P): .................................................................................................................................... 142

2.16.4. EVALUACIÓN 4 (1 P): ................................................................................................................................... 146




Ca

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2.

83

II. POTENCIAL ELÉCTRICO

2.1. INTRODUCCIÓN El potencial eléctrico es una cantidad escalar íntimamente relacionada con el campo eléctrico. Es considerablemente más sencillo trabajar con esta magnitud escalar que con el campo eléctrico que es una magnitud vectorial. Debe tenerse en cuenta, que una de las dos propiedades del campo eléctrico es la de satisfacer la ley de Gauss y la otra es la de poderse describir mediante la cantidad escalar denominada potencial eléctrico.

2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL

La diferencia de potencial entre dos puntos B y A situados dentro de un campo eléctrico, se define como le trabajo por unidad de carga, hecho por un agente externo para mover una carga (lentamente para estar seguros de que permanece en equilibrio) de prueba (pequeña y positiva) de A a B.

(2.2-1)

El trabajo total hecho por el agente externo para mover la carga de prueba de A hasta B, es

= ∫

(2.2-2)

Como la fuerza F, que hace el agente externo e igual a la fuerza eléctrica, pero de sentido opuesto, podemos sustituir F por - E en la Ec. (2.2-2), obteniendo.

∫

La figura 2.2 muestra el sentido de la fuerza y el campo eléctrico.

Fig. 2.2 Una carga de prueba es movida de A a B en un campo eléctrico no uniforme por un agente externo que ejerce una fuerza F

sobre esta.

El trabajo es el mismo para todas las trayectorias que conecten a los puntos A y B. A esta importante propiedad del campo eléctrico, se le describe, diciendo que el campo eléctrico es conservativo.




Ca

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ulo

2.

84

Por tanto,

∫

(2.2-3)

La unidad cgs-gaussiana es le ergio/statculombio, que se denomina statvoltio (statV). La unidad SI (o MKSC) de diferencia de potencial es el joul/coul, que ordinariamente se llama voltio (v).

2.3. POTENCIAL EN UN PUNTO Si en la Ec. (2.2-3) se toma el punto A en el infinito y se define el potencial como cero, se obtiene el potencial en el punto B referido al infinito.

∫

(2.3-1)

O, eliminado el subíndice B, el potencial para cualquier punto es.

∫

= ∫

.d (2.3-2)

2.4. POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA r DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL q.

La figura 2.4 muestra dos puntos B y A cercanos a una carga puntual aislante q.

Fig. 2.4 Carga de prueba movida por un agente externo en el campo producido por una carga puntual q.




Ca

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ulo

2.

85

Por simplicidad asumamos que B, A y q están en línea recta.

Consideramos que la carga de prueba es movida de A a B a lo largo de la línea radial. El campo apunta a la

derecha y d , que indica siempre la dirección de movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente

Sin embargo, cuando desplazamos la carga una distancia dl a la izquierda, la estamos moviendo en la dirección en que r decrece puesto que r se mide teniendo como origen a q. luego

Entonces,

Reemplazando en la ecuación (2.2-1) obtenemos

∫

∫

Pero, el campo producido por una carga q a una distancia r, es

Entonces

∫

(

*

Si y definidos , eliminando el subíndice B, se llega a

2.5. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UN CONJUNTO DE N CARGAS PUNTUALES (SISTEMA DISDRETO)

Los campos eléctricos debidos a cargas individuales son independientes, de modo que sus potenciales son también independientes, y como escalares, los potenciales aislados pueden sumarse algebraicamente para obtener el potencial total del sistema de cargas, es decir, el potencial debido a un grupo o conjunto de cargas puntuales se encuentra determinando el potencial debido a cada carga, como si las otras no estuvieran presentes y sumando las cantidades así calculadas,

∑

∑

(2.5)

Donde es el valor de la carga n – ésima y es la distancia desde la carga al punto en consideración.




Ca

pít

ulo

2.

86

2.6. POTENCIAL EN UN PUNTO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA

Cuando las cargas se encuentran repartidas de tal modo que su distribución pueda considerarse continua, es decir, no se presentan como entidades distintas, la suma de la Ec. (2.5) debe reemplazarse por una integral

∫

∫

(2.6)

Donde es el elemento diferencial de la distribución de carga, V el potencial que se va a calcular y r la distancia del diferencial de carga al punto. De acuerdo a l tipo de distribución de carga, puede expresarse como: = λ dl, siendo λ la densidad lineal de carga. = dA, siendo la densidad superficial de carga. = dv, siendo la densidad volumétrica de carga.

2.7. EJEMPLOS SOBRE CÁLCULO DE POTENCIALES

2.7.1. DETERMINAR EL POTENCIAL DE UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA R DE UNA CARGA PUNTUAL Q.

Solución:

( ) ∫ ∫ ∫

Pero , entonces,

( ) ∫

El campo producido por una carga puntual es

Luego

( )

∫

.

/

( )

(

*




Ca

pít

ulo

2.

87

2.7.2. DETERMINAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA X, DENTRO DE DOS PLACAS CONDUCTORAS DE DENSIDADES CARGA IGUALES Y OPUESTAS , SI SU SEPARACIÓN D ES MUCHO MENOR QUE SUS DIMENSIONES GLOBALES. EL CAMPO

ES UNIFORME, SIENDO , Y ( ) . VER FIG. (2.7.2) Solución:

( ) ∫ ∫

Entonces,

( ) ∫

( ) ∫

| |

( )

( )

( ) , para 0

Figura 2.7-2

2.7.3. HALLAR EL POTENCIAL EN EL PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DEL ANILLO CARGADO, DE CARGA Q Y DENSIDAD UNIFORME DE CARGA Λ = A, INDICANDO EN LA FIG. (2.7.3)

Fig. (2.7.3) Anillo cargado de densidad lineal uniforme.




Ca

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2.

88

Solución:

( )

∫

√

a;

( )

√ ∫

( )

( )

2.7.4. HALLAR EL POTENCIAL EN UN PUNTO (0, 0, Z) SOBRE EL EJE DE UN DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE DE RADIO A DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA UNIFORME , COMO SE MUESTRA EN LA FIG. (2.7.4)

Fig. (2.7.4) Disco cargado uniformemente.

Solución: Dividimos el disco en anillos de radio r ‘, espesor dr’ y área . El potencial debido a un anillo de carga dQ es de acuerdo al ejemplo (2.7.3)

( )

√

Integrando se obtiene

( )

∫

√




Ca

pít

ulo

2.

89

Recordando que

∫

√ √

Se Obtiene

( )

,√ √ -

( )

,√ | |-

2.7.5. HALLAR LA DIFERENCIA DE POTENCIAL EN LAS PROXIMIDADES DE UNA LÍNEA DE CARGA DE DENSIDAD UNIFORME Λ.

Solución:

∫

∫

∫


∫

2.8. CÁLCULO DEL POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO ELECTRÓNICO La expresión para la diferencia de potencial dada por la Ec. (2.2-3) puede escribirse

∫

∫

(2.8-1)




Ca

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ulo

2.

90

Pero

Por tanto

(2.8-2)

El cálculo demuestra que en el caso de variaciones infinitesimales de las coordenadas dx, dy y dz, el valor de una función escalar, diferenciable y continua f(x, y, z) puede expresarse mediante

( ) ( )

(2.8-3)

Luego

(2.8-4)

Comparado la Ec. (2.8-4) con la Ec. (2.8-2) se obtiene:

(2.8.5)

Es decir, si conocemos ( ) , entonces podemos determinar ( ) .

La relación indicada por las Ecs. (2.8.5) suele expresarse en función del operador nabal, así:

(2.8.6)

Que nos permite obtener el vector de campo eléctrico a partir del potencial eléctrico V. El proceso contrario también puede realizarse, para lo cual se produce de la siguiente manera:

∫

( ) ∫

Donde ref. indica un punto de referencia en el que v es creo. De la definición de gradiente

(2.8.8)

Al sustituir (2.8.8) en la ecuación (2.8.7), ésta se convierte en la integral de una diferencia perfecta que se resuelve fácilmente. El resultado es:

∫

( ) ∫

( )

( ) ∫

( ) (2.8.9)

Que es idéntica a la Ec. (2.2-3).




Ca

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ulo

2.

91

2.9. SIGNIFICADO FÍSICO DE GRADIENTE Al resolver el producto escalar indicado en la sección (2.8.1), obtenemos.

Por tanto

| | (2.9-1)

Si escogemos dl en dirección del campo, cosθ =1, y el valor de dV/dl es máximo, así:

| | (

)

(2.9-2)

Este valor máximo de la derivada de V en un punto dado se llama gradiente del potencial en ese punto.

(2.9-3)

(2.9-4)

La figura (2.9) muestra que grad V es un vector en la dirección de la máxima pendiente y sentido ascendente y su módulo es la pendiente, medida en aquella dirección. Además se aprecia el sentido de grad V, que de acuerdo a la Ec. (2.9-3) tiene sentido opuesto a E.

Fig. (2.9) En todas partes el grad V apunta a lo largo de la normal de las superficies equipotenciales.

2.10. SUPERFICIES EQUI-POTENCIALES Una superficie sobre la cual el potencial eléctrico es constante, se denomina superficie equipotencial. Si damos a una carga de prueba un pequeño desplazamiento sobre una superficie equipotencial, variación de

potencial es cero, implicando que el desplazamiento es perpendicular al campo eléctrico y por tanto, las líneas de campo, son siempre perpendiculares a una superficie equipotencial. Es imposible que dos superficies equipotenciales distintas, que correspondan a distintos valores de potencial, se corten entre sí. En conclusión, el campo eléctrico es siempre perpendicular a las superficies equipotenciales y apunta en la dirección a lo largo de la cual V decrece más rápido, así que, el campo eléctrico está dirigido de un punto de




Ca

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2.

92

mayor potencial, a un punto de menor potencial. La figura (2.10) muestra las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales de un dipolo.

En el caso de un conductor en equilibrio, la propia superficie del conductor es equipotencial, ya que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie.

Fig. (2.10) Líneas de fuerza y superficies equipotenciales de un dipolo.

2.11. POTENCIAL DE UN CONDUCTOR En el interior de un conductor (en equilibrio electrostático), el campo eléctrico es cero y por tanto el potencial eléctrico es constante en todos los puntos situados en el interior y sobre el conductor.

2.12. DIPOLO ELECTRICO Muchas moléculas no tienen carga neta y por lo mismo son llamadas neutras o no ionizadas. Pero en general una distribución de carga puede producir un campo eléctrico. El arreglo más simple consiste dos cargas ±Q que están separadas por una distancia a, como lo muestra la figura (2.12).

Fig. 2.12 Campo eléctrico de un dipolo en un punto situado sobre el eje.

Si a = 0 las dos cargas están en la misma posición. El problema consiste en cancelar el campo eléctrico o el potencial de las cargas no están exactamente en el mismo punto, pero sí bastante cerca. En el problema número 16 se determina el campo eléctrico y el potencial eléctrico de un dipolo en un punto arbitrario.




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2.

93

2.13. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA El trabajo realizado en contra de la fuerza ejercida por la carga q sobre la carga q’ al mover la carga q’ a lo largo de un elemento

infinitesimal de trayectoria , como se muestra en la figura (2.13), es,

(2.13-1)

Siendo , y U es, por definición, la

energía potencial electrostática. La variación total de energía cuando q’ se mueve desde hasta es:

∫

(2.13-2)

En donde es el ángulo existente entre y Pero

( ) (2.13-3)

Entonces la Ec. (2.13-2) se reduce a:

∫

(

) (2.13-4)

Como es una función escalar que depende solamente del radio, U se puede definir como

(2.13-5)

El signo U depende del signo del producto qxq’. La ecuación (2.13-5) puede obtenerse de la siguiente forma: Consideramos una partícula de carga q como lo ilustra la figura (2.13-2)

Fig. 2.13-2

El potencial eléctrico en P es

(2.13-6)

Si q’ es movida desde el infinito hasta r, el trabajo requerido es

(2.13-7)

Fig. 2.13.1 Geometría necesaria para

el cálculo del realizado al desplaza

una partícula cargada respecto a otra.




Ca

pít

ulo

2.

94

Pero el trabajo realizado s precisamente la energía potencial eléctrica U del sistema ( ), así:

( )

(2.13-8)

Para sistemas que contienen más de dos cargas, la energía potencial eléctrica se determina mediante

∑ ∑

∑ ∑

(2.13-9)

Ó

∑ ∑

∑ ∑

.

La Ec- (2.13-9) se denomina energía de ensamble.

2.13.1. ENERGÍA POTENCIAL DE UN DÍPOLO EN UN CAMPO ELÉCRICO UNIFORME.

El momento dipolar eléctrico puede ser considerado como un vector , cuya magnitud p es igual a qa, siendo q la magnitud de cualquiera de las cargas y a su distancia de separación.

La figura (2.13.1) muestra un dipolo en un campo eléctrico uniforme El dipolo está formado por dos cargas puntuales +q y –q separadas una distancia fija a.

El momento dipolar forma un ángulo con el campo, y dos fuerzas iguales y opuestas y actúan sobre él, donde

(2.13.1-1)

El torque alrededor de 0 está dado por:

( ) ( )

(2.13.1-2) Que puede escribirse en forma vectorial como

En la figura (2.13.1) se observa su representación gráfica.

Fig. 2.13.1 Dipolo en un campo eléctrico Exterior uniforme.




Ca

pít

ulo

2.

95

El trabajo (positivo o negativo) realizado por un agente externo para cambiar la orientación de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico exterior uniforme se almacena como energía potencial eléctrica del sistema. Si en la fig. (2.13.1) tiene un valor inicial , el trabajo requerido para girar el eje del dipolo un ángulo está dado por

∫ ∫

Donde es el torque ejercido por el agente que hace el trabajo. Combinando esta ecuación con la Ec. (2.13.2) se obtiene.

∫ ∫

( )

Escogiendo como ángulo se referencia = 90°, se sigue que

(2.13.1-3)

En forma vectorial

(2.13.1-4)

2.14. ENERGIA EN FUNCIÓN DEL CAMPO La expresión general de la energía potencial almacenada en el campo electrostático es

∫

(2.14-1) Donde la integral debe efectuarse sobre todo el volumen en donde está contenido el campo. En la sección (3.6) se deduce la Ec. (2.14-1). La Ec. (2-14-1) corresponde a la energía de una carga eléctrica.




Ca

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2.

96




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2.

97

2.15. PROBLEMAS

2.15.1. PROBLEMAS DE POTENCIAL ELÉCTRICO: 1. (3.3 k) En todo el volumen de una esfera de radio R existe una densidad de carga uniforme de

culombios/ . Hallar las expresiones del potencial V y del campo eléctrico E para puntos interiores y exteriores de la esfera, en función de la distancia r a su centro.

Solución:

DETERMINACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO: Usando el teorema de Gauss, se puede calcular el campo en el exterior y en el interior de la esfera no conductora, así:

a. Para r > R:

∮ (

* ∮

( )

(1) b. Para r < R:

∮ (

* (

)

(2)




Ca

pít

ulo

2.

98

DETERMINACION DEL POTENCIAL

a. Para r > R:

∫

∫

∫

∫

∫

.

/

(

*

b. Para r < R:

Usando la definición correspondiente a la diferencia de potencial entre el infinito y el punto r, se tiene:

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

(3)

Reemplazando (1) y (2) en (3) se tiene:

∫

∫

∫

∫

.

/

.

/

(

*

( )

( )




Ca

pít

ulo

2.

99

( )

2. (3.5 K ) El Campo eléctrico máximo que puede mantenerse en el aire (sin que se produzca ionización y, por

tanto, se haga conductor) es alrededor de Voltios/cm. Con este criterio calcular el potencial máximo a que puede cargarse una esfera metálica de R = 10 cm. rodeada de aire.

Solución:

(

* ( )

Obsérvese que:

3. (3.7 K) Un conductor esférico de radio a tiene una carga

. Se encuentra en el interior de una esfera conductora hueca de radio b, tal como se indica en la figura anexa. Esta última se halla conectada a tierra a través de una batería de diferencia de potencial . a) Calcular la carga total sobre la superficie exterior de la

esfera hueca y sobre la superficie interior. b) Hallar la expresión del campo y del potencial a una

distancia r del centro de las esferas, siendo r < a, a < r < b, y finalmente r > b.

Solución:

a) Sobre la superficie exterior el potencial es.

Sobre la superficie interior, se tiene en cuenta el fenómeno de inducción electrostática, por tanto:




Ca

pít

ulo

2.

100

b) Cálculo del potencial: Para r > b:

∫

∫

∫

∫

(

*

Para a < r < b:

∫

∫

∫

∫

.

/

(

*

( )

Para r < a:

∫

∫

∫

∫

( )

Cálculo del campo eléctrico: Para r < a:

∮

Para a < r < b:

∮

Para r > b:

∮




Ca

pít

ulo

2.

101

4. (3.9 K) Un cilindro muy largo de radio a tiene una carga de Q culombios. Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos situados a distancias y del eje del cilindro. Solución:

∫

∫

∫

Pero de acuerdo al teorema de sabemos Gauss: ∮

∫

∫

( )

(

*

5. (3.13 K )Dos gotas de agua idénticas están cargadas al mismo potencial . Hallar el nuevo potencial si las

dos gotas se juntan en una sola.

Solución:

Potencial de cada gota antes:

Potencial final:

( )

Igualando los volúmenes se encuentra la relación entre r y r´, así:

(

*

√




Ca

pít

ulo

2.

102

Luego el potencial final puede escribirse así:

( )

( )

√

(

+ ( )

6. (3.17 K) El potencial de los puntos de un plano es:

Siendo r y coordenadas de un punto del plano mientras que a y b son constantes. Calcular las

componentes y de la intensidad del campo en cada punto.

Solución:

- Obtención de la componente radial

(

*

( )(

) ( )

- Obtención de la componente transversal

(

*

(

( ))

7. (16.19 M) Un protón se acelera desde el reposo en un campo uniforme de N/C, de intensidad. Halle la distancia que recorre en s. Determine la diferencia de potencial por la que ha sido acelerador y cuál es su energía en joules y en electrón-coltios.

Solución:

(

*




Ca

pít

ulo

2.

103

. ( )

/

( )(

( )( )

(

*

8. (16.25 M) Una carga Q está ubicada en el origen, mientras que dos cargas de igual magnitud –Q/2 están en

el eje de las z en ± a. Demuestre que el potencial electrostático en cualquier punto del plano xy debido a esta distribución de carga es:

(

( )

*

En que es la distancia entre ese punto y el origen.

Solución:

Sea un punto cualquiera del plano xy, entonces:

∑

(

√

√

*

(

√

√

*

(

√

*

(

(

) *

9. (16.37 M) Una placa conductora circular muy grande, de radio R, tiene una densidad de carga superficial no

uniforme dada por (1 – (R/r)), en que r es la distancia desde el centro de la placa. Determine el

potencial en un punto sobre el eje perpendicular a la placa y que pasa por su centro.




Ca

pít

ulo

2.

104

Solución:

√

∫ ∫

. ( )/

√

∫

. ( )/

√

.∫

√

∫

√

/

. ∫

√

∫

√

/

( 4√

5

( √ )

,

. (√ ) ( ( √ ) ( )*/

( )4(√ ) .

√

/5

(√ )

.√

/

4(√ ) .√

/5

10. (16.45 M) Calcule el potencial electrostático a la distancia X desde una lámina cargada finita pero muy

grande, que tiene una densidad de carga uniforme . Utilizando este resultado, evalúe el campo eléctrico. Aplique luego el límite para una lámina infinita y se muestre que el campo concuerda con el que se obtiene a partir de la ley de Gauss. Para simplificar, suponga que la lámina es circular y que el punto de campo está en un eje perpendicular al centro de la lámina.




Ca

pít

ulo

2.

105

Solución:

( )

√

∫ ( )∫ ( )

( )(( ) )

(( ) )

(( ) )

(( ) )

(

(( ) )*

( )

Cuando R :

(

( )

*

(

( )

+

(

(

*

)

| |

11. (16.51 M) Una distribución de densidad de carga es uniforme en las direcciones Y y Z, pero varía en la

dirección X de acuerdo con la ecuación ( ) , en que es una constante. Se sabe que el campo eléctrico es nulo en X = 0. Obtenga: a. El campo eléctrico a una distancia X del plano X = 0 b. La diferencia de potencial entre cualquier punto y el plano X = 0.




Ca

pít

ulo

2.

106

Solución: a.

∮

∫ ( )

∫

.

/

.

/

.

/

b.

( ) ( ) ∫

∫

( ) ( )

.

/

( ) ( )

12. (29.13 H) Una carga por unidad de longitud está distribuida uniformemente a lo largo de un segmento de

varilla de longitud L. a. Determinar el potencial electrostático (tomándolo como cero en el

infinito) en el punto P a una distancia y del extremo del segmento cargado y en línea con éste (ver figura anexa).

b. Use el resultado de a para determinar la intensidad del campo eléctrico en P en la dirección de Y (a lo largo de la línea).

c. Determine la componente de la intensidad del campo eléctrico en P, en la dirección perpendicular a la línea recta.

Solución:

a.

∫ ∫

( ) (

*

(

*

b.

(

(

*+

(

*




Ca

pít

ulo

2.

107

( )( ( )

*

( )

c.

(

( )

*

13. (29.10 H) Para la configuración de carga mostrada en la figura anexa, demuestre que V(r) para puntos sobre

el eje vertical, asumiendo r >> a, está dado por:

(

*

Solución:

( )

( )

(

)

.

( ) ( )

/

(

*

Si r >> a,

(

)

14. (29.17 H) En el experimento de la gota de aceite de Millikan un campo eléctrico de 1,92 x nt/coul la mantiene en equilibrio en medio de dos placas separadas por 1,50 cm. Encuentre la diferencia de potencial entre las placas.

Solución:

( )( )

15. (29.18 H) Demuestre que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje

de un anillo de carga q y radio a, está dada por:

√




Ca

pít

ulo

2.

108

Solución:

∫

∫

∫

√ ( )

√

16. Determinar el potencial eléctrico y el campo eléctrico de un dipolo en un punto arbitrario del espacio.

Solución:

∑

(

) Son las distancias al punto P de las cargas Q y –Q puesto que +Q está en (X, Y, Z) =

(

) y -Q en (X, Y, Z) = (

) , obtenemos:

√ (

)

√ (

)

Si estamos interesados en puntos lejanos que satisfagan la condición:

√ Podemos usar a aproximación:

( ) ( )

, para pequeños cambios de

(

)

.

/ ( )




Ca

pít

ulo

2.

109

Identificamos con y con ( ), entonces

√ ( )

√ ( )

√

.

/

Análogamente:

.

/

Por consiguiente:

(

* (

.

/+ (

.

/+

Luego la expresión para el potencial en un punto distante de un dipolo es:

Para Qa =| | , entonces

| |

( )

El campo eléctrico de un dipolo para un punto lejano se obtiene así:

Pero

( )

(√ )

Siendo r = √ Además:

√( )

√

√

Como el radio vector se escribe , entonces obtenemos:

( )

√

El potencial v puede escribirse como:

( )




Ca

pít

ulo

2.

110

(

*

( )

(

*

(

*

(

*

(

*

(

*

(

* (

*

Recordando que ( ) | | y que Obtenemos

( )

( )

( )

Luego:

.

( )

/




Ca

pít

ulo

2.

111

2.15.2. PROBLEMAS SOBRE TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA:

1. (16.9 M) Dos cargas puntuales,

están separadas a 1m. Determine que trabajo

se realiza para mover una tercera carga, , desde un punto situado en la línea que une las

cargas, a 60 cm de y 40 cm de , hasta el punto medio entre las mismas.

Solución:

∫ ( )

( )

( )

∫ ( ( )

( )

* ( )

∫

( ) ∫

(

*

(

*

( ) 2(( )( )) (

* . (

*/3

. (

* (

*/

( ) 2. (16.21 M) Dos bolas cargadas, cada una como radio muy pequeño y carga Q, están suspendidas de hilos de

longitud ℓ. Cada bola tiene una masa m, se repelen una a otra, y en equilibrio, forman un ángulo con la vertical.

a. Demuestre que el ángulo está por una solución de la ecuación.

b. Obtenga una expresión para la energía potencial (Gravitacional más

eléctrica) en términos de . c. Demuestre que la expresión en (a) se puede obtener minimizando la

energía potencial con respecto al ángulo .




Ca

pít

ulo

2.

112

Solución: a.

∑

(1)

∑

(2) De (1): T = Fe (1)’ De (2): T = mg (2)’

Dividiendo (1)’ entre (2)’

( )

b.

( )

( )

c.

( )

( )

Haciendo

(

)

* , puesto que

3. (16.23 M) Que trabajo debe hacerse para mover un electrón desde una distancia inicial de 0,528 x m de un protón hasta una separación infinita? Solución:

∫

( )




Ca

pít

ulo

2.

113

∫ ∫

.

/

(

*

( )( )

4. (16.29 M)Un dipolo puntual cuyo momento dipolar es 2,4 x m está orientado formando un ángulo de 60° con un campo eléctrico constante aplicado exteriormente, de 3 x V/m. Calcule: a. El momento de rotación que ejerce sobre el dipolo el

campo externo. b. El trabajo que puede realizar el dipolo a alinear su

vector paralelamente al campo externo.

Solución:

a.

( )( )

b.

∫

∫ ( )

( )

( ) ( )( )( )

5. (16.47 M) Un globo de radio r tienen una carga Q distribuida uniformemente en su superficie. Demuestre que el globo experimente una fuerza electrostática hacia afuera por unidad de área superficial dada por:




Ca

pít

ulo

2.

114

Solución:

(

*

∫ (

*

∫

∫

(

*

.

/

(

*

( )

6. (16.49 M) Suponga por un momento que el protón es una carga puntual. Que trabajo se realiza para traer un

electrón desde el infinito hasta una distancia de cm del centro del protón? Si se supone que el protón

es una esfera de cm de radio y que tiene una distribución de carga uniforme en todo su volumen. Que

trabajo se necesita para mover un electrón desde el infinito hasta una distancia de cm desde el centro del protón?

Solución:

Suponiendo que el protón es una carga puntual, el trabajo que se realiza para traer un electrón desde el

infinito hasta una distancia de cm del centro del protón, es:

∫ ∫ ∫

∫ ∫

.

/

( )

Suponiendo que el protón tiene una distribución de carga uniforme en todo su volumen, el trabajo que se

necesita para mover un electrón desde el infinito, hasta una distancia de cm, desde el centro del protón es:




Ca

pít

ulo

2.

115

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

.

/

.

/

(

) ( )

( )

( )

( ) (( ) ( ) )




Ca

pít

ulo

2.

116

2.15.3. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Determine la diferencia de potencial entre los puntos B y A, situados en las proximidades de una carga puntual q.

SOLUCION:

0180cos

B

A

B

A

AB EdlldEVV

B

A

B

A

e

B

A

ABr

drqkEdrEdlVV

2

AB

e

B

A

eABrr

qkr

drqkVV

112

Si Ar y definimos V =0, eliminando el subíndice, se sigue que:

rqkV e /

2. Potencial eléctrico en un punto P situado a una distancia x sobre el eje de una anillo cargado uniformemente de radio a y

carga total Q.

SOLUCION:

A

ee

ax

dlk

r

dQkV

2

022

2222

)2(

ax

Qk

ax

akV ee

3. Determine el potencial eléctrico en un punto situado a una distancia x sobre el

eje perpendicular que pasa por el centro de un disco cargado uniformemente de

radio a, que tiene una densidad superficial de carga .

SOLUCION:

El potencial debido a un anillo de área rdrA 2 y carga dAdQ está

dado por:

2222

)2(

xr

rdrk

xr

dQkdV ee

r

x

r

B

r

A

P

ar2+x

2

x




Ca

pít

ulo

2.

117

Sumando sobre todos los anillos que conforman el disco, se tiene:

r

e

r

e rdrxrkxr

rdrkV

0

21

22

022

)(2

0

)(

21

21

22 axrkV e

xxakV e

21

22 )(2

4. Una esfera sólida aislante de radio R tiene una densidad de carga positiva uniforme con carga total Q (figura anexa).

Determine el potencial eléctrico en los puntos:

a) r > R,

b) r = R,

c) r < R

Considere el potencial igual a cero en r = .

SOLUCION:

a) El potencial eléctrico para r > R, está dado por:

r

EdrV

Pero:

2r

QkE e

Entonces:

rr

Qkr

drQkV e

r

e1

1

2

r

QkV e

b) Para r = R, el resultado es idéntico al anterior pero se debe cambiar r por R, así:

R

QkV e

c) Para r < R, se debe tener en cuenta el valor del campo eléctrico en el interior de la esfera, así:

3R

QrkE ein

R r Q




Ca

pít

ulo

2.

118

Luego:

r

EdrV

Ahora separamos la integral en dos, debido a que el campo eléctrico por fuera de la esfera es diferente al campo en el interior,

luego:

r

R

R

EdrEdrV

r

R

e

R

e rdrR

Qk

r

drQkV

32

R

rr

R

Qk

RrQkV ee

21

2

3

1

)(2

22

3Rr

R

Qk

R

QkV ee

)3(2 2

2

R

r

R

QkV e

De aquí se sigue que el potencial en el centro de una esfera aislante uniformemente cargada se obtiene para el valor r =0, por

tanto:

R

QkVV e

r2

30)0(

El gráfico del potencial se puede apreciar en la gráfica siguiente:

5. A una distancia r de una carga puntual q, el potencial eléctrico es V=400 Voltios y la magnitud del campo eléctrico es

E = 150 N/C.

Determine los valores de q y r.

R

V0

r




Ca

pít

ulo

2.

119

SOLUCION:

El potencial producido por una carga puntual es:

voltiosr

qkV e 400

El campo eléctrico debido a una carga puntual a la distancia r es:

CNr

qkE e /150

2

Dividiendo la primera ecuación por la segunda, se obtiene:

mr

r

qk

r

qk

e

e

6,2150

400

150

400

2

Sustituyendo este valor en la primera ecuación se tiene:

CxCxk

rq

e

9

91055.115

109

)6,2(400)(400

6. Las tres cargas de la figura anexa están en los vértices de un triángulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto

medio de la base, considerando q= 7.0 C.

SOLUCION:

En el punto medio de la base, el potencial eléctrico viene dado por:

321 VVVVP

3

3

2

2

1

1

r

qk

r

qk

r

qkV eeeP

m

qq

m

qkV eP

01.001.004.001.0 22

038.0

1

01.0

2

mqkV eP

VxxVP )36.173)(107(109 69

VxVP31068.10921

7. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje del anillo mostrado en la figura anexa, el cual tiene una densidad de

carga uniforme .

P

2cm

q

-q -q

4 m




Ca

pít

ulo

2.

120

SOLUCION:

El potencial eléctrico en el punto P se obtiene de idéntica manera al caso del

disco, pero en esta oportunidad sólo cambian los límites de la integral, así:

2222

)2(

xr

rdrk

xr

dQkdV ee

b

a

e

b

a

e rdrxrkxr

rdrkV 2

122

22)(

2

a

bxrkV e

21

21

22 )(

2

1222

122 )()(2 xaxbkV e

2

1222

122

0

)()(4

2xaxbV

2

1222

122

0

)()(2

xaxbV

8. Un alambre que tiene una densidad de carga lineal uniforme , se dobla en la forma indicada en la figura anexa. Encuentre

el potencial eléctrico en el punto O.

SOLUCION:

El potencial eléctrico en el punto O se obtiene como la contribución de tres potenciales: uno debido a una semirecta, otro

debido al bucle semicircunferencial y el otro debido a la otra semirecta, así:

321 VVVVO

Veamos cómo se calcula V1:

x

dxk

x

dQkdV ee

1

R

x 2

R O

R 2R 2R

O

x

b

a P




Ca

pít

ulo

2.

121

)3ln(3

ln

2

1 ee

RR

R

e kR

Rk

x

dxkV

Para calcular V2 se procede así

R

dlk

x

dQkdV ee

2

Entonces:

ee

R

e kRR

kdlR

kV )(

0

2

Luego:

3ln2)3ln(2 eeeO kkkV

9. Una barra de longitud L (ver figura anexa) se encuentra a lo largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y tiene

una densidad de carg no uniforme =x (donde es una constante positiva).

a) Cuáles son las unidades de ?

b) Calcule el potencial eléctrico en A.

SOLUCION:

El potencial debido a un elemento diferencial de carga dxdQ está dado

por:

)( xd

dxkdV e

Insertando el valor de =x se tiene:

)( xd

xdxkdV e

Integrando se tiene:

L

exd

xdxkdVV

0)(

Teniendo en cuenta la integración por partes:

vduuvudv

podemos hacer las siguientes asignaciones:

dxdxu

)ln( xdvxd

dxdv

A

d

L

dQ= dx

y

x




Ca

pít

ulo

2.

122

Luego:

dxxdxdxxd

xdx)ln()ln(

Pero:

)()ln()()ln( xdxdxddxxd

Entonces:

)]()ln()()ln( xdxdxdxdxxd

xdx

Cuando se saca factor común a:

)ln( xd

se sigue que:

)()ln( xdxddxd

xdx

Por tanto:

0

)()ln(

0

Lxdxdd

xd

xdxL

dddLdLddxd

xdxL

ln)()ln(

0

d

LddL

xd

xdxL

)(ln

0

Por consiguiente:

d

LddLkV e ln

10. Considere dos cascarones esféricos delgados y conductores, como en la figura anexa.

El cascarón interno tiene un radio r1=15 cm y una carga de 10 nC. El cascarón

exterior tiene un radio r2=30 cm y una carga de –15 nC.

Encuentre

a) el campo eléctrico E

b) el potencial eléctrico V en las regiones A, B y C, con V=0 en r = .

AB

C

r1

r2




Ca

pít

ulo

2.

123

SOLUCION:

a) El campo eléctrico en la región A se obtiene a partir de la ley de Gauss:

00 EqAdE neta

El potencial eléctrico en la región A se obtiene de la siguiente manera:

r

r

r r

r

r

EdrEdrEdrEdrV

1

2 1

2

Pero el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico de radio r1 es nulo, por tanto:

2 1

2

r r

r

r

EdrEdrEdrV

21

9

2

9 11)1010(

105

rrCxk

r

CxkV ee

b)El campo eléctrico en la región B se obtiene a partir de la ley de Gauss:

09 /1010 CxqAdE neta

092 /1010)4( CxrE

2

9

20

9 1010

4

1010

r

Cxk

r

CxE e

El potencial en la región B, se obtiene a partir de la siguiente expresión:

2

2

r r

r

r

EdrEdrEdrV

2

2

2

9

2

9 1010105

r r

r

eer

drCxk

r

drCxkV

2

9

2

9 11)1010(

105

rrCxk

r

CxkV ee

c) El campo eléctrico en la región C, se obtiene a partir de la ley de Gauss:

09 /105 CxqAdE neta




Ca

pít

ulo

2.

124

092 /105)4( CxrE

2

9

20

9 105

4

105

r

Cxk

r

CxE e

El potencial en la región C, se obtiene a partir de la siguiente expresión:

r

e

r

r

drCxkEdrV

2

9 )105(

r

CxkEdrV e

r 9105

11. La barra delgada cargada uniformemente que se muestra en la figura anexa tiene una densidad de carga lineal .

Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en P.

SOLUCION:

La contribución al potencial de un diferencial de carga dxdQ está dada

por:

r

dxkdV e

Pero de acuerdo a la figura:

22)( baxr

Luego la suma de todas las contribuciones de los diferentes diferenciales de carga al potencial, puede expresarse como:

La

a

e

bxa

dxkV

22)(

Como se sabe esta integral es de la forma:

a

vvav

va

dv 122

22sen)ln(

Por tanto:

a

LabxaxakV e

22)()(ln

a

LabLaaLaakV e

22)()(ln

22)()(ln baaaake

P

b

a

y

r

L




Ca

pít

ulo

2.

125

22

22

42

)2()2(ln

baa

bLaLakV e

12. Un contador Geiger –Müller es un detector de radiación que se compone de un cilindro hueco (el cátodo) de radio interior

r a y un alambre cilíndrico coaxial (el ánodo) de radio r b (ver figura anexa). La carga por unidad de longitud del ánodo es ,

en tanto que la carga por unidad de longitud en el cátodo es .

a) Muestre que la magnitud de la diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro en la región sensible del detector es

b

ae

r

rkV ln2

b) Muestre que la magnitud del campo eléctrico sobre esa región está dada por

rrr

VE

ba

1

/ln

donde r es la distancia del centro del ánodo al punto donde se va a calcular el campo.

SOLUCION:

a) De la definición de diferencia de potencial se tiene que:

b

a

ab EdrVVV

Pero de la ley de Gauss, se puede calcular el campo eléctrico en puntos r tales que r b < r < r a :

00

lqAdE neta

Entonces:

rE

lrlE

00 2)2(

Luego:

b

a

b

a

abr

drdr

rVVV

00 22

ra

rb

-




Ca

pít

ulo

2.

126

b

a

a

b

r

r

r

rV ln

2ln

2 00

Multiplicando y dividiendo por 2:

b

ae

b

a

r

rk

r

rV ln2ln

4

2

0

b) El campo eléctrico se obtiene a partir del potencial eléctrico de la siguiente manera:

r

rk

dr

d

dr

dVE a

e ln2

2

12

12

r

r

r

rk

r

r

dr

d

r

rkE

a

ae

a

ae

Pero de la expresión obtenida para la diferencia de potencial V, se sigue que:

b

a

e

r

r

Vk

ln

2

Sustituyendo esta cantidad en la última expresión para E se tiene:

r

r

r

V

r

r

r

r

r

r

VE

b

aa

a

b

a

1

ln

1

ln2

13. a) Considere un cascarón cilíndrico cargado uniformemente que tiene una carga total Q, radio R y altura h.

Determine el potencial electrostático en un punto a una distancia d del lado

derecho del cilindro, como en la figura anexa. Considere el cilindro como

una colección de cargas de anillos.

b) Determine el campo eléctrico para el caso de un cilindro sólido.

SOLUCION:

a) El potencial electrostático en el punto se obtiene de la siguiente manera:

La contribución al potencial de un disco de carga dQ está dada por:

xRx

R

dQkdV e

21

22

2)(2

h

d




Ca

pít

ulo

2.

127

Cambiando dQ por dx e integrando se obtiene:

xRxdxR

kV

hd

d

e2

122

2)(

12

hd

d

hd

d

e xdxdxRxR

kV 22

22

Pero:

)ln(22

22222

22 axxaaxx

dxax

Entonces:

22

222

2ln(

222 Rxx

RRxx

RkV e

d

hdx

2

2

)ln((

22

)()(2

222

2hd

RRhdhd

RkV e

22

)()(

22222 Rddhd

Rhd

2)ln(

2

222

2 dRdd

R

b) La contribución al campo debida a un anillo de carga dQ está dada por:

i

rx

xdQkEd e

ˆ)(

23

22

Esta expresión nos permite calcular la contribución al campo de un disco, así:

Teniendo en cuenta que )2( rdrdAdQ

Entonces:

i

rx

xrdrkEd e

ˆ)2(

23

22

Integrando entre cero y R, se tiene:

i

rx

rdrxkE

R

eˆ

2)(

0 23

22




Ca

pít

ulo

2.

128

iR

rxxkE e

ˆ0

2)(

22

ixRx

xkE eˆ

22)(

22

iRx

xkE e

ˆ1222

Ahora tomando 2/ RdQ podemos encontrar la expresión que indica la contribución al campo de un elemento

diferencial de carga del cilindro (el cual corresponde a un disco con carga dQ):

iRx

x

R

dQkEd e

ˆ12222

Cambiando ahora dQ por dx, se tiene:

iRx

x

R

dxkEd e

ˆ12222

Integrando entre d y d+h, se sigue que:

hd

d

e idxRx

x

R

kE ˆ1

2

222

iRx

xdxh

R

kE

hd

d

e ˆ2

2

12

222

id

hdRxh

R

kE e ˆ

2 22

2

iRhdRdhR

kE e ˆ)(

2 2222

2

14. Una esfera sólida de radio R tiene una densidad de carga uniforme y una carga total Q. Calcule su energía

electrostática.

SOLUCION:

La energía potencial electrostática se obtiene a partir de la siguiente expresión:




Ca

pít

ulo

2.

129

0

20

2

1dvEU

Teniendo en cuenta que la energía potencial existe donde hay campo eléctrico, descomponemos la integral en dos integrales

correspondientes a las regiones 0 < r < R y r > R, así:

R

R

dvEdvEU 20

0

20

2

1

2

1

Teniendo en cuenta que las expresiones para el campo dentro y fuera de la esfera están dadas por:

Rrr

E 03

y

20

3

3 r

RE

Por lo tanto, recordando que el diferencial de volumen puede escribirse como:

drrdv 24

Entonces, se tiene que:

R

drrrU

0

22

2

0

0 )4(32

1

R

drrr

R)4(

1

32

1 2

2

2

2

0

3

0

54

32

1 52

0

0

RU

R

R 14

32

12

0

3

0

5

52

0

05

432

1R

RU

5

0

2

45

12RU

15. Un electrón se suelta desde una distancia d medida sobre el eje principal de

un anillo de radio R y carga Q, con qué velocidad pasa por el plano del anillo?

SOLUCION:

d

-e

R




Ca

pít

ulo

2.

130

Del principio de conservación de la energía se tiene:

0)(()( xdx UKUK

0)()( xdx UKU

Como se suelta desde x=d, significa que su velocidad inicial y por tanto su energía cinética son nulas, luego teniendo en

cuenta que la energía potencial es U = qV, se sigue que:

0

2

2

1)(

x

dx eVmveV

Como el potencial en un punto x sobre el eje de una anillo de carga Q es:

22 Rx

QkV e

Entonces:

2

2

22 2

1

R

Qekmv

Rd

Qek ee

Luego:

2

22 2

1mv

Rd

Qek

R

Qek ee

Por tanto la velocidad en el centro del anillo está dada por:

22

112

RdRQek

mv e

16. Calcule el trabajo que debe efectuarse para cargar un cascarón esférico de radio R con una carga total Q.

SOLUCION:

El trabajo realizado para cargar un cascarón es igual a la energía potencial eléctrica almacenada, por tanto:

R

dvEU 20

2

1

Como el campo eléctrico está dado por:

2r

QkE e y el diferencial de volumen es drrdv 24 , se sigue que:




Ca

pít

ulo

2.

131

R

e drrr

QkU )4(

2

1 2

2

20

R

er

drQkU

2

220 )4(

2

1

R

rQkU e

1)4(

2

1 122

0

R

Q

R

QkU e

0

22

82

1

17. El eje x es el eje de simetría de un anillo cargado uniformemente de radio R y carga Q. Una carga puntual Q de masa M

se localiza en el centro del anillo. Cuando éste se desplaza ligeramente, la carga puntual se acelera a lo largo del eje x hacia

el infinito.

Demuestre que la velocidad final de la carga puntual es

21

22

MR

Qkv e

SOLUCION:

Del principio de conservación de la energía se tiene:

)()( UKUK C

QVMvQV 2

2

1

Pero la expresión para el potencial en un punto x sobre el eje de un anillo de carga Q es:

22 Rx

QkV e

De tal suerte que en el centro del anillo x=0 y en el infinito x=, por lo tanto 0V . Luego:

MR

QkvMv

R

Qk e

e

22

2 2

2

1 .

18. Una lámina infinita de carga que tiene una densidad superficial de carga se encuentra en el plano yz, pasa por el origen

y está a un potencial V0. Un alambre largo con densidad lineal se dispone paralelo al eje y e intercepta al eje x en x=d.

a) Determine en función de x, el potencial a lo largo del eje x entre el alambre y la lámina.

b) Cuál es la energía potencial de una carga q ubicada en x=d/4.




Ca

pít

ulo

2.

132

SOLUCION:

a) El potencial en un punto entre el alambre y la lámina se obtiene

como la superposición de dos contribuciones: el potencial debido a la

lámina y el potencial debido al alambre, así:

alambrelámina VVV

El potencial en un punto x próximo a la lámina de densidad superficial

de carga , está dado por:

x

xxlámina ldEVVVVV

0

00,

xVdlVV

x

lámina

0

0

0 0

022

El potencial en un punto x, debido al alambre largo de densidad lineal de carga , está dado por:

)ln(2

ln2 00 xd

d

xd

drValambre

Obsérvese que cuando se considera solamente el alambre cargado, en x=0, el potencial es nulo y para x=d el potencial es

infinito.

Por lo tanto, el potencial debido a las dos contribuciones es:

)ln(22 00

0xd

dxVV

b) La energía potencial electrostática de la carga q situada a d/4 es:

)3

4ln(

22 00

0

qx

qqVqVU qqVqVU 0

19. Cuatro partículas idénticas de carga q y masa m, se liberan desde el reposo, estando inicialmente en los vértices de un

cuadrado de lado L.

Cuál es la rapidez de cada carga cuando la distancia al centro del cuadrado se ha

duplicado? Considere que sólo se deja una partícula libre. Qué velocidad alcanzará

cuando se suelte?

SOLUCION:

El procedimiento para encontrar la velocidad de cada carga cuando la distancia al centro

del cuadrado se ha duplicado, consiste en utilizar el principio de conservación de la

energía, así:

despuéspartículadespuésantes UKUKU 4

x

y

z

d

x

L

L

2L

2L

q1

q2 q3

q4




Ca

pít

ulo

2.

133

Pero:

4

1

4

12

1

iij

j ij

ji

eantesr

qqkU

4

1 4

4

3

3

2

2

1

1

2

1

i i

i

i

i

i

i

i

ieantes

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqkU

32

23

12

21

41

14

31

13

21

12

2

1

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqkU eantes

34

43

24

42

14

41

43

34

23

32

13

31

42

24

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

Teniendo en cuenta que las distancias: 42243223144113311221 ;;;; rrrrrrrrrr 4334 rr

La expresión anterior se reduce a:

32

23

14

41

13

31

12

21 22222

1

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqkU eantes

34

43

24

42 22r

qq

r

qq

Simplificando por 2:

32

23

14

41

13

31

12

21

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqkU eantes

34

43

24

42

r

qq

r

qq

Teniendo en cuenta que las cargas son iguales, se sigue que:

32141312

2 1111

rrrrqkU eantes

3424

11

rr

Reemplazando las distancias en términos de L:

LLLLqkU eantes

11

2

112

LL

1

2

1

Reduciendo términos:

2

242

LLqkU eantes

242

L

qkU e

antes

La energía potencial electrostática se obtiene en forma similar, pero podemos darnos cuenta que basta con cambiar L por 2L

en la expresión anterior:




Ca

pít

ulo

2.

134

242

2

L

qkU e

después

Luego haciendo uso de la primera ecuación se sigue que:

despuéspartículaantes UKU 4

o también:

242

42422

L

qkK

L

qk epartícula

e

Teniendo en cuenta que la energía cinética de cada partícula está dada por:

2

2

1mvK partícula

Se obtiene que:

42

1 2 despuésantes UUmv

Luego:

4

2 despuésantes UU

mv

4

2422

2

L

qk

mv

e

242

mL

kqv e

Si sólo se deja una partícula libre, la ecuación de conservación de la energía, establece que:

despuéspartículadespuésantes UKUKU

En esta oportunidad:

242

L

qkU e

antes

El cálculo de la energía potencial después de que la sólo una partícula se desplaza hasta el doble de su distancia al centro del

cuadrado se obtiene en forma similar y viene dada por:

4

12

1

i

iidespués VqU




Ca

pít

ulo

2.

135

donde iV es el potencial calculado donde se encuentra la partícula i, así:

443322112

1VqVqVqVqUdespués

2

111

2/23

11

2

1 2

LLLLLqkU edespués

LLLLL

1

2/10

1

2/23

1

2/10

1

2/10

1

2/10

1

2

1

LL

Reduciendo términos:

5

102

6

252

2

L

qkU e

después

Luego:

despuésantes UmvU 2

2

1

Entonces:

despuésantes UUm

v 2

5

102

6

25224

22

L

qk

mv e




Ca

pít

ulo

2.

136

2.16. MODELO DE EVALUACIONES:

2.16.1. EVALUACIÓN 1 (1 P): 1. En un sistema de coordenadas (X, Y, Z) mts, se encuentran localizadas cargas eléctricas puntuales, así:

( )

( )

a. Determinar el vector campo eléctrico en el punto m. b. Calcular el vector fuerza eléctrica que experimenta la carga localizada en el punto N.

Solución:

a. Campo eléctrico en el punto m.

( ) ( )

√

( )( ) ( )

( )

( )

b. Fuerza eléctrico sobre debida a es:

( ) ( )

| |




Ca

pít

ulo

2.

137

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

2. En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme

Newton/coul. Una partícula cargada con masa m (kg) y carga eléctrica –Q coul, en el instante t = 0 se pone en movimiento desde un punto situado en el origen de coordenadas, con velocidad ( ) m/s. Despreciando efectos gravitacionales, determinar el vector aceleración y el vector velocidad de la partícula cargada, en el instante t > 0.

Solución:

Cálculo del vector aceleración:

.

/

Cálculo del vector velocidad:

( ( )

*

3. a. A, B y C son superficies gaussianas, en una región del espacio donde existe el campo eléctrico ilustrado.

Qué puede decir respecto a la carga eléctrica encerrada por cada superficie? Justifique sus respuestas. b. Para el mismo caso, que puede decidirse respecto al flujo eléctrico a través de cada una de éstas

superficies?. Explique.

c. Se tiene una línea uniformemente cargada con λ constante. Un hemisferio de radio R mts. Se ha colocado como se indica. Determine el flujo del campo eléctrico a través del hemisferio. Solución:

Figura 3 b.

Figura 3 a,b

.




Ca

pít

ulo

2.

138

a. Superficie A: ∮ ∫

Superficie B: ∮

Superficie C: ∮ ∫

b.

c. ∮ ∮

4. Una esfera maciza no conductora de radio a mts., con carga

+Q coul está rodeada concéntricamente por una capa esférica gruesa conductora de radio interior b mts y radio exterior c mts. Calcule el vector campo eléctrico para punto situados a distancias b < r < c. Solución: De acuerdo al teorema de Gauss, analizando la carga contenida en la superficie gaussiana con línea interrumpida, se tiene:

∮

La carga –Q es debida a la inducción electrostática.

5. El potencial eléctrico de cierta distribución de carga está dado por: ( ) ( )

Calcule el vector campo eléctrico E en el punto M (5,2)mts. Solución:

(

* ( )

(

( )

( )

( ) *

(( ) ( ) )

( ) (( ) ( ) )

( ) (( ( )( )) ( ( ) ( ) )

( ) ( )




Ca

pít

ulo

2.

139

2.16.2. EVALUACIÓN 2 (1 P):

1. Dos cargas 3Q y Q están localizadas en los puntos (3, 4, 7) metros y (-5, -2, 3) metros respectivamente en un sistema de coordenadas cartesianas. Hallar: a. El campo eléctrico E en el punto (1, 1, 1) metros. b. Si en el punto (1, 1, 1) metros, se coloca una carga –Q/2. Cuál será la fuerza sobre dicha carga?.

Solución:

Solución:

a. ( )

Pero: ( ) ( ) ( )

Además: ( ) ( ) ( )

( )

.

√ /

.

√ /

( ) ( ( ) ( ))

b.

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

2. En la figura de abajo, las densidades lineales de carga, λ, en le semiarco y la barra son iguales y de valor

constante. La longitud de la barra NR, donde N es una constante positiva. Hallar el campo en el punto 0.

Solución:




Ca

pít

ulo

2.

140

Cálculo de :

∫

∫

| (

) (

)|

Cálculo de :

( )

∫

( )

.

/

( ) (

* ( )

(

( )* ( )

( )( )

( )( )

Luego: (

( ) )

3. Un cilindro de radio R y carga Q, de longitud L >> R, tiene una densidad de carga volumétrica cada por

coul/ (donde r es la distancia al eje del cilindro). Calcular: a. La constante A en función de Q. b. La magnitud del campo eléctrico en un punto situado a la distancia R/2 metros del eje del cilindro, y muy

lejos de sus extremos. c. La magnitud del campo eléctrico a la distancia 2R del eje del cilindro y muy lejos de sus extremos.

Solución:

L >> R

a.

∫ ∫ ∫




Ca

pít

ulo

2.

141

∫ ( )∫

4

5

Luego:

b. ∫ ∫ ∫

∫

( )

(

* ( ) 4

5

(

*

√ .

√ /

c. ∫ ( ( ) )

(

*




Ca

pít

ulo

2.

142

2.16.3. EVALUACIÓN 3 (1P):

1. A. La figura muestra una superficie cónica completamente cerrada. El radio de la circunferencia de la base

es R. Las Líneas de fuerza de un campo eléctrico homogéneo (uniforme) E, están orientadas perpendicularmente a la base del cono (vea la figura).

a. Calcule el flujo a través de la superficie de la base. b. Calcule e flujo a través de la superficie lateral.

B. en figura se muestra e globo terráqueo idealmente esférico ubicado en una región donde existe un

campo eléctrico E uniforme, en la dirección Norte-Sur. Pequeñas áreas, ( todas iguales entre sí: A, B, C, y D), están localizadas sobre la superficie del globo, El área a está en el polo sur, B a 45° de longitud Sur, C en el ecuador y D a 45° de latitud Norte.

a. Calcule el flujo a través de cada una de las superficies . b. Calcule el flujo total a través de la esfera.

Solución:

1. A.

a. ∫ ∫ ( )

b. ∫ ∫ ( )

( )

( )

1. B.

a.

.√

/

. √

/




Ca

pít

ulo

2.

143

b. ∫ ∫

∫ ∫

( )∫ .

/

2. En los vértices de un tetraedro regular, (una pirámide de 4 caras, todas triángulo equiláteros), de arista 2A, están dispuestas 4 cargas puntuales de valor –q (negativas) cada una. Halle la longitud del campo eléctrico en el centro de cualquiera de las caras de la pirámide.

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )

Pero entonces

( )

( ) ( )




Ca

pít

ulo

2.

144

3. En el plano XZ del sistema cartesiano de coordenadas reposan dos alambres rectilíneos infinitos

separados una distancia 3L m. Halle el vector de campo eléctrico , en un punto sobre el eje Y, a la distancia 4L metros del origen de coordenadas:

a. Debido al alambre que está sobre el eje X, (por la ley de Gauss.) b. Producido por el otro alambre (mediante el método de integración). c. Determine el campo eléctrico total, indicado además su dirección respecto al eje Y.

Solución:

a. Usando la ley de Gauss: ∫

( ) ( )

*Las densidades de carga de los alambres son 16 (C/mts) la del que está sobre el eje X y 25 (C/mts) la del otro alambre. b.

∫

Pero:

∫( )

( ) ( )

( )

∫( )




Ca

pít

ulo

2.

145

( )

∫

. (

) (

)/

Pero:

√

√

√

.

√ /

( ) .

√ /

( )

c.

Además:

∫

( )

∫

( ) ( )

(

*∫

( )

( )




Ca

pít

ulo

2.

146

2.16.4. EVALUACIÓN 4 (1 P):

1. Dadas cuatro cargas puntuales dispuestas en un plano XY con los siguientes valores y posiciones (X, Y):

-q : (d, 0) 4q : (0, 2h) -9q : (-3d, 0) q : (0, - h)

Halle el campo eléctrico en el origen de coordenadas del sistema: Solución:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2. La gráfica representa el valor del campo eléctrico en función de la distancia con respecto al centro, para una distribución de simétrica esférica de carga. A partir de esta gráfica dibuje en los ejes V, r, la correspondiente función del potencial electrostático. Considere el potencial en el infinito nulo.

Solución:

Tramo (1):

Tramo (2):

∫




Ca

pít

ulo

2.

147

Tramo (3).

∫

3. En el interior de una región del espacio finita la carga neta es cero. ¿ Se puede afirmar que el campo

eléctrico en toda esta región es nulo ? ¿ Se puede afirmar que el campo en la superficie que encierre esta región es cero ?. Solución: Se puede afirmar que el campo en la superficie que encierre esta región es cero. Pero en el inferior no necesariamente es cero.

4. A y B lámina conductores planas muy grandes entre las cuales existe inicialmente una diferencia de potencial . ¿ Qué cambios en el valor del campo y la diferencia de potencial entre las placas, ocurren

cuando se introduce una placa conductora descargada de espesor , como se indica en la figura.

Solución:

∫

∫

∫

(

*

∫ ∫ ∫

∫

∫

( ( ))

( )

5. Calcule el flujo de un campo eléctrico uniforme sobre la superficie esférica de un cascarón hemisférico (R= radio del hemisferio).

Solución:

∫ ∫ ( ) ∫

∫ ∫ ( )

( ) ∫

( ) .

/




Ca

pít

ulo

2.

148

( )

6. Al colocar un dipolo eléctrico cerca de las siguientes distribuciones uniformes de carga, indicadas en las

figuras de abajo, cuál es su desplazamiento?

a. Alambres rectilíneo infinito:

Rta: El dipolo se desplaza en sentido de , puesto que éste está orientado de –q a +q, entonces habrá repulsión electrostática. b. Cascarón esférico:

Rta: Se desplaza en sentido contrario a por efecto de repulsión electrostática. c. Esfera no conductora:

Rta: Se desplaza en sentido contrario a , la fuerza neta es de atracción. 7. En la figura A, B y C son tramos diferenciales

de igual longitud, orientados como se indica, en presencia de un campo eléctrico no uniforme representado en la figura.

Para cuál de ellos la magnitud será: a. Máxima. b. Cero.

Solución:

a. es máxima para D, ya que el producto es máximo cuando:

( )

b. es cero para B, ya que




Ca

pít

ulo

2.

149

8. ¿ Qué dirección debe tener el vector gradiente V con respecto a cualquier superficie ( ) = Constante ?.

Solución:

( )

El vector es nulo. Luego no tiene dirección por cuanto no existe, desde punto de vista matemático.

Pero físicamente siempre es perpendicular a las superficies equipotenciales, ya que

,

De donde se concluye que es perpendicular a la superficie equipotencial de V constante.

Ca

pít

ulo

3




Resumen:

La capacitancia es un elemento importante dentro del mundo electrostático, ya que permite el almacenamiento de energía. gracias a la existencia de materiales que pueden retener la carga superficial que los rodea y generar superficies de potencial, es decir diferencias de potencial entre sus terminales, convirtiéndose así en elementos básicos de circuitos eléctricos, como el caso de capacitores de placas paralela, cilíndricos y esferas, etc. De igual forma se verán los posibles arreglos de capacitancias paralelo y serie, para los cuales se establecerán relaciones de equivalencia.

CAPACITANCIA Cap. 3



151

Ca

pít

ulo

3.


CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

152

Capítulo 3. CAPACITANCIA

CAPÍTULO 3. CAPACITANCIA ............................................................................................................................................ 152

III. CAPACITANCIA........................................................................................................................................................ 153

3.1 DEFINICIÓN ........................................................................................................................................................... 153

3.2 CONDUCTOR AISLADO Y DOS CONDUCTORES CERCANOS .................................................................................... 153

3.3 CONDENSADOR (O CAPACITADOR) ....................................................................................................................... 154

3.4 CALCULO DE CAPACIDADES ................................................................................................................................... 154

3.4.1 CAPACITADOR DE LÁMINAS PLANAS PARALELAS: ................................................................................................. 155

3.4.2 CAPACITADOR CILINDRICO .................................................................................................................................... 156

3.4.3 CAPACITADOR ESFERICO ....................................................................................................................................... 157

3.5 COMBINACIÓN DE CONDENSADORES ................................................................................................................... 158

3.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: ..................................................................................................................................... 158

3.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: ............................................................................................................................................. 159

3.6 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR .................................................................................................. 160

3.7 AUTOENERGIA DE CARGAS ELÉCTRICAS ................................................................................................................ 162

3.8 FUERZA ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR .............................................................................................. 162


3.10 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 165

3.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................................ 172

CAPACITANCIA Cap. 3



153

Ca

pít

ulo

3.

III. CAPACITANCIA

3.1 DEFINICIÓN La capacitancia o capacidad de un capacitador o condensador se define mediante.

Donde Q es por convenio, la carga situada sobre el electrodo, placa o armadura positiva del capacitador, y es la caída o diferencia de potencial del conductor con carga negativa, por tanto, en un capacitador, es una cantidad eminentemente positiva. La razón , para un capacitador, es una constante independiente de su diferencia de potencial y de su carga, depende solamente de la geometría de las líneas de campo y de las propiedades del medio entre los conductores. La disposición geométrica de los conductores incluye el tamaño, la forma y el espaciamiento de las armaduras. El medio entre los conductores puede ser aire, vacío, parafina o cualquier material aislante. La capacidad de un conductor, o de un conjunto de conductores, se mide por la cantidad de carga que se le debe suministrar para elevar su potencial en un voltio. La unidad de capacidad en los sistemas mks y SI se denomina faradio (F), designada así en honor del físico inglés Michael Faraday. Ordinariamente los valores de C son muy pequeños y por tal motivo se utiliza submúltiplos. Uno de estos es el micro-faradio ( ) . Otro es el nano-faradio ( ) , y también se usa otro llamado picofaradio ( ) . Las relaciones son:

3.2 CONDUCTOR AISLADO Y DOS CONDUCTORES CERCANOS En ocasiones se habla de un cuerpo único y aislado, pero como es natural, en la práctica no puede conseguirse un cuerpo totalmente aislado de los demás. Sin embargo, si las distancias de separación entre él y otro cuerpo cualquiera es grande en comparación con sus propias dimensiones, podemos para todos los efectos prácticos considerarlo aislado y la capacidad de un cuerpo así suele denominarse capacidad respecto a tierra o respecto al infinito considerado este como tierra. Para el caso de una esfera conductora aislada, de radio R y carga Q, la capacidad viene dada por

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

154

Donde

Como puede apreciarse la capacidad de la esfera aislada aumenta proporcionalmente con su radio. Fig. 3.2-1 Dos conductores con Cargas +q y –q constituyen una Configuración denominada Capacitador. En el caso de la figura (3.2-1), cada uno de los dos conductores cargados es una superficie equipotencial dos conductores cargados es una superficie equipotencial y, al menos que Q=0, estarán a potenciales distintos.

3.3 CONDENSADOR (O CAPACITADOR) Un condensador o capacitador de la figura es un dispositivo que consta de dos conductores (llamados armaduras o placas), que poseen cargas iguales y opuestas y que sirve para almacenar cargas y energía. El fenómeno de almacenamiento de cargas sobre un condensador fue investigado por Benjamín Franklin en los años 1747 y 1748, y demostró que las cargas sobre las armaduras de un condensador tienen signos opuestos. Franklin construyó un condensador mediante una placa de vidrio recubierta por ambos lados con hojas de estaño. La palabra “condensador” se originó por la idea de que los condensadores condensaban la electricidad en una forma nueva y más poderosa. Entre las diferentes clases de condensadores de capacitancias fijas y variables se encuentran: el condensador de placas planas paralelas, el condensador cilíndrico y el condensador esférico. Ordinariamente un capacitador de capacitaciones fija se representa esquemáticamente mediante el símbolo

En donde las líneas verticales representan las placas. El símbolo utilizado en un diagrama de circuito para representar un capacitador de capacitancia variable es

3.4 CALCULO DE CAPACIDADES Para calcular la capacidad de parejas de conductores de diversas formas se utiliza la definición general

CAPACITANCIA Cap. 3



155

Ca

pít

ulo

3.

O también puede hacerse mediante el cálculo de , utilizando la ecuación de Laplace, o utilizando el método de relajación.

3.4.1 CAPACITADOR DE LÁMINAS PLANAS PARALELAS: Consiste de dos láminas paralelas de área A separadas por una pequeña distancia d, como se muestra en la figura (3.4.1)

Fig. 3.4-1 condensador de placas planas paralelas.

La capacidad se determina de la siguiente manera:

Si depositamos la carga ±Q sobre cada placa, la densidad de carga sobre la superficie de cada placa es

(3.4.1-1) Donde A es el área de cada placa La expresión para el campo eléctrico entre las placas es

(3.4.1-2) Y la diferencia de potencial entre las placas es

∫

∫

Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es constante

∫

∫

(3.4.1-3) Sustituyendo la Ec. (3.4.1-2) en la Ec. (3.4.1-3) se obtiene

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

156

Luego la capacitancia de un capacitador de placas planas paralelas es

(3.4.1-4)

3.4.2 CAPACITADOR CILINDRICO Consiste de dos cilindros coaxiales de longitud L y de radios a y b. El cilindro interior tiene una densidad lineal de carga λ y el cilindro exterior una densidad lineal de carga –λ, como lo ilustra la fig. (3.4.2)

∫

∫

∫

El campo eléctrico solo tiene componente radial y su magnitud está dada por

Entonces

∫

∫

( )

( )

(3.4.2-1) La capacidad por unidad de longitud es

( )

(3.4.2-2) Si los conductores cilíndricos se encuentran uno muy cerca del otro, tal que, b = a + d, con d << r usando la aproximación

(

* (

*

Fig. 3.4.3 Capacitador Cilíndrico.

CAPACITANCIA Cap. 3



157

Ca

pít

ulo

3.

Obtenemos

( )

( )

( )

Que corresponde a la capacidad de un condensador de placas planas paralelas, siendo el área , y d la distancia se separación entre los cilindros.

3.4.3 CAPACITADOR ESFERICO Consiste de dos conductores esféricos concéntricos de radios a y b, como lo indica la figura (3.4.3).

Fig. 3.4.3 Capacitador Esférico. Al colocar sobre la esfera interior (a través de un pequeño orificio practicado en la esfera exterior), una carga Q, en la cara interna de la otra esfera se induce una carga igual y opuesta –Q, como consecuencia del teorema de Gauss. Solamente existe campo en la región entre las esferas, y la diferencia de potencial se obtiene de la siguiente manera.

∫ ∫

∫

Pero la magnitud del campo en medio de las dos esferas se obtiene utilizando e teorema de Gauss, dando por resultado

Entonces

∫

.

/

Luego

(

*

( )

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

158

Por tanto

( )

( )

Si el radio a tiende al radio b y la separación de las cortezas es d = b-a, se tiene:

En donde es el área de la superficie esférica.

3.5 COMBINACIÓN DE CONDENSADORES Se puede conectar varios condensadores en diversas combinaciones, a saber: conexión en paralelo, conexión en serie, o una combinación de ambas.

3.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: Dos o más condensadores están conectados en paralelo cuando todas las placas o armaduras positivas están conectadas al mismo potencial V mientras todas las armaduras negativas están conectadas de modo análogo a tierra, como se indica en la fig. (3.5.1).

Fig. 3.5.1 Condensadores conectados en paralelo.

En este caso, la diferencia de potencial es la misma para todos los condensadores, y las cargas de los mismos son:

(3.5.1-1)

La carga total q sobre todas las placas positivas de los condensadores es la suma de los valores correspondientes a los condensadores individuales

∑

(3.5.1-2)

CAPACITANCIA Cap. 3



159

Ca

pít

ulo

3.

Reemplazo las Ecs. (3.5.1-1) en la Ec. (3.5.1-2) se obtiene

( ) ∑

(3.5.1-3) Por tanto

∑

(3.5.1-4) Siendo C la capacidad equivalente a n condensadores conectados en paralelo. Por tanto diremos que la capacidad equivalente a n condensadores en paralelo es igual a la suma de las capacidades de los condensadores aislados.

3.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: Dos o más condensadores están conectados en serie cuando el terminal positivo de un condensador está conectado al terminal o armadura negativa del siguiente, como se muestra en la figura (3.5.2)

Fig. 3.5.2 Condensadores conectados en serie

La diferencia de potencial total entre los extremos de la serie es la suma de las diferencias de potencial individuales

∑

(3.5.2-1) La diferencia de potencial V, aplicada en los extremos, produce una carga positiva q sobre la armadura positiva de . Por el fenómeno de inducción aparecerá una carga igual y opuesta –q en la armadura negativa, pero esto solo sucederá mediante la separación de cargas en el interior del circuito que conecta esta armadura con la armadura positiva de , dando lugar a una carga q sobre la armadura positiva de , la cual induce una carga –q

sobre la armadura negativa de . De acuerdo con el razonamiento anterior

(3.5.2-2)

Por definición q =CV, entonces

(3.5.2-3)

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

160

Por consiguiente

(3.5.2-4) Luego, sustituyendo la Ec. (3.5.2-4) en la Ec. (3.5.2-1) se obtiene

∑

∑

Por tanto,

∑

(3.5.2-5) Despejando C se sigue que

∑

(3.5.2-6) Donde c es la capacidad equivalente a n condensadores conectados en serie. Por tanto diremos que la capacidad equivalente a n condensadores conectados en serie es igual al inverso de la suma de los inversos de las capacidades de los condensadores individuales.

3.6 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR Los condensadores o capacitores no solamente se usan como dispositivos para almacenar carga eléctrica sino que también se usan para almacenar energía eléctrica. Consideramos el capacitor mostrado en la fig. (3.6)

Fig. 3.6 Si la carga dQ es movida de la placa cargada negativamente a la placa cargada positivamente, uno tiene

que suministrar la energía dw =V dQ.

Si movemos la carga dQ de la placa cargada negativamente a la placa cargada positivamente, es decir, la acercamos contra las fuerzas del campo, tenemos que hacer un trabajo

(3.6-1)

CAPACITANCIA Cap. 3



161

Ca

pít

ulo

3.

Este trabajo es el necesario para añadir el incremento de carga dQ a la placa cargada positivamente que se encuentra a potencial V. Al mismo tiempo se incrementan las cargas ±Q a ± (Q + dQ). Considerando ahora que toda la carga Q es movida en incrementos dQ de una placa a la otra. Durante este proceso la diferencia de potencial

(3.6-2) Cambiará continuamente, siendo Q la carga ha sido trasmitida antes. La energía total almacenada en el sistema es igual al trabajo realizado en el proceso de carga condensador, entonces

∫ ∫

De donde se sigue que

(3.6-3) La Ec. (3.6-3) puede escribirse, usando la Ec. (3.6-2) en tres formas equivalentes

(3.6-4) E donde el valor de U representa la energía potencial electrostática almacenada en el condensador cargado. Esta energía se encuentra almacenada en el campo eléctrico. En suma diremos que el trabajo realizado para cargar el condensador produce un campo eléctrico en una región del espacio y que la existencia de este campo lleva consigo la existencia de la energía almacenada. Podemos determinar la relación entre la energía alma cenada y la intensidad del campo eléctrico considerado al condensador de placas paralelas.

Pero

Entonces

Pero

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

162

Luego

Pero el volumen que contiene el campo es Ad, entonces la densidad de energía por unidad de volumen u está dada por

Por lo tanto, la expresión general para la energía potencial almacenada en el campo en el campo electrostático es

∫

(3.6-5) Donde la integral debe efectuarse sobre todo el volumen en donde esté contenido el campo.

3.7 AUTOENERGIA DE CARGAS ELÉCTRICAS Consideremos dos cargas aisladas a gran distancia. La autoenergía de cada carga debida al campo colombiano de cada carga, está dado por la Ec. (3.6-5). Si se aproximan las dos cargas de tal modo que exista una apreciable superposición de campos, la energía total

almacenada estará dad por la misma expresión, siendo , es decir, la suma vectorial de los campos de las cargas individuales. Luego

∫( )

∫

∫

∫ ( )

Donde los primeros términos son las autoenergías de las dos cargas eléctricas y el último término es la energía potencial de una carga en el campo de la otra.

3.8 FUERZA ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR Consideremos el condensador mostrado en la (3.8)

Fig. 3.8 es la fuerza de atracción entre las placas de un condensador y –F es la fuerza que debemos aplicar para

separarlas (cuasi-estáticamente).

CAPACITANCIA Cap. 3



163

Ca

pít

ulo

3.

El trabajo extremo necesario para aumentar la distancia entre las placas una cantidad dx es –F dx, ya que hemos

considerado que es la fuerza de atracción entre las placas y - es la fuerza que debemos aplicar a las placas para separarlas cuasi-estáticamente. El aumento resultante de energía es

Entonces

.

/

Luego

En donde el signo negativo indica que estará dirigida en el sentido negativo de las x, es decir, hay atracción entre las placas.

3.9 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES

OBJETIVOS:

- Calcular la capacidad de distintas clases de condensadores. - Hallar la capacidad equivalente de una combinación de condensadores. - Determinar la energía potencial eléctrica almacenada en un condensador para el

caso de carga constante y el caso de potencial constante.

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

164

DESCRIPCIÓN SINÓPTICA

LA CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR SE OBTIENE A PARTIR DE:

q =Carga de la placa positiva.

= Diferencia de potencial de la placa (+) A la placa (-).

CLASE DE CONDENSADOR CAPACITANCIA

Condensador de placas planas paralelas.

Condensador cilíndrico.

(

)

Condensador esférico. (

)

∑ En paralelo

Combinación de condensadores.

∑

En serie

Carga Constante.

Energía almacenada en un condensador.

Potencial Constante

OBSERVACIONES: La capacidad de un condensador es una constante independiente de la diferencia de

potencial y de la carga, depende solamente de la geometría.

La capacidad del condensador equivalente a dos o más condensadores conectados en

serie tiene un valor menor que la capacidad de cualquiera de los condensadores que

hacen parte de la conexión.

La fuerza entre las placas de un condensador es de atracción.

CAPACITANCIA Cap. 3



165

Ca

pít

ulo

3.

3.10 PROBLEMAS 1. (4.1K) Hallar la capacidad de un par de cilindros

metálicos coaxiales de radios a y b, y longitud ℓ, tal como indica la figura.

Solución:

∫

∫ | |

Usando la ley de Gauss:

| | | | ( )

∫

∫

* +

* +

2. Hallar la capacidad de la combinación de condensadores indicados en la figura anexa.

Solución:

Los condensadores y están conectados en paralelo, por tanto, el sistema puede reducirse a:

Este sistema se puede reducir a un solo condensador así:

( )

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

166

3. (4.5 K) Un condensador plano con separación entre placas d tiene una capacidad . Calcular su nueva capacidad cuando se introduce entre sus placas una lámina metálica aislada de espesor a.

Solución:

El sistema mostrado en la figura está conformado por dos condensadores conectados en serie, por tanto su nueva capacidad es:

( )

* +

4. (4.9K) Calcular la capacidad del condensador de placas múltiples indicado en la figura anexa. El área de

superposición de las placas es A y la separación entre sus placas consecutivas d. Los condensadores variables utilizados en radio, etc., se construyen de este modo con un dispositivo mecánico que permite cambiar el área de superposición.

Solución:

La conexión mostrada corresponde a seis condensadores en paralelo, por tanto:

∑

5. (4.11 K) A través de dos condensadores de conectados en serie, se aplica una diferencia de

potencial de 200 voltios. ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de cada uno de ellos, y cuál su carga?

Solución:

CAPACITANCIA Cap. 3



167

Ca

pít

ulo

3.

Este sistema es equivalente a:

( )( )

( ) ( )

(

* ( )

Como están conectados en serie la carga es igual.

6. (4.13 K) Una esfera conductora aislada de radio R tiene una carga ¿Cuál es la energía total almacenada?

¿Cuál es el radio en el que está contenida la mitad de la energía almacenada?

Solución:

a) Cálculo de la energía total almacenada:

∫

Usando teorema de Gauss:

∮

∫ [

]

∫

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

168

0

1

[

]

b) Cálculo del radio r en el cual está contenida la mitad de la energía almacenada.

∫ [

]

0

1

[

]

0

1

[

]

7. (4.15 K) Un condensador esférico, con radios a y b de las esferas interior y exterior respectivamente, tiene una carga q en el interior. ¿Qué carga total debe colocarse sobre la esfera exterior (r = b) para que el campo eléctrico quede confinado en la región situada entre las esferas a a < r <b?

Solución:

Al colocar la carga q en la esfera de radio a, se induce una carga –q en la superficie interior de la esfera de radio b, por tanto en el exterior de la esfera de radio b aparece una carga q; de tal modo, si colocamos una carga –q en la esfera de radio b, la carga neta es cero, por tanto utilizando ley de Gauss el campo eléctrico en el exterior es cero.

8. (4.17K) Dos condensadores, uno cargado y otro descargado se conectan en paralelo. Demostrar que, cuando se alcanza el equilibrio, cada condensador lleva una fracción de la carga inicial igual a la relación entre su capacidad y la suma de ambas capacidades. Comprobar que la energía final es menor que la energía inicial, y deducir una fórmula que dé la diferencia en función de la carga inicial y las capacidades de los dos condensadores.

Solución:

ANTES DESPUES

CAPACITANCIA Cap. 3



169

Ca

pít

ulo

3.

Usando el principio de conservación de la carga:

Carga antes = Carga después

Pero:

( )

Luego:

(

*

La carga final del condensador es:

(

* (

*

La carga final del condensador es:

(

* (

* (

*

Energía final:

( )

( ) (

*

.

/

( )

Energía inicial:

VARIACIÓN DE ENERGÍA:

( )

( )

( )

( )

9. (30.5 H) La figura anexa muestra dos condensadores en serie; la sección rígida central de longitud b se

puede mover verticalmente. Demuestre que la capacidad equivalente de la combinación en serie es independiente de la posición de la sección central dad por:

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

170

Solución:

[( ) ( )

] [

( )

(

)]

Pero:

10. (30.8 H) Un condensador tiene armaduras cuadradas, casa una de lado a, formando un ángulo entre sí,

como se ve en a figura anexa. Demuestre que para pequeños valores de la capacitancia está por la fórmula

.

/

Solución:

( )

( )

Pero para pequeño,

( )

∫

( )

( ( ))

( ( ) )

(

*

(

*

Pero: ( )

.

/

(

*

CAPACITANCIA Cap. 3



171

Ca

pít

ulo

3.

11. (30.13 H) Encontrar la capacidad efectiva entre los puntos X y Y en la figura anexa. Considere que y que todos los demás condensadores son de .

(Sugerencia: Aplique una diferencia de potencial V entre X y Y; escriba todas las fórmulas que relacionan las cargas y las diferencias de potencial para cada uno de los condensadores). Solución:

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

172

3.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Evalúe la capacitancia equivalente de la figura. Todas las capacitancias valen C.

SOLUCION:

En el primer lazo hay un capacitor de capacitancia C1 =C.

En el segundo lazo hay dos capacitores en serie que tienen una

capacitancia equivalente 2

2

C

CC

CCC

En el tercer lazo hay tres capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente 3111

13

C

CCC

C

Luego la capacitancia equivalente se obtiene como si se tuvieran tres capacitores 21, CC y 3C conectados en paralelo, por

tanto:

CCC

CCCCC6

11

32321

2. Un capacitor esférico de capacitancia C está compuesto por dos superficies esféricas tales, que el radio de una es dos veces

el de la otra. Halle el volumen entre las esferas.

SOLUCION:

El volumen entre las esferas está dado por:

333

3

28

3

4)2(

3

4rrrvolumen

3. Considere el circuito de la figura anexa. .203,6 21 VoltsVyFCFC

Primero se cierra S1. Luego se abre S1 y se cierra S2.

Calcule la carga inicial en C1 y la carga final en cada capacitor.

SOLUCION:

Cuando se cierra el interruptor S1, la batería de 20 voltios carga al capacitor

C1 con una carga inicial dada por:

CxVFxVCqinicial46

1 102.1)20)(106(

Posteriormente, cuando se abre S1 y se cierra S2, el sistema corresponde a conectar en paralelo los capacitores C1 y C2., de tal

manera que del principio de conservación dela carga:

C

C C

C C C

V

S2C2

C1

S1

CAPACITANCIA Cap. 3



173

Ca

pít

ulo

3.

211 ffidespuésantes qqqqq

Es decir, la carga inicial del capacitor C1 es igual a la suma de las cargas finales del capacitor C1 y del capacitor C2. De tal

manera que:

fff VCCVCVCVCCx )(102.1 212114

Entonces:

VoltsFx

Cx

CC

VCV f 33.13

109

102.1

)( 6

4

21

1

Por consiguiente las cargas finales de los capacitores son respectivamente:

FxVFxVCq ff56

11 108)33.13)(16(

FxVFxVCq ff56

21 1099.3)33.13)(13(

4. Una capacitor que sólo tiene aire entre las placas se carga mediante una fuente. Luego se desconecta de la fuente de carga

y se conecta a un voltímetro.

Explique por qué la lectura del voltímetro se altera al introducir al introducir un dieléctrico entre las placas del capacitor.

SOLUCION:

Consideremos que el capacitor tiene una capacitancia C0. Cuando se conecta a la fuente 0V adquiere una carga dada por:

00VCQ de tal manera que al conectar el voltímetro, este indicara una lectura 0V .

Si posteriormente se introduce un dieléctrico entre las placas del capacitor, entonces por el principio de conservación de la

carga se tiene:

VKCVCQQ despuésantes 000

Luego:

K

VV 0

Esto significa que la diferencia de potencial después de introducir el dieléctrico, disminuye en el factor K.

5. Por qué es peligroso tocar los terminales de un capacitor de alto voltaje incluso después de que el voltaje se ha eliminado?

SOLUCION:

Porque el capacitor puede estar cargado y al tocar los terminales se descarga a través del cuerpo de la persona, pudiéndole

ocasionar la muerte, de acuerdo al tamaño y carga del capacitor.

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

174

6. Puesto que la carga neta de un capacitor es cero, qué almacena un capacitor?

SOLUCION:

El capacitor almacena energía potencial electrostática.

7. Considere el circuito mostrado en la figura anexa, donde

FCFC 0.3,0.6 21 y VV 0.20 .

El capacitor C1 se carga primero cerrando el interruptor S1.

Este interruptor se abre después, y el capacitor cargado se conecta al

capacitor descargado al cerrar S2. Calcule la carga inicial adquirida por C1 y

la carga final en cada capacitor.

SOLUCION:

Cuando se cierra el interruptor S1, la carga que se deposita sobre el capacitor C1, es:

CxVFxVCQ 4611 102.1)0.20)(100.6(

Cuando S1 se abre y S2 se cierra, la carga total permanece constante y se reparte en los dos capacitores:

ffff VCVCCxQQQ 214

211 102.1

Fx

CxVVCCCx ff 6

4

214

109

102.1)(102.1

VoltsV f 33.13

Como los dos capacitores quedan conectados en paralelo significa que quedan sometidos a la misma diferencia de potencial

fV .

Luego:

CxVFxVCQ ff66

11 1080)3.13)(106(

CxVFxVCQ ff66

22 1040)3.13)(103(

8. Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa 0.64 cm2. Cuando las placas están en el vacío, la capacitancia del

dispositivo es de 4.9 pF. a) Calcule el valor de la capacitancia si el espacio entre las placas se llena con nylon. b) ¿Cuál es la

diferencia de potencial máxima que puede aplicarse a las placas sin producir rompimiento dieléctrico?

SOLUCION:

La capacitancia del capacitor con dieléctrico es:

)9.4(4.30 pFKCC

)66,16 pFC

V

S2

C2 C1

S1

CAPACITANCIA Cap. 3



175

Ca

pít

ulo

3.

La capacitancia del capacitor sin dieléctrico es:

d

AC 0

0

Fx

mxx

C

Ad

12

2412

0

0

109.4

)1064.0)(10854.8(

mxd 41015.1

La resistencia dieléctrica del nylon es 14x106 V/m. Por tanto podemos hacer una regla de tres para averiguar la máxima

diferencia de potencial que puede aplicarse a las placas sin producir rompimiento dieléctrico:

mxE

mmVx

4máx

6

1015.1

1/1014

Entonces:

mVm

m

Vm

E /16101

)1014)(1015.1( 64

máx

9. Un capacitor comercial se construye como en la figura anexa. Este capacitor particular se enrolla a partir de dos tiras de

aluminio separadas por dos tiras de papel cubierto de parafina.

Cada tira de lámina de papel mide 7.0 cm de ancho. La lámina tiene un

espesor de 0.0040 mm; el papel tiene un espesor de 0.025 mm y una

constante dieléctrica de 3.7.

¿ Qué longitud deben tener las tiras si se desea una capacitancia de 9.5 x10-

8F? (Emplee la fórmula de placas paralelas).

SOLUCION:

d

lxK

d

AKC

)107( 200

mxxxx

xx

xK

Cdl

212

38

20 10710854.87.3

)10025.0)(105.9(

)107(

ml 04.1

10. Cuatro capacitores se conectan como se muestra en la figura

anexa.

Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b y

calcule la carga en cada capacitor si VVab 15 .

Tiras de

Aluminio

Tiras de

Papel

a

b

15 F 3 F

6 F

20 F

C1

C2 C3

C4

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

176

SOLUCION:

Teniendo en cuenta que los dos primeros capacitores del lazo superior están en serie, la capacidad equivalente 23C se

calcula así: FF

FF

CC

CCC

5.2

18

)3)(15(

32

3223

Por tanto, el circuito se puede reducir al siguiente:

Como puede apreciarse los capacitores C1 y C23 están en paralelo,

por consiguiente:

FCCC 5.8123123

Luego el anterior circuito se puede reducir al

Estos dos capacitores están conectados en serie, por consiguiente su capacitancia equivalente es:

FFF

FF

CC

CCC

96.5

205.8

)20)(5.8(

4123

41231234

La carga en el capacitor C4 se calcula de la siguiente manera:

CxVFxVCq 5612344 1094.8)15)(1096.5(

La diferencia de potencial V1 entre los extremos del capacitor C123 se obtiene así:

VoltiosFx

Cx

C

qV 52.10

105.8

1094.86

5

123

41

Luego:

CxVFxVCq 66111 1015,63)52.10)(106(

CxVFxVCq 661232 103.26)52.10)(105.2(

CxVFxVCq 661233 103.26)52.10)(105.2(

a

b

6 F

20

F

2,5 F

C4

C23

C1

C4

a

b

20

F

C123

8.5 F

a

b C123

CAPACITANCIA Cap. 3



177

Ca

pít

ulo

3.

11. Un grupo de capacitores idénticos se conectan primero en serie y después en paralelo. La capacitancia combinada en

paralelo es 100 veces mayor que la correspondiente a la conección en serie. ¿Cuántos capacitores están en el grupo?

SOLUCION:

Consideremos que la capacitancia de cada capacitor es C, entonces la capacidad equivalente a N capacitores de capacitancia

C conectados en paralelo está dada por:

N

i

iparaleloeq CC1

La capacitancia equivalente a N capacitores conectados en serie está dada por:

N

i i

serieeq

C

C

1

1

1

De la condición del problema:

serieeqparaleloeq CC 100

Luego:

1001

11

N

j i

N

i

iC

C

10100100 2

NN

C

NNC

12. Una placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capacitor de placas

paralelas con espaciamiento s y área superficial A como en la figura anexa.

¿Cuál es la capacitancia del sistema?.

SOLUCION:

La capacitancia del sistema se calcula como si tratara de dos capacitores conectados en serie, así:

21

21

CC

CCC


2

01

ds

AC

;

2

02

ds

AC

s d

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

178

Luego:

ds

A

ds

A

ds

A

C

0

0

2

0

2

2

2

13. Calcule la energía almacenada en un capacitor de 18 F cuando se carga hasta un potencial de 100V.

SOLUCION:

La energía almacenada en un capacitor está dada por:

JxVFxCVU 2262 109)100)(1018(2

1

2

1

14. Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 0.64 cm2. Cuando las placas están en el vacío, la capacitancia

del dispositivo es de 4.9 pF.

a) Calcule el valor de la capacitancia si el espacio entre las placas se llena con nylon.

b) ¿Cuál es la diferencia de potencial máxima que puede aplicarse a las placas sin producir rompimiento dieléctrico?

SOLUCION:

a) La capacitancia Cd de un capacitor con dieléctrico es K veces la capacitancia C0 del mismo capacitor sin dieléctrico.

pFpFKCCd 66.16)9.4(4.30

b) Se sabe que el máximo voltaje que puede aplicarse a un capacitor sin producir una descarga depende de la resistencia

dieléctrica (intensidad de campo eléctrico máxima) que para el caso del nylon es de 14x106 V/m. Luego, haciendo uso de la

siguiente regla de tres, se tiene:

mxx

mmVx

4

6

1015.1

1/1014

Luego:

mmVmxx 1/)/10)(14)(1015.1( 64

mVx /1610

CAPACITANCIA Cap. 3



179

Ca

pít

ulo

3.

15. Cuando dos capacitores se encuentran en paralelo la capacitancia equivalente es 4.00 F. Si los mismos capacitores se

reconectan en serie, la capacitancia equivalente es un cuarto de la capacitancia de uno de los dos capacitores. Determine las

dos capacitancias.

SOLUCION:

Consideremos que los dos capacitores tienen capacidades C1 y C2.

Cuando se conectan en paralelo su capacitancia equivalente es:

FCCC paraleloeq 4)( 21

Cuando se conectan en serie, su capacitancia equivalente es:

1

21

4

1

11

1)( C

CC

C serieeq

Luego:

)(4

1

4

12121

21

21 CCCCCC

CC

1212 34

1

4

3CCCC

Sustituyendo esta última relación en la primera ecuación se obtiene:

FCFCFCC 14443 2222

Nuevamente sustituyendo este valor en la primera ecuación se sigue que:

FFFC 3141

16. Tres capacitores de 8.0 F, 10.0 F y 14 F se conectan a los terminales de una batería de 12 V. ¿Cuánta energía

suministra la batería si los capacitores se conectan a) en serie, y b) en paralelo?

SOLUCION:

a) Para el caso de conexión en serie la capacitancia equivalente es:

321

111

1

CCC

Cserie

Entonces, reemplazando numéricamente:

F

FFF

Cserie

37.3

14

1

10

1

8

1

1

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

180

Luego, la energía potencial eléctrica almacenada en el capacitor equivalente a los tres capacitores conectados en serie es:

22 )12)(37.3(2

1

2

1VoltsFVCU serie

JU 64.242

b) La capacitancia equivalente para la conexión de los tres capacitores en paralelo es:

FCCCCparalelo )14108(321

FCparalelo 32

Luego la energía potencial electrostática almacenada en el capacitor equivalente a los tres conectados en paralelo es:

22 )12)(32(2

1

2

1VoltsFVCU paralelo

mJJU 3.22304

17. Un capacitor aislado de capacitancia desconocida se ha cargado hasta una diferencia de potencial de 100 V. Cuando el

capacitor cargado se conecta después en paralelo a un capacitor de 10 F descargado, el voltaje a través de la combinación es

igual a 30 V. Calcule la capacitancia desconocida.

SOLUCION:

Cuando el capacitor se conecta a la batería adquiere una carga que llamaremos Qinicial, dada por:

CVoltsCCVQinicial 100)100(

Cuando el capacitor cargado se conecta en paralelo a un capacitor de 10 F, la carga del sistema formado por los dos

capacitores, que llamaremos Qfinal, está dada por:

fffinal VFCVQ )10(

Luego, de acuerdo al principio de conservación de la carga:

finalinicial QQ

ff VFCVCVolts )10()100(

Teniendo en cuenta que Vf = 30 voltios, se sigue que:

)30)(10()30()100( VoltsFVoltsCCVolts

VoltsFCVolts 300)70(

FFC 28.470

300

CAPACITANCIA Cap. 3



181

Ca

pít

ulo

3.

18. Un capacitor aislado de capacitancia desconocida se ha cargado hasta una diferencia de potencial V0. Cuando el capacitor

cargado se conecta después en paralelo a un capacitor C descargado, el voltaje a través de la combinación es V < V0. Calcule

la capacitancia desconocida.

SOLUCION:

Consideremos que C1 es la capacitancia desconocida, entonces cuando se conecta a una diferencia de potencial V0. Adquiere

una carga Qinicial dada por:

01VCQinicial

Cuando el capacitor cargado C1 se conecta al capacitor C descargado, la carga Qfinal que se almacena en este sistema formado

por los dos capacitores es:

CVVCQ final 1

Haciendo uso del principio de conservación de la carga se sigue que:

finalinicial QQ

CVVCVC 101

Despejando C1:

VV

CVCCVVVC

0

101 )(

19. Un capacitor de placas paralelas con separación de placas d se carga hasta una diferencia de potencial V0. Una placa

dieléctrica de espesor d y constante dieléctrica K se introduce entre las placas mientras la batería permanece conectada a

estas.

a) Muestre que la proporción entre la energía almacenada después de que el dieléctrico se introduce y la energía almacenada

en el capacitor vacío es U/U0 = K. Brinde una explicación física para este aumento en la energía almacenada.

b) ¿Qué sucede con la carga en el capacitor?

SOLUCION:

a) La energía potencial electrostática almacenada en el capacitor sin dieléctrico es:

2000

2

1VCU

La energía potencial electrostática almacenada en el capacitor con dieléctrico es:

20

2

2

1

2

1VKCCVU

Luego la razón entre la segunda y la primera ecuación es:

KU

U

0

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

182

b) Como el potencial permanece constante, debido a que la batería sigue conectada, se sigue que:

VV 0

KQ

Q

KC

Q

C

Q

C

Q

000

0

Esto significa que al mantener conectada la batería, cuando se conecta el capacitor C en paralelo, esta suministra al sistema

de los dos capacitores conectados en paralelo un incremento de carga igual a Q-Q0=KQ0-Q0=(K-1)Q0.

20. Un capacitor de placas paralelas se construye utilizando tres materiales dieléctricos, como se muestra en la figura.

Encuentre una expresión para la capacitancia del dispositvo en términos del área de la placa A, el espacio entre las placas d, y

las constantes dieléctricas K1, K2, K3.

SOLUCION:

La capacidad equivalente se obtiene como si se tratara de dos capacitores

conectados en paralelo: uno correspondiente a C1 y el otro a la combinación

en serie de C2 y C3.

32

321231

CC

CCCCCC


;2/

2/;

2/ 022

011

d

AKC

d

AKC

2/

2/033

d

AKC

Luego:

d

A

KK

KK

d

AKC 0

32

3201

)(2

32

3210

2 KK

KKK

d

AC

21. Cada capacitor en la combinación mostrada en la figura anexa tiene un voltaje de

ruptura V, cuál es el voltaje de ruptura de la combinación?

SOLUCION:

Como el potencial de ruptura en cada capacitor es V, significa que el máximo valor de

potencial que puede soportar en sus extremos es V, por tanto los capacitores que están

conectados en paralelo se encuentran al mismo potencial y el valor máximo que

soportan es V.

Por consiguiente el capacitor equivalente puede soportar un máximo valor de voltaje de ruptura igual a 3V.

V V

d

l

d/2

l/2

K1 K2

K3

20 F 20 F

10 F

20 F 20 F

CAPACITANCIA Cap. 3



183

Ca

pít

ulo

3.

22. La placa izquierda de un capacitor de placas paralelas está conectada con un resorte de constante K y la placa de la

derecha está fija (ver figura anexa). Todo este sistema reposa sobre una mesa sin rozamiento. Si se le transmite a una placa

una carga +Q y a la otra –Q, cuanto se estirará el resorte?

SOLUCION:

Cuando el capacitor se carga aparece entre las placas una fuerza de atracción cuyo módulo esta dado por:

A

QF

0

2

2

1

Esta fuerza electrostática hace que la placa izquierda del capacitor se desplace hacia la derecha una distancia x produciéndose

un estiramiento x del resorte que da origen a una fuerza elástica dirigida hacia la izquierda, cuyo módulo es:

kxF

En el equilibrio, cuando la placa izquierda queda en reposo, la suma de fuerzas sobre ella debe ser nula, luego:

Ak

Qxkx

A

Q

0

2

0

2

2

1

2

1

23. El circuito de la figura se compone de dos placas metálicas paralelas idénticas conectadas mediante resortes idénticos a

una batería de voltaje V. Si el interruptor está abierto las placas están a una distancia d.

Cuando se cierra S la distancia entre las placas disminuye en un factor de 0.5.

a) Cuánta carga recoge cada placa?

b) Cuál es la constante de cada resorte?

SOLUCION:

Del principio de conservación de la energía, el trabajo realizado por la batería es igual a la suma de la energía potencial

electrostática almacenada en el capacitor y la energía potencial elástica almacenada en los resortes, que en forma analítica se

puede expresar mediante:

22

2

12

2

1kxCVVQ

Además, la fuerza electrostática sobre una de las placas del capacitor puede expresarse mediante:

2

2

1CV

dx

d

dx

dUF

Considerando que la separación entre las placas del capacitor es x, se tiene:

2

2

020

2

1

2

1V

x

AV

x

A

dx

dF

V

kk

S

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

184

Por consiguiente para una separación x =0.5d, se sigue que:

2

2

02

2

0 2

2

2

1V

d

AV

d

AF

Para el caso de desplazamiento cuasiestático debe cumplirse que esta fuerza debe ser igual a la fuerza de un resorte. Cuando

este se desplaza d/4, entonces:

2

3

02

2

0 84

2V

d

Ak

dkV

d

A

Sustituyendo el valor obtenido para k en la primera ecuación se sigue que:

2

2

3

02

442

2

1 dV

d

ACVVQ

Insertando el valor de C para una separación entre las placas igual a d/2, se obtiene:

2

2

3

020

48

2

2

1

dV

d

AV

d

AVQ

20

2

3V

d

AVQ

V

d

AQ 0

2

3

24. Una barra de longitud L (ver figura anexa) se encuentra a lo largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y tiene

una densidad de carg no uniforme =x (donde es una constante positiva).

a) Cuáles son las unidades de ?

b) Calcule el potencial eléctrico en A.

SOLUCION:

El potencial debido a un elemento diferencial de carga dxdQ está dado por:

)( xd

dxkdV e

Insertando el valor de =x se tiene:

)( xd

xdxkdV e

Integrando se tiene:

L

exd

xdxkdVV

0)(

A

d

L

dQ= dx

y

x

CAPACITANCIA Cap. 3



185

Ca

pít

ulo

3.

Teniendo en cuenta la integración por partes:

vduuvudv

podemos hacer las siguientes asignaciones:

dxdxu

)ln( xdvxd

dxdv

Luego:

dxxdxdxxd

xdx)ln()ln(

Pero:

)()ln()()ln( xdxdxddxxd

Entonces:

)ln()()ln( xdxdxdxxd

xdx)( xd

Factorizando )ln( xd se sigue que:

)()ln( xdxddxd

xdx

Por tanto:

0

)()ln(

0

Lxdxdd

xd

xdxL

dddLdLddxd

xdxL

ln)()ln(

0

d

LddL

xd

xdxL

)(ln

0

Por consiguiente:

d

LddLkV e ln

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

186

25. Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b en la combinación de capacitores mostrada en la figura

anexa.

SOLUCION:

El circuito anterior es equivalente a:

El capacitor del centro se calcula teniendo en cuenta que están conectados en serie, así:

FF

FFC

91.2

12

)5)(7(

En este último circuito los tres capacitores están conectados en paralelo, luego la capacitancia equivalente es:

FFFFCeq 91.1291.264

26. Determine la capacitancia equivalente entre los puntos a y b para el grupo de

capacitores conectados , como se indica en la figura anexa, si C1 = 5 F, C2 = 10 F,

y C3 = 2 F.

SOLUCION:

El circuito anterior es equivalente al siguiente:

ba

6F

7F

5F

4F

ba

6F

4F

2.91F

b

a

C2C2

C3C2

C1

C2

C1

CAPACITANCIA Cap. 3



187

Ca

pít

ulo

3.


La anterior combinación en serie puede reemplazarse por un solo capacitor:

Con capacitancia equivalente dada por:

FF

FFCeq

0.6

6.28

)20)(6.8(

27. Para la red descrita en el problema anterior si el potencial entre los puntos a y b es

60 Voltios, qué carga se almacena en C3.

SOLUCION:

Si la diferencia de potencial entre los puntos a y b es 60 voltios como se indica en la

siguiente figura:

La carga que almacena el capacitor equivalente es:

CVFCVQ 360)60)(6(

Esta carga es la misma que se almacena en cada uno de los dos capacitores conectados en serie que se muestran a ecuación:

6F

b

a

b

a

3.3F 2F 3.3F

20F

20F

8.6F

b

a

60 Voltios 6F

b

a

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

188

Luego podemos plantear la siguiente ecuación:

2160 VVVoltios

Pero:

VoltiosF

C

F

QV 86.41

6.8

360

6.81

y

VoltiosF

C

F

QV 18

20

360

202

Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial V1 es la misma para los tres capacitores conectados en paralelo, que se

muestran en la siguiente figura, entonces la carga almacenada

del capacitor de F2 está dada por:

CVFVCQ 72.83)86.41)(2(13 .

28. Determine la capacitancia equivalente entre los puntos a y b de la figura

anexa.

SOLUCION:

Primer Método:


Teniendo en cuenta que Vca=Vda, se sigue que:

0 dcdcadac VVVVVVVV

V1 8.6F

b

a

V2 20F

b

a

3.3F 2F 3.3F

20F

baC

C C

C C

baC

C

C

C

C

c

d

CAPACITANCIA Cap. 3



189

Ca

pít

ulo

3.

Esto significa que el circuito anterior puede ser reemplazado por el siguiente:

En este diagrama existen dos pares de capacitores conectados en paralelo, luego este circuito es equivalente al siguiente:

Luego este circuito hay dos capacitores conectados en serie y su capacitancia equivalente está dada por:

CCC

CCCeq

22

)2)(2(

Segundo Método:

Se puede hacer uso de la transformación Y que consiste en transformar una conexión de capacitores en forma de

triángulo (o delta) en una conexión en forma de Y (ó estrella) como se muestra en la figura siguiente:

Este sistema de conexiónde capacitores en forma de triángulo puede transformarse en la siguiente conexión en forma de Y,

que puede visualizarse dentro del triángulo anterior, así:

La expresiones que permiten obtener los valores de las capacitancias de los capacitores en Y a partir de los valores de las

capacitancias de los capacitores en , son las siguientes:

c

cbcaba

C

CCCCCCC

1

a

cbcaba

C

CCCCCCC

2

b

cbcaba

C

CCCCCCC

3

2Ca b2C

a

C

C

b

C

C

C C

C

Ca

Cb

Cc

C1 C2

C3

CAPACITANCIA Cap. 3



Ca

pít

ulo

3.

190

Teniendo en cuenta estas relaciones, para el caso que nos ocupa el circuito se reduce al siguiente:

El cual es equivalente al siguiente circuito:

El cual resulta equivalente a:

Estos dos capacitores conectados en serie pueden ser sustituidos por uno solo cuya capacitancia es:

CCC

CCCeq

2/33

)2/3)(3(

ba

3C C

3C C

3C

a

3C/4

3C/4

b3C

3Ca b3C/2

Ca

pít

ulo

4


E s c u e l a d e F í s i c a l f r a g a r @ g m a i l . c o m

m a l l i w i 8 8 @ h o t m a i l . c o m

Resumen:

El descubrimiento de los materiales dieléctricos y su aporte al mundo de la electricidad y la electrónica es de vital relevancia, ya que gracias a estos se pueden alinear las líneas de campo eléctrico con el fin de almacenar carga estática, en algunos casos hasta miles de KV. Adicionalmente los capacitores han permitido a la industria contrarrestar los efectos del grandes flujos de carga, como es el caso dela corrección del factor de potencia en la red eléctrica, por medio de bancos de condensadores.

DIELÉCTRICOS Cap. 4



Ca

pít

ulo

4.

192





Ca

pít

ulo

4.

193

Capítulo 4. DIELÉCTRICOS

CAPÍTULO 4. DIELÉCTRICOS .............................................................................................................................................. 193

IV. DIELÉCTRICOS ......................................................................................................................................................... 194

4.1. DESCRIPCIÓN ........................................................................................................................................................ 194

4.2. POLARIZACIÓN DE LA MATERIA ............................................................................................................................ 196

4.3. LEY DE GAUSS ....................................................................................................................................................... 199

4.4. TRES VECTORES ELÉCTRICOS ................................................................................................................................. 202

4.5. CONDICIONES DE FRONTERA PARA EN LA SUPERFICIE LIMITE ENTRE DOS DIELÉCTRICOS ......................... 204

4.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS SITUADAS EN UN MEDIO DIELÉCTRICO ................................................................... 206

4.7. CONDENSADORES CON MATERIALES DIELÉCTRICOS ............................................................................................ 207

4.8. ENERGÍA ALMACENADA EN UN DIELÉCTRICO ....................................................................................................... 208

4.9. FUERZA SOBRE UNA LÁMINA DIELÉCTRICA INTRODUCIDA EN UN CONDENSADOR ............................................. 209

4.10. VARIACIONES DE ENERGÍA POR INTROMISION DE UN DIELÉCTRICO .................................................................... 210

4.11. OBJETIVOS, DESCRPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES ..................................................................................... 214

4.12. PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 216

4.13. MODELO DE EVALUACIONES ................................................................................................................................ 236



4.13.2 MODELO DE EVALUCIÓN No 3 (2 P) ............................................................................................................ 244

4.13.3 MODELO DE EVALUACIÓN No 4 (2 P) ......................................................................................................... 251




Ca

pít

ulo

4.

194

IV. DIELÉCTRICOS

4.1. DESCRIPCIÓN Un dieléctrico es una sustancia aisladora, es decir, un material no conductor como el vidrio, la porcelana o la baquelita.

Cuando un material dieléctrico se comete a la acción de un campo eléctrico externo , se producen fuerzas eléctricas sobre las partículas cargadas positiva y negativamente que constituyen la sustancia, cando lugar a dos casos especiales.

En el primer caso, cuando se aplica al dieléctrico el campo eléctrico externo , se inducen dentro de él dipolos eléctricos denominados dipolos eléctricos inducidos. En el segundo caso existen dipolos eléctricos permanentes en la sustancia dieléctrica, los cuales

en ausencia de un campo eléctrico externo se encuentran orientados al azar debido a la agitación térmica. El agua ( ) y el amoniaco ( ) tienen momentos dipolares permanentes. En contraste con un conductor sólido, cuyos electrones están relativamente libres para desplazarse a través de una red fija de iones positivos, los electrones en un aislador, no tienen libertad para moverse. Cada uno de esos electrones se encuentra fuertemente enlazado a su ion matriz, y por consiguiente, se encuentra permanentemente fijo a él. Se puede considerar que en ausencia de un campo eléctrico describe una órbita en torno a su ion matriz con una velocidad típica del orden de

travesías en torno a su ion asociado, en un segundo. A escala macroscópica, solamente se pueden observar promedios de estos movimientos microscópicos de alta velocidad. Cada átomo de un dieléctrico consta de un núcleo positivo (ion) rodeado por una nube de carga negativa. En general, la nube negativa estará distribuida simétricamente y su centro de gravedad coincidirá con el centro de gravedad del ion cargado positivamente. Al aplicar la ley de Gauss se demuestra que el campo eléctrico fuer del átomo es nulo, por tanto, el átomo es eléctricamente neutro. En la figura (4.1-1) se presenta una visión macroscópica del átomo de hidrógeno en donde se puede apreciar que el centro de gravedad de la nube de carga negativa está situado en la posición del núcleo.

Cuando un átomo de un dieléctrico se sitúa en presencia de un campo eléctrico extremo , el electrón se desplazará en torno al ion, pero esta vez, su órbita no tendrá la forma esférica simétrica de la figura (4.1-1), sino que debido a la existencia del campo eléctrico externo, la nube de carga negativa se distorsionará y tomará la forma que se ilustra en la figura (4.1-2), donde el centro de gravedad de la nube de carga negativa no coincide con el centro de gravedad del ion. Esto significa que se produce una separación entre la carga real de los electrones y la carga del ion,

dando por resultado la aparición de un momento dipolar eléctrico , dirigido en la dirección del

campo eléctrico externo , es decir, es un vector dirigido de la carga negativa a la carga positiva.




Ca

pít

ulo

4.

195

Centro de gravedad de una Nube de electrones

Figura 4.1-1 Figura 4.1-2

Faraday descubrió que cuando el espacio entre dos conductores de un condensador se llena completamente con un dieléctrico, la capacidad del condensador aumenta en un factor K, denominado constante dieléctrica o poder inductivo específico, el cual es característico para cada dieléctrico, siendo para el vacío igual a 1 y para cualquier otro medio mayor que 1. La constante dieléctrica es la misma cualquiera que sea la dirección del campo eléctrico aplicado, siempre y cuando se utilicen dieléctricos isótropos, homogéneos y no polares. Un dieléctrico además de aumentar la capacidad de un condensador realiza entre otras las siguientes funciones: - Proporciona un medio mecánico para separar los dos conductores, que deben permanecer

muy próximos a fin de que la capacidad sea grande. - Aumenta la resistencia a la ruptura del condensador, ya que la resistencia a la ruptura de un

dieléctrico es generalmente mayor que la del aire.

La resistencia a la ruptura del aire es V/m, para mayores valores se ioniza el aire y empieza a conducir la electricidad.

En la tabla (4.1) se tabula los valores de la constante dieléctrica K y la resistencia a la ruptura de diversos materiales dieléctricos. Cuando se tiene un condensador aislado de capacidad , y se carga con una batería de

diferencia de potencial , hasta que su carga sea , al insertar un dieléctrico de constante K que llene completamente el espacio entre las placas, la diferencia de potencial disminuye hasta un nuevo valor dado por

(4.1-1) Y la nueva capacidad es

( *

(4.1-2) Si por otra parte, se inserta el dieléctrico mientras la batería de diferencia de potencial entre sus bornes permanece conectada, la carga total sobre la placa positiva del condensador es

Por tanto, la nueva capacidad es

(4.1-4)




Ca

pít

ulo

4.

196

Como puede verse, la capacidad de un condensador que se encuentra a carga constante (aislado pero con carga en su placa positiva), o a potencial constante (conectando a la batería), aumenta en el factor K cuando se introduce un dieléctrico que llene completamente el espacio entre las placas. En un condensador de placas planas-paralelas el potencial eléctrico es igual al campo eléctrico entre las placas, multiplicado por la distancia de separación d. Si E es el campo original cuando la batería está desconectada y se introduce el dieléctrico de constante K, el nuevo campo eléctrico E, disminuye en el factor K, así:

(4.1-5) Este resultado puede comprenderse en función de la polarización molecular. Si la batería está conectada al condensador y se introduce un dieléctrico de constante K, el campo eléctrico permanece constante, ya que el nuevo potencial V es igual al potencial original , es decir,

(4.1-6) Teniendo en cuenta que en un condensador de placas planas paralelas , entonces de la ecuación anterior se sigue que

(4.1-7) Por tanto,

(4.1-8) Lo cual significa que el nuevo campo es igual al original

4.2. POLARIZACIÓN DE LA MATERIA Los átomos y las moléculas de la mayoría de las sustancias no tienen momentos dipolares en

ausencia de campos eléctricos, pero cuando se aplica un campo eléctrico externo , se induce un momento dipolar en cada átomo o del campo eléctrico aplicado. Sin embargo, los dipolos individuales en el dieléctrico no se alinearán en general en la dirección del campo externo. La fuerza eléctrica que actúa sobre cada átomo dado, se debe no solo al campo externo, sino también a los campos dipolares producidos por sus vecinos cercanos. No obstante, para dieléctricos isotrópicos homogéneos, es válido considerar que los dipolos del dieléctrico se alinean con el campo eléctrico externo. Esto significa, que el campo eléctrico dipolar, producido por la separación espacial de la carga positiva y negativa de cada átomo o molécula, se opone a la dirección del campo eléctrico exterior

aplicado . El desplazamiento relativo de las cargas de signos opuestos, debido al campo eléctrico exterior

aplicado , se denomina POLARIZACIÓN DE LA SUSTANCIA. Algunas sustancias están polarizadas espontáneamente en ausencia de campos exteriores. Esta auto-polarización es debida al desplazamiento de iones en el cristal, por la acción de campos eléctricos locales. Tales materiales se denominan FERROELECTRICOS y generalmente presentan grandes susceptibilidades. También presentan histéresis en la polarización provocada por campos eléctricos exteriores, y pierden su polarización espontanea por encima de una cierta temperatura




Ca

pít

ulo

4.

197

crítica. Una de las sustancias ferro-eléctricas más conocidas es el titanato de bario ( ) que se emplea en la construcción de condensadores de gran capacidad y de tamaño pequeño.

El vector de Polarización o Polarización de un material, se define como el momento dipolar total por unidad de volumen. Obsérvese que la palabra POLARIZACIÓN se utiliza con dos significados: Uno cualitativo, cuando nos referimos a los desplazamientos relativos de las cargas positivas y negativas; y el otro cuantitativos, cuando nos referimos al momento dipolar por unidad de volumen.

Es una magnitud vectorial que tiene la dirección y sentido de los dipolos inducidos. Si en un volumen v hay N moléculas, como se ilustra en la figura (4.2-1), y cada una tiene un

momento dipolar , la polarización es

(4.2-1)

Figura 4.2-1 Medio polarizado. La polarización se define como el momento dipolar total por unidad

de volumen

La polarización se mide en unidades de , como puede verse de la Ec. (4.2-1).

Macroscópicamente el interior del dieléctrico permanece aparentemente neutro, pero en las caras de área A que son perpendiculares al campo aplicado, aparecen cargas superficiales de polarización. A la carga total de polarización también se le conoce como carga inducida obligada, porque no posee libertad para moverse dentro del dieléctrico. Esta carga total de polarización puede expresarse mediante , y puede apreciarse en las

figuras (4.2-2-1) y (4.2-2-2).

Figura 4.2-2-1 (en vista plana) Figura 4.2-2-2 Cargas netas de polarización Cargas superficiales de polarización. en las superficies de un dieléctrico.




Ca

pít

ulo

4.

198

Si el espesor del dieléctrico medido en sentido paralelo al campo neto debido a las cargas superficiales de polarización es

(4.2-2) Por tanto la polarización es.

| |

(4.2-3) La polarización es exactamente igual a la densidad de carga de polarización que aparece sobre la cara del dieléctrico que resulta cargada positivamente. Si una de las caras del dieléctrico es oblicua como lo ilustra la figura (4.2-3),

Figura 4.2-3 Densidad superficial de carga de polarización sobre la superficie de un dieléctrico que

no es perpendicular al campo exterior aplicado. El área de la superficie oblicua puede escribirse en función del área A de la superficie perpendicular mediante,

Siendo el ángulo formado entre el campo eléctrico y la normal a la superficie oblicua. La densidad de carga superficial sobre la cara oblicua es:

(4.2-4)

En general, si la polarización es un vector de valor P paralelo al campo exterior aplicado, entonces la densidad superficial de carga de polarización sobre cualquier superficie del dieléctrico es

En donde es e vector unitario normal a la superficie. La densidad superficial de carga negativa de polarización, que aparece sobre la cara izquierda del dieléctrico de la figura (4.2-3) se obtiene de la Ec. (4.2-5), así:

( )

(4.2-6)




Ca

pít

ulo

4.

199

4.3. LEY DE GAUSS

La carga superficial total de polarización sobre el dieléctrico para el caso en que varía con la

posición en el interior, del dieléctrico ( es nulo fuera del dieléctrico), está dada por

∮ ∮

(4.3-1) Donde s es la superficie que limita al dieléctrico, y en donde se ha hecho uso del teorema de Gauss. La Ec. (4.3-1) indica que la carga de polarización con signo menos es igual al flujo del vector de polarización. Para el caso de polarización uniforme el flujo neto del vector de polarización a través de una superficie cerrada debe ser nulo, de modo que la carga neta superficial de polarización debe ser cero.

Si no es uniforme, la integral de la Ec. (4.3-1) no necesariamente es nula. En este caso ,

pero el principio de conservación de la carga, exige que la carga neta sobre el dieléctrico debe ser cero, por tanto, debe existir alguna otra carga que equilibre a . Esta carga debe estar distribuida

por todo el volumen del dieléctrico y la denotaremos por , con una densidad volumétrica

, en donde es el elemento diferencial de volumen del interior del dieléctrico.

De la neutralidad de la carga

∫ ∮

Donde hemos supuesto que cualquier elemento de volumen desprendido del dieléctrico es eléctricamente neutro. Es decir, la carga superficial neta sobre cualquier volumen desprendido

del dieléctrico equilibrará exactamente la carga neta del volumen . Ejemplo: Una esfera dieléctrica maciza de radio R tiene una densidad de carga volumétrica uniforme. Hallar

y para ( ) constante; ( )

Solución:

Esfera uniformemente polarizada




Ca

pít

ulo

4.

200

(a) La componente de normal en la esfera varía con el ángulo respecto al eje X, de modo que

∮ ∫ | |

| | ∫ ( )

( ) .

/

( )

(b)

∮ ∫ ∫

∫

( )

( )∫

( )

( ) .

/

( )

( )

∫ (

*

Obsérvese que:

, puede que

Esfera polarizada no uniformemente.

De la Ec. (4.3-1) se sigue que

∮( )




Ca

pít

ulo

4.

201

Entonces

∮

(4.3-2) En la mayor parte de dieléctricos la polarización varía linealmente con el campo, luego por hipótesis, podemos escribir

(4.3-3)

Donde es la permitividad eléctrica del vacío, X es la susceptibilidad eléctrica y es el campo macroscópico (campo medio debido al campo exterior tal como queda modificado por las cargas de polarización). Es posible escribir una expresión que relacione el campo eléctrico con las cargas reales o verdaderas de polarización, usando el teorema de Gauss:

∮

( )

(4.3-4) Siendo la carga real verdadera y la carga de polarización o carga ligada, las cuales son de

signo opuesto. En un condensador de placas paralelas se introduce un dieléctrico que llene completamente el espacio entre las placas paralelas, como se muestra en la fig. (4.3-1).

Figura 4.3-1

Densidades de carga real o

verdadera y de polarización.

Para calcular el campo medio dentro del dieléctrico debemos tener en cuenta tanto como

De la Ec. (4.3-4) se sigue que

( )( )

( )

Siendo A el área de una cualquiera de las placas. Entonces

(

)

(4.3-5) Luego

( )




Ca

pít

ulo

4.

202

En la figura (4.3-2) se puede apreciar el campo eléctrico exterior aplicado , el campo medio

dieléctrico y el campo eléctrico debido a las cargas de polarización.

Figura 4.3-2 Campo eléctrico , campo medio

y campo debido a las cargas de polarización

Los campos anteriores satisfacen la siguiente relación vectorial:

(4.3-6) de donde se sigue que

Pero

. /

Factorización

(

*

Luego

(

*

(4.3-7) Para el vacío K = 1, entonces

4.4. TRES VECTORES ELÉCTRICOS En el estudio de los problemas sobre dieléctricos en presencia de campos se utilizan tres magnitudes vectoriales, a saber:

- Desplazamiento eléctrico .

- Campo eléctrico medio .

- Polarización

La figura (4.4-1) permite observar los tres vectores

Figura 4.4-1 Vectores de desplazamiento eléctrico ,

de campo medio y de polarización .




Ca

pít

ulo

4.

203

El vector de desplazamiento , es una magnitud vectorial que depende únicamente de las cargas reales o verdaderas y se define mediante la ecuación vectorial

(4.4-1) El desplazamiento eléctrico obedece al teorema de Gauss, pero sus fuentes son solo las cargas verdaderas veámoslo:

Entonces

∮ ∮ ∮

En la figura (4.4-2) se puede observar las superficies de Gauss en el interior y en la superficie de un dieléctrico polarizado.

Figura 4.4-2 Superficies de Gauss en el interior y en la superficie de un dieléctrico polarizado.

En la superficie de Gauss situada en la superficie límite del dieléctrico, la integral del vector de polarización por el diferencial de superficie tiene el valor P dS, sobre la cara izquierda, y sobre la cara derecha, fuera del dieléctrico, es cero; luego

∮ ∫ ∫

Entonces la Ec. (4.4.-2), puede reescribirse como

∮ ∮

Por tanto

∮

Luego

∮ ( )

(4.4-3)

Por consiguiente, el desplazamiento eléctrico , obedece al teorema de Gauss y depende únicamente de las cargas reales o verdaderas, aún en presencia de la materia. Fuera de los dieléctricos, en regiones en las que solamente existen cargas reales o verdaderas,

∮ ∮




Ca

pít

ulo

4.

204

De modo que

(4.4-4)

Lo cual significa que tienen la misma dirección y solo difieren en el factor . De la ecuación de Gauss

∮

Se sigue que

Entonces

Si se trata de un condensador de placas planas paralelas con el espacio entra las mismas y lleno de un material dieléctrico, el campo eléctrico medio está dado por

Además

Entonces

Factorización E

( ) Luego

En donde

(4.4-5) Siendo la permitividad eléctrica del dieléctrico

( ) Por tanto, si conocemos la densidad de cargas libres sobre la placa del condensador y el valor de

la permitividad eléctrica del dieléctrico, podemos hallar .

4.5. CONDICIONES DE FRONTERA PARA EN LA SUPERFICIE LIMITE ENTRE DOS DIELÉCTRICOS

Aplicado el teorema de Gauss al vector de desplazamiento , a una superficie apropiada (una superficie cilíndrica en forma de moneda), como se indica en la Fig. (4.5-1), el flujo a través de




Ca

pít

ulo

4.

205

dicha superficie debe ser cero, puesto que no hay cargas verdaderas en su interior.

Fig. 4.5-1 Superficie de Gauss para el cálculo den las condiciones que debe satisfacer

en la superficie de separación entre los dos dieléctricos.

Sea el área de la cara plana de la izquierda y el área de la cara plana de la derecha, entonces podemos escribir

∮ ∫

∫

∮ ∫ ( )

∫

∮ ∫

∫

∮ ∫

∫

Entonces

(4.5-1)

Esta ecuación pone de manifiesto, que la componente normal D es continua al atravesar la superficie límite entre los dos dieléctricos. Teniendo en cuenta la fig. (4.5-2), podemos determinar la integral cerrada de línea que expresa el principio de conservación de la energía del campo electrostático

∮

Fig. 4.5-2 Trayectoria para el cálculo de la integral de línea entre dos

medios dieléctricos.




Ca

pít

ulo

4.

206

Haciendo infinitamente pequeños los segmentos ab y cd que son perpendiculares al plano, podemos escribir:

∮ ∫

∫

(4.5-3) Efectuando el producto escalar

∫

( ) ∫

( )

Entonces

∫ ( )

∫ ( )

Luego

∫

∫

Teniendo en cuenta que bc = da, se sigue que

(4.5-4) La relación que existe entre y puede hallarse dividiendo la Ec. (4.5-4) por la Ec. (4.5-1), así:

Por tanto

Usando las relaciones , Obtenemos:

Simplificando

4.6. FUERZA ENTRE DOS CARGAS SITUADAS EN UN MEDIO DIELÉCTRICO Consideremos una carga dentro de un medio dieléctrico, como lo indica la figura (4.6-1). El campo eléctrico a una distancia r de esta carga, puede obtenerse usando el teorema de Gauss al vector de desplazamiento, así:




Ca

pít

ulo

4.

207

Figura 4.6-1 Carga situada en un medio dieléctrico

y carga situada a una distancia r. Entonces

( ) Luego

Si a la distancia r se sitúa una carga , situada también dentro del medio dieléctrico, la fuerza que

ejerce sobre , está dada por:

(4.6-1) La expresión para la fuerza es prácticamente la misma que para cargas puntuales en el vacío, pues tan solo debe cambiarse la permitividad eléctrica del vacío por la permitividad eléctrica del medio dieléctrico . La Ec. (4.6-1) es válida para situaciones en la que la distancia entre las partículas cargadas es mucho mayor que el radio de las mismas. Reemplazando , en la Ec. (4.6-1), se obtiene:

(4.6-2) Que indica claramente que la fuerza entre dos partículas situadas en un medio dieléctrico se reduce en el factor K, respecto a la fuerza que se calcularía en el espacio vacío.

4.7. CONDENSADORES CON MATERIALES DIELÉCTRICOS Un condensador puede tener de él, uno, dos o más materiales dieléctricos de diferente constante. El siguiente ejemplo, indica a forma en que se debe proceder para determinar su capacidad. Ejemplo 4.7: Calcular la capacidad de un condensador de placas paralelas de área A en cada placa y separación d, si el espacio entre ellas se llena con dos dieléctricos, uno de espesor L con una constante dieléctrica .




Ca

pít

ulo

4.

208

Solución: La figura (4.7-1) muestra el condensador propuesto en el ejemplo (4.7).

Figura 4.7-1 Asumiendo que no hay cargas libres entre ambos dieléctricos, en la superficie límite entre los dos, la componente normal del desplazamiento eléctrico será continua. La diferencia de potencial entre las placas, es debida, tanto al campo en el dieléctrico de la

izquierda, como el campo en el dieléctrico de la derecha, los cuales tienen las siguientes expresiones:

Luego

( )

La carga sobre las placas es Q = A D. Por tanto

( )

Por simetría no existen componentes tangenciales de los campos eléctricos, por tanto la superficie límite entre los dos dieléctricos debe ser equipotencial y por tanto el problema puede resolverse asumiendo que a cambio de los dos dieléctricos existen una placa conductora en la región de separación de los mismos, lo cual sería igual a considerar dos condensadores de placas paralelas en serie, donde satisfaría la condición:

4.8. ENERGÍA ALMACENADA EN UN DIELÉCTRICO La densidad de la energía almacenada en un medio dieléctrico está dada por




Ca

pít

ulo

4.

209

Por tanto la energía almacenada en un medio dieléctrico está dada por

∫

4.9. FUERZA SOBRE UNA LÁMINA DIELÉCTRICA INTRODUCIDA EN UN CONDENSADOR

Pueden considerarse dos situaciones, según se mantenga constante el potencial o la carga del condensador. Para el caso de potencial constante, es decir, cuando el condensador se asume conectado a una batería, veamos el efecto que produce un desplazamiento de la lámina sobre la energía almacenada. Cuando la lámina se mueve, la batería realiza un trabajo VdQ, es decir, habrá una variación de carga dQ en la carga del condensador. El cambio de energía almacenada en el condensador dU, está relacionado con el trabajo realizado por el campo, al mover la lámina mediante la ecuación.

(4.9-1) Siendo F la componente escalar de la fuerza ejercida por el campo sobre la lámina. De la Ec. (4.9-1) se obtiene

Pero considerando la Fig. (4.9-1), la energía total almacenada en el condensador es

( )

Factorizando

( )

Derivando respecto de

( )

(4.9-2)




Ca

pít

ulo

4.

210

Figura 4.9-1 Lámina introducida en las placas

De un condensador plano. La carga total sobre las armaduras del condensador está dada por

( ) (4.9-3) Donde es el área de la porción sin dieléctricos y ( ) es el área de la parte ocupada por el dieléctrico. Derivando la Ec. (4.9-3) respecto de x, se sigue que

( )

(4.9-4) Sustituyendo las Ecs. (4.9-2) y (4.9-4) en la Ec. (4.9-1) se obtiene:

( ) ( )

Pero V = E d, entonces

( )

El signo menos significa que las fuerzas electrostáticas atraen la lámina hacia dentro del condensador.

4.10. VARIACIONES DE ENERGÍA POR INTROMISION DE UN DIELÉCTRICO

Si se introduce una placa dieléctrica de constante K entre las placas de un condensador, sumiendo que la carga se mantiene constante, la energía final U es

(4.10-1) Donde es la energía del capacitador sin dieléctrico.




Ca

pít

ulo

4.

211

El trabajo W para insertar el dieléctrico entre las placas es igual al cambio de energía potencial ( ), así:

(

*

(4.10-2) El trabajo es negativo ya que K > 1, lo cual significa que el campo realiza un trabajo positivo en el dieléctrico llevándolo a la región entre las placas. Si el potencial se mantiene fijo, con la inserción del dieléctrico la capacidad aumenta en el factor K. Por tanto, si es la energía almacenada en el condensador sin dieléctrico, la energía final es

(4.10-3) Luego, en este caso, el cambio de energía viene dado por

( ) (4-10-4) Que corresponden a una variación positiva, que, de ninguna manera significa que el agente externo tiene que hacer un trabajo positivo para insertar el dieléctrico. El trabajo realizado por la fuente a potencial fijo o constante es

( ) ( ) (4.10-5) Donde la carga Q del condensador después de insertar el dieléctrico es

La Ec. (4.10-5) puede reescribirse en la forma

( )

( )

(4.10-6)

Donde se ha tenido en cuenta que la energía original es

De acuerdo al principio de conservación de la energía Trabajo realizado por la Trabajo externo requerido Variación de Energía batería para insertar dieléctrico. potencial electrostática.




Ca

pít

ulo

4.

212

Que indica que el cambio de la energía electrostática ( ) debe proceder del trabajo producido por todas las fuentes externas. Por tanto, el trabajo externo W es

(4.10-7) Sustituyendo las Ec. (4.10-4) y (4.10-6) en la Ec. (4.10-7) obtenemos

( ) ( ) ( ) (4.10-8) Donde el carácter negativo indica que el dieléctrico se verá atraído hacia la región entre las placas. Resumiendo tenemos: “Si se inserta un dieléctrico de constante K entre las placas de un capacitador que se mantiene a un potencial fijo v, entonces la batería realizará cierta cantidad de trabajo positivo ( ) , en

donde es la energía original. La mitad de esta energía se presentará como la otra mitad se consumirá en la forma del trabajo necesario para introducir el dieléctrico al campo”. En la siguiente tabla se tabula los valores de la constante dieléctrica K y de la resistencia a la ruptura del dieléctrico, para algunos materiales.

TABLA 4.1

CONSTANTE DIELECTRICA Y RESISTENCIA A LA RUPTURA DE DIVERSIS MATERIALES

MATERIAL CONSTANTE DIELECTRICA K RESISTENCIA DEL DIELECTRICO

A LA RUPTURA (KV/mm.)

Vacío GASES (a una atm. y 0°C, a no ser que se indique otra cosa.) Aire 1.00059 3 Aire 1.055 100 atm. Dióxido de carbono 1.00098 Helio 1.000064 Hidrógeno 1.00026 Cloruro de Hidrógeno 1.0046 Nitrógeno 1.00058 24°C Oxígeno 1.00054 Ácido clorhídrico, HCL 1.0046 Agua, 1.0126 LIQUIDOS POLARES Agua 80 20°C Amoniaco, 22 -34°C Etanol 28,4 0°C Etanol 54.6 -120°C Metanol 32.6




Ca

pít

ulo

4.

213

SOLIDOS Y LIQUIDOS NO POLARES Aire 1.43 líquido Benceno, 2.28 líquido 1 atm., 20°C Vidrio 3-10 Vidrio (Pírex) 5.6 14 Mica 3-6 10-100 Cloruro de sodio 6.12 Cristal iónico, 20°C Parafina 2.1-2.5 10 Oxígeno 1.49 liquido 1 atm.,

-184°C, densidad 1.14 g/ Azufre 4.0 sólido, 20°C




Ca

pít

ulo

4.

214

4.11. OBJETIVOS, DESCRPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES OBJETIVOS: - Determinar el vector de polarización.

- Aplicar la ley de Gauss a los tres vectores eléctricos .

- Establecer las condiciones de frontera para . - Hallar la fuerza ejercida por un condensador sobre una lámina dieléctrica. - Determinar la capacidad de condensadores con materiales dieléctricos. - Determinar la Energía almacenada en un condensador con dieléctrico. - Determinar las variaciones de energía por intromisión de un dieléctrico.

DESCRIPCION SINOPTICA

Vector de polarización

Vector de desplazamiento eléctrico

Ley de Gauss para ∮



Condiciones de frontera para .

Fuerza que un condensador

ejerce sobre una lámina dieléctrica

( )

Capacidad de un condensador con dieléctrico.

Energía almacenada en un medio

dieléctrico

∫ ( )

Variaciones de energía por

(

) Carga constante

Intromisión de un dieléctrico. ( ) Potencial Constante




Ca

pít

ulo

4.

215

OBSERVACIONES: - La capacidad de un condensador con dieléctrico aumenta en la constante dieléctrica K. - La permitividad dieléctrica de un material viene dada por: ( ) . Luego la susceptibilidad eléctrica puede escribirse mediante - En la actualidad se preparan sólidos cristalinos, como el titanato de bario, cuyo valor de K

puede pasar de 1.000; son súper-aislados. - Las expresiones para el desplazamiento eléctrico, la capacidad y la energía potencial

eléctrica obtenidas para materiales dieléctricos resultan ser las mismas para el vacío cando se reemplaza .

- Cuando aumentamos la tensión entre dos placas metálicas colocadas a pocos milímetros de distancia, llega un momento en que salta una chispa. A este valor de potencial se denomina potencial de descarga. La chispa se forma cuando un dieléctrico es sometido a intensos campos eléctricos provocando la ruptura de las moléculas y formando iones que lo hacen conductor.

- La rigidez dieléctrica para el caucho es de 200 a 400 Kilovoltios y para la mica de 600 kilovoltios.




Ca

pít

ulo

4.

216

4.12. PROBLEMAS 1. (5.1 K) Un bloque de dieléctrico, esquematizado en la figura anexa, está polarizado

uniformemente con polarización . Hallar la densidad de las cargas de polarización sobre las cargas 1, 2 y 3. (Determinar tanto la magnitud como el signo de las cargas.).

Solución:

En la cara 1:

∮

∮ ∫

En la cara 2:

∮

En la cara 3:

∮ ∫ ( )

( )

( )

2. (5.3 K) Las placas de un condensador plano están aisladas, existiendo una diferencia de

potencial entre las mismas. Se introduce una lámina dieléctrica de constante dieléctrica K entre las placas, de modo que llena completamente el volumen existente entre ellas. Calcular el nuevo potencial . Comparar los valores de la energía almacenada antes y después de insertar la lámina. Con esta comparación como base, razonar si las fuerzas electrostáticas tienden a empujar la lámina hacia dentro de las placas o a expulsarla.

Solución: Antes: Después

Cálculo del potencial :




Ca

pít

ulo

4.

217

Como el sistema está aislado se conserva la carga:

Q antes = Q después

Cálculo de la energía potencial antes de introducir el dieléctrico:

( )

Después:

( )

Como K > 1, significa que hubo una disminución de energía, lo cual corresponde a un trabajo realizado por las placas del condensador, el cual es positivo, es decir la lámina dieléctrica se desplaza en sentido de la fuerza. 3. (5.6 K) Comparar las capacidades de dos condensadores idénticos salvo en la forma en que

se han colocado los dieléctricos, como indica la figura anexa, teniendo una constante dieléctrica .

Solución:

Caso (a): Los condensadores ( )

y

( )

, se consideran conectados en paralelo, por tanto: ( )

(

) (

)

Caso (b): El sistema puede considerarse como si estuviera formado por dos condensadores, conectados en serie.

4

5 4

5

4

5 4

5

4

5

(

*




Ca

pít

ulo

4.

218

Otro método:

Caso (a)

( )

(

*

Caso (b):

(

) (

)

( )

( )

(

) ( ) (

) ( )

( )

(

*

(

*

4. (5.9 K) Dos condensadores de capacidades iguales están conectados en paralelo, cargados a

una tensión y después aislados de la fuente de tensión (figura anexa). Se introduce un dieléctrico de constante K en uno de los condensadores de modo que llena completamente el espacio entre las placas. Calcular la cantidad de carga verdadera que pasa de un condensador al otro, y la tensión final en los condensadores en función de C, y K.

Solución:

En sistema aislado se conserva la carga así: Carga antes de introducir = carga después de introducir el dieléctrico el dieléctrico




Ca

pít

ulo

4.

219

=

= = ( )

La carga transferida de un condensador al otro, se obtiene así:

(

*

( )

( )

5. (5.11 K) El ángulo de incidencia del campo eléctrico en la superficie plana de un dieléctrico es

de 20°. Hallar el ángulo de refracción dentro del dieléctrico si la constante dieléctrica del medio es 1,25. Supóngase que fuera del dieléctrico existe el vacío.

Solución:

( ) 6. (17.9 M) Determine la capacitancia de una esfera metálica con radio igual al de la tierra. Si se

carga a 1.000 Voltios, calcule la carga en la esfera, la densidad de carga y el campo eléctrico en la superficie.




Ca

pít

ulo

4.

220

Solución:

Cálculo de la capacitancia de la esfera:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

*

( )( ) Cálculo del campo eléctrico sobre la superficie: ( )( ) Cálculo del campo eléctrico sobre la superficie:

( )( )

Cálculo del campo eléctrico sobre la superficie:

∮ ( )

( )

( )

( )

7. (17.11 M) Un capacitador cilíndrico largo consiste en un cilindro interno de 1m. de radio y otro

externo de 2m. de radio. Si se aplica una diferencia de potencial de 200 V, halle la carga que tiene un tramo de 5m. del condensador externo. Solución:

La capacidad por unidad de longitud de un condensador cilíndrico está dado por:




Ca

pít

ulo

4.

221

( ) ( )( )

( )

(

* ( )

( )( ) 8. (17.12 M) Un capacitador cilíndrico consiste en tubos coaxiales de radios , como

se indica en la figura. Demuestre que la capacitancia por unidad de longitud está dada por:

(

)

Solución:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

( ) ( )

( ) (

)

*( ) ( )+

9. (17.13 M) Dos capacitores descargadas con capacitancia respectivas de 1 F y 3 F se

conectan en paralelo a una batería o acumulador que proporciona una diferencia de potencial de 12 V. Calcule la cantidad de carga en cada placa. Luego se desconectan de la fuente sin perder su carga y se conectan en serie, de manera que la placa cargada positivamente del capacitador de 1 F quede conectada a la placa cargada negativamente del capacitador de

3 F. Halle a diferencia de potencial del capacitador equivalente. ¿Cuál es la diferencia de potencial en cada capacitador?

Solución:




Ca

pít

ulo

4.

222

Cálculo de la cantidad de carga en cada placa:

( ) ( )

( ) ( )

Al conectar los dos condensadores de la manera propuesta se tiene:

( ) Cálculo de la diferencia de potencial en cada capacitador:

10. (17.15 M) Se puede conectar en serie o en paralelo dos capacitadores . Cuando están

en serie la capacidad equivalente es , y cuando están en paralelo, vale 3 F. Calcule .

Solución:

En serie:

(1)

En paralelo: (2)

De (1):

Reemplazando este valor en (2), se sigue que: ( )

11. (17.21 M) Se conectan en paralelo 200 condensadores idénticos cada uno con 10 F de

capacitancia y se cargan a 30.000 V.A razón de 3 (de dólar) por Kilowatt-hora, ¿Cuánto valdría la energía almacenada? Si los capacitadores se cargan al estar conectados en serie, ¿Cuánto vale entonces, la energía almacenada?

Solución:




Ca

pít

ulo

4.

223

Conexión en paralelo:

( )( )( )

Conexión en serie:

∑

Luego:

( ) ( )




Ca

pít

ulo

4.

224

12. (17.23 M) Una densidad uniforme de carga, está distribuida dentro de una esfera pequeña de cm. de radio. Si la cantidad de carga es la de un protón 1,6 x C., halle la densidad de energía y la energía total en todo el espacio. ¿Cuánta energía contiene una esfera de 5 cm. de radio, se la densidad de energía es uniforme y tiene el valor dado por la densidad de

energía obtenida antes a r = 0,5 x cm? Solución:

En el interior, es decir, para r < R, la densidad de energía está dada por:

Usando Ley de Gauss, se obtiene E, así:

∮ ∫ (

)

( ) (

*

(

)

(

)

Pero:

( )

( )

( )

En el exterior de la esfera, es decir, para r > R:

Usando la Ley de Gauss, se obtiene E, así:

∮ ( )

(

*

( )

( )

( )

La energía total se calcula a partir de:

∫




Ca

pít

ulo

4.

225

∫ ∫

∫ ( )

∫ ( )

.

/ .

/

( ( ) (

)*

( )

La energía que contiene una esfera de 5 cm. de radio con las especificaciones dadas, se obtiene así:

(

*

Pero:

( )

(

*

( )

13. (17.29 M) Una fuente de 2,5 V, carga un capacitador de placas paralelas y 6 F de

capacitancia. Entre sus placas se inserta un dieléctrico lineal de constante dieléctrica 3, y que llena completamente toda la región entre las mismas. a) Determine la nueva diferencia de potencial entre las armadas. b) ¿Cuál es la densidad de carga ligada en las superficies del dieléctrico en función de la

carga libre? c) Obtenga la energía en el capacitador antes y después de que se inserte el dieléctrico.

Explique la diferencia.

Solución:




Ca

pít

ulo

4.

226

a) Usando el principio de conservación de la carga:

b) La densidad de carga ligada o carga de polarización se obtiene a partir de su definición:

(

* ( )

( )

( )

( )

c) Energía del capacitador antes:

( )( )

Energía del capacitador después de introducir el dieléctrico:

( ( )) ( )

14. (17.31 M) Se coloca una hoja de cuarzo cuya constante dieléctrico es 3,8 en un campo

eléctrico de 20 Kv/m, como se muestra en la figura. El vector de campo eléctrico forma un ángulo de 45° con las caras superior e inferior y es paralelo a las caras del frente y posterior. Obtenga la densidad de carga en cada una de las caras.




Ca

pít

ulo

4.

227

Solución: Sobre la cara superior:

∫

∫ ∫

√

√

√

Pero:

( )

( )

( ) √

( )( )( )√

Sobre la cara inferior:

∫

∫ √

√

√

( ) √

( )( )( )(√ )

15. (17.33 M) Determinado dieléctrico “ficticio” contiene dipolos eléctricos permanentes de

magnitud igual a coul.m. La densidad atómica es de átomos por . Si un campo eléctrico de . Produce una polarización efectiva que corresponde a la alineación del 25% de los dipolos atómicos en la dirección del campo, calcule la susceptibilidad del dieléctrico.

Solución: ( )( )( ) ( )(

)( )




Ca

pít

ulo

4.

228

( ) ( )

16. (17.37 M) Un capacitador cilíndrico consiste en un tubo conductor largo de radio interno igual

a 2 cm. y radio externo de 3 cm., y un segundo tubo de radio interior igual a 5 cm. y radio exterior de 6 cm. Las regiones r<2 cm. y 3 cm. <r<5 cm. contiene un dieléctrico de K=3. La región r>6 cm. es aire. El capacitador se carga a 300 voltios. Halle: a) La capacitancia por unidad de longitud b) El vector desplazamiento en cada región c) La densidad de carga ligada en cada interface d) Energía almacenada por longitud unitaria

Solución:

(a)

∫

∫

(

) ( )

( )

( )

( )( )( )

( )

(b) Por definición el vector de desplazamiento eléctrico es:

Para r<2, D=0 ya que ∮ No existe carga verdadera.

Para 2<r<3, D=0, ya que dentro de un conductor E=0

Para 3<r<5,

Para 5<r<6, D=0, ya que E=0. Para r>6, D=0, ya que E=0.




Ca

pít

ulo

4.

229

(c) Como

( ) ( ) ( )

Para r<2:

Para 2<r<3:

Para 3<r<5:

( )

(

*

Para 5<r<6:

Para r>6

(d)

( ) ∫

( ) ∫ (

)

( )

∫

(

*

Pero:

( )( )

( )

( )( ) (

*

17. (17.39 M) Una interface entre vidrio y aire no tiene

carga libre, pero puede contener cierta cantidad de carga ligada. El campo eléctrico en un punto P justamente fuera del vidrio es de 20.000 V/m. y forma un ángulo de 30° con la normal a la superficie, como se muestra en el diagrama. Obtenga la magnitud y dirección del campo eléctrico justo dentro del vidrio. Suponga K = 4.0.




Ca

pít

ulo

4.

230

Solución: Usando la condición de frontera que expresa la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico, se tiene:

( ) ( )

Usando la condición de frontera que establece que la componente normal de desplazamiento eléctrico es continua, se sigue que:

( ) Dividiendo las ecuaciones:

( )

( )

( )

( )

( )( )

18. (5.8 K) Una esfera de radio r está polarizada uniformemente, con una polarización P en la

dirección X. Dar la expresión para la carga de polarización superficial para un anillo cuyo radio vector forma un ángulo con el eje X, tal como indica la figura anexa. Intégrese esta expresión para obtener la carga positiva total de la superficie de la esfera.

Solución:

( )

∫ ∫ ( )




Ca

pít

ulo

4.

231

( ) ∫

⁄

( ) .

/

⁄

(

)

19. (9.12 P) La figura representa tres condensadores de la misma área y separación entre placas.

Llamemos C a la capacidad del condensador en el vacío. Cada uno de los otros está medio lleno de dieléctrico de la misma constante K, pero distribuido de manera distinta, como se indica. Hállese la capacidad de cada uno de estos dos condensadores. (Despréciese los defectos de los bordes.)

Solución: a) El sistema (a) es equivalente a tener dos condensadores

conectados en serie, por tanto,

( ⁄+(

⁄+

⁄

⁄

(

*

b) El sistema es equivalente a tener dos condensadores

conectados en paralelo, luego la capacidad equivalente es:

( ⁄ )

( ⁄ )

( )

( )

SEGUNDO METODO: a) El sistema (a) es equivalente a tener:




Ca

pít

ulo

4.

232

(

*

( ) (

*

(

*

b) El sistema (b) es equivalente a tener:

Además:

( ⁄ )

( ⁄ )

Entonces;

( )

20. (9.14 P) La figura muestra esquemáticamente dos procesos, en cada uno de los cuales un

bloque de dieléctrico está colocado entre las placas de un condensador cargado. Puede analizarse las variaciones de energía que intervienen sugeridas por las preguntas en la figura. ¿Qué puede decirse acerca de la fuerza sobe el dieléctrico?

PROCESO 1 PROCESO 2




Ca

pít

ulo

4.

233

Solución: PROCESO 1: La lámina de dieléctrico se mueve hacia el capacitador mientras las placas del condensador están conectadas a la batería de potencial constante . a)

La energía almacenada es

.

b) Cuando el dieléctrico se introduce la capacidad del capacitador aumenta, el potencial V

permanece constante a . La carga Q aumenta a medida que fluye caga de la batería.

c) La energía almacenada es ahora

El aumento de la energía almacenada es:

( )

La energía suministrada por la batería es:

( ) ( )

La pérdida de energía

( )

( )

( )

Corresponde al trabajo realizado mientras la lámina de dieléctrico se desplaza dentro del condensador.




Ca

pít

ulo

4.

234

PROCESO 2: La lámina dieléctrica se mueve hacia las placas del condensador que han sido cargadas a la diferencia de potencial y luego se desconectan la batería.

a)

b) La capacidad aumenta pero Q permanece contante y su valor es . El potencial V debe

disminuir.

c) La capacidad aumenta en el factor K, así:

La energía almacenada decrece, según la expresión

(

*

Pero en este caso la batería no hace ningún trabajo. 21. (9.15 P) Una esfera metálica de radio a está rodeada por

una capa dieléctrica delgada de radio interior a, y exterior b, y constante dieléctrica K. La esfera metálica contiene una carga libre Q. No hay carga libre en el dieléctrico. analice este sistema determinado el potencial de la esfera metálica y la distribución de la carga ligada.

Solución: Potencial de la esfera metálica:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

.

/

.

/

(

*

(

*




Ca

pít

ulo

4.

235

(

*

Distribución de la carga ligada:

( )

( )

(

*

(

*

Por tanto en la capa del dieléctrico contigua a la superficie metálica de radio a, se tiene:

(

*

Y en la superficie exterior del dieléctrico, de radio b, se tendrá una densidad superficial de carga de polarización dada por

(

*




Ca

pít

ulo

4.

236

4.13. MODELO DE EVALUACIONES

4.13.1. MODELO DE EVALUACIÓN No 1 (2 P) 1. El potencial eléctrico de cierta distribución de carga está dado por ( ) (

)

Volts. Calcule el campo eléctrico ( ) en el punto ( ) mts.

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

( )

2. Calcule la capacidad equivalente del circuito mostrando, donde la capacidad de cada

condensador está dada en microfaradios. ¿Qué diferencia de potencial habrá entre a y b si el condensador de (10 C) microfaradios posee una carga de 10 microfaradios?

Solución: Calculamos la capacidad equivalente utilizando las asociaciones en serie y paralelo, así:




Ca

pít

ulo

4.

237

(1) Este condensador se obtiene de la conexión en serie de dos condensadores de valor 2C, así:

(2) Se obtiene de la asociación en paralelo de tres condensadores de valores C; 3C y C, así:

(3) Se obtiene de la asociación en serie de tres condensadores de valores 10C, 5C y 5C, así:

Cálculo de potencial entre a y b:

Observación: Tenga presente que la carga del condensador de 10C es la misma que la del condensador de 5C y es la misma del otro de 5C, lo mismo que de .

3. Una esfera conductora de radio r =a (metros) y carga Q

(coul), se rodea desde r = a (metros) de un material conductor.

A) Encontrar los vectores en la región: a) Donde a<r<b b) Donde r>c

B) Calcular la carga de polarización en r = a. C) Calcular la energía de ensamble del sistema.

Solución:

A) a) a < r < b:

∮

∮

( )

( ) ( )

( )




Ca

pít

ulo

4.

238

A) b). r > C:

∮

( )

B) ∫ ∫ ( ) ( ) (

)

( )

C)

∫

∫

∫

∫

∫ (

*

∫ (

*

( )

( ) ∫

( )

( ) ∫

.

/

.

/

(

*

(

*

(

*

(

*

(

*

4. Un condensador de placas paralelas e inicialmente en vacío se mantiene permanentemente

conectados a una fuente de voltaje constante Voltios. Determinar como cambian las características, abajo indicadas, luego de haber introducido un dieléctrico de constante dieléctrica K = 2 que llena completamente el espacio entre las placas.

a)




Ca

pít

ulo

4.

239

Antes:

Después:

b) :

Antes: Después:

| |

| |

c) :

Antes:

Después:

d) C:

Antes:

Después:

e) Q:

Antes: Después: f) :

Antes:

Después:

g) V:

Antes: Después:




Ca

pít

ulo

4.

240

4.13.2. MODELO DE EVALUACIÓN No 2 (2 P) 1. Dada una esfera metálica de carga positiva, cómo

variará el campo electrostático dentro y fuera de la esfera al sumergirla en aceite de permitividad relativa (constante dieléctrica) K. ¿Cómo variaría la capacidad con respecto a la capacidad sin dieléctrico?

Solución:

En el interior: ∮

En el exterior: ∮

Al sumergirla en aceite, se tiene:

En el interior: ∮

En el exterior: ∮

Pero:

Esto significa que el campo eléctrico en el interior antes y después de introducir la esfera en aceite es igual a cero. Además, el campo eléctrico en el exterior de la esfera sumergida en aceite se reduce en el factor 1/K.

2. En la figura, el condensador , previamente cargado se conectó a los puntos A’ y B’

respectivamente. Calcule la capacitancia equivalente entre A’ y B’ respectivamente. Ubique los signos de las cargas en cada una de las placas de los condensadores.

Solución: El sistema consiste de un conductor en paralelo con dos condensadores conectados en

serie de capacidad . El punto A y A’ es el mismo. El punto B y B’ también son el mismo punto.




Ca

pít

ulo

4.

241

Luego el sistema se reduce a:

1 . La capacidad en 1 se obtiene así:

( )( )

ó .

2 . La capacidad en 2 se obtiene así: ó

3. La figura muestra el modelo de una nube cargada, localizada a una altura d con respecto a la superficie terrestre. Si el campo máximo permitido para que no haya rayos (descargas eléctricas) entre nube y tierra es . ¿Cuál será la carga máxima posible en la nube? (A = Área de la nube).

Solución:

4. Dos placas metálicas muy grandes están dispuestas en forma paralela con una distancia muy

pequeña entre ellas. Cómo variaría el campo en el punto A, al introducir una plaquita de permitividad , como se muestra en la figura: a) Si las láminas están cargadas pero aisladas. b) Si están conectadas cada una al borne de una batería.




Ca

pít

ulo

4.

242

Solución: a) Si las láminas están cargadas pero aisladas:

Antes de introducir el dieléctrico .

Después de introducir el dieléctrico:

b) Si están conectadas cada una al borne de una batería:

Antes de introducir el dieléctrico:

Después de introducir el dieléctrico:

Conclusión: En ningún caso varía el campo. 5. Un condensador de placas paralelas aisladas está cargado y tiene en esta forma una energía

almacenada . Cuál será la energía entre las placas: a) Al aumentar la distancia de separación entre ellas al doble. b) Al disminuirla a la mitad.

Solución:

a)

Al aumentar la distancia de separación al doble:

( )

Luego la energía se duplica.

b)

Al disminuir la distancia de




Ca

pít

ulo

4.

243

Separación a la mitad

( )

. Luego la energía se reduce a la mitad.

6. En la figura, las líneas paralelas representan láminas metálicas delgadas de igual área A,

paralelas entre sí, con una distancia de separación d entre cada par consecutivo. ¿Cuál es la capacidad del sistema entre los puntos Ay B?

Solución:

Este sistema está formado por 4 condensadores conectados en paralelo, entonces

∑

(

*

7. Escriba una expresión que defina al vector desplazamiento (inducción eléctrica) en un

dieléctrico y diga sus respectivas unidades.

Solución:

Las unidades de D son ( ). Obsérvese que las unidades de son (

) y de E

son ( ).

; téngase en cuenta que K es número puro.




Ca

pít

ulo

4.

244

4.13.2 MODELO DE EVALUCIÓN No 3 (2 P) 1. Dentro de una esfera conductora de radio con una cavidad esférica en su interior de radio

se coloca una pequeña esfera conductora de radio a con una carga –q, como se observa en la figura.

Calcular. a) El potencial en las siguientes regiones:

(1) r < a (2) a < r < (3) < r < (4) r >

b) La energía de ensamble del sistema.

Solución:

a) (1) Para r < a:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

.

/

.

/

(

* (

*

(

* (

*

(2) Para a < r < :

∫

∫

∫

∫

(

* ∫

(

* ∫




Ca

pít

ulo

4.

245

(

* .

/

(

* (

*

(

*

(3) Para < r < :

∫

∫

∫

∫

∫

∫

.

/

(

*

(4) Para r > :

∫

∫

∫

.

/

(

*

b) Energía de ensamble del sistema:

La energía de ensamble o energía que se realiza para cargar el sistema es igual a la energía potencial del sistema, la cual se almacena en las regiones donde existe campo eléctrico, así:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ (

)

∫

( )∫

( )∫

.

/

.

/

(

*

(

*




Ca

pít

ulo

4.

246

(

*

(

*

2. Un condensador de placas planas y paralelas con espacio vacío entre ellas, se conecta a una

batería de manera que las placas se cargan a valores e inmediatamente se desconectan. Si se introduce un dieléctrico de constante K llenado totalmente el condensador, calcule los valores de los siguientes parámetros cuando el condensador está al vacío y cuando está lleno con el dieléctrico:

a) La diferencia de potencial entre las placas. b) La carga libre. c) La densidad de carga libre. d) La densidad de carga de polarización. e) El campo eléctrico. f) La capacitancia eléctrica. g) El vector de desplazamiento eléctrico. h) La energía almacenada.

Dé una justificación para casa respuesta. Utiliza sub-índice “0” para los cálculos del

condensador al vacío. Suponga , área de las placas 0,25 , distancia entre

las placas 1 cm., (

)

Solución:

a) 1- Diferencia de potencial antes:

( )( )

(

* ( )

2- diferencia de potencial después:




Ca

pít

ulo

4.

247

b) 1- Carga libre antes:

2- Carga libre después:

c) 1- Densidad de carga antes:

2- Densidad de carga libre después de introducir el dieléctrico:

d) 1- Densidad de carga de polarización antes:

( ) ( )

2- Densidad de carga de polarización después:

( ) ( )

.

/ ( )

( )

( )

e) 1- Campo eléctrico antes:

( )

2- Campo eléctrico después:




Ca

pít

ulo

4.

248

f) 1- Capacitancia eléctrica antes:

(

* ( )

( )

2- Capacitancia eléctrica después:

g) 1- Desplazamiento eléctrico antes:

( ) ( ) ( )

2- Desplazamiento eléctrico después:

( )

( )

( )

h) 1- Energía potencial eléctrico almacenada antes:

( ) ( )

(

* ( )

2- Energía potencial eléctrica almacenada después:

3. Determine la relación existente entre las componentes tangenciales de los campos eléctricos

definidos en dos medios dieléctricos de permitividades para un punto localizado en la frontera de separación de dos medios. Deduzca una relación análoga entre las componentes normales del desplazamiento eléctrico. Si el ángulo que forma el campo eléctrico con la normal en el medio dos, es de 45° y las

permitividades relativas (constantes dieléctricas) tienen valores de 3√ y 6√ en el primero y segundo medio respectivamente.




Ca

pít

ulo

4.

249

¿Cuál es el ángulo que forma el vector del campo respecto a la normal en el primer medio?, Si el campo del segundo medio tiene un valor de 50 kv/m., ¿Cuál será el valor del campo del primer medio en la frontera? ¿Cuál será el valor del desplazamiento eléctrico?

Solución: La relación entre las componentes tangenciales de los campos eléctricos se obtiene a partir de la integral de línea que expresa que el campo eléctrico es conservativo, así:

∮

∫

∫

∫

∫

Despreciando las contribuciones de las integrales de b a c y de a a d, se tiene:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

) ∫

∫

∫

La relación entre las componentes del desplazamiento se obtienen de la integral siguiente:

∮

Recuerde que en la superficie límite no hay cargas verdaderas, por eso la integral se iguala a cero.

∫

∫




Ca

pít

ulo

4.

250

∫

( ) ∫

∫

∫

∫ ( )

∫ ( )

∫ ∫

El ángulo que forma el vector de campo eléctrico respecto a la normal en el primer medio, se obtiene a partir de la siguiente expresión:

(

*

.

√

√ / (

*

El valor del campo del primer medio, en la frontera, se obtiene a partir de la ecuación de continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico, así:

(

*

El valor de desplazamiento eléctrico se calcula así:

( √ ) .

/ (

)

( √ ) .

/ (

)




Ca

pít

ulo

4.

251

4.13.3 MODELO DE EVALUACIÓN No 4 (2 P) 1. En el esquema mostrado por la figura, se cierra el interruptor mientras que el interruptor

se mantiene abierto. Luego se abre el interruptor y se cierra . ¿Cuál es la carga en cada

condensador antes y después de cerrar ?

Solución: Al cerrar y dejar abierto , el circuito se reduce al siguiente:

Al quedar conectados en serie, la carga de ambos condensadores es la misma. El condensador de capacidad 2C no se carga por estar abierto. Al cerrar y abrir el circuito se reduce a:

Usando el principio de conservación de la carga se tiene;

Luego:




Ca

pít

ulo

4.

252

Cercano a se mantiene su carga.

2. En un conductor esférico de radio a (mts.) se deposita una cantidad de carga Q (coul). Si este conductor se recubre con una capa de dieléctrico (de constante dieléctrica K) desde r = a (mts.) hasta r = b (mts.) (b > a), exprese el vector desplazamiento eléctrico y el vector intensidad de campo eléctrico en lass distintas regiones del espacio. Calcule el flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de una superficie esférica cerrada de radio a<R<b. Grafique mediante líneas de fuerza el campo eléctrico en todas las regiones.

Solución:

a) Para r<a:

∮

Para a<r<b:

∫

Para r>b:

∮

b) Flujo del vector desplazamiento eléctrico:

∮

3. Un dieléctrico cuya permitividad eléctrica es , se coloca dentro de un campo eléctrico

uniforme dirigido horizontalmente de derecha a izquierda (no aparece en la figura). Calcule la carga de polarización que aparece en la superficie del extremo derecho 1 y en las dos superficies que conforman la hendidura practicada en la cara inferior del dieléctrico.




Ca

pít

ulo

4.

253

Solución: La carga de polarización en la superficie del extremo 1 , se calcula así:

∫ ∫

( ) (

*

(

*

( )

En las dos superficies que conforman la hendidura se tiene:

∮

( )

(

*

( )

∮ ∫

( )

(

*

( )



l f r a g a r @ g m a i l . c o m

Resumen:

Para este capítulo se presentan las leyes básicas de los circuitos eléctricos, mediante el modelado de mallas usando las leyes de Kirchhoff para voltajes y corrientes. Adicionalmente se presentan escenarios de estudio de la ley de ohm para circuitos netamente resistivos, así como los cálculos y conversiones posibles entre los diferentes arreglos resistivos, simplificando el modelado y comprensión del mundo circuital.

Ca

pít

ulo

5

INTENSIDAD, RESISTENCIA Y CIRCUITOS DC Cap. 5



Ca

pít

ulo

5.

255





Ca

pít

ulo

5.

256

Capítulo 5. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA

CAPÍTULO 5. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA ............................................................... 256

V. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA .......................................................................... 257

5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 257

5.2 CORRIENTE ELÉCTRICA:......................................................................................................................................... 257

5.2.1 CORRIENTE ELECTRÓNICA Y CORRIENTE CONVENCIONAL:......................................................................... 257

5.3 DENSIDAD DE CORRIENTE ..................................................................................................................................... 258

5.4 LEY DE OHM .......................................................................................................................................................... 258

5.5 COMBINACIÓN DE RESISTENCIAS: ........................................................................................................................ 265

5.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: ........................................................................................................................... 265

5.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: ................................................................................................................................... 266

5.5.3 TRANSFORMACIÓN Δ – Y y Y – Δ: ............................................................................................................. 267

5.5.4 PUENTE DE WHEATSTONE .......................................................................................................................... 268

5.6 LEY DE JOULE ........................................................................................................................................................ 269

5.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y RESISTENCIA INTERNA .............................................................................................. 269

5.8 LEYES DE KIRCHHOFF ............................................................................................................................................ 270

5.8.1 LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE (LKV): ...................................................................................................... 270

5.8.2 LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE: ........................................................................................................ 271

5.8.3 SOLUCIÓN DE CIRCUITOS: ........................................................................................................................... 271

5.9 CIRCUITOS RC ........................................................................................................................................................ 274


5.11 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 279


5.11.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Circuitos de Corriente Continua) ......................................................... 297

5.12 MODELO DE EVALUACIÓN .................................................................................................................................... 315




Ca

pít

ulo

5.

257

V. INTENSIDAD, RESITENCIA Y CIRCUITOSDE CORRIENTE CONTINUA

5.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se consideran los conceptos de resistencia, resistividad, ley de Ohm, disipación de energía y fuente de fuerza electromotriz. Además se tratan las leyes de Kirchhoff y se resuelven las ecuaciones de los circuitos.

5.2 CORRIENTE ELÉCTRICA: La corriente eléctrica es fundamentalmente un flujo de cargas. Si a través de una superficie están fluyendo cargas de modo estacionario, es decir, a velocidad constante, como ocurre en la sección transversal de un hilo, la intensidad de corriente i se define por

(5.2-1) En el sistema mks. La unidad de intensidad de corriente es el amperio, que corresponde a un culombio por segundo.

5.2.1 CORRIENTE ELECTRÓNICA Y CORRIENTE CONVENCIONAL: En un alambre de cobre, las únicas cargas que circulan son los electrones libres. Si se tiene un circuito como el indicado en la figura (5.2.1-1), estos fluyen del terminal negativo de la batería hacia el terminal positivo. Este es exactamente opuesto a la corriente convencional indicada en la figura (5.2.1-2), en donde la corriente se considera que va del terminal positivo de la batería al terminal negativo de la misma.

Fig. 5.2-1 Corriente electrónica Fig. 5.2.1-2 Corriente convencional. En realidad las cargas fluyen de negativo a positivo por un alambre de cobre; esto es, el flujo electrónico es verdaderamente cierto, no obstante la corriente convencional se sustenta en fundamentos matemáticos de casi 200 años de teoría de circuitos y permite obtener la corriente electrónica o la corriente convencional.




Ca

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5.

258

5.3 DENSIDAD DE CORRIENTE Cuando la velocidad con que pasan las cargas por la sección transversal de un hilo conductor varía de un punto a otro; es conveniente introducir la densidad de corriente , relacionada con la intensidad de corriente por

∫

Siendo el elemento de superficie. La figura (5.3-1) ilustra la relación entre la intensidad y la densidad de corriente.

Fig. 5.3-1 La unidad de densidad de corriente es el amperio por metro cuadrado. Si la densidad de corriente es uniforme, la EC (5.3-1) se reduce a

(5.3-2)

Si es paralelo al vector , entonces

(5.3-3) Siendo A el área de la sección transversal del conductor. La densidad de corriente puede expresarse mediante

(5.3-4) Siendo N el número de portadores de carga por unidad de volumen, e, la carga portador y v la velocidad media de deriva de los portadores de carga. Si A es el área de la sección transversal recta de un conductor, la corriente puede expresarse mediante

(5.3-5)

5.4 LEY DE OHM Establece que la diferencia de potencial V, a través de un conductor, es igual a la corriente




Ca

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5.

259

eléctrica i que fluye por él, multiplicada por su resistencia R.

(5.4-1)

La ley de Ohm, llamada así en honor de Georg Simon Ohm, también puede expresarse así: “La densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico, es decir, el cociente de los valores de la densidad de corriente y el campo eléctrico es independiente de este último.”

(5.4-2) El cociente entre la densidad de corriente j y el campo eléctrico E se denomina conductividad . Cualquier sistema en el cual la Ley de Ohm sea una descripción satisfactoria de la dependencia entre la corriente y la diferencia de potencial a través del sistema, se denomina SISTEMA OHMICO. La figura (5.4-1) representa la diferencia de potencial V en función de para el caso de materiales óhmicos y no óhmicos.

Fig. 5.4-1 Representación de V en función de I para materiales óhmicos y no óhmicos. La ley de Ohm expresada mediante la Ec. (5.4-2) tiene la ventaja de ser una relación microscópica. En el caso de la corriente I en el interior de un conductor en forma de alambre, de longitud L, área de sección transversal A, como lo ilustra la figura (5.4-2),

Figura 5.4-2

Segmento de conductor por el que circula una corriente La diferencia de potencial es menor en el punto b que en el punto a y está dado por:

(5.4-3) Siendo E el campo eléctrico.




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5.

260

La corriente I que circula por el conductor es la densidad de corriente j multiplicada por el área de la sección transversal A, entonces:

(5.4-4) Luego la resistencia R del segundo de alambre viene dada por

(5.4-5) Pero la resistividad es el inverso de la conductividad , entonces

(5.4-6) La unidad de resistencia es el ohmio u ohm ( ), definido por

La unidad de resistividad es el ohm.metro ( ), y la unidad de conductividad es el ( ) , el cual se denomina moh. La resistividad y la conductividad de los metales no son constantes fijas. En el rango de temperaturas cercanas a la temperatura ambiente la resistividad aumenta al aumentar la temperatura de acuerdo a la expresión

( ( ) ) (5.4-7) donde es la resistividad a la temperatura de referencia , la cual se toma generalmente a 20°C, y es el coeficiente término de la resistividad ó también denominado coeficiente de

temperatura. La tabla 5.4-1 expresa los valores de la resistividad y de la conductividad para

, y el coeficiente de temperatura para varios metales y aleaciones. La ley de Ohm puede escribirse mediante

(5.4-8) Donde la resistencia eléctrica R, de un conductor, es el recíproco de su conductancia G, así

(5.4-9) La conductancia se expresa en unidades de amperio por voltio, y esta unidad recibe el nombre de Siemens (S) por tanto




Ca

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5.

261

La conductividad eléctrica puede expresarse en términos de la conductancia mediante:

(5.4-10) Por tanto, la conductividad también puede expresarse en unidades de siemens/metro, que en forma abreviada se denota como S/m. Tabla 5.4-1

Conductividad eléctrica y coeficiente térmico de metales y aleaciones

(Temperatura de referencia )

Metal ( ) (

)( )

Plata 62.9 1.59 0.0058 Cobre 56.47 1.771 0.0038 Oro 41.0 2.44 0.0034 Aluminio 35.41 2.824 0.0039 Tungsteno 18 5.6 0.0045 Hierro 10 10 0.005 Plomo 4.5 22 0.0039 Bismuto 0.83 120 0.004 Mercurio 1.0440 95.783 0.00089 Bronce 14 7 0.002 Manganina 2.3 44 0.00001 Constan tan 2.0 49 0.00001 Nicrom 1.0 100 0.0004

El coeficiente de temperatura es positivo para todos los metales, pero es negativo para los electrolitos y para el carbono, el silicio y algunas otras sustancias. Ciertas aleaciones como la manganina y el constan tan poseen un coeficiente prácticamente nulo dentro de un rango limitado de temperatura. Casi todos los metales, algunas aleaciones y compuestos metálicos poseen la propiedad de que a una cierta temperatura de transición característica de la sustancia, la resistencia disminuye bruscamente hasta un valor demasiado pequeño como para ser medido. Este fenómeno se denomina superconductividad y fue descubierto en 1.911 por el físico holandés H. Kamerling Onnes. Podemos decir entonces, que por debajo de la temperatura de transición, llamada temperatura crítica , la resistividad de muchos metaleses cero. La conductividad de un superconductor no puede definirse, puesto que puede existir una densidad de corriente finita aun cuando sea nulo el campo eléctrico en el interior del superconductor. Se han observado corrientes estacionarias en anillos superconductores durante años, sin la aparición de ningún campo eléctrico y sin pérdidas aparentes. La primera teoría de la superconductividad fue publicada por Bardeen, Cooper y Schrieffer en 1957 y se conoce como la teoría BCS.




Ca

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5.

262

En la actualidad se han logrado obtener superconductores a la temperatura crítica de 95° K, con un material denominado peroskita de estructura modificada (YBCO). La figura (5.4-3) permite observar la variación de la resistencia del mercurio en función de la

temperatura, mostrando la repentina disminución de la temperatura a . La conductividad puede describirse en términos microscópicos. Para tal efecto, consideremos

un electrón de carga –e y masa m sujeto a un campo eléctrico constante .

T, K

Figura 5.4-3 Variación de la resistencia en función de la temperatura para el mercurio.

De acuerdo a la segunda ley de Newton el electrón adquirirá una aceleración constante dada por:

(5.4-11) Si se trata de un electrón libre de conducción en un metal, éste adquirirá una velocidad entre una y otra colisión con la red del metal (iones positivos), dada por

( )

(5.4-12) Donde es el tiempo que transcurre desde la última colisión. El tiempo entre colisiones varía en cada caso, por tanto, el tiempo medio entre colisiones se

denomina tiempo medio de dispersión , el cual es independiente de . Un electrón promedio comienza a moverse a partir del reposo exactamente después de la colisión,

luego acelera logrando una velocidad . antes de la segunda colisión; luego llega al reposo y el proceso se repite. La velocidad media de arrastre de un electrón promedio es

(4.4-13)




Ca

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ulo

5.

263

despreciando el factor

, debido a la naturaleza aproximada del cálculo

(5.4-14) La densidad de corriente es un vector antiparalelo a , para el caso de portadores de carga negativa, luego

(5.4-15) Sustituyen el valor de dado por la Ec. (5.4-14), se obtiene

(

)

(5.4-16) Que al compararla con a Ec. (5.4-2) nos permite encontrar la conductividad macroscópica en términos de factores de significado microscópico, así

( )

(5.4-17) Donde N es el número de electrones por unidad de volumen. El inverso de la conductividad es la resistividad . por tanto

( )

(5.4-18) La cual no depende de la forma del conductor.

Cuando la sección transversa] del campo conductor varía, no se satisface la expresión

y

debe procederse como en el ejemplo siguiente:

Ejemplo 5.4 Determine la resistencia que ofrece un disco de material conductor, si por él, circula un flujo radial de corriente desde un anillo de radio a, mantenido a potencial V, hasta el borde del disco, a potencial V, siendo su conductividad y d su espesor, como lo ilustra la figura (5.4-4).

∫

(5.4-18) Pero

(

* ( )

Entonces




Ca

pít

ulo

5.

264

Luego

∫

∫

(

)

(5.4-19) Reemplazando la Ec. (5.4-19) en la Ec. (5.4-18), se sigue que

(

)

En los diagramas de los circuitos, el símbolo correspondiente a la resistencia es una línea en zigzag (ver Fig. 5.4-4).

Fig. 5.4-4 Resistencia Las resistencias que ordinariamente son utilizadas, son pequeños cilindros constituidos de una composición de grafito y arcilla con terminales de hilo en sus extremos. La mayoría de resistencias llevan indicado su valor mediante un código de color en bandas, en donde cada color equivale a un dígito o a una potencia de diez, dependiendo de su posición (ver figura 5.4-5 y tabla 5.4-2).

Figura 5.4-5 Código de colores de una resistencia de 47 KΩ con 5% de tolerancia.

Las dos bandas de izquierda indican los dos primeros dígitos de un número entero, la tercera nada de la potencia de diez por la que debe multiplicarse dicho entero y la cuarta banda indica el límite superior de la desviación estándar porcentual (o tolerancia) del proceso de fabricación.




Ca

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5.

265

La última banda puede ser dorada, plateada o carecer de color, indicándose así la tolerancia colocada por el fabricante y debida al proceso de fabricación. Un reóstato es una resistencia variable y se simboliza como se indica en la figura 5.4.-6

Figura 5.4-6 Reóstato

Un potenciómetro es una resistencia con dos terminales fijos y otro terminal intermedio móvil y se simboliza como se muestra en la figura 5.4-7.

Figura 5.4-7 Potenciómetro

5.5 COMBINACIÓN DE RESISTENCIAS: Las resistencias pueden asociarse en serie, en pa ralelo o combinando conexiones en serie y paralelo.

5.5.1 CONEXIÓN EN PARALELO: Si se conectan N resistencias R como se indica en la Fig. (5.5-1), la caída de potencial V es la misma para todas las resistencias porque todas están conectadas a los mismos terminales. Por tanto,

Para n = 1,2,…N. (5.5.1-1)

Pero de acuerdo a la ley de corrientes de Kirchhoff, la corriente total que entra en el circuito en un punto a debe ser igual a la suma de las corrientes que circulan por las distintas ramas, así:

∑

(5.5.1-2)

(

*

(5.5.1-3)

∑

(5.5.1-4)




Ca

pít

ulo

5.

266

(

*

(5.5.1-5) Siendo

∑

(5.5.1-6) Ó

∑

(5.5.1-7)

Figura 5.5-1 Resistencias en paralelo.

Obsérvese que la resistencia equivalente R es menor que cualquiera de las resistencias componentes (R < Rn).

5.5.2 CONEXIÓN EN SERIE: Si se tienen N resistencias (en donde n = 1,2, 3,..., N) conectadas en serie, como se indica en la figura (5.5.2), la corriente i que circula a través de todas las resistencias debe ser la misma, de modo que la caída de potencial en cada resistencia n es:

(5.5.2-1) Por consiguiente la caída de potencial total es

∑

(5.5.2-2)




Ca

pít

ulo

5.

267

Por tanto

∑

∑

(5.5.2-3)

Luego, la resistencia equivalente

, es:

∑

(5.5.2-4)

Figura 5.5-2 Resistencias en serie.

5.5.3 TRANSFORMACIÓN Δ – Y y Y – Δ: Hay ciertas configuraciones que no se pueden transformar usando solamente combinaciones serie-paralelo. Esas configuraciones se manejan mediante el uso de una transformación Y →Δó

.de una trasformaciónΔ → Y .

La figura (5.5.3) muestra las redes A y Y respectivamente.

Figura 5.5.3 Redes equivalentes en Δ y en Y Si estas redes han de ser equivalentes, la resistencia entre cualquier par de terminales debe ser igual en la Y como en la Δ. Considerando los terminales X y Y, la resistencia equivalente A es la resistencia R en paralelo con la combinación en serie Ra y Rb, y la resistencia equivalente Y es la combinación en serie de R1 y R2 .Expresadas algebraicamente,

( )

( )

Dos ecuaciones similares pueden escribirse para los otros dos pares de terminales. Las tres ecuaciones resultantes se resuelven simultáneamente para los valores en ó los

valores en




Ca

pít

ulo

5.

268

Los resultados son:

5.5.4 PUENTE DE WHEATSTONE Es uno de los circuitos empleados para medir resis tencias. La Fig. (5.5.4) muestra el circuito del puente de Wheatstone.

Figura 5.5.4 Circuito del puente de Wheatstone para medir una

Resistencia desconocida en función de las resistencias .

El galvanómetro se utiliza como un detector de cero. Las resistencias se varían hasta que no pase corriente por el galvanómetro, entonces se dice que el puente está equilibrado. El potencial en el punto a es el mismo que en el punto b, por tanto, la caída de potencial a través de debe ser igual a la caída de potencial a través de la resistencia desconocida R.

(5.5.4-1) Además:

(5.5.4-2) Dividiendo la Ec. (5.5.4-1) entre la Ec. (5.5.4-2), se obtiene:

( *




Ca

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5.

269

5.6 LEY DE JOULE Consideremos una resistencia R por la que circula una corriente i. Si la diferencia de potencial entre los terminales de la resistencia es V, el campo eléctrico realiza un trabajo V para transportar una carga (positiva) dQ desde el extremo de mayor potencial al de menor potencial, así:

(5.6-1)

La potencia o energía disipada por unidad de carga de tiempo, o rapidez con que se realiza trabajo, es:

(5.6-2)

Pero según la ley de Ohm , entonces:

(5.6-3)

Ó

(5.6-4) La energía disipada en la resistencia se convierte en calor y a este proceso se le denomina calentamiento por efecto Joule. La Ec. (5.6-3) se conoce como Ley de Joule.

5.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y RESISTENCIA INTERNA Se denomina fuerza electromotriz (FEM) la cantidad de energía potencial por unidad de carga que puede impartir una fuente de corriente como una pila o batería, un generador o una fotocelda, se denota por y viene dada por:

(5.7-1) Donde la variación de energía potencial U se expresa mediante: U = q V, siendo V la diferencia de potencial eléctrico, entonces

(5.7-2) Por tanto la FEM puede interpretarse como una diferencia de potencial - atribuible a fuerzas no electrostáticas, capaz de establecer una corriente constante en un circuito cerrado.

La unidad de la FEM en el sistema Internacional es el Voltio.

La potencia proporcionada por la FEM es:

( )( )

(5.7-3)




Ca

pít

ulo

5.

270

Si R es la resistencia total del circuito, como se ilustra en la Fig. (5.7-1),

Figura 5.7-1 Figura 5.7-2

Se sigue que,

(5.7-4) Si se tiene en cuenta la resistencia interna, como se ilustra en la Fig. (5.7-2),

Figura 5.5-3 La FEM resulta igual a,

( ) (5.7-5)

(5.7-6)

La Ec. (5.7-6) indica que la diferencia de potencial entre los extremos del circuito exterior es , que corresponde a la diferencia de potencial entre los terminales del generador. La Fig. (5.7-3) muestra la variación de la diferencia de potencial entre los terminales de un generador en función de la intensidad de corriente que lo atraviesa.

5.8 LEYES DE KIRCHHOFF

5.8.1 LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE (LKV): La ley de Kirchhoff del voltaje (LKV) establece que para cualquier trayectoria cerrada en una red eléctrica que sea recorrida en una sola dirección, la suma algebraica de los voltajes es cero. Los voltajes pueden ser debidos a elementos activos como las fuentes de voltaje, o a elementos pasivos como los resistores, los inductores o los capacitores.




Ca

pít

ulo

5.

271

Para los circuitos resistivos de corriente continua (C.C), los voltajes tendrán la forma V = IR. Al hacer la suma de voltajes cuando se recorre una trayectoria cerrada, el voltaje se toma como negativo si se recorre un elemento entrando por el extremo de potencial negativo. También puede usarse la convención contraria. Otra forma de enunciar esta ley es la siguiente: " La suma de las caídas de potencial a lo largo de cualquier lazo o malla del circuito, debe ser igual a la suma de las subidas o aumentos de potencial". Para el caso general en que el circuito contenga fuentes de fuerza electromotriz y resistencias,

∑ ∑

(5.8.1-1) Esta ley se deduce del Principio de Conservación de la Energía.

5.8.2 LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE: La ley de Kirchhoff de la corriente (LKC), establece que en cualquier nodo (principal o no) la suma de las corrientes que entran es igual a la suma de las corrientes que salen. Otra forma de enunciar la ley es: " La suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero ", donde a las corrientes que entren se les asigna un signo y a las que salen otro signo.

∑ (5.8.2-1)

La conexión de dos o más elementos de circuito crea una unión llamada nodo. La unión de dos o más elementos es un nodo simple; una unión de tres o más elementos es un nodo principal.

5.8.3 SOLUCIÓN DE CIRCUITOS: El uso de las leyes de Kirchhoff nos permite solucionar un circuito eléctrico, mediante el uso del método de corrientes de rama o mediante el método de corrientes de malla.

El siguiente ejemplo ilustra el uso de los dos métodos

Ejemplo 5.8.

Resuelva la red de la figura (5.8.3-1) mediante el método de corrientes de rama y mediante el método de corrientes de malla.

Figura 5.8.3-1 Corriente de rama




Ca

pít

ulo

5.

272

Solución: a) Mediante el método de corrientes de rama,

Figura 5.8.3-2 Corrientes de malla

Nodo a: (1)

Malla A:

Malla B:

Ordenando las anteriores ecuaciones,

Resolviendo por determinantes 0 -1 -1 20 0 10 -8 2 -10 1 -1 -1 5 0 10 0 2 -10

( )|( )( ) ( )( )| |( )( ) |

| ( )( )| ( )|( )( ) | | |

( )

1 0 -1 5 20 10 0 -8 - 10 -80

|( )( ) ( )( )| ( )|( )( ) ( )( )|




Ca

pít

ulo

5.

273

1 -1 0 50 20 0 2 - 8 1 | 0 – (20) (2) | – (–1) | – 40 –0 | = -80 -80

b) Método de corrientes de Malla:

Por conveniencia, las mallas deben recorrerse en el sentido de la corriente. Aplicando la LKV a la malla A, partiendo de u, se tiene:

( ) (1) Aplicando la LKV a la malla B, partiendo de í3, se tiene:

( ) (2) Ordenando las ecuaciones (1) y (2):

(3)

(4) Multiplicando la Ec. (3) por 12 y la Ec. (4) por 10 se obtiene:

(5)

(6) Sumando (5) y (6):

Reemplazando este valor en la Ec. (3) se sigue que:

( )




Ca

pít

ulo

5.

274

Si se requiere la corriente en el resistor de 10 Ω, se procede así:

5.9 CIRCUITOS RC El proceso de carga y descarga de un condensador constituye un ejemplo en el que las corrientes y las diferencias de potencial dependen del tiempo, es decir, la corriente no es continua. La figura (5.9-1) muestra en proceso de carga de un condensador mediante una batería de FEM a través de una resistencia R.

Figura 5.9-1 Capacitador de capacitancia C en serie con una resistencia R, Conectados a una de

FEM . La ecuación del circuito se obtiene usando la LKV, que pone de manifiesto que la diferencia de potencial a través de los terminales de la batería es la suma de las caídas de potencial Ri y/C a través de la resistencia y el capacitor.

(5.9-1)

La corriente i está relacionada con la carga del condensador mediante

, entonces

(5.9-2) Para resolver la Ec. (5.9-2) la escribimos como

Multiplicando a ambos miembros por (

)se tiene

Integrando

∫

∫




Ca

pít

ulo

5.

275

. (

)/

(

)

4(

)

5

( ) ( )

( ( ) )

(5.9-3)

La figura (5.9-2) representa la Ec. (5.9-3) que, indica la variación de la carga de un condensador.

Figura 5.9-2 Gráfica de q en función del tiempo. De la Ec. (5.9-3) se encuentra la fórmula para la corriente, así:

( )

( )

(5.9-4)

Obsérvese que en t = 0, cuando se cierra el interruptor, la corriente i (0) en el circuito es la misma que la corriente que fluiría si el capacitor no estuviera presente, es decir inicialmente la corriente tiene el valor /R y a partir de ahí, disminuye exponencialmente con lamisma constante de tiempo T

= RC. A T se le conoce como constante de tiempo del circuito.

La figura (5.9-3) muestra la variación de la corriente en función del tiempo.

Figura 5.9-3 Variación de la corriente en función del tiempo.




Ca

pít

ulo

5.

276

El proceso de descarga de un condensador se indica en la figura (5.9-4).

Figura 5.9-4

Inicialmente el condensador está cargado a potencial . Cuando se cierra el interruptor, la ecuación del circuito está dada por la LKV:

Separando variables,

Integrando desde t= O cuando hasta untiempo posterior t, cuando q tiene el valor q (t), se tiene:

∫

∫

( )

(

*

( ) ( )

La expresión para la intensidad es:

( )

( ) (5.9-6)

Nótese que la carga disminuye continuamente en el tiempo, por tanto la rapidez con que varía la

carga en las placas es negativa.

La gráfica de la Ec. (276.9-6) se muestra en la figura (5.9-5)

Figura 5.9-5




Ca

pít

ulo

5.

277

5.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINÓPTICA Y OBSERVACIONES OBJETIVOS:

- Conocer y aplicar la Ley de Ohm. - Calcular la resistividad. - Determinar la energía disipada en una resistencia. - Calcular la resistencia equivalente. - Determinar las corrientes que circulan en un circuito. - Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos de circuito.

DESCRIPCIÓN SINOPTICA

Intensidad de Corriente

Densidad de Corriente

Ley de Ohm

Resistencia en función de la

resistividad (Ley de Poiseuille)

∑

En paralelo

Combinación de Resistencias

∑ En serie

Potencia o energía por unidad de tiempo disipada en una resistencia.

Ley de Joule

Fuerza electromotriz en función de La resistencia interna.




Ca

pít

ulo

5.

278

A partir de

LAS LEYES DE KIRCHHOFF

1. Ley de Corrientes o Ley de nudos.∑

2. Ley de voltajes o Ley de mallas ∑ ∑

Se obtiene un conjunto de ecuaciones simultáneas que permite obtener las corrientes que circulan por las diferentes mallas y por los distintos lazos de un circuito.

La diferencia de potencial entre dos ∑ ∑ puntos cualesquiera de un circuito se obtiene a partir de:

OBSERVACIONES

- La Ley de Kirchhoff de voltajes se deduce del principio de conservación de la energía.

- La Ley de Kirchhoff de la. corriente se deduce del principio de conservación de la carga.

- La resistividad y la conductividad varía con la temperatura. - Se han obtenido materiales cerámicos superconductores como el

, abreviado (YBCO), el cual corresponde a la estructura de la peroskita modificada cuya temperatura crítica es de 96°K. En estos materiales no se satisface la Ley de Ohm.




Ca

pít

ulo

5.

279

5.11 PROBLEMAS 1. ( 7.11 K ) Hallar la resistencia efectiva (entre los terminales a y b) de una serie infinita de

resistencias conectadas como se indica en la figura anexa, si todas tienen el mismo valor R.

Solución: Como la conexión de resistencias en serie y paralelo es infinita, la cadena de resistencias a la derecha de a' y b' es igual a la resistencia efectiva o equivalente, entonces el circuito resulta ser equivalente al siguiente:

Entonces:

√ ( )

√

√ ( √ )

2. ( 7.13 K ) En el circuito dibujado en la figura anexa la resistencia interna de la batería (no

indicada) es de 1 ohmio. Los valores de las resistencias restantes en ohmios figuran en el diagrama.

Calcúlese: a) La corriente suministrada por la batería. b) La corriente en cada resistencia. c) Potencia disipada en cada resistencia y en la interna de la batería. d) Potencia generada por las tuerzas químicas de la batería. e) Diferencia de Potencial entre los bornes de la batería.




Ca

pít

ulo

5.

280

Solución: El diagrama anterior puede reducirse a un diagrama que tenga una fuente, una resistencia

equivalente y que incluya entre los puntos a y b una resistencia interna, así:

a) Usando la Ley de Voltajes de Kirchhoff:

( )

b)

( ) ( )

( )

Los subíndices de las corrientes indican los valores de las resistencias por la que circulan.

Además: ( ) ( )




Ca

pít

ulo

5.

281

c)

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

d) ( )( )

e) Por definición: ∑ ∑

Partiendo de a y llegando a b en sentido anti horario se tiene: Partiendo

( ) ( )( )

Partiendo de a y llegando a b en sentido horario, se obtiene:

( )( ) ( )

3. ( 110.27 M ) Obtenga la resistencia equivalente a la red de resistores que se muestran en el

siguiente diagrama.

Solución:

Las dos resistencias están conectadas en paralelo, entonces usando la expresión:

∑

,se

sigue que:




Ca

pít

ulo

5.

282

( )( )

( )

4. ( 110.33 M ) La combinación de resistencias que se ilustra en la figura equivale a una sola

resistencia. ¿ Cuál es su valor ?

Solución: Usando la trasformación se obtiene:

( )( )

( )

5. ( 110.39 M ) Dos fuentes con FEMS tienen las resistencias internas ,

respectivamente. Están conectadas en paralelo entre sí y con un resistor R, como se indica en la figura. Demuestre que la resistencia R es atravesada por la corriente I dada por:

Solución: Usando la Ley de Voltajes de Kirchhoff en las mallas A y B se tiene: Malla A: ( ) (1)

Malla B: ( ) (2) Usando Ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo a:




Ca

pít

ulo

5.

283

(3)

De (3) : (4)

Reemplazando (4) en (1) :

( ( ) )

( ) (5)

(5) x R: ( ) (6)

(2) x ( )

(7)

(6) + (7): ( ) Factorizando I: ( )

6. ( 110.41 M ) En la figura se ven n celdas electroquímicas idénticas en paralelo, que

constituyen una batería, conectadas a una resistencia R. Obtenga las expresiones para la corriente y la diferencia de potencial en R. Demuestre que para n grande, la tensión terminal de la batería se aproxima a . Por tanto,

conectando un gran número de celdas de F E M se puede obtener una batería con resistencia interna muy baja.

Solución: Aplicando la Ley de Corrientes de Kirchhoff en el nudo a, se obtiene:

Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchhoff en la malla A, se sigue que: ( )

Pero:

( *

( )

( )




Ca

pít

ulo

5.

284

7. ( 110.46 M ) Se disponen 12 alambres, cada uno de resistencia R, como los lados de un cubo, según se muestra en el siguiente diagrama. Demuestre que la resistencia equivalente

entre los puntos X y Y es

:

Solución: Por simetría los puntos A se encuentran al mismo potencial, lo mismo que los puntos B. Además entre A y B existen seis resistencias, luego el diagrama equivalente es:

Donde se calcula así:

Se calcula así:

Donde se calcula así:




Ca

pít

ulo

5.

285

8. ( 110.47 M ) Se disponen 12 alambres, cada uno de resistencia R, también como las aristas de un cubo, según se muestra en la f igura siguiente. Demuestre que la .resistencia

equivalente entre X y Y es

.

(Nota: Por simetría, los dos vértices marcados B tienen también el mismo potencial.)

Solución: El sistema puedes resolverse mediante sucesivas asociaciones de resistencias en serie y en paralelo, así:

9. (9. 16 Me) Una cadena serie-paralelo infinitamente larga consta de resistores iguales R como

se muestra en la figura. Calcule la resistencia total entre A y B.




Ca

pít

ulo

5.

286

Solución:

Como la cadena de conexiones de resistores en serie y paralelo es infinita, la parte de la cadena a la derecha de A' y B' es lo mismo que toda la cadena, entonces el circuito se reduce a:

Luego:

( )

( )

√

( )

√ √ (√ )

10. ( 7.9 K ) Un bloque de material de 10 cm. de largo y 2x1

cm. de dimensiones transversales, presenta entre sus extremos una resistencia de ohmios. ¿Cuál será su resistencia si se le deforma de modo que se reduzca a 5 cm. de largo, manteniendo su sección uniforme y admitiendo que no hay cambio en la resistividad?




Ca

pít

ulo

5.

287

Solución:

Primer método:

( )

( )

Luego, el valor de la resistencia cuando se reduce a 5 cm. la longitud del bloque es:

( )

( )

( )

Segundo método: Planteando una simple regla de tres.

( )( )

Tercer método:




Ca

pít

ulo

5.

288

5.11.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Suponga que la corriente que circula por un conductor disminuye exponencialmente con el tiempo de

acuerdo con

t

eItI

0)(

donde I0 es la corriente inicial (en t=0) y es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere un

punto de observación fijo dentro del conductor. a) Cuánta carga pasa por este punto entre t=0 y t=?. b)

Cuánta carga pasa por este punto entre t=0 y t=10?. c) Cuánta carga pasa entre t=0 y t=?.

SOLUCION:

a) De la definición de intensidad de corriente instantánea:

IdtdQdt

dQI

Sustituyendo la expresión dada para I e integrando se sigue que:

0

0

0

0

0

1)( dteIdteIdQ

ttQ

0)( 0

t

eIQ

]1[)( 10 eIQ

001

0 632.0)3678.01(]1[ IIeIQ

b) Para los limites entre t=0 y t=10, se utiliza el mismo procedimiento, obteniéndose la siguiente expresión:

0

10)( 0

t

eIQ

010

0)( eeIQ

010

010

0 999.0]1[1 IeIeIQ

c) Análogamente, para los límites entre t=0 y t=, se obtiene:

][0

)( 000 eeIeIQ

t




Ca

pít

ulo

5.

289

00 ]10[ IIQ

2. Un conductor coaxial con una longitud de 20 m está compuesto por un cilindro interior con un radio de 3.0

mm y un tubo cilíndrico exterior concéntrico con un radio interior de 9.0 mm. Una corriente de fuga

distribuida uniformemente de 10 A fluye dentro de los dos conductores. Determine la densidad de la

corriente de fuga (en A/m2) a través de una superficie cilíndrica (concéntrica con los conductores) que tiene

un radio de 6.0 mm.

SOLUCION:

)1020)(106(2

)/10)(10(

2 23

6

mm

AAA

rL

I

A

IJ

24 /1032.1 mAJ

3. Un alambre con una resistencia R se alarga hasta 1.25 veces su longitud original jalándolo a través de un

pequeño agujero. Encuentre la resistencia del alambre después de alargarlo.

SOLUCION:

El alambre sin alargar tiene una resistencia:

0

0

A

LR

Cuando se alarga 1,25 veces la longitud normal adquiere una resistencia:

A

LR 025.1

El volumen V0 del alambre sin alargar se puede expresar como:

000 LAV

Este volumen debe ser igual al volumen V del alambre después de alargado:

)25.1( 0LAALV

Igualando las dos expresiones para el volumen se sigue que:

25.125.1

0

0

00 A

L

LAA

Luego:

25.1/

25.125.1

0

00

A

L

A

LR

RA

LR 56.1)25.1(

0

02




Ca

pít

ulo

5.

290

4. Suponga que usted desea fabricar un alambre uniforme a partir de 1.0 g de cobre. Si el alambre va a tener

una resistencia de R=0.50, y se va a usar todo el cobre, ¿cuáles serán a) la longitud y b) el diámetro de este

alambre?.

SOLUCION:

2

8

221016.2

4

2

d

L

d

L

d

L

A

LR

Luego:

2

81016.25.0d

L

15.231481482

d

L (1)

De la definición de densidad de masa se sigue que:

Ld

m

AL

m

V

mCu 2

2

Teniendo en cuenta el valor de la densidad de masa del cobre tenemos:

2

333 104

/1095.8Ld

kgmkg

Ld

6

21002.7

1 (2)

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1), se obtiene:

15.23148184)1002.7( 6 LL

mmLmL 8158.129.329.3 22

De la ecuación (2):

mmL

d8158.11002.7

1

1002.7

166

mmd 48 108,21084.7

5. Una diferencia de potencial de 0.90 Voltios se mantiene entre los extremos de un alambre de tungsteno de

1.5 m de largo que tiene un área de sección transversal de 0.60 mm2. ¿Cuál es la corriente en el alambre?




Ca

pít

ulo

5.

291

SOLUCION:

L

AV

A

L

V

R

VI

)(

Amperiosmm

mVI 42.6

)5.1)(106.5(

)106.0)(9.0(8

26

6. ¿Cuál es el cambio fraccionario de la resistencia de un filamento de hierro cuando su temperatura cambia

de 250C a 50

0C?.

SOLUCION:

La variación de la resistencia de un conductor está dada por:

)1(0 TRR

De aquí se sigue que el cambio fraccionario es:

)25()100.5( 0103

0

0 CCTR

RR

125.00

0

R

RR

7. Suponga que produce 140 voltios durante un momento. ¿En que porcentaje aumentará la salida de un foco

eléctrico de 100W y 120V, suponiendo que su resistencia no cambia?

SOLUCION:

La potencia de salida antes de que aumente el voltaje es:

R

Votios

R

VP

220

0

)120(

Entonces:

W

VR

R

VoltiosW

100

1440014400100

2

144R

La potencia de salida cuando se presenta la subida de voltaje es:

WVoltios

R

VP 136

144

)140( 22

El aumento de potencia es:

WWWPPP 36)100136(0




Ca

pít

ulo

5.

292

Luego, haciendo una regla de tres:

XW

W

36

%100100

Por tanto:

%36X

8. Demuestre que la resistencia entre las caras a y b de un material en forma de cuña, de resistividad uniforme

está dada por:

1

2

12

ln)( y

y

yyw

LR

SOLUCION:

De la forma diferencial para la resistencia del elemento diferencial es:

)( 1yyw

dxdR

Para relacionar las variables x y y consideremos el triángulo que se forma en la siguiente figura:

Podemos establecer la siguiente proporción:

L

yy

x

y 12

Despejando x:

12 yy

yLx

Diferenciando la expresión anterior:

12 yy

Ldydx

y2

w

y1

dx

L

y+y

1

y1 y2

Cara

b

y1

y2

L

w




Ca

pít

ulo

5.

293

Luego:

))(( 112 yyyyw

LdydR

Integrando entre 0 y (y2 – y1):

12

0 112 )()(

1yy

yy

dy

yywLR

0

)(ln)(

1 121

12

yyyy

yywLR

1112

12

ln)ln()(

1yyyy

yywLR

12

12

lnln)(

1yy

yywLR

1

2

12

ln)(

1

y

y

yywLR

9. Un material de resistividad en forma de un cono truncado de altura h, como se indica en la figura anexa.

El extremo del fondo tiene un radio b y el extremo superior un radio a.

Suponiendo que hay una densidad de corriente uniforme a través de cualquier

sección transversal circular del cono, muestre que la resistencia entre los dos

extremos es:

ab

hR

SOLUCION:

La expresión para la resistencia en función de la resistividad es:

A

LR

Luego un elemento diferencial de resistencia es:

2r

dydR

(1)

Considerando la figura anterior podemos establecer en el triángulo que se forma la siguiente relación de

proporcionalidad:

h

a

b

h

a

b y

r-a

b-a




Ca

pít

ulo

5.

294

yh

h

ar

ab

Luego:

))(()( yhabarh

ayhh

abr

)( (2)

Entonces:

)(

)(

)(

)()(

ab

arhhy

ab

arhyh

Por consiguiente el diferencial de y es:

drab

hdy

(3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1), se obtiene:

2r

dr

ab

hdR

Ahora integramos, teniendo en cuenta que cuando y = 0, de la ecuación (2) se sigue que:

br

Y cuando y = h, entonces de la ecuación (2) se sigue que:

ar

Por consiguiente:

a

b

drrab

hdR 2

Luego:

b

ar

ab

hR

1

1

baab

hR

11

Haciendo común denominador:

ab

ab

ab

hR




Ca

pít

ulo

5.

295

Simplificando:

ab

hR

10. Un disco de radio R y espesor d está hecho de un material con resistividad . Muestre que la resistencia

entre los puntos a y b de la figura anexa, es independiente del radio y está dada por R=/2d.

SOLUCION:

Sabemos que A

LR . Luego un elemento diferencial de resistencia estará dado por

A

dxdR

En esta oportunidad podemos darnos cuenta que:

dRsendxRx cos

Rseny

dRsenA )2(

Luego:

)2(

Rsen

dRsendR

Integrando se sigue que:

dd

dd

R2

022

0

11. Un alambre metálico de resistencia R se corta en tres pedazos iguales que luego se conectan extremo con

extremo para formar un nuevo alambre, cuya longitud es igual a una tercera parte de la longitud original.

¿Cuál es la resistencia de este nuevo alambre?.

SOLUCION:

La resistencia inicial del alambre es:

A

LR

d b a

R

a b

R

d




Ca

pít

ulo

5.

296

La resistencia de cada trozo de alambre es:

A

LR

3/

Luego la resistencia del nuevo alambre se obtiene como si se tratara de tres resistencias conectadas en

paralelo, así:

A

L

A

L

A

L

A

LReq3/

3

3/

1

3/

1

3/

11

Luego:

993

3/

RA

L

A

L

Req




Ca

pít

ulo

5.

297

18 V

4

0.75

2

5.11.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Circuitos de Corriente Continua)

1. Calcule la potencia disipada en cada resistor en el circuito de la figura anexa.

SOLUCION:


De aquí se sigue que:

.7,275.6

18A

VoltsI

La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia de 0.75 ohmios es:

.2)75.0)(7.2( VoltsAIRV

La intensidad de corriente que circula por la resistencia de 3 ohmios es:

AVolts

I 66.03

23

AVolts

I 21

21

La potencia disipada en la resistencia de 2 ohmios es:

WARIP 58.14)2()7.2( 22

18 V

4

3 1

2




Ca

pít

ulo

5.

298


WARIP 3.1)3()66.0( 223

La potencia disipada el la resistencia de 1 ohmio es:

WARIP 4)1()2( 221


WARIP 16.29)4()7.2( 22

2. En la figura anexa, encuentre a) la corriente en el resistor de 20 ohmios y b) la diferencia de potencial entre

los puntos a y b.

SOLUCION:

a) Aplicando la (LKV) a la malla que pasa por la rama superior se obtiene:

025251005202510 11 IIIII

II 5.25.21

Aplicando la (LKV) a la malla del medio se tiene:

IIIIIII 5.21025010520 222

Aplicando la (LKV) a la malla inferior se tiene:

IIIIIII 552505520 333

Usando la (LKC) se tiene:

IIII 321

••

ba

25 V

205

10

5

10




Ca

pít

ulo

5.

299

Sustituyendo I1, I2, e I3 se obtiene:

AIIIIII 227.05.21155.25.25.2

b) La diferencia de potencial entre los puntos a y b es:

VoltsVoltsAVV ba 68.5675.5)227.0)(25(

3. a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b en la figura anexa. b) Encuentre las corrientes

I1, I2, e I3 en la figura anexa.

SOLUCION:

Aplicando la (LKC) al nodo c, se tiene:

312 III (1)

Aplicando la (LKV) a la malla A, recorrida en sentido horario se tiene:

0535 21 II (2)

Aplicando la (LKV) a la malla B, recorrida en sentido horario se tiene:

07510 32 II (3)

Ordenado las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene:

0321 III

5053 321 III

10750 321 III

Solucionando el anterior sistema de ecuaciones se tiene:

141.071

10

152135

]5025[35

750

053

111

7510

055

110

1

I

I 3

I2

I1

10 V

5 V 5 7

3

A B




Ca

pít

ulo

5.

300

915.071

65

152135

3035

750

053

111

7100

053

101

2

I

AIII 774.0141.0915.0123

La diferencia de potencial entre los puntos a y b se obtiene de la siguiente manera:

VVVIVV ba 41.105)774.0(757 3

4. Una batería descargada se carga conectándola a una batería en funcionamiento de otro auto (ver figura

anexa). Determine la corriente en la marcha y en la batería descargada.

Usando la (LKC) se tiene:

0321 III

Aplicando la (LKV) a la malla A, se tiene:

010101.012 21 II

Aplicando la (LKV) a la malla B, se tiene:

006.0110 32 II

Ordenando las ecuaciones se sigue que:

0321 III

BateríaViva

BateríaMuerta

12 V 1 0.06

0.01

I1

I3

I 2

A B

10 V




Ca

pít

ulo

5.

301

2001.0 321 III

1006.00 321 III

Luego las corrientes se obtienen de la siguiente manera:

01.00006.006.0

1212.0

06.010

0101.0

111

06.0110

012

110

1

I

AI 67.1710706.0

12.121

Análogamente:

0706.0

02.0

0706.0

1.012.0

0706.0

06.0100

021.0

101

2

I

AI 283.02

El signo menos significa que la corriente fue asignada en sentido contrario al que debe tener.

5. Para el circuito mostrado en la figura anexa, calcule a) la corriente en el resistor de 2 y b) la diferencia de

potencial entre los puntos a y b.


b

a

12 V 4

2

6 8 V

I3

I2

I1

ba

12 V 4

2

6

8 V




Ca

pít

ulo

5.

302

Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes (LKC) al nodo a se tiene:

321 III

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes (LKV) a la malla A recorrida en sentido antihorario se tiene:

04212 12 II

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes (LKV) a la malla B recorrida en sentido antihorario se tiene:

0268 23 II

Ordenando las anteriores ecuaciones se sigue que:

0321 III

12024 321 III

8620 321 III

Resolviendo el anterior sistema se tiene:

AI 54.244

112

82412

]1624[72

620

024

111

628

0212

110

1

AI 909.044

3272

44

680

0124

101

2

AAAIII 63.1909.054.2213

La diferencia de potencial entre los puntos a y b, está dada por:

VAIVV ba 818.1)909.0)(2(2 2

6. El circuito de la figura anexa ha sido conectado, por un largo tiempo.

a) ¿Cuál es el voltaje a través del capacitor.

b) Si la batería es desconectada que tiempo toma al capacitor descargarse a 1/10 del voltaje inicial?.




Ca

pít

ulo

5.

303

SOLUCION:

El anterior circuito puede sustituirse por el siguiente:

a)

AVolts

I 25

101

AVolts

I 110

102

VoltsIVV ab 21

VoltsIVV ac 88 2

Restando las dos diferencias de potencial se sigue que:

))8(2()()( VVVVVVV cbacab .6) VoltsVV cb

b) Cuando se desconecta la batería, el diagrama se reduce al siguiente:

I 1 I

2

-

+ c

a

10 V

2

8 1

d

b

4

c••

b

C

6

9

I2

-

+

5 V

I

5 10

I1




Ca

pít

ulo

5.

304

Este circuito es equivalente al siguiente:

Usando la expresión para el proceso de descarga de un capacitor se sigue que:

RC

t

bcRC

t

eCVtqQeq

)(

De aquí se sigue que:

RCt

bcbc eCVVC /

10

1

Simplificando:

RCte /

10

1

Hallando el logaritmo a ambos miembros:

RC

te RCt /ln)1.0ln(

Luego despejando t:

)1.0ln(RCt

.102.8)3.2)(101)(6.3( 66 sFt

7. Suponga que el interruptor ha sido cerrado por largo tiempo hasta que el capacitor esté totalmente cargado.

Encontrar:

a) La corriente de estado estacionario a través de cada resistor.

b) La carga Q sobre el capacitor.

c) El interruptor es abierto en el instante t=0. Escriba una ecuación para la corriente 2Ri a través de 2R en

función del tiempo.

d) Encuentre el tiempo que toma para que la carga del capacitor caiga a 1/15 de su valor inicial.

(54/15)

c••

b

I3

I2

I1

R2 =15k

12 k

S

C=10F

9 V

R=3kA B




Ca

pít

ulo

5.

305

SOLUCION:

a) Cuando el capacitor está totalmente cargado no circula corriente por la resistencia de 3 ohmios, por tanto el

circuito se reduce al siguiente:

En este caso la corriente 1I de la malla A es igual a:

Ak

VoltsI 3

1 1033.027

9

En este caso la misma corriente que pasa a través 1R y 2R es la misma, por tanto:

AII 3

21 1033.0

b) La carga Q sobre el capacitor se calcula aplicando la (LKV) en sentido horario a la malla B, así:

22322 0)0( RIVRVRI CC

VVoltsAVC 595.4)1015)(1033.0( 33

Luego:

.1050)5)(1010( 66 CoulVFCVQ C

c) Cuando se abre el interruptor la corriente 2I a través del resistor 2R en función del tiempo viene dada por:

RCtCRCt

C eR

VeCV

dt

d

dt

dqI /)/

2 (

El voltaje en los extremos del capacitor se calcula de la siguiente manera:

VoltsF

Coul

C

QVC 5

1010

1056

5

El valor máximo de la corriente es:

AVolts

R

VI C 3

30 10278.01018

5

R2 =15k

S

9 V

R1=12 k




Ca

pít

ulo

5.

306

)1010)(1018/(3/

02

63

)10278.0( FtRCt eAeII

)1010)(1018/(3

2

63

)10278.0( FteAI

)10180/(3

2

3

)10278.0( steAI

d) La ecuación que describe el proceso de descarga de un capacitor es:

)10180/(

0

3

)( steQtq

Entonces:

)10180/(66 3

)1050()1050(5

1 steCC

s

t3101805

1ln

st 289.0

8. Los valores de las componentes en un circuito RC en serie simple que contiene un interruptor (figura

anexa) son C=1 F, VyR 10102 6 . Para el instante en que han pasado 10 s después de que se

cierra el interruptor, calcule a) la carga en el capacitor b) la corriente en el resistor, c) la tasa a la cual se

almacena la energía en el capacitor, y d) la tasa a la cual la batería entrega energía.

SOLUCION:

a) La expresión correspondiente al proceso de carga es:

)1( / RCteCVq

)101)(102/(106 66

1)10)(101( FseVFq

Cq 61093.9

b) La corriente en el resistor está dada por:

)101)(102/(10

6

/ 66

102

10 FsRCt eVolts

eRC

CV

dt

dqI

AI 81036.3

S

R

C




Ca

pít

ulo

5.

307

c)

C

eVC

dt

d

dt

dU

C

qU

RCt

2

)1(

2

2/222

RC

ee

CV

dt

dU RCtRCt

//

2

)1(22

RC

eeCV

dt

dU RCtRCt

//2 )1(

We

dt

dU ss7

2/106 1034.3

2103.99

d) WAVIP 71036.3)81036.3)(10(

9. Encuentre la corriente que circula por un amperímetro 9.5 s después de que el interruptor en la figura

anexa se pasa de la posición a a la posición b.

SOLUCION:

La expresión para el proceso de carga de un capacitor es:

)1()( /

0

RCteQtq

Cuando se asume que el interruptor S permanece un tiempo suficientemente grande en la posición a el

término exponencial se aproxima a cero, entonces:

CoulVFCVQtq 66

0 1012)12)(101()(

La expresión correspondiente al proceso de descarga de un capacitor a través de una resistencia se describe

mediante: RCteQtq /

0)(

De la expresión anterior se encuentra la corriente que circula por el amperímetro y por la resistencia de 15 ,

así:

RCtRCt eIeRC

Q

dt

dqI /

0

/0

Reemplazando numéricamente se sigue que:

b

A

a10 k

S

R=15k

C=1F12 V




Ca

pít

ulo

5.

308

)101)(15/(105.9

6

666

)101)(15(

1012 FseF

CoulI

AI 4246.0

10. La resistencia entre los terminales a y b en la figura anexa es 75 . Si los resistores marcados con la letra

R tienen el mismo valor, determine R.

SOLUCION:


Este circuito es equivalente al siguiente:

En donde

5

1

40

1

120

1

11

R

R

Luego:

5

1

40

1

120

1

1

R

RReq

Por tanto, teniendo en cuenta que la resistencia equivalente es 75 , se sigue que:

b

a

5

120 40

R

R

R1

b

a

R

b

a

120 40

R

5R+




Ca

pít

ulo

5.

309

35

15030

5

1

30

1

175

R

RR

R

R

Luego:

15065)35(75 2 RRR

02475102 RR

Resolviendo esta ecuación cuadrática se sigue que:

2

)2475(410010 R

Por consiguiente, tomando el valor positivo:

552

110R

11. Utilizando las reglas de Kirchhoff a) encuentre la corriente en cada resistor en la figura anexa. b)

Determine la diferencia de potencial entre los puntos c y f. Qué punto está a potencial más alto.

SOLUCION:

a) Aplicando la (LKC) al nodo f se tiene:

231 III

Aplicando la (LKV) a la malla de la izquierda recorriéndola en sentido horario se tiene:

01021036070 1

3

2

3 II

Aplicando la (LKV) a la malla de la derecha recorriéndola en sentido horario se tiene:

01041038060 3

3

2

3 II

Ordenando las ecuaciones se tiene:

0321 III

f

c

I 1

I 3

I 2

2k 3k

80 V 60 V

10 k

C=1 F 70 V

4 k




Ca

pít

ulo

5.

310

100103102 32

3

1

3 III

201041030 3

3

2

3

1 III

Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes se tiene:

33

33

33

3

1

1041030

0103102

111

10410320

010310

110

I

666

444

11061081012

106103104

I

AI 33

6

4

1 1013

510

26

10

1026

101

33

33

3

3

2

1041030

0103102

111

104200

010102

101

I

666

44

21061081012

104104

I

AAI 33

2 1013

4010

26

80

AIII 333

123 1013

3510

13

510

13

40

b) La diferencia de potencial entre los puntos c y f está dada por:

70102 1

3 IVVV fcfc

VoltsV fc 23.6970)1013

5(102 33




Ca

pít

ulo

5.

311

Luego c está a mayor potencial que f.

12. Calcule IeII 21, en la figura anexa:

SOLUCION:

Aplicando la (LKC) en el nodo a se tiene:

0321 III

Aplicando la (LKV) a la malla superior recorrida en sentido horario, se tiene:

034224 311 III

Aplicando la (LKV) a la malla inferior recorrida en sentido horario, se tiene:

05312 223 III

Ordenando las ecuaciones:

0321 III

24306 321 III

12360 321 III

Resolviendo mediante determinantes, se tiene:

AI 5.372

252

361818

1443672

360

306

111

3612

3024

110

1

b a

I3

I2

I1

5

3

12 V

24 V4

2

1




Ca

pít

ulo

5.

312

AI 5.272

180

72

723672

360

306

111

3120

3246

101

2

AIII 1213

13. Dos resistores conectados en serie tienen una resistencia equivalente sR . Cuando se conectan en

paralelo, su resistencia equivalente es R . Determine la resistencia de cada resistor.

SOLUCION:

Cuando se tienen dos resistencias 1R y 2R están conectadas en serie, la resistencia equivalente sR , se

obtiene mediante la suma, así:

21 RRRs (1)

Cuando se tienen dos resistencias 1R y 2R están conectadas en paralelo, la resistencia equivalente R , se

obtiene como el producto sobre la suma, así:

21

21

RR

RRR

(2)

Despejando 2R de la ecuación (1), se sigue que:

12 RRR s (3)

Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (2) se tiene:

2

11

1 )1(RRRRR

R

RRR ss

s

s

Trasponiendo términos, se sigue que:

01

2

1 ss RRRRR

Resolviendo la anterior ecuación cuadrática, se obtiene:

2

42

1

sss RRRRR




Ca

pít

ulo

5.

313

Seleccionando el valor de la raíz cuadrada precedida por el signo positivo se consigue que:

2

42

1

sss RRRRR

Por lo tanto:

2

42

12

sss

ss

RRRRRRRR

14. Determine la corriente en cada rama de la figura anexa.

SOLUCION:

Aplicando la (LKC) en el nodo a, se tiene:

231 III

Aplicando la (LKV) a la malla de la izquierda recorriéndola en sentido antihorario se tiene:

0548 331 III

Aplicando la (LKV) a la malla de la derecha recorriéndola en sentido antihorario se tiene:

012354 2233 IIII

Ordenando las ecuaciones anteriores se tiene:

0321 III

4608 321 III

8640 321 III

Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes se tiene:

640

608

111

648

604

110

1

I

4 V

a

I1 I3

I2

1

12 V

3

5

81




Ca

pít

ulo

5.

314

AI13

11

52

44

104

88

324824

1648241

AI104

136

104

644824

640

608

111

680

648

101

2

AI13

17

26

34

52

682

AIII13

6213

El signo menos indica que el sentido que debe llevar la corriente 3I debe ser contrario al asignado.




Ca

pít

ulo

5.

315

5.12 MODELO DE EVALUACIÓN 1. Dado el circuito que se muestra en la figura, planté

y subraye las ecuaciones correspondientes a las reglas de Kirchhoff, mediante las cuales podrá determinar la corriente en cada resistencia del circuito indicado.

Solución:

Malla A: ( )

Malla B: ( )

Malla C: ( )

Nodo a:

Nodo b:

Nodo c: 2. Hallar las corrientes y la diferencia de potencial entre los puntos A y B de la figura anexa.

Solución: Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchhoff: Malla A: ( )

(1) Malla B:

(2)




Ca

pít

ulo

5.

316

Usando la Ley de Corrientes de Kirchhoff en el nodo A, se tiene:

(3)

Redondeando las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos:

Solución: 0 1 -1 4 0 -3 -4 4 +3 (-1) (12-12) -1 (16) -16 -8 = = = = = - 0,4 Amp. 1 1 -1 1 (12) -1 (-12) -1 (-16) 40 20 -4 0 -3 0 -4 3 1 0 -1 -4 4 -3 0 -4 3 -16 -4 = = = = - 0.4 Amp. 40 40 10 1 1 0 -4 0 4 0 -4 -4 1(-16) -1(16)-32 = = = = - 0.8Amp. 40 40 40 ( ) 3. Resuelva el circuito mostrado, manteniendo el interruptor S abierto y determine:

a. Corriente eléctrica que pasa a través de la resistencia de 4 Ohmios. b. Potencia suministrada por las baterías de 4,5 Volts. c. Potencia consumida por las resistencias de 1 Ohmio. d. Diferencia de potencial entre a y b (terminales del interruptor S). Todas las resistencias

están dadas en Ohmios.




Ca

pít

ulo

5.

317

Solución: Si el interruptor S está abierto, las ecuaciones del circuito son las siguientes: Malla A: ( )

(1) Malla B: ( )

(2) Nudo A:

(3) Las anteriores ecuaciones pueden volverse a escribir de la siguiente manera:

0 1 -1 9 4 4 -5 -4 0 - (20) – (-36+20) -4 = = = 1 0 -1 (16) - (-20) - (20) 56 0 4 4 5 -4 0

1 0 -1 0 9 4 5 -5 0 20 - (-45) 20 + 45 65

= = = = = Amp. = 1, 25 Amp. 56 56 56 56

1 1 0 0 49 5 4 -5 - 20 + 36 – (-45)16 + 45

= = = = 1,089 Amp. 56 56




Ca

pít

ulo

5.

318

a) La corriente que circula por la resistencia de 4 ohmios es:

b) La potencia suministrada por la batería está dada por:

( ) (

) Potencia suministrada

Por la batería de 4,5 Volts. Situada en el extremo inferior derecho. La potencia suministrada por la otra batería de 4,5 Volt es cero porque i = O.

c) La potencia consumida por la resistencia de un ohmio sobre el lazo superior, es:

(

*

( )

La potencia suministrada por la otra resistencia es cero porque i = O. d) La diferencia de potencial entre a y b, está dada por:

∑ ∑ ( ) ( )

4. Dos resistencias eléctricas de 4Ω y 8Ω respectivamente, se desean conectar conjuntamente a una fuente de 6 Voltios. Cuál deberá ser la conexión entre las resistencias para que la fuente

suministre el máximo de energía. Dibuje el circuito y justifique su opción.

Solución:

La conexión debe hacerse en paralelo ya que

,

Luego P es máxima cuando R es mínima, y R es mínima cuando las dos resistencias se conectan en paralelo, por tanto:

( )

( )

Si estuvieran conectados en serie:




Ca

pít

ulo

5.

319

( )

Luego la conexión debe ser en paralelo para que la fuente suministre el máximo de energía. 5. Una corriente I circula por un hilo de cobre cuya sección transversal es 1 cm2. En algún punto

de la sección se reduce a 1 mm2. Qué relación (cociente) tienen las magnitudes de los campos

eléctricos en cada una de las secciones transversales.

Solución:

La corriente es la misma en las dos secciones, entonces, usando la definición de corriente, se

tiene:

como , se tiene: .

6. La gráfica de la figura representa la diferencia de potencial V en función de la corriente, en un

tubo luminoso de Neón. Puede definirse una corriente eléctrica para este tubo?. Seguiría la Ley de Ohm?.

Solución:

Si puede definirse una corriente eléctrica, pero no satisface la Ley de ohm, ya que

;




Ca

pít

ulo

5.

320

tendría una forma lineal y no parabólica como aparece en la figura. 7. Halle la resistencia equivalente entre los puntos 2 y 3.

Solución: 1 y 2 están en serie. 3 y 4 en paralelo. 5 y 6 en serie. 7 y 8 en paralelo.

CAMPO MAGNÉTICO Cap. 6

Ca

pít

ulo

6


E s c u e l a d e F í s i c a l f r a g a r @ g m a i l . c o m


Resumen:

Para el presente capítulo se hará un recorrido por el mundo del electromagnetismo, donde se podrá reconocer la naturaleza convergente de los campos magnéticos, a diferencia de la divergencia presente en el escenario del campo eléctrico. Se tendrá contacto con los principios de funcionamiento de la máquina de corriente continua, uno de los inventos revolucionarios del siglo XIX, como preámbulo al estudio de los campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo, que conducen a las leyes de Maxwell.




Ca

pít

ulo

6.

322





Ca

pít

ulo

6.

323

Capítulo 6. CAMPO MAGNÉTICO

CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO ................................................................................................................................... 323

VI. CAMPO MAGNETICO .............................................................................................................................................. 324

6.1 DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO ............................................................................................................................ 324

6.2 LEY DE BIOT Y SAVART ........................................................................................................................................... 325

6.3 FUERZA ENTRE DOS ELEMENTOS DIFERENCIALES DE CORRIENTE ........................................................................ 327

6.4 MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA POR LA QUE CIRCULA UNA CORRIENTTE I, SITUADA EN UN CAMPO

MAGNETICO UNIFORME ..................................................................................................................................................... 327

6.5 RESUMEN DIPOLAR .............................................................................................................................................. 330

6.6 FLUJO MAGNETICO ............................................................................................................................................... 330

6.7 LEY DE AMPERE ..................................................................................................................................................... 331

6.7.1 PRUEBA DE LA LEY DE AMPERE................................................................................................................... 334

6.8 FUERZA SOBRE CARGA AISLADAS EN MOVIMIENTO ............................................................................................. 335

6.9 FUERZA DE LORENTZ ............................................................................................................................................. 339

6.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINOPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 340

6.11 PROBLEMAS DE CAMPO MAGNÉTICO .................................................................................................................. 342





Ca

pít

ulo

6.

324

VI. CAMPO MAGNETICO

6.1 DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNETICO Un campo magnético existe en cada punto del espacio cercano a un conjunto de fuentes magnéticas, tales como corrientes o cuerpos imantados. Si se produce una fuerza sobre una partícula cargada que se mueve a través de dicho punto del espacio, decimos que existe un campo magnético en ese punto. El campo de inducción magnética ó densidad de flujo magnético es una función vectorial. Los experimentos que incluyen la observación de partículas cargadas que se desplazan por una región que contiene fuentes magnéticas, demuestran que la fuerza magnética que actúa sobre ellas, tiene las siguientes características: • Es directamente proporcional a la carga q de la partícula. • Es directamente proporcional a la magnitud v de la velocidad v de la partícula. • Es perpendicular a v en toda la trayectoria de la partícula. • La fuerza sobre una carga negativa es de sentido opuesto a la energía sobre una carga

positiva que tenga la misma velocidad. Podemos definir el campo de inducción magnética que se asocia a las fuentes dadas mediante la relación

(6.1-1)

La figura (6.1) muestra las direcciones de los tres vectores, donde se ha supuesto que y v reposan en el plano x-y, por tanto es paralela al eje z.

Figura 6.1-1

Las líneas de inducción magnética son continuas en el espacio, Su dirección indica la dirección del campo magnético, y su densidad la intensidad del mismo. Las líneas magnéticas no tienen fuentes y se cierran sobre sí mismas. La figura (6.1-2) muestra algunas de las líneas de inducción magnética alrededor de un hilo muy largo por el que circula una corriente hacia fuera del papel.




Ca

pít

ulo

6.

325

Figura 6.1-2 Líneas de inducción magnética alrededor de un hilo conductor muy largo por el que circula una corriente i saliendo del papel.

De acuerdo a la regla de la mano derecha, si se dispone el pulgar señalando la dirección de la corriente, las líneas de inducción tendrán la dirección de los dedos curvados alrededor del elemento de corriente. En el sistema mks la unidad de es el weber por metro cuadrado (wb/m

2). La nueva unidad

adoptada por el Sistema Internacional de Unidades es la tesla (T). La unidad más antigua, que aún se usa, pertenece al sistema electromagnético y se denomina gauss.

6.2 LEY DE BIOT Y SAVART La ley experimental de Biot y Savart afirma que, en cualquier punto P, la magnitud del vector inducción magnética, producida por el elemento diferencial de corriente idℓ, es proporcional al producto de la corriente, la magnitud de la longitud diferencial y el seno del ángulo que forma el hilo conductor y la recta que lo une al punto P, donde se desea hallar el campo. Además, la magnitud del vector inducción magnética es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del elemento diferencial al punto P. El elemento diferencial de corriente se puede imaginar como una sección extremadamente pequeña de un hilo conductor considerado como un conductor cilíndrico de radio tendiendo a cero. La ley de Biot y Savart se puede escribir concisamente en forma vectorial mediante,

(6.2-1) Donde es un vector unitario que va dirigido desde el elemento de corriente al punto en el que se está calculando d. La permeabilidad magnética del espacio vacío (ó del espacio libre) es




Ca

pít

ulo

6.

326

Que también puede expresarse en Henrys por metro (H/m)

La figura (6.2) permite apreciar los diferentes vectores que intervienen en le Ley de Biot y Savart.

Figura 6.2 Los vectores determinan

La dirección y sentido de En esta figura y en las siguientes el convenio de que x representa un vector dirigido hacia el papel (queriéndose indicar la cola de una flecha), mientras que . Representa un vector dirigido hacia el lector (como si fuera la punta de una flecha)

Figura 6.2 Los vectores determinan la dirección y sentido de

El vector dB en el punto P es perpendicular a icd y a r, y está dirigido hacia dentro del papel, es decir, en dirección de (-). El módulo del vector es

(6.2-2)




Ca

pít

ulo

6.

327

6.3 FUERZA ENTRE DOS ELEMENTOS DIFERENCIALES DE CORRIENTE Consideremos dos elementos diferenciales de corriente como lo ilustra la figura (6.3-1).

Figura 6.3-1 Fuerza entre dos elementos diferenciales de corrientes de corriente. .

De acuerdo a los experimentos realizados con circuitos cerrados, la fuerza que un campo magnético ejerce sobre un elemento de corriente es

(6.3-1)

El campo de inducción magnética que el elemento diferencial de corriente produce en el punto donde está situado el elemento diferencial de corriente se obtiene a partir de la ley de Biot y Savart, dando por resultado.

i

2(6.3-2) Por tanto, la fuerza que el elemento diferencial de corriente 1ejerce sobre el elemento diferencial de corriente es

.

/

( )

(6.3-3)

donde es el vector unitario dirigido del elemento diferencial de corriente al elemento diferencial.

6.4 MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA POR LA QUE CIRCULA UNA CORRIENTTE i, SITUADA EN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME

Si se tiene un hilo conductor en forma de espira cerrada dentro de un campo magnético uniforme, la fuerza neta que ejerce el campo sobre la espira es cero. Consideremos la espira rectangular de lados a y b, mostrada en la figura (6.4-1) se puede apreciar que




Ca

pít

ulo

6.

328

Figura 6.4-1 fuerza que actúa sobre los Figura 6.4-2 Calculando el troque distintos segmentos de una espira

(6.4-1)

Además

(6.4-2)

Sin embargo, como no actúa sobre la misma línea en que actúa, estas fuerzas iguales y opuestas constituyen un par. El torque, momento o par tiene la magnitud

| | | |

(6.4-3) Donde θ es el ángulo que se aprecia en la figura (6.4-2), pero la magnitud de es

| |

(6.4-5) Por tanto

| | (6.4-6)

El momento magnético dipolar se define como un vector cuya magnitud es el producto del área de la espira la corriente que circula alrededor de esta

| |

(6.4-7) Para el caso particular de la espira rectangular

| |

(6.4-8)




Ca

pít

ulo

6.

329

Luego | |

Como el ángulo entre es

, usando la identidad (

) ,

podemos escribir el torque mediante

| |

(6.4-9) Ó en forma vectorial

(6.4-10)

La expresión anterior es análoga al torque de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico

(6.4-11)

Debido a esta analogía, podemos concluir que la energía potencial de un dipolo magnético en un campo magnético es

( ) (6.4-12)

El campo magnético creado por un dipolo magnético se ilustra en la figura (6.4-3)

Figura 6.4-3 Campo magnético creado por un anillo

de corriente.




Ca

pít

ulo

6.

330

6.5 RESUMEN DIPOLAR La siguiente tabla es un resumen de las propiedades de los dipolos eléctricos y magnéticos.

ALGUNAS ECUACIONES DEL DIPOLO

PROPIEDAD

CLASE DE DIPOLO

ECUACIÓN

Torque en un campo externo

Eléctrico

Magnético

Energía en un campo externo.

Eléctrico

Magnético

Campo en puntos distantes a lo largo del eje del dipolo

Eléctrico

Magnético

Campo en puntos distantes a lo largo de la perpendicular que bisecta a dipolo

Eléctrico

Magnético

6.6 FLUJO MAGNETICO El flujo magnético a través de una superficies de área A se define mediante

∫ ∫ (6.6-1)

El flujo magnético representa el número de líneas de inducción magnético que atraviesan un área determinada A. Si la superficie es un plano de área A y es un vector constante en módulo y dirección que forma un ángulo con el vector unitario normal a la superficie, el flujo es

(6.6.-2)




Ca

pít

ulo

6.

331

La unidad SI del flujo magnético es el Weber (Wb), en honor del físico alemán Wilhem Weber

El flujo magnético que atraviesa una bobina cuando el campo magnético es uniforme y perpendicular al plano de la bobina, está dado por el producto del campo por el área A de cada espira y por el número de vueltas N. Para cualquier superficie cerrada

∮

(6.6-3) La Ec. (6.6-3) constituye la ley de Gauss para el campo magnético.

6.7 LEY DE AMPERE La ley de Ampere, en su forma usual se enuncia para la integral de línea o circulación de a lo largo de un solo trayecto cerrado en el espacio, no necesariamente plano, con números de vueltas ó 0:

∮

(6.7-1)

En donde la integral de línea representa la suma de los productos | | para todos los

elementos de la curva cerrada ℓ, como se muestra en la figura (6.7-1).

La Ec. (6.7-1) se aplica a todas las curvas cerradas ℓ y es aplicable a todas las superficies abiertas S delimitadas por esa curva. La corriente i que atraviesa la superficie S será positiva o negativa, dependiendo del sentido supuesto de ℓ. En la figura (6.7-2) muestra una superficie S delimitada por una curva recorrida en sentido anti horario. En este caso la corriente i es positiva, por tanto la Ley de Ampere se expresa mediante




Ca

pít

ulo

6.

332

∮

(6.7-2)

Figura 6.7-2

Si el sentido de la curva en relación a la dirección de la corriente es el que se muestra en la figura (6.7-3).

Figura 6.7-3

La relación correspondiente es

∮

(6.7-3) Para las corrientes que se ilustran en la figura (6.7-4), la fórmula análoga es

∮ ( )

(6.7-4)




Ca

pít

ulo

6.

333

Figura 6.7-4

La inversión del sentido en que se recorre ℓ, invertirá el sentido para por ende el sentido de la corriente i. Sin embargo, la Ley de Ampere tiene que ser y es independiente de esa elección, es decir, es válida para cualquiera de los casos, aunque por lo general el sentido de la trayectoria se elige en el mismo sentido del campo magnético. En la figura (6.7-5) se ilustra tal situación.

Figura 6.7-5 La Ley de Ampere para la figura (6.7-5) (a), se expresa mediante

∮

(6.7-5) Y para la figura (6.7-5) (b), se escribirá

∮

(6.7-6)




Ca

pít

ulo

6.

334

6.7.1 PRUEBA DE LA LEY DE AMPERE Consideremos una trayectoria arbitraria que encierra una corriente i como la mostrada en la Fig. (6.7-6). Tal trayectoria se puede aproximar a un camino formado por segmentos radiales y arcos circunferenciales, como puede apreciarse en la figura (6.7-6). Un elemento diferencial de camino dℓ, se puede expresar mediante:

(6.7-7)

√( ) ( ) (6.7-8)

Por tanto,

∮ ∮

( )

(6.7-9)

∮

∮

( )

(6.7-10)

En donde N, designa el número de veces que la trayectoria envuelve completamente a la corriente. La Ec. (6.7-10) es válida también es tres dimensiones. En tal caso el elemento diferencial de camino dℓ viene dado en coordenadas cilíndricas por,

(6.7-11)

Como , la componente de no contribuye en nada a la integral de línea y la Ec. (6.7-11) sigue siendo válida.

Si el sentido de la trayectoria alrededor de la corriente tiene una componente del campo que se

opone al sentido de la misma, entonces la integral de a lo largo de dicho camino debe ser negativa y por tanto el número de vueltas N se considera negativo. De acuerdo a la regla de la mano derecha diremos: “Si los dedos de la mano derecha señalan el sentido en que se recorre la trayectoria cerrada y el pulgar señala el sentido de la corriente, entonces N es positivo y si el pulgar señala el sentido contrario al que tiene la corriente, N es negativo.” Si al campo magnético total contribuye más de un hilo de corriente se gran longitud, siendo la

corriente de la línea k-ésima y el número de vueltas alrededor de la corriente k-ésima,

entonces el campo total es el vector suma de los campos debidos a cada corriente por separado, de tal manera que

∮

∮ 4∑

5

∑.∮

/

∮ ∑

(6.7-12)




Ca

pít

ulo

6.

335

Figura 6.7-6

Figura 6.7-6’

En el caso del sistema mostrado en la Fig. (6.7-6’), tenemos

∮ ( )

(6.7-13)

La corriente está fuera de la trayectoria C, de modo que. La corriente está rodeada solamente una vez por la trayectoria C, de tal forma que. La línea de corriente está rodeada dos veces por la trayectoria C, pero el campo magnético tiene una componente en sentido contrario al sentido en el que se recorre la trayectoria C, por tanto, La cuarta línea de corriente está rodeada solamente una vez por la trayectoria C, por consiguiente.

6.8 FUERZA SOBRE CARGA AISLADAS EN MOVIMIENTO El problema consiste en modificar la expresión

(6.8-1)

Para que sea aplicable a una carga aislante e, que se mueva con velocidad v. De la Ec. (5.3-5) sabemos que

(6.8-2)

Sustituyendo la Ec. (6.8-2) en la Ec. (6.8-1) obtenemos

(6.8-3)

Que corresponde a la fuerza sobre la carga total N e A dℓ. Si dividimos por N A dℓ obtenemos la fuerza sobre una sola carga e:

( ) (6.8-4)




Ca

pít

ulo

6.

336

La Ec. (6.8-4) nos permite concluir que un campo magnético actuando sobre una partícula cargada en movimiento no puede modificar su energía cinética o su velocidad. Su demostración explícita puede verse a continuación:

( )

(6.8-5) Multiplicando escalarmente por, se tiene

( )

(6.8-6)

Pero ( ) es un vector perpendicular a , entonces

(6.8-7)

Además, la Ec (6.8-7) puede expresarse en forma equivalente mediante

(

*

(6.8-8) Que indica claramente que la energía cinética de la partícula es constante en el tiempo. Lo anterior significa que el campo magnético no puede realizar trabajo sobre una partícula cargada, aunque sí puede cambiar la dirección de su movimiento.

Si el campo magnético es constante y normal a , entonces es una fuerza centrípeta que

obligará a la partícula a girar uniformemente en el plano que contiene a y a alrededor de un punto determinado conocido como centro guía. La figura (6.8-1) muestra una partícula cargada

positivamente con una velocidad perpendicular a un campo magnético uniforme .

El movimiento que describe la partícula es circunferencial uniforme. El radio de la trayectoria es y la magnitud de la velocidad v. los cuales están relacionados por




Ca

pít

ulo

6.

337

(6.8-9)

En donde m es la masa de la partícula. El radio se denomina radio giro magnético, o de Larmor, de la trayectoria de la partícula, el cual despejándolo de la Ec. (6.8-9) nos da

(6.8-10)

La frecuencia angular de rotación de la partícula es

(6.8-11)

La frecuencia se denomina frecuencia de Ciclotrón de la partícula cargada en el campo .

Si existe componente de la velocidad paralela al campo de inducción magnética , la órbita será una hélice. Esta situación se ilustra en la Fig. (6.8-2), en la cual el vector velocidad forma un

ángulo arbitrario con .

Figura 6.8-2 (a) Hélice de paso z y radio r cuyo eje se encuentra a lo largo de la dirección del campo

magnético . (b) Vector de la velocidad inicial arbitraria de una partícula cargada positivamente y los vectores que lo puede reemplazar.

Como sabemos, una velocidad perpendicular al campo magnético conduce a una órbita circular, mientras que una velocidad paralela al campo magnético conduce a una carencia de fuerza sobre la partícula cargada. El vector velocidad arbitrario puede expresarse en función de las componentes perpendiculares y

paralelas al campo magnético . Como se muestra en la figura (6.8-2), tenemos

(6.8-12)




Ca

pít

ulo

6.

338

La fuerza sobre la partícula puede escribirse en la forma

( ) (6.8-13)

Pero el producto vectorial , por tanto la aceleración se reduce a

(6.8-14)

La cual resulta perpendicular a . Su magnitud es

(6.8-15)

La combinación de un movimiento circunferencial en un plano perpendicular a con un

movimiento a lo largo de produce un movimiento helicoidal. El eje de la hélice se encuentra en

la dirección de . El radio de la hélice se obtiene a partir de la Ec. (6.8-15) teniendo en cuenta que a es la aceleración centrípeta así:

(

)

(6.8-16)

(6.8-17)

El paso z de la hélice es la distancia entre dos vueltas adyacentes y viene dado por

(6.8-18)

Donde T es el tiempo necesario para que la partícula dé una vuelta, se denomina período de ciclotrón y está dado por

(6.8-19) Reemplazando (6.8-17) en (6.8-19) se obtiene

(6.8-20) Luego

(6.8-21)




Ca

pít

ulo

6.

339

La frecuencia ciclotrónica está dada por

(6.8-22)

La partícula puede descubrir una hélice hacia la izquierda como lo indica la figura (6.8-2), ó hacia la derecha, dependiendo de la carga de la partícula (en la figura se supuso positiva) y de si

es paralelo a (como se indica en la figura) o si es anti paralelo a .

6.9 FUERZA DE LORENTZ Cuando una partícula cargada se encuentra se encuentra en una región donde existe una disposición de dos campos perpendiculares, uno magnético y otro eléctrico, la fuerza electromagnética total ejercida sobre la partícula es la suma vectorial de las fuerzas eléctricas y magnéticas, y se conoce como Fuerza de Lorentz.

(6.9-1)

( ) (6.9-2)

La figura (6.9-1) muestra dos campos perpendiculares, uno eléctrico producido por un condensador y otro magnético producido por un imán, el cual no se observa en la figura.

Figura 6.9-1

Campos eléctricos y magnéticos cruzados.

Si la carga es positiva la fuerza eléctrica estará dirigida hacia abajo y la fuerza magnética

estará dirigida hacia arriba como lo muestra la figura (6.9-1). La carga negativa las dos fuerzas estarán invertidas.




Ca

pít

ulo

6.

340

6.10 OBJETIVOS, DESCRIPCIÓN SINOPTICA Y OBSERVACIONES

OBJETIVOS:

• Aplicar la fórmula que permite obtener la fuerza que un campo magnético de inducción

ejerce sobre un elemento de corriente . • Determinar la fuerza entre dos elementos de corriente. • Determina el momento sobre una espira situada en un campo magnético externo. • Aplicar la ley de Ampere para determinar campos magnéticos inducidos.

DESCRIPCIÓN SINOPTICA

Fuerza que un magnético ejerce

sobre un elemento de corriente .

Fuerza que un diferencial de campo

magnético ejerce sobre un elemento ( )

diferencial de corriente.

Momento dipolar magnético debido a una | | espira de área A por la que circula una corriente i.

Torque sobre una espira situada en un

campo magnético externo .

Flujo de inducción magnética. ∫

Fuerza sobre una carga aislada que

Se mueve con velocidad dentro de

Un campo magnético uniforme .

Ley de Ampere ∮

Ley de Lorentz

Energía potencial de un dipolo

magnético situado en un campo

Magnético .




Ca

pít

ulo

6.

341

OBSERVACIONES:

- Algunos autores suelen escribir la expresión de la fuerza sobre un elemento diferencial de

corriente debida a un diferencial de campo magnético , mediante.

( )

- En la expresión correspondiente a la fuerza magnética sobre una partícula cargada que se

desplaza con velocidad v en el seno de un campo magnético , debe tenerse en cuenta el signo de la carga, los mismo que en la Ley de Lorentz.

- El flujo magnético ф se define como el número de líneas de inducción magnética que

atraviesa hacia fuera un área determinada A.

- En la Ley de Ampere la integral de se denomina circulación magnética o simplemente circulación.

- El signo de la corriente en la Ley de Ampere se obtiene de acuerdo al convenio de la mano derecha.




Ca

pít

ulo

6.

342

6.11 PROBLEMAS DE CAMPO MAGNÉTICO 1. (6.1 K) Dos hilos paralelos muy largos están separados 10 cm. y por cada uno de ellos pasa

una corriente de 10 amperios en el mismo sentido. Calcular la fuerza por unidad de longitud entre los dos hilos.

Solución:

La fuerza que el elemento de corriente ejerce sobre el elemento de corriente está dada por:

Donde es el campo magnético producido por el elemento de corriente , el cual se expresa mediante:

( )

Luego:

( )

( )

( )( )

( )

2. (6.3 K) Por un conductor de sección transversal circular y radio a circula una corriente de

densidad uniforme j. Hallar el campo de inducción magnética a una distancia cualquiera r del

centro de conductor.

Solución:

r<a:




Ca

pít

ulo

6.

343

Usando Ley de Ampere:

∮ ∫ ∫ ( )

( ) ( )

| |

r<a:

∮ ∫ ( )

( ) .

/

∫ ( )

3. (6.5 K) Un hilo muy largo tiene bucle semi-circunferencial de radio r como se indica en la

figura anexa. Si circula una corriente i, hallar el campo de inducción magnética en el centro de la curvatura del bucle

Solución: Utilizando el principio de superposición:

Pero los hilos de corriente semi-infinitos 1 y 2 no contribuyen el campo en el punto c, entonces:

por tanto el sistemas se reduce a:

Usando le Ley de Biot y Savart, se obtiene:

∫

( )

4. (6.7 K ) En una línea coaxial indica en la figura anexa circula la misma corriente i por el

conductor interior, de radio a, que por el conductor exterior, de radio interior b y exterior c,




Ca

pít

ulo

6.

344

pero en sentidos contrarios calcular el campo de inducción magnética a una distancia r del eje.

Solución: a) r<a:

∮ ∫ ∫ ∫ ( )

( ) ( )

(

*

b) a<r<b: Usando la Ley de Ampere:

∮ ( )

c) b<r<c: Usando la Ley de Ampere:

∮ ∫ ∫

( ) ( )

( )

( )

( ) .

/

.

/

d) r>c:

∮ ( ) ( )

5. (6.9 K) Un solenoide de 20 cm. de longitud y 2 cm. de radio está formado por 3000 espiras

devanadas uniformemente. Por la bobina circula una corriente de 2 amperios.




Ca

pít

ulo

6.

345

a) ¿Cuál es la densidad de corriente solenoidal ? b) ¿Cuál es el valor de B en el eje del solenoide y en su centro? c) ¿Cuál es el valor de B en el eje de solenoide y en uno de sus extremos? d) ¿Cuál es el flujo ф que atraviesa la bobina en el centro? e) ¿Cuál es el flujo ф que atraviesa uno de los extremos? Solución:

a) Por definición la densidad de corriente solenoidal es:

( )( )

( )

b) El valor de B en el eje del solenoide y en su centro, se obtiene a partir de:

( )

( )

(

) ( ) ( )

( )

4

√( ) ( ) .

√( ) ( ) /5

c) El valor de B en el extremo izquierdo se obtiene haciendo , entonces:

( )

.

( )/

d) El flujo que atraviesa la bobina se obtiene así:




Ca

pít

ulo

6.

346

∫ ( ) ( )

e) El valor del flujo que atraviesa el extremo izquierdo es:

∫ (

* ( )

6. (6.13 K ) El eje de una bobina circunferencial de 10 cm. de radio, forma un ángulo θ con la

dirección de un campo uniforme B. Si la bobina tiene 10 espiras y circula con una corriente de 5 amperios, hallar el par ejercido sobre la misma.

Solución:

( )( ) 7. (6.15 K) Por el conductor rectilíneo de la figura anexa pasa una corriente de 10 amperios.

Calcular el flujo total que atraviesa el área abcd.

Solución:

∫ ∫ ∫

∫

( )

(

*

| |




Ca

pít

ulo

6.

347

8. (6.17 K) En un experimento sobre el efecto Hall se hace pasar una corriente de 10 amperios por un conductor de sección cuadrada de 0.5 cm. de lado. La tención inducida por un campo

magnético de es de voltios. Calcular la constante de Hall. Si se supone que los portadores de la corriente son electrones, hallar el valor de N, la densidad de electrones del conductor. Trazar un esquema que indique las direcciones relativas de la corriente, el campo de inducción B y el campo de Hall .

Solución:

Además:

9. (6.23 K) un ión que parte del reposo en el vacio es acelerado por dos placas paralelas entre las que existe una diferencia potencial de 1.000 voltios como se indica en la figura anexa. Al salir de la segunda placa, el ion se mueve bajo la acción de un campo magnético de , perpendicular a su trayectoria. Si el radio de curvatura de esta es 0,3m. ¿Cuál será la masa del ion si su carga es la del electrón?

Solución: Igualando la fuerza magnética con la fuerza centrípeta se obtiene:

(1)

De acuerdo al principio de conservación de la energía, la energía potencial eléctrica se Transforma en energía cinética, entonces:

√

(2)




Ca

pít

ulo

6.

348

Elevando la ecuación (1) al cuadrado, se obtiene:

(3) Remplazando (2) en (3), se sigue que:

(

) (

) ( )

( )

10. (6.27 K) hallar en modulo y dirección el valor del campo magnético en los puntos a y b

indicados en la figura anexa. (a esta en el centro de la parte semicircunferencial de radio r, y b esta a igual distancia de los hilos.

Solución: El campo magnético en a es debido a tres contribuciones por tanto:

Donde es la contribución de un hilo de corriente semi–infinito, es la contribución debida

al bucle semicircuferncial, y , es la contribución debida al otro hilo de corriente semi–infinito.

∫

∫

( )

( )

(

*

El campo magnético en b se calcula como la suma de las contribuciones de dos hilos infinitos de corriente, por tanto no se tendrá en cuenta la contribución del bucle semicircunferencial, así:




Ca

pít

ulo

6.

349

( )

∫

0

*

+1

11. (6.29 K) por un par de hilos delgados e infinitamente largos, que se han doblado como se

indica en la figura anexa, pasa la misma corriente i. ¿cuál es la inducción magnética en el

centro de la parte circular?

Solución: La inducción magnética en el centro es debida a las contribuciones de los dos bucles semi – circunferenciales, así:

( * ( )

( )

El campo de inducción magnética debido a un solo bucle semicircunferencial, se obtiene usando la ley de Biot y Savart, así:

( )

∫

( )

( ) ( ) ( )

12. ( 6.31 K ) Se construye una bobina plana de modo que contiene un gran número de espiras

por unidad de longitud a lo largo del radio como se ve en la figura anexa. si llamamos z al número de espiras por unidad de longitud de mostrar que el valor de la inducción magnética en el centro de esta bobina de radio interior a, radio exterior b y por qué circula una corriente i bale:

^




Ca

pít

ulo

6.

350

Solución: La contribución al campo magnético inducido, debida a un número determinado de espiras contenido en una diferencial de radio dr, está dada por:

∫

∫

(

*

13. (9. 11 m) un ion de carca +3e se proyecta a un campo magnético uniforme de 1,5 wb/ .

viaja a m/s. formando un ángulo de con la direccion de campo. calcule la magnitud y dirección de la fuerza sobre el ion.

Solución:

( )( ) √

( ) ( )( )( )

14. (19.13 M) En una región dada del espacio hay un campo magnético uniforme de A

esta Región entra una partícula cargada con una velocidad de . y su velocidad forma un Angulo de 30° con la dirección de B. halle la magnitud y dirección del campo eléctrico que hará que no se desvié la trayectoria de la partícula.




Ca

pít

ulo

6.

351

Solución:

(

) (

* (

*

15. (19.19M) un alambre largo y recto lleva una corriente de 50 A. se coloca un campo magnético

uniforme de , que forma un Angulo de 30° con el alambre. Obtenga la fuerza magnetice por unidad de longitud del conductor.

Solución:

.

/ ( )

( ) (

) (

)

16. (19.15 M) se coloca una bobina rectangular de 18cm por 36cm. En un campo de inducción

magnética constante de . El vector forma un ángulo de 53° con el plano de la bobina. Halle el flujo magnético que atraviesa la bobina.

Solución:

∫ ∫

( ) ( )( )

(

) ( ) ( )

17. (19.23M) un disco delgado de material aislante y radio R, con una densidad de carga uniforme

, gira con frecuencia angular ω alrededor de su eje. Halle el momento magnético del disco.




Ca

pít

ulo

6.

352

Solución:

( )

( )

∫

Luego:

( )

( )

18. (19.29M) una corriente fluye en el sentido del reloj alrededor de una espira de alambre con

forma de triangulo equilátero de lado L. halle el campo magnético en el centro de la figura. Solución:

El campo magnético en el centro es debido a la contribución de tres elementos de corriente de longitud L.

El campo de inducción magnética , debido a un solo elemento de corriente esta dado por:

∫

( )

( )

( )

( ( ))( )

( )( )

. √

/ ( )




Ca

pít

ulo

6.

353

Pero r se halla por geometría, así:

√ (

*

√

. √

/

√

√

.√

/ ( )

( )

( )

( * ( )

( * ( )

( ) (| |)

19. (19.31m) un circuito cerrado lleva una corriente I. como se muestra en el diagrama. obtenga el

campo magnético que se produce en el punto P.

Solución: El campo de inducción magnética en el punto P es debido a la contribución de 4 elementos corrientes, donde las contribuciones de los elementos de corriente a y c son nulas, por tanto:

Pero:

ℓ

ℓ

( ) ℓ θ

∫

θ

θ( )

θ ( )

θ

( )

θ

( )




Ca

pít

ulo

6.

354

θ

(

*

θ

(

*

θ

(

)

20. (19.33M) utilizando la ley de Biot y Savart, obtenga una expresión para el campo magnético

producido en el centro de una espira circular de radio a, y que lleva una corriente I.

Solución:

ℓ

ℓ

∫ ℓ

( )

21. (19.35M) dos alambres largos y paralelos distantes 0,2m. lleva corrientes de 15 y 20 A.,

respectivamente, como se muestra en el diagrama. Calcule el campo magnético en los

puntos .

Solución: El campo magnético en el es debido a la contribución de dos hilos infinitos de corriente, entonces, usando el principio de superposición.

( )( )

( )

( )( )

( )

( )




Ca

pít

ulo

6.

355

Análogamente llamando a las nuevas distancias se tiene:

( )

( )

(

)

( )

22. (19.37M) dos espiras circulares y coaxiales, cada una de radio b, están a la distancia de b,

como se muestra en el diagrama. Ambas llevan la misma corriente I. demuestre que el campo magnético en el punto P del eje esta dado por:

.(

(

* *

( (

* *

/

Esta disposición se conoce como “bobina de Helmholtz “y produce un campo muy uniforme en el punto medio de la línea que une los centros de las bobinas. Demuestre que la primera y la segunda derivadas de B con respecto a x se anulan en este punto (x= 0).

Solución: El campo de inducción magnética en P es debido a la suma de las contribuciones de las dos espiras, por tanto:

Pero el campo de inducción magnética producida por una espira de radio a a una distancia b sobre el eje de la misma esta dado por:

( )

Por tanto:

( ( ) )




Ca

pít

ulo

6.

356

( ( )

(( (

* *

( (

* *

+

(( (

* *

( (

* *

+

Luego:

| |

(

( (

* *

. .

/ /

( (

* *

( (

* ))

(

( (

* *

(

*

( (

* *

(

* )

(

*

(

(

* *

( )

( (

* *

( ))

Análogamente: ( )

23. (19.43M) un conductor cilíndrico largo y hueco tiene un radio interior y un radio exterior ,

como se muestra en la figura. El conductor lleva una corriente total I, pero la densidad de

corriente j dentro del conductor no es uniforme. Calcule el campo magnético B para

con cada uno de los siguientes casos:

a) j varia linealmente con la distancia desde el eje central en la región entre , es decir j(r)

= r, en que es una constante, para .

b) j varia cuadráticamente en la misma región, es decir, ( ) en que es una constante,

para




Ca

pít

ulo

6.

357

Solución:

a) ∮

∮

∮ ∫

( )

(

)

Pero:

∫

∫

( )

.

/

(

)

(

)

Luego:

( )

(

(

)* (

)

(

)

(

)

∮ ( )

b) ∮

∮ ∫




Ca

pít

ulo

6.

358

Pero:

∫ ∫

( )

( ) *

+

(

)

(

)

∮ ∫

( ) ( ) 0

1

( )

( )

(

(

)* (

)

(

)

(

)

∮ ( )

24. (19.49M) dos alambres paralelos muy largos llevan, respectivamente corrientes de 5 y 10 A. en

el mismo sentido. Si los alambres están a 9cm. Entre si, encontrar la fuerza por unidad de

longitud que se ejerce sobre uno de ellos.

Solución:

Pero:

( )

( ( ))




Ca

pít

ulo

6.

359

| |

( )( ) (

)

( )

25. (19.51M) un alambre horizontal largo AB lleva una corriente de 50A. el alambre CD puede

moverse hacia arriba y hacia abajo mientras hace contacto eléctrico en los puntos CD. La

mesa por unidad de longitud de CD es determinar la altura h de equilibrio a la

que llega CD cuando fluyen las corrientes como se ilustra.

Solución:

∑

(

*

( )( )

( ) ( )

26. (10.5Me) una lámina metálica delgada de gran longitud de ancho a, transporta la corriente I.

¿cuál es el campo magnético en el punto P, el cual está localizado en el plano una distancia a

de uno de sus bordes?




Ca

pít

ulo

6.

360

Solución: La contribución de una diferencia de lámina, al campo en el punto P es:

( )

(

* ( )

∫

( )

( ) ( )

(

* ( )

( )

27. (10.9Me) un disco delgado de radio R lleva una carga Q distribuida homogéneamente sobre su

superficie. El disco rota N veces por segundo alrededor de un eje perpendicular a su superficie. Calcule el campo magnético en el centro del disco.

Solución: El disco puede dividirse en añillos, cada uno de los cuales contribuyen con un diferencial de campo magnético inducido dado por:

( )

( )

∫

( )

( )

( )

28. (34.5H) Un conductor recto es dividido en dos bucles semi-circunferenciales como se muestra en la figura anexa. Cuál es el campo magnético en el centro C del rizo así formado.




Ca

pít

ulo

6.

361

Solución:

Pero:

( )

∫ ( )

( )( )

( )( )

( )

Análogamente:

( )

( )

( )

29. (34.7H) Use la ley de Biot-Savart para calcular el campo de inducción magnético B en C, el

centro común a los arcos AD y HJ, de radios respectivamente, forma parte del circuito ADJHA que transporta una corriente i, como o muestra la figura.

Solución:

( )

( )




Ca

pít

ulo

6.

362

(

* ( )

Debe tenerse en cuenta que usando la ley de Biot y Savart:

∫

30. Determine el campo magnético en el punto P de la figura anexa, situado a una distancia r de

un hilo rectilíneo muy largo que lleva una corriente i.

Solución: De la ley de Biot y Savart se sabe que:

Para el caso que muestra la figura se tiene:

( )

∫

( )

Pero:




Ca

pít

ulo

6.

363

∫

( )

∫

( )

( )

( )

.

(

)/ ( )

( )

31. Determine el campo de inducción magnética en un punto situado sobre el eje de una espira

circunferencial de radio a por la que circula una corriente i, como se ilustra en la figura anexa. Solución:

De acuerdo a la figura:

( ) Pero:

Luego:

( )

∫

( )

( ) ( )

( )

Teniendo en cuenta:

Sen 𝛟 =

√

+ Entonces:

( )

( ) ( )




Ca

pít

ulo

6.

364

( )

( )

En el centro de la espira el campo magnético inducido se obtiene haciendo b = 0, así:

( )

32. Determinar el campo de inducción magnética en un punto situado sobre el eje de un solenoide

de radio a, numero de espiras N y longitud L, por el que circula una corriente i, como se ilustra en la figura anexa.

Solución: Un diferencial de campo magnético dB debido a una sección de solenoide de longitud dX por el que circula una corriente i(N/L) dX está dado por:

( )


∫

∫ ( )

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

( )

En el centro del solenoide; =0 y =180°, obteniendo un campo de inducción.




Ca

pít

ulo

6.

365

Un punto situado sobre el eje, en el extremo derecho tendrá para y β los siguientes valores:

=90 y β=180

Entonces:

Por tanto, concluimos que en un solenoide muy largo el campo en uno de los extremos es la mitad de su valor en el centro: 33. Determine el campo magnético en el interior de un solenoide toroidal de radio medio a, con N

vueltas de hilo conductor por el que circula una corriente i, como se muestra en la figura anexa.

Solución: A partir de la ley de Ampere,

∮

( )

Si L = 2 a, entonces,

| |

Siendo la densidad de la corriente solenoidal.




Ca

pít

ulo

6.

366

6.11.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Un protón que se mueve a 4.0x10

6 m/s a través de un campo magnético de 1.7 T experimenta una fuerza

magnética de magnitud 8.2x10-13

N. Cuál es el ángulo entre la velocidad del protón y el campo?.

SOLUCION:

La expresión para la fuerza magnética ejercida por un campo magnético sobre una partícula cargada es:

senBvqFBvqF

Despejando sen se tiene:

qvB

Fsen

)7.1)(/104)(106.1(

102.8619

13

TsmC

Nxsen

09.487536.0 sen

2. Una bola metálica que tiene una carga neta Q se lanza horizontalmente por una ventana a una velocidad v.

La ventana está a una altura h sobre el suelo. Un campo magnético horizontal uniforme de magnitud B es

perpendicular al plano de la trayectoria de la bola. Encuentre la fuerza magnética que actúa sobre la bola

justo antes de que esta golpee el suelo.

SOLUCION:

La expresión para la fuerza magnética sobre la bola metálica de carga Q es:

BvQF

La velocidad de la bola en el instante en que golpea el suelo es:

22

ys vvv

Pero la componente de la velocidad en y es:

ghvy 2

Luego

ghvvs 22

Entonces:

kBjghivQBvQF ˆ)ˆ(2ˆ

)ˆ(2)ˆ( iBghQjQvBF




Ca

pít

ulo

6.

367

3. Un protón se mueve perpendicular a un campo magnético uniforme B a 1.0x107 m/s y experimenta una

aceleración de 2.0x1013

m/s2 en la dirección +x cuando su velocidad está en la dirección +z. Determine la

magnitud y la dirección del campo.

SOLUCION:

La fuerza magnética está dada por:

BvqF

Teniendo en cuenta que la velocidad está dirigida a lo largo de k y la aceleración a lo largo de i es claro

que el campo magnético debe estar dirigido a lo largo de j para que se satisfaga la expresión para la fuerza

magnética, así:

)ˆ()ˆ(ˆ imajBkqvF

La magnitud de B está dada por:

)/100.1)(106.1(

)/102)(1067.1(719

21327

smC

smkg

qv

maB

TB 21008.2

4. Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como se muestra en la figura anexa tiene una masa

por unidad de longitud de 0.040 kg/m.

¿Qué corriente debe existir en el conductor para que la

tensión en los alambres de soporte sea cero cuando el

campo magnético es 3.6 T hacia el interior de la

página?.

¿Cuál es la dirección requerida para la corriente?

SOLUCION:

Para que la tensión en los alambres sea nula se requiere que la fuerza magnética equilibre al peso, por

consiguiente:

IlBmg

Luego, despejando I se tiene:

B

g

lBlB

mgI

lg

AT

smmkgI 1.0

6.3

/8,9)(/04.0( 2

in

x x x x x x x x x x x x x x x




Ca

pít

ulo

6.

368

5. En la figura anexa el cubo mide 40.0 cm en cada lado. Cuatro segmentos de alambre – ab, bc, cd, da –

forman un lazo cerrado que conduce una corriente I =5.0 A en la dirección mostrada.

Un campo magnético B =0.020 T está en la dirección positiva.

Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre cada segmento.

SOLUCION:

0ˆ)ˆ( yByIlFab

)ˆ(ˆ)ˆ( xIlByBzIlFbc

)ˆ(04.0)ˆ)(02.0)(4.0)(5( xTxTmAFbc

zIlByByxIlFcdˆ

2

2ˆˆ

2

2ˆ

2

2

yBxzIlFdaˆˆ

2

2)ˆ(

2

2

zIlBxIlBFdaˆ

2

2ˆ

2

2

TzxFda )ˆ028.0ˆ028.0(

6. Un lazo rectangular consta de N vueltas enrolladas muy próximas entre sí y tiene dimensiones a y b. El

lazo se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo con el eje x (figura anexa).

¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre el lazo

por un campo magnético uniforme B dirigido a lo largo del eje x

cuando la corriente es I en la dirección indicada?.

¿Cuál es la dirección esperada de rotación del lazo?

SOLUCION:

Para el caso de una sola espira el momento de torsión está dado por:

Fr

donde:

)ˆˆ(cos zsenxar

y

)ˆ(zIbBF

Debe tenerse en cuenta que la fuerza sobre el lado superior de la espira se anula con la fuerza sobre el lado

inferior de la espira y además la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira no produce momento de torsión

B

a

b c

d x

y

z

y

30 o

z

x

0.40 m

I = 1.2 A

0.30 m




Ca

pít

ulo

6.

369

con respecto al eje y puesto que el brazo de palanca es nulo. Luego el momento de torsión con respecto al eje

y es:

)ˆ()ˆˆ(cos zIbBzsenxa

)ˆ(cos yabIB

.

Luego la magnitud del momento de torsión es:

cosabIB

Para el caso de N espiras el momento de torsión aumenta N veces, entonces:

cosNabIB

Como el momento de fuerza va dirigido en sentido de –y significa que la espira rota en sentido horario vista

por observador situado encima de la espira.

7. Un electrón choca con un segundo electrón inicialmente en reposo. Después del choque, los radios de sus

trayectorias son 1.0 cm y 2.4 cm. Las trayectorias son perpendiculares a un campo magnético uniforme de

0.044 T de magnitud. Determine la energía (en KeV) del electrón incidente.

SOLUCION:

La expresión para la energía cinética de una partícula es:

2

2

1mvK

Cuando un electrón ingresa a la región donde hay campo magnético, éste ejerce sobre la partícula una fuerza

igual a la fuerza centrípeta, luego:

2

2222

2

m

reBv

m

BervevB

r

mv

Luego:

m

reB

m

reBmK

22

1 222

2

222

Insertando los valores dados se obtiene:

)101.9(2

)104.2()106.1()044.0(31

222192

kg

mCTK

keVJ

keVJK 03393.98

106.1

11056.1

16

14




Ca

pít

ulo

6.

370

Análogamente para el otro electrón se tiene

)101.9(2

)100.1()106.1()044.0(31

222192

kg

mCTK

keVK 01978.17

8. Indique la dirección inicial de la desviación de las partículas cargadas cuando estas entran en los campos

magnéticos indicados en la figura anexa.

SOLUCION:

Para el diagrama a) se tiene:

yqvBzBxqvBvqF ˆ)ˆ(ˆ

Para el diagrama b) q=-e, luego:

)ˆ()ˆ()ˆ( zevByBxqvBvqF

Para el diagrama c) se tiene:

0)ˆ()ˆ( xBxqvBvqF

Luego no hay desviación.

Para el diagrama d) se tiene:

)ˆ45ˆ45(cosˆ 00 ysenxByqvBvqF

)ˆ7.0ˆ7.0(ˆ yxByqvF

)ˆ(7.0 zqvBF

9. Una carga positiva q= 3.2x10-19

C se mueve con una velocidad v=(2i+3j-k) m/s a través de una región

donde existen tanto un campo magnético uniforme como un campo eléctrico uniforme. a) Calcule la fuerza

total sobre la carga móvil (en notación de vectores unitarios) si B=(2i+4j+k) T y E=(4i-j-2k) V/m. b) Qué

ángulo forma el vector fuerza con el x positivo?

d) B sobre 45 0 c) B derecha

b) B

arriba a) B

in

+

+

_ +

x x x x

x x x x

x x x x

d) B sobre 45 0 c) B

derecha

b) B arriba a) B

in

+

+

_ +

x x x x x x x x x x x x

x

y

z




Ca

pít

ulo

6.

371

SOLUCION:

De acuerdo a la Ley de Lorentz:

BvqEqF

mNkjiCF /)ˆ2ˆˆ4)(102.3( 19

smkjiCx /)ˆˆ3ˆ2)(102.3( 19

Tkji )ˆˆ4ˆ2(

Entonces, realizando el producto vectorial propuesto se sigue que:

)2(ˆ)4(ˆ)7(ˆ

142

132

ˆˆˆ

kji

kji

Entonces:

NkjiF )ˆ2ˆˆ4)(102.3( 19

Reduciendo términos semejantes:

NjiF )ˆ5ˆ11)(102.3( 19

Efectuando el producto:

NjiF 1910)ˆ16ˆ2.35(

NjiF 1810)ˆ6.1ˆ52.3(

El ángulo que forma el vector fuerza con el eje x se obtiene a partir de:

)ˆ,cos(ˆˆ xFxFxFFx

F

xFxF

ˆ

)ˆ,cos(

Pero:

NxNxF 181822 1086.3106.152.3

91.0

1086.3

1052.3)ˆ,cos(

18

18

xF

022.24)ˆ,( xF

)ˆ2ˆ4ˆ7)(102.3( 19 kjiCx




Ca

pít

ulo

6.

372

10. El circuito en la figura anexa se compone de alambres en a parte superior y en la inferior y de resortes

metálicos idénticos en los lados izquierdo y derecho. El alambre en el fondo tiene una masa de 10 g y mide

5.0 cm de longitud. Los resortes se alargan 0.50 cm bajo el peso del alambre y el circuito tiene una

resistencia total de 12 . Cuando se activa un campo magnético, que apunta hacia afuera de la página, los

resortes se alargan 0.30 cm adicionales.

¿Cuál es la intensidad del campo magnético? (La parte superior del circuito está fija).

SOLUCION:

Cuando no hay campo los resortes se alargan 0.5 cm debido al peso del alambre, de tal manera que en el

equilibrio estático la situación es la siguiente:

Luego la ecuación de equilibrio estático es:

mgTmgTF 202:0

Pero:

1kxT

Entonces:

Nm

smkg

x

mgk 8.9

)105.0(2

)/8.9)(1010(

2 2

23

1

Cuando se aplica el campo magnético B, los alambres sufren un nuevo estiramiento igual a 0.3 cm, luego la

ecuación de equilibrio estático para esta nueva situación es:

02:0 magFmgTF

Teniendo en cuenta que la fuerza magnética está dada por:

IlBFmag

T T

5.0 cm

24 V




Ca

pít

ulo

6.

373

Se sigue que:

TkxTmgIlB 22

Siendo:

cmcmxT 8.0)3.05.0(

Luego:

Il

mgkxB T

2

)105(2

108.9)108.0(6.192

22

mA

mB

TTB 588.010

8.9)8.0(6.19

11. Un protón que se mueve en el plano de la página tiene una energía cinética 6.0 MeV. Entra en un campo

magnético de magnitud B = 1.0 T dirigido hacia adentro de la página a un ángulo = 450 con la frontera

lineal del campo, como se muestra en la figura anexa.

a) Encuentre y, la distancia desde el punto de entrada hasta donde el

protón abandona el campo.

b) Determine ’, el ángulo entre la frontera y el vector de velocidad del

protón cuando éste sale del campo.

SOLUCION:

La energía cinética está dada por:

p

pm

KvvmK

2

2

1 2

Reemplazando numéricamente se tiene:

kg

eV

J

MeV

eVMeV

v27

196

1067.1

1

106.1

1

10)6(2

smv /1039.3 7

De acuerdo a la Ley de Lorentz:

BvqF

)ˆ()ˆ45ˆ45)(cos/39.3)(106.1( 0019 zBysenxsmCF

)ˆ()ˆ7.0ˆ7.0(10424.5 12 zByxF

X X X X

X X X X

X X X X

X X X X

X X X X




Ca

pít

ulo

6.

374

Teniendo en cuenta que B = 1 T y efectuando el producto vectorial se sigue que:

)ˆˆ(107968.3 12 xyF

N

De acuerdo a la segunda Ley de Newton:

m

FaamF

kg

Nxya

27

12

1067.1

)ˆˆ(107968.3

215 /)ˆˆ(1027.2 smxya

Luego la magnitud de la aceleración es:

2215215 /)1027.2()1027.2( sma

215 /1021.3 sma

Pero:

215

722

/1021.3

)/1039.3(

sm

sm

a

vr

r

va

mr 358.0

Para determinar la distancia y desde el punto de entrada hasta el punto en el que el protón abandona el campo,

podemos considerar la siguiente figura:

Luego de la geometría se sigue que:

22/22452 0 rrrseny

mmy 506.0)4142.1)(358.0( .

b) Teniendo en cuenta que cuando una carga se mueve en un campo

magnético puede cambiar la dirección de su velocidad v pero no su

magnitud, se sigue que la velocidad v’ con la que la partícula abandona

el campo magnético está dada por: smyxv /)ˆ(1039.3 7

Luego efectuando el siguiente producto escalar

v

yvyvyv

ˆ

arccoscosˆˆ

7

7

1039.3

ˆ)ˆ7.0ˆ7.0)(1039.3(arccos

yyx

0457.0arccos

X X X X

X X X X

X X X X

X X X X

X X X X

r

45 0

45 0

y

v

v




Ca

pít

ulo

6.

375

12. a) Un conductor en forma de un cuadrado de longitud de lado l = 0.4 m

conduce una corriente I = 10 A (ver figura anexa).

Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el centro del

cuadrado,

b) si con este conductor se forma una espira circunferencial por la que circula la

misma corriente ¿Cuál es el valor del campo magnético en el centro?.

SOLUCION:

a) El campo magnético se obtiene como la contribución de cuatro elementos

finitos de corriente de longitud l. Luego:

)ˆ(cos4

4

4/

4/

0 zdr

IB

Teniendo en cuenta que 2/2lr , entonces:

)ˆ(cos2/

4/

4/

0 zdl

IB

)ˆ(4/

4/2 0 zsenl

IB

Reemplazando numéricamente y teniendo en cuenta que mAWb ./104 7

0

, se tiene:

)ˆ(444.0

)10(108 7

zsensenB

)ˆ(2)10(102 6 zB

)ˆ(8.28)ˆ(108.28 6 zTzTB

b) Igualando la longitud de la espira cuadrada a la longitud de la circunferencia se tiene:

mm

rrm 2546.02

6.12)4.0(4

La expresión para el campo magnético en el centro de una espira circunferencial es:

)ˆ()2546.0(2

)10(104

2

70

zTr

IBc

)ˆ()5092.0(

)10(105663.12 7

zTBc

)ˆ(67.241067.24 6 zTTBc

l

I c

r




Ca

pít

ulo

6.

376

13. Un conductor consiste en un lazo circunferencial de radio R = 0.1 m y de dos largas secciones rectas como

se muestra en la figura anexa. El alambre yace en el plano del papel y conduce una corriente I = 7 A.

Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el centro de la espira.

SOLUCION:

El campo magnético en el centro de la espira se obtiene del principio de superposición sumando las

contribuciones debidas al hilo circunferencial y a las dos secciones rectas, que constituyen un hilo conductor

de gran longitud.

)ˆ(2

)ˆ(2

00 zr

Iz

r

IBBB hilocircc

)ˆ(1

12

0 zr

IBc

)ˆ(1

1)1.0(2

)7(104 7

zm

ABc

))ˆ(1

11098.43 6 zTBc

zTBcˆ(98.57

14. Considere el lazo que conduce corriente mostrado en la figura anexa, formado de líneas radiales y

segmentos de círculos cuyos centros están en el punto P.

Determinar la magnitud y dirección de B en P.

SOLUCION:

El campo magnético en el punto P se obtiene del principio de

superposición, considerando que existen dos contribuciones al

campo debidas a los dos arcos de circunferencia, así:

21 BBBP

Pero:

)ˆ(12

)ˆ(4

0

6/2

0

0

1 zb

Izdl

r

IB

b

I=7 A

600

a P

I

b




Ca

pít

ulo

6.

377

Análogamente para el arco de circunferencia de radio a, se tiene:

)ˆ(12

)ˆ(4

0

6/2

0

0

2 za

Izdl

r

IB

a

Sumando las dos contribuciones se tiene:

)ˆ(12

)ˆ(11

12

00 zab

abIz

ba

IBP

15. En la figura anexa, la corriente en el alambre recto largo es I1=5 A y el alambre se ubica en el plano de un

lazo rectangular, el cual conduce 10 A. Las dimensiones son c = 1 , a =0.150 m y l =0.450 m.

Determine la magnitud y dirección de la fuerza neta ejercida sobre el lazo por el

campo magnético creado por el alambre.

SOLUCION:

La fuerza neta sobre la espira rectangular está dada por:

4321 FFFFFneta

)ˆ()ˆ()ˆ( 2212 xlBIyaBIxlBIFneta

)ˆ( yIaB

Pero las fuerzas sobre los lados superior e inferior de la espira (F2 y F4) se anulan, luego:

)ˆ()ˆ( 2212 xlBIxlBIFneta

)ˆ)(( 122 xBBlIFneta

)ˆ(1.025.02

)45.0)(10( 110 xII

mAFneta

)ˆ(1.0

5

25.0

5102)5.4( 7 x

AAmFneta

)ˆ(27 xNFneta

16. Dos largos conductores paralelos conducen las corrientes I1 = 3 A e I2 = 3 A,

ambas dirigidas hacia adentro de la página en la figura anexa.

Determine la dirección y magnitud del campo magnético resultante en P.

SOLUCION:

El campo magnético en el punto P se obtiene sumando las contribuciones debidas a

los dos elementos de corriente, los cuales se consideran de gran longitud.

I 2

I 1

P

x

x 5.0 cm

12.0 cm

13.0 cm

F 4

F 3

F 2

F 1 l

a c

I 2 I 1




Ca

pít

ulo

6.

378

21 BBBP

)ˆ()ˆ(cos2 1

10 ysenxr

IBP

ysenx

r

Iˆˆcos

2 2

20

Pero utilizando la ley de los cosenos se puede calcular tanto como , así:

cos)5)(13(251312 222

Entonces:

038.67130

50arccos

Análogamente:

cos)12)(13(212135 222

Entonces:

06.22312

288arccos

)ˆ(6.22)ˆ(6.22cos)1012(2

)3(104)ˆ(38.67)ˆ(38.67cos

)105(2

)3(104 0

2

700

2

7

ysenxA

ysenxA

BP

)ˆ(38.0ˆ92.01012

6)ˆ(92.0)ˆ(38.010

5

6 55 yxyxBP

TTBP 9.12109.12 6

17. Imagine un largo alambre cilíndrico de radio R que tiene una densidad de corriente

)/1()( 22

0 RrJrJ para Rr , donde r es la distancia desde un punto de interés hasta el eje central

que corre a lo largo del alambre.

a) Encuentre el campo magnético resultante dentro ( Rr ) y fuera (r > R) del alambre.

b) Grafique la magnitud del campo magnético como una función de r.

c) Determine la posición donde la intensidad del campo magnético es un máximo, y el valor del campo

máximo.

SOLUCION:

a) A partir de la Ley de Ampere se sigue que :

r

rdrR

rJJdAldB

0

2

2

000 21




Ca

pít

ulo

6.

379

2)2()2(

2

00

rJrB

4

)2( 4

2

00 r

R

J

Simplificando:

2

3

0000

42 R

rJrJB

RrR

rrJB

;

21

2 2

200

Análogamente, para r > R se tiene:

R

rdrR

rJJdAldB

0

2

2

000 21

2)2()2(

2

00

RJrB

4

)2( 4

2

00 R

R

J

r

RJ

r

RJB

42

2

00

2

00

Rrr

RJB ;

4

2

00

b)

c) Derivando respecto a r e igualando a cero se tiene:

2

3

0000

42 R

rJrJ

dr

dB

dr

d

B

r r =

R




Ca

pít

ulo

6.

380

04

3

2 2

2

0000 R

rJJB

dr

d

RrR

r

3

2

4

3

2

12

2

Insertando este valor en la expresión para el campo magnético cuando r < R, se tiene:

2

200

2

3

2

12

3

2

R

RRJ

Bmáx

3

2

2

3

200 RJ

Bmáx

RJRJBmáx 000027

2

3

2

3

1 .

18. Un solenoide de radio R se elabora con un largo pedazo de alambre de radio r, longitud l (l>>R) y

resistividad . Encuentre el campo magnético en el centro de una espira si el alambre se conecta a una batería

que tiene una fem .

SOLUCION:

La expresión para la resistencia en términos de la resistividad es:

2r

L

A

LR

Luego, la corriente que circula por el solenoide es:

2/ rLRI

El campo magnético en el centro de un espira es:

R

IB

2

0

Luego sustituyendo el valor de I se sigue que:

2/ rLRI

LR

r

rLRB

2/2

2

0

2

0




Ca

pít

ulo

6.

381

19. La figura anexa es una vista de la sección transversal de un cable coaxial. El conductor del centro está

rodeado por una capa de caucho la cual está rodeada por un conductor exterior, al cual lo rodea otra capa de

caucho.

La corriente en el conductor interior es 1.00 A hacia fuera de la

página y la corriente en el conductor exterior es de 3.00 A hacia el

interior de la página.

Determine la magnitud y dirección del campo magnético en los

puntos a y b.

SOLUCION:

El campo magnético en el punto a se obtiene a partir de la ley de

Ampere, así:

10 IldB

Luego:

03

0

1

10 15.159)101(2

)1(

2

m

A

r

IB

Análogamente para el punto b:

)( 21 IIldB

03

0

2

210 1.106)103(2

)31(

2

)(

m

AA

r

IIB

20. Por una delgada tira metálica muy largo de ancho w circula una corriente I a lo largo de su longitud,

como en la figura anexa.

Determine el campo magnético en el plano de la tira (en un punto

externo P)a una distancia b en un extremo.

SOLUCION:

Una franja de tira metálica produce en el punto P una contribución al

campo magnético dada por:

)ˆ(2

0 zr

dIBd P

El diferencial de corriente está dado por:

drw

IdI

1 mm

1 mm

1 mm

3 A

1 A b a

z

y

x

r P

w

b I




Ca

pít

ulo

6.

382

Luego:

)ˆ(2

0 zr

dr

w

IBd P

Integrando se obtiene:

wb

b

P zr

dr

w

IB )ˆ(

2

0

)ˆ(ln2

0 zb

wb

w

IBP

21. Considere un disco delgado de radio R montado para girar alrededor del eje x en el plano y-z. El disco

tiene un densidad de carga superficial uniforme y una velocidad angular w.

Muestre que el campo magnético en el centro del disco es 2/0 wRB .

SOLUCION:

La intensidad de corriente está dada por:

22

Aqqf

t

qI

)ˆ(2

2

2

00 x

r

dA

r

dIBd c

Teniendo en cuenta que el diferencial de área está dado por:

rdrdA 2 se obtiene que:

)ˆ(2

22

2

00 x

r

rdr

r

dIBd c

Integrando se sigue que:

)ˆ(22

0

00 xdrr

dIB

R

c

)ˆ(2

0 xR

Bc

22. Un largo conductor cilíndrico de radio a tiene dos cavidades cilíndricas de diámetro a a lo largo de toda su

longitud, como se muestra en la figura anexa. Una corriente, I se dirige hacia fuera de la página y es uniforme

por toda la sección transversal del conductor.

Encuentre la magnitud y la dirección del campo magnético en a) el punto P1, y b) el punto P2 en función de

rI ,,0 y a.

x y

z




Ca

pít

ulo

6.

383

SOLUCION:

El campo magnético en el punto P1 puede calcularse como si se tratara de la contribución de un conductor

cilíndrico macizo de radio a más las contribuciones de dos conductores cilíndricos macizos de radio a/2 por

los que circula corriente en sentido contrario a la corriente que circula por el conductor cilíndrico de radio a

conforme a la figura anexa.

)ˆ()2/(2)2/(22

00000

1x

ar

I

ar

I

r

IBP

Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J es la misma, se sigue que:

44)4/(

2

2

2

00

Ia

a

IaJJAI

Luego:

)ˆ()2/(8)2/(82

000

1x

ar

I

ar

I

r

IBP

)ˆ()2/(4

1

)2/(4

11

2

0

1x

ararr

IBP

)ˆ()4(

21

2 22

0

1x

ar

r

r

IBP

)ˆ()4(

2

2 22

22

0

1x

ar

ar

r

IBP

Análogamente para el punto P2 se tiene:

)ˆ(4/2

)4/(2)ˆ(

2 22

00

2y

ar

Iy

r

IBP

)ˆ(4/2

11

2 22

0

2y

arr

IBP

a

r

P 2

P 1

r a

a

a




Ca

pít

ulo

6.

384

23. Cuatro largos conductores paralelos conducen cada uno 5.00 A.

Una vista de los extremos de los conductores se muestra en la figura

anexa. La dirección de la corriente es hacia fuera de la página en los

puntos A y B (indicado por los puntos) y hacia adentro de la página

en los puntos C y D (indicado por las cruces).

Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P,

localizado en el centro del cuadrado.

SOLUCION:

El campo magnético en el punto P se obtiene como la contribución de los cuatro conductores largos, teniendo

en cuenta que si numeramos los conductores en sentido horario empezando por el extremo inferior izquierdo,

las contribuciones B1 y B3 se superponen al igual que las contribuciones de B3 y B4 como se indica a

continuación:

Luego el campo magnético en P está dado por:

4321 BBBBBP

Siendo:

)ˆ(45)ˆ(45cos2/22

0001 ysenx

l

IB

)ˆ(45)ˆ(45cos2/22

000

2 ysenxl

IB

)ˆ(45)ˆ(45cos2/22

000

3 ysenxl

IB

)ˆ(45)ˆ(45cos2/22

000

4 ysenxl

IB

Como puede verse las componentes en el eje x se anulan y las componentes en el eje y se superponen, dando

por resultado:

)ˆ(45

2/224 00 ysen

l

IBP

)ˆ(2

)ˆ(2

2

2

4 00 yl

Iy

l

IBP

)ˆ()2.0(

)5)(/104(2 7

ym

AmAWbBP

)ˆ)(/1020( 26 ymWbBP

)ˆ(20)ˆ)(1020( 6 yTyTBP

0.200 m

0.200 m

D B

C A

P

x

x

B 2

B 4

B 3

B 1

0.200 m

0.200 m

D B

C A

P

x

x




Ca

pít

ulo

6.

385

24. Un largo conductor cilíndrico de radio R conduce una corriente I, como se muestra en la figura anexa. La

densidad de corriente J, sin embargo, no es uniforme en la sección transversal del conductor sino que es una

función del radio de acuerdo con J=br, donde b es una constante.

Encuentre una expresión para el campo magnético B

a) a una distancia r1<R y b) a una distancia r2>R, medida desde el eje.

SOLUCION:

Para r < R:

r

rdrbrJdAldB0

00 )2(

Luego:

3)2()2()2(

3

0

0

2

0

rbdrrbrB

r

Rrbr

B ;3

2

0

Para r>R:

R

rdrbrJdAldB0

00 )2(

3)2()2()2(

3

0

0

2

0

RbdrrbrB

R

Rrr

bRB ;

3

3

0

25. Un alambre tiene la forma de un cuadrado de longitud de lado L (ver figura anexa). Muestre que cuando

la corriente en el lazo es I, el campo magnético en el punto P a una distancia x del centro del cuadrado a lo

largo de su eje es:

242

22

22

2

0

Lx

Lx

ILB

SOLUCION:

El campo magnético en el punto P se obtiene como la superposición de

los campos magnéticos producidos por los cuatro hilos o elementos de

corriente de longitud L.

)ˆ(cos4 xBBP

Siendo el ángulo que forma el campo magnético B

, producido por

cualquiera de los cuatro elementos de corriente, con el eje x como se

muestra en la figura anexa.

I

I P

x L

L




Ca

pít

ulo

6.

386

El campo B está dado por:

senr

Id

r

IB

4cos

4

00

sen

Lx

IB 2

24

2

2

0

2

222

2

0

22

2/

22 x

LL

L

Lx

IB

Luego:

)ˆ(cos

2

2/

22

4

222

2

0 x

xL

L

Lx

IBP

Pero:

2

2

2

2/cos

xL

L

Luego:

)ˆ(

222 2

2

2

2

2

0 x

xL

L

Lx

IBP

B P Bcos

B

I

I P

x L

L

FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA Cap. 7

Ca

pít

ulo

6

Ca

pít

ulo

7

U n i v e r s i d a d I n d u s t r i a l d e

S a n t a n d e r E s c u e l a d e F í s i c a


Resumen:

El recorrido por este capítulo, presentara el fenómeno de indicción de fuerza electromotriz, debido al desplazamiento de un conductor dentro de un campo magnético constante o variable. Los fundamentos teóricos presentados en este capítulo, hacen parte de los principios básicos de funcionamiento presentes en las máquinas de corriente continua y alterna.




Ca

pít

ulo

7.

388





Ca

pít

ulo

7.

389

Capítulo 7: FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA

CAPÍTULO 7: FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA ........................................................................................................... 389

VII. FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................................................................. 390

7.1 FUERZA ELECTROMOTRIZ DEBIDA AL MOVIMIENTO ............................................................................................ 390

7.2 LEY DE INDUCCION DE FARADAY .......................................................................................................................... 391

7.3 LEY DE LENZ .......................................................................................................................................................... 393

7.4 EJEMPLOS ............................................................................................................................................................. 395

7.4.1 GENERADOR AMBIENTAL ........................................................................................................................... 395

7.4.2 MOTOR ELECTRICO ..................................................................................................................................... 396

7.4.3 DISCO FARADAY: ......................................................................................................................................... 397

7.4.4 VARILLA QUE ROTA EN UN CAMPO ....................................................................................................... 398

7.4.5 CAMPO ELECTRICO INDUCIDO POR UN INCREMENTO DE ..................................................................... 399

7.4.6 TRABAJO MECANICO REALIZADO PARA MOVER UNA BOBINA ................................................................... 399

7.5 INDUCTANCIA MUTUA Y AUTOINDUCTANCIA ...................................................................................................... 401

7.5.1 INDUCTANCIA MUTUA ................................................................................................................................ 401

7.5.2 AUTOINDUCCION ........................................................................................................................................ 404

7.6 CONVINACIÓN DE INDUCTANCIAS ....................................................................................................................... 406

7.6.1 EN SERIE SIN INTERACCIÓN ......................................................................................................................... 406

7.6.2 EN SERIE CON INTERACCIÓN ....................................................................................................................... 406

7.6.3 EN PARALELO SIN INTERACCIÓN ................................................................................................................. 407

7.6.4 INDUCTANCIA MUTUA EN CIRCUITOS ACOPLADOS .................................................................................... 408

7.7 CIRCUITOS RL ........................................................................................................................................................ 410

7.8 ENERGIA ALMACENADA Y DENSIDAD DE ENERGIA MAGNETICA .......................................................................... 412

7.9 OBJETIVOS DESCIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES ....................................................................................... 414

7.10 PROBLEMAS SOBRE FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................................... 416




7.11 MODELOS DE EVALUACIÓN .................................................................................................................................. 435

7.11.1 MODELO DE EVALUACION No 1 (3P) ......................................................................................................... 435

7.11.2 MODELO DE EVALUACION No 2 (3P) .......................................................................................................... 440

7.11.3 MODELO DE EVALUACION # 3 (3P) ............................................................................................................. 443




Ca

pít

ulo

7.

390

VII. FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA

7.1 FUERZA ELECTROMOTRIZ DEBIDA AL MOVIMIENTO

Consideremos una espira fija de lado a y b que se mueve a la derecha con velocidad en un campo magnético perpendicular al plano de la espira, que varia a lo largo del eje X, como lo indica la figura (7.1-1).

Figura 7.1-1 el movimiento de una espira en un campo magnético induce una corriente i en la

espira conductora La fem que aparece en la espira puede determinarse calculando el trabajador por unidad de cargo realizado por las fuerzas magnéticas al hacer recorrer una carga a lo largo de toda la espira.

La fuerza sobre una carga q situada en el lado izquierdo de la espira es . La fuerza

sobre una carga q situada en el lado derecho de la espira .sobre los lados superior e inferior la fuerza es perpendicular a la longitud a de la espira y por tanto el trabajo que realizan es

nulo. La fuerza magnética neta en toda la espira es ( ) por tanto el trabajo realizado por las fuerzas magnéticas al hacer recorrer la carga q por la espira viene dado por:

∮ ( ) ( )

| |

(7.1-1) Si la resistencia de la espira es R, la corriente que circula por la espira viene dada por:

(7.1-2) La Ec. (7.1-1) pone de manifiesto, que cuando una espira se mueve en una región en la que el campo magnético varia de un punto a otro se induce una fem que se expresa en función de la velocidad de variación del flujo magnético abrazado por la espira.

Ca

pít

ulo

6.




Ca

pít

ulo

7.

391

7.2 LEY DE INDUCCION DE FARADAY La ley de Faraday dice que la fuerza electromotriz inducida en un circuito cerrado es igual a la variación respecto al tiempo del flujo magnético total que atraviesa al circuito. Para el caso de un lazo cerrado, trayectoria conductora cerrada o espira:

∫

(7.2-1) La fem inducida actúa siempre oponiéndose a la variación externa que la genera. Para el caso de una bobina con N espiras

∫

(7.2-2)

El flujo magnético lo definimos de la siguiente manera (fig. 7.2-1), si la espira es recorrida en la dirección dada por la flecha, entonces para la superficie que tiene como frontera la espira, podemos definir una dirección única para la normal a la superficie, usando la regla de la mano derecha: los cuatro dedos de la mano derecha apuntan en la dirección en que es recorrida la espira, en tanto que la normal apunta en dirección de pulgar.

Figura 7.2-1 definición del flujo magnético a través de una espira una vez que la dirección de la

espira es definida arbitrariamente, la dirección de la normal | | queda definida por la regla de la mano derecha

La fuerza electromotriz calcula alrededor de la espira en la dirección de la flecha es igual al decrecimiento del flujo magnético a través de la espira. La fuerza electromotriz entre dos terminales fue definida como la integral del campo eléctrico.

∫

(7.2-3)

Por siguiente, si la espira esta interrumpida en alguna parte, será la diferencia de potencial entre los dos terminales (fig. 7.2-2).




Ca

pít

ulo

7.

392

Fig. 7.2-2 significado físico de la FEM producida por un flujo magnético cambiante; si la espira

está Abierta la FEM entre los terminales es la integral ∫ .

Si los extremos de la espira se unen uno con otro (fig. 7.2-3), una corriente fluirá y la resistencia interna determinara la distribución del campo eléctrico.

Fig. 7.2-4 si la espira está cerrada, una corriente ⁄ fluirá a través de la resistencia R de la espira

La Ec. (7.2-1) puede simplificarse a.

( )

(7.2-4) Donde el flujo magnético se ha escrito mediante.

∫

Siendo A el área limitada por el circuito y θ el ángulo entre el campo magnético y la normal al plano circuito.

El flujo magnético se puede variar de diversas formas: variando la magnitud de con respecto al tiempo, o variando el ángulo respecto al tiempo.




Ca

pít

ulo

7.

393

Las diferentes posibilidades pueden apreciarse derivando el producto de las tres funciones que Aparecen en la Ec. (7.2-4).

( )

( ) ( )

( ) (

*

( ) (

*

( ) (

* ( )

Siendo:

7.3 LEY DE LENZ En 1834 3l físico germano-estoniano Heinrich Lenz, demostró la propiedad que el expreso en las siguientes palabras: `` si fluye una corriente constante en el circuito primario A y si, por el movimiento de A o del circuito secundario B, se induce una corriente en B, la dirección de esta corriente inducida será de índole tal que, mediante su acción electromagnética en A tendera a ponerse al movimiento relativo de los

dos circuitos´´ Para ver la aplicación de la ley de Lenz consideramos la espira circunferencial de cobre mostrada

en la figura (7.3-1) la cual se encuentra localizada dentro de un campo magnético uniforme pero variable en el tiempo.

Fig. 7.3-1 espira localizada dentro un campo magnético

uniforme variable en el tiempo, el cual aumenta a razón

constante dando origen a una corriente inducida i.




Ca

pít

ulo

7.

394

El vector área del circuito es paralelo a . Si aumenta a razón constante

, de acuerdo a la ley

de Lenz, la corriente i inducida en la espira debe influir en un sentido tal que se oponga a los cambios del sistema. El cambio consiste en un aumento de flujo magnético que atraviesa la espira, por tanto la corriente inducida.

Actúa como una fuente de campo magnético cuya dirección es antiparalela a . Siguiendo la regla de la mano derecha el sentido de la corriente inducida i, es como se ilustra en la figura (7.3-1) Podemos resumir diciendo que el flujo inducido se opone a la variación del flujo producido exteriormente, lo cual nos permite determinar el sentido de la fem inducida.

El signo negativo en la dirección entre 𝛟

se deduce directamente del principio de

conservación de la energía y constituye la llamada ley de Lenz, se emplea el siguiente convenio: la corriente y la fem son positivos para una rotación en sentido anti horario y el flujo magnético es positivo si apunta hacia el observador El siguiente cuadro facilita la comprensión relacionada con la conversión de los signos para el flujo magnético, la rapidez de variación del flujo, la fem y la corriente inducida.

Cantidad electromagnética

Presentación y consideración

explicación

Flujo magnético

𝛟>0

cuando se dirige al observador

Flujo magnético

𝛟<0

cuando se aleja del observador

Rapidez de variación del flujo magnético

-Cuando 𝛟 se dirige al observador y aumenta.

-Cuando 𝛟se aleja del observador y disminuye

Rapidez de variación del flujo magnético

-Cuando 𝛟 se dirige al observador y disminuye

-Cuando 𝛟se aleja del observador y aumenta

Fem

ε>0

-Cuando su sentido es anti horario

Fem

ε<0

-Cuando su sentido es horario

Corriente

i>0

-Cuando su sentido es antihorario

Corriente

i<0

-Cuando su sentido es horario




Ca

pít

ulo

7.

395

7.4 EJEMPLOS

7.4.1 GENERADOR AMBIENTAL Un generador convierte energía mecánica en eléctrica. Consideremos la disposición de dos conductores indicada en la figura (7.4-1-1), en la que el circuito contiene una parte móvil.

Figura 7.4-1 generador elemental y circuito equivalente. Las dos varillas conductoras M separadas una distancia L se conectan mediante una resistencia R y mediante una varilla N Como lo muestra la figura (7.4-1-1). La varilla N se mueve con velocidad hacia la derecha. Supongamos que el circuito se encuentra dentro de un campo

magnético dirigido perpendicularmente hacia fuera del papel. La fuerza que el campo magnético ejerce sobre cualquiera carga q de la varilla móvil N es:

Dirigida en dirección de si la carga recorre la longitud L de la barra, el trabajo realizado sobre ella por el agente que mueve la barra es:

W =F L = q v B L

El trabajador por unidad de carga es la fuerza electromotriz inducida , la cual tiene sentido

horario, ya que 𝛟

es positivo, entonces la fem

𝛟

resulta negativa, es decir en sentido

horario, por tanto el campo magnético debido a la corriente inducida se opone al campo magnético

externo .

convenciones

⨂

⨀

-Significa que el campo entra perpendicularmente al plano

Significa que el campo sale perpendicularmente del plano




Ca

pít

ulo

7.

396

La corriente inducida en el circuito es

La fuerza magnética ejercida sobre el elemento de corriente i L tiene sentido opuesto a la

velocidad y decimos que se opone al movimiento. La potencia suministrada al sistema, corresponde a la rapidez con que se realiza trabajo mecánico y viene dada por:

(

*

La potencia eléctrica disipada en la resistencia, o rapidez de disipación de energía eléctrica es:

( ) (

*

7.4.2 MOTOR ELECTRICO El motor eléctrico convierte la energía eléctrica en mecánica.

Figura 7.4.2-1 motor de corriente continua y circuito equivalente Consideremos el circuito de la figura (7.4.2-1), el cual consta de una batería de diferencia de potencial V, una resistencia R, dos varillas conductoras paralelas y una varilla móvil N.

Al circular la corriente i por la varilla N, el campo magnético ejerce sobre la varilla una fuerza dada por:

La cual hace que la varillase mueva con una velocidad enel sentido mostrado en la figura (7.4.2-1).

Cuando la barra empieza a moverse, el campo induce una fem opuesta al sentido de i. La potencia suministrada por la bacteria es:




Ca

pít

ulo

7.

397

Donde es la rapidez con la que se hace trabajo mecánico y el término es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia del circuito.

Luego: ( )

Pero: ( ) ( )

( )

Siendo ε ( ) la fem que se opone a V. por esta razón la varilla se acelerara hasta

que ε = V, en cuyo momento deja de circular corriente y la varilla continua moviéndose con velocidad constante v. De la geometría de la figura (7.4.2-1) se tiene que. v B = V entonces

Donde

Es el campo producido por la batería en la varilla móvil.

7.4.3 DISCO FARADAY: Es un disco conductor que gira alrededor de un eje central en un campo de inducción magnética. Se puede construir un circuito cerrado conectando una resistencia eléctrica a una escobilla que roce con el centro de un disco como lo indica la figura (7.4.3-1)

Figura 7.4.3-1 disco de Faraday

La fem que se induce en el disco se determina de la siguiente manera: consideremos un elemento de longitud dr a lo largo del radio del disco. La fem inducida en el elemento de longitud dr es:

Pero: v = B




Ca

pít

ulo

7.

398

La fem entre el centro y el borde del disco es la suma de las fem a lo largo de todos los elementos dr entonces:

∫

( )

𝛟

7.4.4 VARILLA QUE ROTA EN UN CAMPO Encuentre la FEM inducida entre los extremos de una varilla

de cobre de longitud L que rota con una frecuencia angular

en un campo de inducción magnética como lo ilustra la figura (7.4.4) Solución: La varilla puede dividirse en elementos de longitud d , cada

uno de los cuales se mueve con velocidad v= cada

elemento es perpendicular a , por tanto la FEM inducida en cada elemento de varilla de longitud d es:

d d


∫ ∫

∫

Otro método consiste en considerar el flujo magnético encerrado en el sector a0b, el cual viene dado por

(

*

Siendo

el área del sector circular.

Diferenciando obtenemos

Siendo ε la FEM inducida, de acuerdo a la ley de Faraday.

Figura 7.4.4 varilla que rota en un campo magnético B.




Ca

pít

ulo

7.

399

7.4.5 CAMPO ELECTRICO INDUCIDO POR UN INCREMENTO DE

La figura (7.4.5) muestra un campo que aumenta auna rata

sea R el radio de la región

cilíndrica en la cual se asume que existe el campo magnético. Cuál es la magnitud del campo eléctrico inducido para cualquier radio r

Figura 7.4.5 campo eléctrico inducido por un incremento del campo magnético

Solución:

a. Para r < R, el flujo magnético 𝛟 que atraviesa la superficie limitada por la circunferencia de radio r es.

( ) Usando la ley de Faraday

∮

( )

( )

El signo menos sugiere que el campo eléctrico inducido actúa oponiéndose a la variación del campo magnético.

7.4.6 TRABAJO MECANICO REALIZADO PARA MOVER UNA BOBINA Consideremos la espira mostrada en la figura (7.4.6) por la que circula una corriente i constante en sentido anti horario.




Ca

pít

ulo

7.

400

El campo magnético que varía con la distancia X ejerce las fuerzas

Figura 7.4.6 trabajo mecánico realizado

para mover una bobina en un campo magnético

Las fuerzas se anulan y solamente se tiene en cuenta las fuerzas siendo

( )

Si suponemos que la fuerza neta sobre la espira es:

( )

( ) El trabajo realizado al mover la espira hacia la derecha una distancia dx es

( )

( ) (7.4.6-1)

Pero el cambio de flujo cuando la espira se desplaza una distancia dX es

( ) (7.4.6-2)

Donde el signo menos se debe al valor negativo de 𝛟 por estar dirigido alejándose del observador Reemplazando la Ec. (7.4.6-2) en la Ec. (7.4.6-1) se obtiene.

dW = - i d𝛟 (7.4.6-3)

Si se trata de una bobina que tiene N espiras, el trabajo mecánico realizado es:

d W = - N i d𝛟 (7.4.6-4)

En este ejemplo i es positivo y d𝛟es negativo, luego el trabajo exterior realizado es positivo.




Ca

pít

ulo

7.

401

7.5 INDUCTANCIA MUTUA Y AUTOINDUCTANCIA

7.5.1 INDUCTANCIA MUTUA Consideremos dos bobinas con espiras, por las que circulan las corrientes respectivamente como lo muestra la figura (7.5.1). Supongamos que inicialmente las dos bobinas están separadas una gran distancia. El trabajo que debe realizarse para llevar la bobina 1 a las proximidades de la bobina 2, se obtiene a partir de.

Figura 7.5.1 inductancia mutua entre dos circuitos Siendo 𝛟 el flujo adicional que atraviesa la bobina 1 debido a la corriente que pasa por la bobina 2, cuando las dos se aproximan. El trabajo total realizado al aproximar las bobinas desde una distancia muy grande es:

∫

∫

Análogamente, si mantenemos fija la bobina 1 y acercamos la bobina 2 desde el infinito, el trabajo estará dado por:

Como los estados finales son equivalentes, independientemente del modo con que se haya alcanzado, podemos escribir

Siendo M la inductancia mutua entre las dos bobinas, la cual se define como el flujo enlazante en una bobina cuando pasa una corriente unidad en la otra. La cantidad 𝛟 se denomina flujo enlazante en la bobina 1, debido a la corriente que circula en la bobina 2. La unidad de inductancia en los sistemas MKS y práctico en el Henry.




Ca

pít

ulo

7.

402

Si las dos bobinas se mantienen fijas en el espacio y se cambia por ejemplo, la corriente que circula por la bobina 2, se induce en la bobina una FEM ε dada por.

Como

Luego

(

*

Análogamente, cuando se varía la corriente que circula por la bobina 1, se induce una FEM en la bobina2, dada por:

Ejemplo 7.5.1 Determine la inductancia mutua entre dos bobinas coaxiales de longitud , radio y número de espiras respectivamente si están bobinadas en la misma dirección, como se aprecia en la figura (7.5.1-1).

Figura 7.5.1-1 inductancia mutua entre dos bobinas




Ca

pít

ulo

7.

403

Solución: Si asumimos que por la bobina 1 circula una corriente la magnitud del campo magnético producido por esta corriente es

El flujo a través de una espira de la bobina 2, se determina mediante

(

* ( )

La FEM inducida en la bobina 2 es

.

/ ( *

Que puede escribirse mediante

Por tanto

Si ahora variamos la magnitud del campo magnético en el interior de ambas bobinas es

| |

El flujo a través de una espira de la bobina 1 es:

(

* ( )

De acuerdo a la ley de Faraday la FEM inducida en la bobina 1 es:

0

1

Que puede escribirse mediante

Por tanto




Ca

pít

ulo

7.

404

7.5.2 AUTOINDUCCION Si se varía la corriente que pasa por una bobina aislada, como lo indica en la figura (7.5.2) se produce un cambio en el flujo magnético que atraviesa la bobina

Figura 7.5.2 autoinducción de un circuito

Dando lugar a una FEM inducida dada por

(7.5.2-1)

Siendo L autoinducción la cual se define en forma análoga a la inductancia mutua, mediante

(7.5.2-2)

Donde es el flujo magnético que a traviesa la bobina debido a la variación de la corriente que circula por ella De acuerdo a la ley de Faraday, la FEM inducida está dada por

(7.5.2-3) De la Ec. (7.5.2-2)

[ ]

(7.5.2-4) Remplazando la ecuación (7.5.2-4) en la Ec. (7.5.2-3)se obtiene.

[

]

(7.5.2-5)




Ca

pít

ulo

7.

405

Ejemplo 7.5.2:

Determine la autoinducción L de una bobina de radio R, longitud y numero de espiras N, como se muestra en la figura (7.5.2-1).

figura 7.5.2-1 una solo bobina experimentara una FEM auto-inducida si la corriente a

través de la bobina cambia

Solución: Si fluye una corriente I a través de la bobina, la magnitud del campo magnético es:

(7.5.2-1)

El flujo 𝛟 producido en una sola espira de la bobina es:

(7.5.2-2)

Si la corriente I cambia, se inducirá en la bobina una FEM.

que podemos escribir mediante

(7.5.2-3) Por tanto, la autoinducción L viene dada por

(7.5.2-4)

El signo (-) en la Ec. (7.5.2-3) significa que la FEM auto inducida en la bobina siempre se opone al cambio de la corriente




Ca

pít

ulo

7.

406

Nosotros siempre definimos e I como positivas en la misma dirección. La inductancia mutua y la autoinducción son medidas en las mismas unidades

* +

En el sistema MKS, la unidad de inductancia es

7.6 CONVINACIÓN DE INDUCTANCIAS

7.6.1 EN SERIE SIN INTERACCIÓN Consideremos las tres autoinducciones mostradas en la figura (7.6.1).

Figura 7.6.1 autoinducciones en serie sin interacción. La tención inducida en las tres autoinducciones es

es la autoinducción equivalente

7.6.2 EN SERIE CON INTERACCIÓN

Consideremos las dos bobinas mostradas en a figura (7.6.2)

Figura 7.2.2 dos autoinducciones en serie de interacción.




Ca

pít

ulo

7.

407

La tensión entre los dos extremos de las dos bobinas es

La magnitud de la inductancia mutua para el acoplamiento positivo (es decir, para

Flujos debidos a en el mismo sentido en cada bobina) y es para el acoplamiento negativo. Teniendo en cuenta que la inductancia mutua puede escribirse en términos de las autoinducciones mediante.

√

La inductancia efectiva será entonces

√

7.6.3 EN PARALELO SIN INTERACCIÓN La figura (7.6.3) ilustra el caso de dos autoinducciones en paralelo sin interacción.

Figura 7.6.3 dos autoinducciones en paralelo

Las tenciones inducidas en cada una de las autoinducciones son iguales y vienen dadas por

(7.6.3-1)

(7.6.3-2) La corriente total i está dada por

Derivando respecto al tiempo

(7.6.3-3)




Ca

pít

ulo

7.

408

Sustituyendo Ec. (7.6.3-1)y la Ec.(7.6.3-2)en la Ec.(7.6.3-3)se obtiene.

(

* (

*

Luego la autoinducción equivalente es

En general, las autoinducciones sin interacciones se combinan de la misma manera que las resistencias, en serie y en paralelo.

7.6.4 INDUCTANCIA MUTUA EN CIRCUITOS ACOPLADOS La figura (7.6.4-1) muestra dos bobinas suficientemente próximas para que el flujo creado

por una corriente ( ) que pasa por establezca una tensión a circuito abierto entre los

terminales de .

Figura 7.6.4-1 una corriente induce una tensión a circuito abierto.

La inductancia mutua está dada por

( )

( )

La inductancia mutua e siempre positiva y se indica por una flecha con dos cabezas.

La tención

puede ser positiva o negativa y la elección del signo correcto se hace empleando

el “convenio del punto” Este convenio hace uso de un punto grande colocado en uno de los extremos de las bobinas que están acoladas mutuamente. Una corriente que entra por el terminal punteado de una bobina produce una tensión de signo positivo en el terminal punteado de la otra bobina. En la fig. (7.6.4-2) la corriente entra por el terminal punteado de y la tensión está orientada positivamente en el terminal punteado de




Ca

pít

ulo

7.

409

por lo tanto

Figura 7.6.4-2 una corriente que entra por el terminal punteado de una bobina ( ) induce una

tensión de signo positivo en el terminal punteado de la otra bobina ( )

Una corriente que entra por el terminal sin puntear de una bobina produce una tensión de signo positivo en el terminal sin puntear de la otra bobina, como se aprecia en la figura (7.6.4-3) En la figura (7.6.4-4), se indican las corrientes que arbitrariamente se considera que entran por los terminales punteados.

Figura 7.6.4-3 una corriente que entra por el terminal sin puntear de una bobina ( ) induce una tensión de signo positivo en el terminal sin puntear de la otra bobina.

Figura 7.6.4-4 tensión a través de

La tensión a través de viene dada por




Ca

pít

ulo

7.

410

7.7 CIRCUITOS RL Consta de una fuente que a suministra un voltaje constante , de una resistencia R y de un inductor ideal L conectados en serie, como se muestra en la figura (7.7-1)

Figura 7.7.1 corriente RL en serie

Cuando el interruptor está en el punto C no pasa corriente a través del circuito. Al trasladar el interruptor al punto A, debe cumplirse en un instante particular la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK): “en una malla cerrada, la suma algebraica de los voltajes a través de todos los elementos del circuito es cero” Recorriendo el circuito de la fig. (7.7-1) en sentido horario se tiene

∫

∫

[

]

[

]




Ca

pít

ulo

7.

411

Definiendo la constante de tiempo mediante

Se sigue que

[

]

la figura (7.7-2) muestra la dependencia de la corriente en el tiempo

Figura 7.7-2 dependencia de la corriente con el tiempo a través

de una bobina cuando el interruptor se traslada al punto A.

Cuando la corriente alcanza su valor máximo

El interruptor se traslada a la posición B, como se muestra en la figura (7.7-3), se suprime la batería, entonces

Figura 7.7-3 circuito RL sin batería

De la LVK, se sigue que




Ca

pít

ulo

7.

412

∫

∫

6

7

La corriente decrece exponencialmente como se ilustra en la figura (7.7-4)

Figura 7.7.4 disminución de la intensidad en el circuito RL después de haber eliminado la fuente de

tensión

7.8 ENERGIA ALMACENADA Y DENSIDAD DE ENERGIA MAGNETICA Si la corriente que fluye por un inductor de auto inductancia L se varia en una cantidad infinitesimal di durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt, entonces la FEM inducida en la autoinducción viene dada por.

(7.8-2)

Si di/dt es positiva, se opone al paso de la corriente i que pasa por el inductor, cuando se aplica un voltaje extremo luego

(7.8-2)

El trabajo realizado por el voltaje externo, sobre una carga infinitesimal que pase a través de la autoinducción es.

(7.8-3)

Pero por definición




Ca

pít

ulo

7.

413

Entonces

(7.8-4)

El trabajo total realizado por contra la fuerza contra electromotriz es

∫ ∫

(7.8-5) El trabajo realizado durante el establecimiento de la corriente se almacena como energía potencial en el campo magnético de la autoinducción, por tanto

(7.8-6)

La densidad de energía del campo magnético puede deducirse a partir de la consideración de

un solenoide toroidal con un núcleo de permeabilidad ( ) y de longitud media .

La energía magnética para tal solenoide es:

[

]

(7.8-7) Pero la intensidad magnética H dentro del toroide está dada por:

(7.8-8) Entonces

(7.8-9)

Como A es el volumen del solenoide toroidal, la densidad de energía viene dada por

(7.8-10)

La energía total de un campo magnético cualquiera es por tanto

∫




Ca

pít

ulo

7.

414

7.9 OBJETIVOS DESCIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES OBJETIVOS:

conocer y aplicar las leyes de Faraday y de Lenz.

determinar la FEM inducida en una autoinducción.

calcular la inductancia mutua y la autoinducción de una bobina.

hallar la autoinducción equivalente para diferentes confinaciones.

analizar el comportamiento del circuito RL.

determina la energía total de un campo magnético cualquiera.

determinar la energía almacenada en una autoinducción.

deducir la densidad de energía del campo magnético.


Ley de Faraday

∫

FEM producida por una bobina de N espiras y área A que rota con velocidad angular dentro de un campo magnético B (generador eléctrico)

= N A B sen t

FEM auto inducida en una bobina

Autoinducción

Autoinducción de una bobina recta de longitud

con N espiras y área A

Combinación de autoinducciones sin interacción

∑

∑




Ca

pít

ulo

7.

415

OBSERVACIONES : -en el sistema MKS A, la unidad de flujo es el Weber (wb) la unidad de corriente al imperio (A) la unidad autoinducción es el Herio O Henry (H) que es igual a:

-La autoinducción L puede calcularse a partir de

4

5

-la constante de tiempo del circuito RL es

-la ley de Faraday se utiliza en aceleradores de partículas y en generadores magneto hidrodinámico. -en el cálculo de la inductancia mutua tener en cuenta el convenio del punto. -la FEM producida por un generador es una función sinusoidal del tiempo. -la unidad del coeficiente de autoinducción o simplemente autoinducción L, es la misma que la de la inductancia mutua m el herio. -se debe usar la regla de la mano derecha para determinar la dirección de la normal al plano de una espira. -la FEM auto inducida en una bobina siempre se opone al cambio de la corriente. -el signo de m depende de la forma en que se conecten los inductores.

-en la expresión √ K se denomina coeficiente de acoplamiento y cumple la condición

|K|≤1.

Circuito RL

[

]

Energía magnética total almacenada en el campo magnético de un inductor L

Energía magnética total almacenada en un campo magnético cualquiera

∫

Densidad de energía del campo magnético




Ca

pít

ulo

7.

416

7.10 PROBLEMAS SOBRE FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA 1) (20.1M) una espira de alambre de 12.0 cm. Por 8.0 cm. Se coloca dentro de los polos de un

electroimán que produce un campo magnético uniforme en la región donde está la espira. Inicialmente el electroimán está inactivo y el campo magnético en esta región es CERO luego se hace que fluya una corriente que crezca linealmente en las bobinas del electroimán lo que produce un campo magnético en la región, el que aumenta con rapidez constante desde

CERO hasta 1.25 Wb / en un intervalo de tiempo de 0.5 seg.

a. ¿Cuál es la magnitud de la FEM inducida en la espira durante este periodo? b. .¿si se remplaza la espira por una bobina rectangular de alambre que tenga 250 espiras,

cada una de las cuales tiene las mismas dimensiones que la espira original, determine la FEM inducida en la bobina.

Solución

( )

( )

( )( ) .

/

( )( )

2) (20.3M) un alambre recto de cobre con 2m. De longitud se mueve a 1.5m/s. en dirección

perpendicular a su longitud y a un campo magnético uniforme de 0.7 Wb / evaluar la FEM inducida entre los extremos del alambre. Si tales extremos se unen completando un circuito a través de una resistencia de 3 ohmios indique la rapidez a la que debe hacerse trabajo para mantener el alambre moviéndose con la velocidad constante de 1,5 m/s.




Ca

pít

ulo

7.

417

Solución a)

Ε= v B = (1.5m7s) (2m) (0,7 Wb/ )

ε = 2,1 volts h)

(

)

( )

P = 1,47 vatios

3) (20.5m) una espira circular de alambre de 10 cm. De radio está orientada con su plano

perpendicular a un campo magnético uniforme de 0,2 Wb/ se da una vuelta de 180° a la espira de un intervalo de tiempo de 0,5s.

a) halle la FEM media inducida durante este proceso b) del campo eléctrico promedio en la espira c) si la resistencia de la misma es de 2.0 Ω, calcule el trabajo, que se necesitó para dar vuelta

a la espira. Solución:

)

( ) (




Ca

pít

ulo

7.

418

( )

( )

)

( )

)

( )

4) (20.7 m) un solenoide largo con n vueltas por unidad de longitud lleva una corriente que varía

en el tiempo de acuerdo con sen t. Dentro del solenoide se coloca una pequeña bobina circular de N espiras. Los ejes de la bobina y el solenoide son paralelos y cada una de la espiras de la bobina tiene área A y resistencia R

Calcule: a) la FEM inducida en la bobina pequeña b) la corriente inducida y c) la intensidad de disipación de energía en la bobina pequeña. Solución:

a) Cálculo de la FEM inducida en la bobina pequeña:

( )

( )

( )

( )

b) Cálculo de la corriente inducida:




Ca

pít

ulo

7.

419

c) Energía por unidad de tiempo en la bobina pequeña:

.

/

( )

5) (20.9 m) una sola espira de alambre con resistencia R inicialmente tiene un flujo magnético

que la atraviesa. Después de un cierto intervalo de tiempo, el flujo cambia a demuestre que la carga neta que pasa por cualquier punto está dada por:

Solución:

(|

|* (

* (

*

6) (20.11) un disco pequeño tiene 20 cm. De radio y gira alrededor de su eje a 50 rev/seg., como se muestra en el siguiente esquema. Paralelo al eje del disco hay u8n campo magnético

uniforme de 0,5 Wb/ calcule la diferencia de potencial entre el centro y la circunferencial. Solución:

∫

∫

∫

( )∫

( ) ( )

( )

(

* ( ) (

) ( )

7) (20.13m) una barra conductora recta da 100gr de masa y 15 cm de longitud esta en reposo

sobre los rieles horizontales paralelos que distan 15 cm. La barra, que lleva una corriente de 30 A. es perpendicular a los rieles. Si el coeficiente de fricción estadística entre la barra y




Ca

pít

ulo

7.

420

estos últimos es de 0,25, determine el campo magnético uniforme mínimo normal al plano del circuito que se requiere para poner en movimiento la barra.

Solución:

( )( )( )

( )( )




Ca

pít

ulo

7.

421

d

IFmag

dr

B

Hacia afuera

de la página

F

a

G

F

a

B

7.10.1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Un plano de un lazo cuadrado de alambre con longitud de lado a es perpendicular al campo magnético

terrestre en un punto donde la magnitud es B, como se muestra en la figura 1.8.1.

La resistencia total del lazo y de los alambres que lo conectan al

galvanómetro es R. Si el lazo se colapsa repentinamente mediante

fuerzas horizontales como se indica, qué carga pasa a través del

galvanómetro?

Fig.1.8.1.

SOLUCIÓN

Sabemos por definición de intensidad de corriente que:

dt

dqI

Idtdq

Integrando:

Idtdq

Pero:

RI

dtdt

d

Rdt

Rq

1

0

0 2

1

a

t

dAR

BdtA

dt

d

R

BdtBA

dt

d

Rq

R

Baa

R

BA

R

Bq a

220

02

2. Una barra de masa m, longitud d y resistencia R se desliza sin fricción sobre rieles paralelos, como se

muestra en la figura 1.8.2. Una batería que mantiene una fem constante se conecta entre los rieles y un

campo magnético constante B se dirige perpendicularmente al plano de la página. Si la barra parte de reposo,

muestre que en el tiempo t se mueve con velocidad

mR

tdB

eBd

v

22

1

.

Fig.1.8.2.

SOLUCIÓN

De la ley de Kirchhoff se sigue que:

IR

IRind




Ca

pít

ulo

7.

422

RI ind

Pero:

dABdt

d

dt

dind

BdAdt

diind

Pero:

vdtddrddA

dtBdvdt

diind

BdvBdv indiind

R

BdvI

(1)

Igualando la expresión para la fuerza magnética sobre un elemento de corriente de longitud d con la expresión

para la segunda ley de Newton se obtiene que:

dt

dvmIdBFmag (2)

Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (2) se sigue que:

dt

dvmdB

R

Bdv

Separando variables e integrando:

vt

Bdv

dv

mR

Bddt

00

Multiplicando y dividiendo por Bd para completar el diferencial del denominador del integrando del

miembro derecho, se obtiene:

vt

Bdv

dvBd

BdmR

Bddt

00

1

Luego, reordenando la expresión y efectuando la integración se sigue que:

vBdvtmR

dB0

22

ln

Bdvt

mR

dBln

22

Bdve

tmR

dB

22




Ca

pít

ulo

7.

423

a

b

R

B

v

Bdvet

mR

dB

22

mR

tdB

eBdv

22

mR

tdBB

eBd

v

22

1

3. En la figura 1.8.3, el eje de rodamiento, de 1,5m de largo, se empuja a lo largo de rieles horizontales, a

una velocidad constante smv 3 . Un resistor R=0.4 se conecta a los rieles en los puntos a y b,

directamente opuestos entre sí. (Las ruedas hacen un buen contacto con los rieles, de modo que el eje, los

rieles y R forman un circuito de lazo cerrado. La única resistencia significativa en el circuito es R..Hay un

campo magnético uniforme B=0.08T verticalmente hacia abajo.

a) Encuentre la corriente inducida I en el resistor.

b) Qué fuerza horizontal f se requiere para mantener el eje rodando a

una velocidad constante?.

c) Qué extremo del resistor, a o b, está a un potencial eléctrico más

alto?.

d) Después de que el eje rueda más allá del resistor, la corriente R

invierte su dirección?

Fig.1.8.3.

SOLUCIÓN

a) La corriente inducida en el circuito está dada por:

dAdt

dB

RdAB

dt

d

RR

dt

d

Riind

11

Pero el diferencial de área dA puede expresarse como:

lvdtldrdA

Luego:

lvR

Blvt

dt

d

R

Blvdt

dt

d

R

Bi

t

ind 0

Reemplazando numéricamente:

A

smmTiind 9.0

4.0

35,108.0

, en sentido antihorario visto por un observador situado arriba.

b) Para que la velocidad sea constante:

0:0 magFfF

Luego:

TmAlBiFf indmag 08.05,19,0

mNNf 108108,0

c) Como la corriente va de + a -, entonces Vb >Va

d) La corriente no invierte su dirección, sigue siendo antihorario




Ca

pít

ulo

7.

424

7.10.2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Inductancia) 1. Una batería de 10 V, un resistor de 5 y un inductor 10 H, están conectados en serie como se muestra en

la figura 2.7.1. Cuando la corriente en el circuito alcanza su máximo valor, calcular: a) La potencia aplicada

por la batería, b) la potencia disipada en el resistor, c) la potencia disipada en el inductor y d) la energía

almacenada en el campo magnético del inductor.

Fig. 2.7.1.

SOLUCIÓN

/1 teR

I

I es máxima cuando t es muy grande:

a)

AR

I 25

10

Cuando el inductor esta totalmente energizado y la salida de la batería es: WVAIVP 20102

b)

WARIPpérdida 205222

c)

0 caidainductor IVP

d)

J

AHLIUalmacenada 20

2

210

2

22

2. Un solenoide con núcleo de aire con 68 vueltas tiene 8 cm de longitud y un diámetro de 1.2 cm. ¿Qué tanta

energía almacenada en su campo magnético cuando este transporta una corriente de 0.77 A?

SOLUCIÓN

2

2

1LIUB

l

ANL

2

0

+

_L

R S




Ca

pít

ulo

7.

425

JU

m

AmANU

Il

ANU

B

B

B

6

223227

22

0

1044.2

08.02

77.010668/104

2

1

3. Un inductor de 140 mH y un resistor 4.9 están conectados con un interruptor a una batería de 6 V, como

se muestra en la figura 2.7.2,

a) Si el interruptor se cierra a la izquierda (conectando a la batería),

que tanto tiempo transcurre antes de que la corriente alcance 220

mA?,

b) Cuál es la corriente en el inductor 10 s después de que el

interruptor es rápidamente trasladado de A a B. Qué tanto tiempo

transcurre antes de que la corriente caiga a 160 mA?

Fig. 2.7.2.

SOLUCIÓN

a)

R

eI

LRt /1

HteV 14.0/9.41

9.4

0.622.0

te 351180.0

22.1ln3522.1

180.01

135

te t

msst 7.535

22.1ln

b) AeV

st 2.119.4

6 10.35

10

c) LRteII /

0

Hte 14.0/9.4

9.4

616.0

Hte 14.0/9.422.116.0 te3565.7

mst 5835

65.7ln




Ca

pít

ulo

7.

426

4. Una batería de 12 V va a ser conectada a un circuito en serie conteniendo un resistor de 10 y un inductor

de 2 H. Qué tanto tiempo se tomará para que la corriente alcance: a) 50% y b) 90% de su valor final?

SOLUCIÓN

La constante de tiempo es: 25.0R

L

a) En

R

eI

t /1 , el valor final de la corriente se aproxima a:

RR

eI

1

Nosotros tenemos el 50%:

R

e

R

t 2.0/15.0

Resolviendo para t:

25.0/15.0 te

5.02.0/ te

22.0/ te

2ln2.0

t

Así que: st 14.0

b) Al 90%:

/19.0 te

9.01

1lnt

st 46.010ln2.0




Ca

pít

ulo

7.

427

7.10.3 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Inductancia) 1. Una fuente de CA produce un voltaje pico Vm=100 V. Esta fuente se conecta a una resistencia de 24 , la

corriente y el voltaje en la resistencia se miden con un amperímetro y un

voltímetro de CA ideales, como se muestra en la figura 3.7.1.

¿Cuál es la lectura en cada medidor?. Fig. 3.7.1.

SOLUCIÓN

El amperímetro y el voltímetro miden valores eficaces o valores rms,

por lo tanto:

VVV

VV eficazrms 71,702

100

2

máx

Además:

AVI

II eficazrms 94,22

1

24

100

2

máx

2. La corriente en el circuito de la figura 3.7.2, es igual a 60% de la corriente de pico en t = 0.007 s.

¿Cuál es la frecuencia más pequeña del generador que da esta corriente?

Fig. 3.7.2.

SOLUCIÓN

La corriente instantánea está dada por:

tItR

V

Rti m

sensen máx

Siendo R

VI mmáx

De la condición dada en el problema:

R

VIt

R

V mm 6,06,0sen máx

Luego:

6,0sen t

6,0arcsen107 3

s

rad92,91

107

6435,03

Hzf 6,142

R=24

A

V

Vm=100V

R

tV senmáx

R




Ca

pít

ulo

7.

428

L

L

tV senmáx

3. En un circuito de CA inductivo puro, como el de la figura 3.7.3, Vm= 100 V.

a) Si la corriente de pico es 7,5 A a una frecuencia de 50 Hz, calcule la

inductancia L,

b) ¿A qué frecuencia angular se reducirá la corriente máxima a 2,5 A?

Fig. 3.7.3.

SOLUCIÓN

a) La corriente máxima en el inductor Imáx, está dada por:

b)

L

V

X

VI

L máxmáx

máx

Luego:

HAHz

VVL 042,0

)5,7)(50(2

)100(

máx

máx

c) La frecuencia angular se obtiene a partir de:

sradHA

V

L

V/47,942

042,05,2

100

máx

máx

4. Un inductor se conecta a una fuente de 20 Hz la cual produce un voltaje de 50 Vrms. ¿Qué inductancia se

necesita para mantener la corriente instantánea del circuito debajo de 80 mA?

SOLUCIÓN

La corriente máxima Imáx en el inductor está dada por:

ALHz

V

fL

V

X

V

L

3máxmáxmáx 1080

)20(2

2)50(

2

Despejando L:

HAHz

VL 03,7

)1080)(20)(2(

2)50(3

Luego para que la corriente instantánea en el circuito esté por debajo de 80 mA, se requiere que:

HL 03,7

Obsérvese que la corriente varía inversamente proporcional a la autoinducción.

5. Para el circuito de la figura 3.7.4, Vm=80 V, =65 rad/s y L= 70 mH.

Calcule la corriente en el inductor a t=0,0155 s. Fig. 3.7.4.

SOLUCIÓN

La corriente instantánea en el inductor está dada por:




Ca

pít

ulo

7.

429

)2

sen()2

sen( máxmáx

t

L

Vt

X

Vi

L

Reemplazando numéricamente, se obtiene:

2/)105,15(65sen)1070)(65(

)80( 3

3

s

H

Vi

58,1sen59,52/16,3sen59,5 i

AAi 6,5589,5

6. ¿Cuál es la inductancia de una bobina que tiene una reactancia inductiva de 63 a una frecuencia angular

de 820 rad/s?

SOLUCIÓN

Por definición la reactancia inductiva está dada por:

LX L

Despejando la autoinducción L, se obtiene:

Hsrad

XL L 0768,0

820

63

7. Un capacitor de 98 pF se conecta a una fuente de 60 Hz, que entrega un voltaje rms de 20V.

¿ Cuál es la carga máxima que aparece en cualquiera de las placas del

capacitor?. Fig. 3.7.5.

SOLUCIÓN

2201098 12

máxmáx VFCVq

Cq 10

máx 1054,2 .

8. El generador de un circuito de CA puramente capactivo tiene una frecuencia angular de 100 rad/s y

Vm=220 V. Si C=20 F, ¿Cuál es la corriente en el circuito a t=0,004 s?.

SOLUCIÓN

El voltaje en función del tiempo puede escribirse como:

tVt 100sen220

De la relación:

Cq




Ca

pít

ulo

7.

430

se encuentra derivando con respecto al tiempo que:

dt

dvC

dt

dq

tVCi 100cos200100

Reemplazando el valor de la capacitancia C, se sigue que:

tVFi 100cos2201001020 6

Para el instante de tiempo t=0.004 s se obtiene:

sVsti 004,0100cos2201020004.0 4

.4146,0256,1cos38,1004.0 Asti

9. Un circuito de CA en serie contiene los siguientes elementos R=150 , L=250 mH, C=2 F y un

generador en Vm=210 V que opera a 50 Hz.

Calcule la

a) Reactancia inductiva,

b) Reactancia capacitiva,

c) Impedancia,

d) Corriente de pico

e) Ángulo de fase.

SOLUCIÓN

La reactancia inductiva está dada por:

53,78102505022 3 HHzfLXL

La reactancia capacitiva está dada por:

54,1591

102502

1

2

16 FHzfC

X C

La impedancia del circuito viene dada por:

2222 01,1584150 cL XXRZ 1,1591Z

La corriente de pico está dada por:

A

V

XXR

VI

CL

Máx

Máx 13,001,1584150

210

2222

El ángulo de fase está dado por:

R

XXarctan CL




Ca

pít

ulo

7.

431

º59,84150

01,1584

arctan

10. Un circuito RLC consta de una resistencia de 150 , un capacitor de 21 F y un inductor de 460 mH, conectados en serie con una fuente de voltaje de 120 V, 60 Hz.

a)¿Cuál es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje aplicado?,

b) ¿La corriente o el voltaje alcanza el valor de pico primero?.

SOLUCIÓN

El ángulo de fase entre la corriente y el voltaje se obtiene a partir de:

R

XXarctan CL

Pero:

41,173104606022 3 HHzfLX L

31,126

10212

1

2

116 FfCc

X C

Luego:

096,47CL XX

Por consiguiente:

18,17

150

096,47arctan

Como es positivo, el voltaje alcanza el valor de pico primero.

11. Una fuente de AC Vm=150 V y f=50 Hz. Calcule el voltaje de pico entre los puntos a) a y b, b) b y c, c)

c y d y d) b y d.

Fig. 3.7.6.

SOLUCIÓN

El voltaje de pico entre a y b está por:

CL

ab

XXR

RV

Z

RVRIV

2

máxmáxmáx

..a b c d

40 185mH 65F

. .




Ca

pít

ulo

7.

432

Pero:

11,58101855022 3 HHzfLLXL

0,49

1065502

1

2

116 FHzfCc

XC

Entonces:

1,9CL XX

Por tanto:

V

VVab 26,146

1,940

4015022

El voltaje de pico entre b y c está dado por:

fLIXIV Lbc 2máxmáx


AI 65,31,940

15022máx

,

Se sigue que:

voltsV

HHzAV

bc

bc

13,212

1018550265,3 3

El voltaje de pico entre c y d está dado por:

fCI

cIXIV MáxCcd

2

11máxmáx

VFHz

AVcd 74,1781065502

165,3

6

El voltaje de pico entre b y d está dado por:

CLCLbd XXIXXIZIV máx

2

máxmáx .

Reemplazando numéricamente:

fCfLA

XXR

XXVV

CL

CLbd

2

1265,3

22

máx

FHzHzVbd 6

3

1065502

11018550265,3

1,965,3 AVbd

voltsVbd 21,33




Ca

pít

ulo

7.

433

12. Un inductor (L=400 mH), un capacitor (C=4,43 F) y una resistencia (R=500 ) se conectan en serie.

Un generador de AC a 50Hz entrega al circuito una corriente de pico de 250 mA.

a) Calcule el voltaje de pico requerido Vm,

b) Determine el ángulo con el cuál la corriente en el circuito se adelanta o atrasa respecto al voltaje aplicado.

SOLUCIÓN

El voltaje de pico Vm se obtiene a partir de:

22

22CLmm

CL

m

m XXRIVXXR

VV

Pero:

66,125

104005022 3

L

L

X

HHzfLLX

Además:

FHzfCcX C 61043,4502

1

2

11

53,718CX

Luego:

87,592CL XX

Por consiguiente:

223 81,59250010250 AVm

voltsAVm 74,19397,77410250 3

El ángulo de fase entre la tensión y la corriente está dado por:

54,49

500

87,592arctan

R

XXarctan CL

La corriente adelanta 54,49 a la tensión.

13. En un circuito RLC en serie, Irms= 9 A, Vrms= 180 V y la corriente se adelanta al voltaje por 37º. a) Cuál

es la resistencia total del circuito?, b) Calcule la reactancia del circuito XL-XC?.

SOLUCIÓN

La impedancia del circuito puede obtenerse a partir de:

2029

2180

máx

máx

A

V

I

VZ

Definiendo la reactancia total como:

CL XXX




Ca

pít

ulo

7.

434

La impedancia total del circuito puede expresarse como:

22 XRZ

Elevando está última expresión al cuadrado y despejando R se obtiene:

2222222 20 XXZRXRZ (1)

Pero el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje es 37º y está dado por:

R

X

R

XXtantan cL

37

R

X 75,0

22 56,075,0 RXRX (2)

Sustituyendo (2) en (1):

256,0400 RR

Elevando al cuadrado: 22 56,0400 RR

Factorizando R2:

40056,1 2 R

Despejando R:

01,1656,1

400R

La reactancia total está dada por:

1201,1607575,0 RX




Ca

pít

ulo

7.

435

7.11 MODELOS DE EVALUACIÓN

7.11.1 MODELO DE EVALUACION No 1 (3P) 1) En la figura cada corriente tiene un valor de 20 amperios, pero una entra y la otra sale del

plano del papel.

a) Hallar ∮ para cada trayectoria indicada.

b) Cuál trayectoria, si la hay, puede utilizarse para hallar el campo magnético en cualquier punto

debido a esta corriente.

Solución:

a) ∮

∮

∮

b) La trayectoria , pero esta trayectoria nos dice que , luego esta situación es válida cuando pasa a gran distancia de las corrientes.

2) Calcule el flujo magnético en la espira rectangular de dimensiones b x c, según la figura

adjunta, a partir de los datos del problema.

Solución:

|𝛟 | |𝛟 | |𝛟 |




Ca

pít

ulo

7.

436

| | |∫ | ∫

| |

(

*

| | |∫ |

| |

(

*

| |

(

*

| |

(

*

(

*

| |

(

* (

*

| |

(

* (

*

3) Un alambre conductor tiene una corriente I como se observa en la figura. Calcule el campo de

inducción magnética en el punto P.

Solución:

Siendo el campo de inducción magnética debido al bucle semicircunferencial y el campo de inducción magnética debido al hilo semi-infinito ubicado verticalmente, entonces:

( )

( )

(

*




Ca

pít

ulo

7.

437

∫

( )

( )

( )

∫

( )

( )

4) Cuatro conductores rectilíneos infinitos llevan corrientes como se observa en la figura.

Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud, que actúa sobre el conductor inferior derecho.

Solución:

√ ( ( ) ( ))

( )

( )

√ .

√

√

/

( )

.

√

√ /

(

*

( ) .

.

√

√ /

/

( )

( )




Ca

pít

ulo

7.

438

| | √.

/

.

/

| |

√

5) Una corriente de I circula por in conductor rectilíneo muy largo, el cual en el punto A se abre

en dos segmentos semicircunferencia les de radio R mts. Eléctricamente diferentes por donde

la bifurca la corriente

respectivamente como se indica. Calcule, mediante la ley de Biot

y Savart el elector inducción magnética en el punto C centro de curvatura.

Solución:

( )

(

)

∫

( ) ( )

( )

( )

(

*

∫

( )

( )

( )

( )

6) Considere dos conductores rectilíneos muy largos con corriente paralelas amperios e amperios separados una distancia d mts. (Calcule en modulo, dirección y sentido) la fuerza por unidad de longitud en cada una de las dos corrientes, a causa de la otra.




Ca

pít

ulo

7.

439

Solución:

( )

( ) (

* ( )

( )

( ) (

* ( )




Ca

pít

ulo

7.

440

7.11.2 MODELO DE EVALUACION No 2 (3P) 1) En la figura se muestran dos alambres rectilíneos infinitos paralelos. Cuál es la dirección de

movimiento de la espira (completamente rígida), dispuesta como se ve en medio de los alambres.

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

(

*

( )

(

*

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) [

(

*] ( )

( )

(

*

( )

(

* ( )

Luego la espira permanece en reposo. 2) La figura muestra 3 espiras de corriente c/u en uno de los planos formados por un par de ejes:

a) Cuál de las espiras tiene su momento dipolar magnético paralelo al eje y.

b) Cuál de ellas no experimenta un momento de fuerza de parte del campo magnético mostrado en la figura?

c) Sobre cuál será el parte de fuerzas paralelo al eje y.




Ca

pít

ulo

7.

441

Solución: a) La espira que esta sobre el plano xz.

b) No experimenta momentos de fuerza de parte del campo magnético , la espira que esta

sobre el plano zy ya que: c) El par es paralelo al eje y sobre las espiras que esta sobre el plano xy ya que

( ) 3) Si el campo magnético que produce el solenoide rectilíneo infinito es igual a B y el área de su

sección esS calcule el flujo sobre c/u de las áreas mostradas en la figura

Solución: a).flujo magnético sobre :

∫

∫

b).flujo magnético sobre

∫

c).flujo magnético sobre

∫

∫ | |




Ca

pít

ulo

7.

442

4) La figura muestra una frontera plana de separación entre dos regiones donde el campo

magnético siendo constante y perpendicular al papel en cada una de ellas, es de valor debajo y arriba. Dibuje claramente cuál será la trayectoria de una partícula cargada que en

el instante inicial parte de velocidad como se muestra en la figura.

Solución:

( )

5) La grafica muestra un conjunto rígido formado por dos espiras cuadradas de lao a (mts) con

corriente eléctrica de I amps. (igual para ambas) colocado en una región del espacio donde

existe un campo de inducción magnética teclas. Calcule para el conjunto dado:

a. El vector momento dipolar magnético b. El vector torque magnético.

Refiérase para su solución al sistema de coordenadas mostrado.

Solución:

( )




Ca

pít

ulo

7.

443

7.11.3 MODELO DE EVALUACION # 3 (3P) 1) Un alambre rectilíneo infinito de corriente I baja a lo largo del eje z y en el plano xy forma un

bucle circular de radio R, y continua descendiendo por el eje z. hallar el campo magnético en el centro del circulo plano xy.

Solución:

( )

.√

√

/

( )

2) El dibujo muestra la trayectoria cerrada ACDEA y un alambre rectilíneo infinito perpendicular al

papel (⨀) a lo largo del cual influye una corriente I.

a) en que segmento de trayectoria la integral ∫ es igual a cero.

b) cuánto vale la integra ∫ en el segmento ACD.

Solución:

)

∫

∫

) ∮

∫

∫

∫

∫

∫




Ca

pít

ulo

7.

444

∫

∫

∫

3) Dos aros circulares coaxiales coplanares de radio respectivamente, conducen una

corriente como se muestra en la figura. Hallar el vector inducción en el centro o de los

dos aros, si se desprecia el efecto debido a los conductores rectilíneos. Solución:

( )

PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA Cap. 8

Ca

pít

ulo

7




PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA




Ca

pít

ulo

8.

446





Ca

pít

ulo

8.

447

Capítulo 8: PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA

CAPÍTULO 8: PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA .............................................................................................. 447

VIII. PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA ..................................................................................................... 448

8.1 MAGNETIZACION DE LA MATERIA ........................................................................................................................ 448

8.2 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO .............................................................................................................. 451

8.3 MATERIALES MEGNETICOS. .................................................................................................................................. 452

8.4 PARAMETROS MAGNÉTICOS ................................................................................................................................ 453

8.5 CONDICIONES DE FRONTERA ................................................................................................................................ 454

8.6 ENERGIA MAGNETICA ALMACENADA ................................................................................................................... 456

8.7 PARAMAGNÉTISMO.............................................................................................................................................. 458

8.8 DIAMAGNETISMO:................................................................................................................................................ 461

8.9 FERROMAGNETISMO ............................................................................................................................................ 468

8.10 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINÓPTICA Y OBSERVACIONES .................................................................................... 476

8.11 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 478




Ca

pít

ulo

8.

448

VIII. PROPIEDADES MAGNETICAS DE LA MATERIA

8.1 MAGNETIZACION DE LA MATERIA

Un cuerpo puede ser magnetizado colocándolo en un campo magnético uniforme. De acuerdo a las contribuciones atómicas al magnetismo, las substancias magnéticas se clasifican en tres categorías principales: diamagnéticas, paramagnéticas y ferromagnéticas. Dependiendo de la simetría, los átomos pueden o no presentar un momento dipolar magnético neto. A excepción de los materiales ferromagnéticos, la materia no presenta momento magnético neto, debido a la orientación al azar de las moléculas, sin embargo, cuando una porción de materia se coloca dentro de un campo magnético externo o causal, se distorsiona el movimiento electrónico, dando lugar a una polarización magnética neta o magnetización del material. Si consideramos una substancia en forma de cilindro, magnetizada en dirección del eje del cilindro como se muestra en la figura (8.1-1), los dipolos magnéticos moleculares se orientan paralelamente al eje del cilindro y las corrientes electrónicas quedan orientadas perpendicularmente al eje del cilindro, como se aprecia en la figura (8.1-2). La magnetización da lugar a una corriente neta sobre la superficie del material, la cual actúa como si se tratara de un solenoide. Las corrientes internas tienden a cancelarse de modo que no se observa corriente neta en el interior de la substancia.

Figura 8.1-2 Corriente superficial de magnetización en un cilindro magnetizado.

Figura 8.1-2 corrientes elementales que pueden reemplazarse por la corriente de Ampere

( ) .

El vector de magnetización se define como el número de dipolos magnéticos por unidad de volumen en el material.




Ca

pít

ulo

8.

449

Si es el momento dipolar magnético de cada átomo o molécula y n es el número de átomos por

unidad de volumen, la magnetización es:

(8.1-1)

La magnetización se expresa en:

Amperio

⁄ Amperio ó ( ).

Y es equivalente a la corriente por unidad de longitud. Un pequeño cubo que contenga un cierto número de dipolos magnéticos atómicos alineados en dirección del campo magnético exterior, produce exteriormente el mismo efecto de una corriente equivalente que circule alrededor de cada elemente de volumen, como ilustra en la figura

(8.1-3).

Figura 8.1-3 dipolos magnéticos alineados en dirección del campo magnético.

Denotando por la magnitud del momento magnético del cubo y por A el área de la espira, se obtiene:

(8.1-2)

La magnitud del vector de magnetización del cubo es:

(8.1-3)

Siendo la densidad de corriente solenoidal equivalente que circula alrededor del cubo.

El vector de magnetización también se denomina intensidad de imanación o simplemente imanación.

La Función vectorial proporciona una descripción macroscópica de las corrientes interiores de la materia y permite describir adecuadamente todos los efectos magnéticos. Por facilidad, consideremos una pieza toroidal uniforme de material magnetizable y veamos qué resultado se obtiene cuando se aplica la de Ley de Ampare. Para tal efecto debe tenerse en cuenta las siguientes consideraciones previas:

El momento dipolar de la sección delgada de un núcleo toroidal como el que se muestra en la

figura (8.1-4), esté relacionado con el vector de magnetización mediante.




Ca

pít

ulo

8.

450

( )

(8.1-4)

Figura 8.1-4 Magnetización en el caso de una muestra toroidal magnetizada uniformemente. Siendo el diferencial de corriente superficial de magnetización, que fluye alrededor de la sección delgada de material que subtiende un ángulo central , la cual puede expresarse mediante

(8.1-5) Por tanto

(8.1-6)

Luego

(8.1-7)

Entonces, y M puede relacionarse mediante

∮

(8.1-8)

Expresando la corriente total mediante la suma de la corriente Ni que fluye en el devanado y la

corriente de magnetización , al aplicar la ley de Ampere se sigue que:

∮ ( )

(8.1-9)

∮

∮

(8.1-10)

∮ .

/

(8.1-11)




Ca

pít

ulo

8.

451

Siendo Ni la corriente verdadera, corriente libre o corriente de conducción que circula por el devano. Cuando no existe substancia magnética M = 0, entonces la expresión (8.1-11) se reduce a:

∮

(8.1-12)

Para medios lineales o isótropos, el vector de magnetización puede expresarse mediante

(8.1-13)

Donde la cantidad adimensional se denomina susceptibilidad magnética.

8.2 INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO

La intensidad magnética está definida por:

(8.2-1)

Las unidades de son las mismas que las de , es decir, A/m. También se usa el Oersted (Oe):

Para el caso de una solenoidel de longitud y de N número de espiras, vacío, se tiene:

(8.2-2)

Ya que el vacío es cero. Entonces:

(8.2-3) Donde i es la corriente libre o de conducción.

El campo vectorial también es llamado campo magnetizante. La Ec. (8.1-11) se puede escribir mediante

∮

(8.2-4)

Siendo la verdadera, libre o de conducción, es decir, la correspondiente al flujo de cargas móviles encerradas por el contorno C.

La intensidad magnética es muy importante en la solución de problemas de frontera.




Ca

pít

ulo

8.

452

8.3 MATERIALES MEGNETICOS.

Para materiales lineales isótropos, existe una relación aproximadamente lineal entre dada por

(8.3-1)

Siendo la susceptibilidad magnética. Si es negativa, el material es diamagnético ya la inducción magnética es debilitada por la presencia del material. Si es positiva, el material se llama paramagnético y la inducción magnética es reforzada por la presencia del material. Si es positiva, pero mucho mayor que uno, el material se denomina ferromagnético.

Si el material es anisotrópico, pero lineal, se relacionan mediante una expresión tensorial.

La relación lineal entre dadas por la Ec. (8.3-1) implica una relación lineal entre :

(8.3-2)

Siendo la permeabilidad magnética, la cual se obtiene de combinar las ecuaciones (8.2-1) y

(8.3-1), así: De la EC. (8.2-1)

( ) Siendo ( ) La permeabilidad relativa , es una cantidad adimensional dada por:

(8.3-3)

En los materiales diamagnéticos la susceptibilidad magnética es negativa, por tanto tiene permeabilidades relativas menores que la unidad. Sus momentos magnéticos son prácticamente independientes y tienden a alinearse en dirección opuesta al campo magnético aplicado exteriormente. En los materiales paramagnéticos las susceptibilidades magnéticas son positivas, por tanto tienen permeabilidades relativas un poquito mayor que la unidad, pero como se verá más adelante se aproximan a 1. Los momentos magnéticos tienden a alinearse paralelamente al campo externo aplicado y las susceptibilidades magnéticas son independientes de la intensidad magnética aplicada. En los materiales ferromagnéticos las susceptibilidades magnéticas son positivas y mucho mayores a los de los otros materiales, pero no tienen un valor fijo ya que en tales sustancias, la susceptibilidad varia con intensidad magnética, con la historia de su magnetización anterior y con el proceso metalúrgico seguido en su elaboración.




Ca

pít

ulo

8.

453

En tales materiales ( ), es decir, es función de la intensidad magnética. La tabla (8.3-1) muestra los valores de susceptibilidades magnéticas de algunos materiales.

TABLA 8.3-1 SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA

Sustancia Susceptibilidad

Sustancias diamagnéticas

Cobre Plomo Mercurio Bismuto Oro Plata Agua Hidrógeno (CN)

Sustancias paramagnéticas

Aluminio Sodio Platino Paladio Oxígeno (CN) Oxígeno líquido (-219 C) Aire (CN)

Sustancias ferromagnéticas

Hierro

NOTA: CN = Condiciones normales de presión y temperatura (20°C y 1 atm.).

8.4 PARAMETROS MAGNÉTICOS

La clasificación de las sustancias teniendo en cuenta su susceptibilidad magnética , su permeabilidad magnética y su permeabilidad relativa , sintetizarse en el siguiente cuadro sinóptico: Sustancias

Susceptibilidad Magnética

Permeabilidad Magnética

Permeabilidad

Relativa

Diamagnéticas

Paramagnéticas

Ferromagnéticas

Las cantidades y se conoce como parámetros magnéticos.




Ca

pít

ulo

8.

454

8.5 CONDICIONES DE FRONTERA

Para saber cómo cambian los vectores de campo , consideremos dos regiones (1) y (2) con propiedades magnéticas diferentes, limitadas para la superficie mostrada en la figura (8.5-1) Escogiendo un pequeño cilindro como superficie gaussiana, y aplicando la ley de Gauss para el campo magnético, se tiene:

∮ (8.5-1)

Figura (8.5-1) superficie límite entre dos medios magnéticos diferentes

∫

∫

∫

∫

∫ ( )

∫

∫

∫

∫

∫

(8.5-2)

La E.c. (8.5-2) expresa la continuidad de la componente normal del campo magnético. De la la ley de Ampere sabemos que

∮

Como




Ca

pít

ulo

8.

455

∮ (8.5-3)

Si ve en las regiones consideradas no existen bobinas que lleven corriente, de la E.c. (8.5-3) se sique que:

∮ (8.5-4)

Tomando la trayectoria de integración mostrada en la figura (8.5-2), se obtiene:

Figura (8.5-2) Trayectoria de integración para obtener las condiciones que debe cumplir en la

superficie límite entre dos medios magnéticos diferentes.

∫ ∫

∫ ∫

∫

(

) ∫ (

)

∫ (

) ∫ (

)

∫

∫

∫

∫

(8.5-6) La E.c. (8.5-6) expresa la continuidad de las componentes tangenciales de la intensidad

magnética . De la E.c. (8.5-2) se sigue que:

(8.5-7)




Ca

pít

ulo

8.

456

Del E.c. (8.5-6) se sigue que:

(8.5-8)

Dividiendo la E.c. (8.5-8) por la E.c. (8.5-7), se obtiene

(8.5-9)

(8.5-10)

Si

entonces,

y las líneas de inducción se acumulan en el medio (1), de

elevada permeabilidad magnética, en una configuración tal, que resultan prácticamente paralelas a la superficie límite.

8.6 ENERGIA MAGNETICA ALMACENADA

La densidad de energía magnética en un medio magnetizado está dado por

(8.6-1)

Consideremos un cubo pequeño de longitud y volumen ( ) situado en un campo magnético, como se muestra en la figura (8.6-1)

La figura (8.6-1) Cubo pequeño en un campo magnético. Si colocamos dos laminas metálicas delgadas en las superficies superior e inferior del cubo, cada una con una corriente , entonces el cubo puede considerarse como una línea de transmisión de

longitud , con una inductancia , con una energía magnética almacenada dada por

(8.6-2)

(8.6-3)




Ca

pít

ulo

8.

457

Pero la corriente está relacionada con el campo por medio de

(8.6-4)

Entonces se sigue que

( )

(8.6-5)

( )

(8.6-6)

Dividiendo la E.c. (8.6-6) por , se obtiene:

(8.6-7) Tomando el límite cuando tiende a cero, se obtiene la densidad de

(8.6-4)

Entonces se sigue que

( )

(8.6-5)

( )

(8.6-6)

Dividiendo la E.c. (8.6.6) por , se obtiene:

(8.6-7)

Tomando límite cuando tiende a cero, se obtiene la densidad de energía , del campo

magnético en el punto alrededor del cual tiende a cero. Entonces

(8.6-8) La energía puede estar presente en ausencia de materia, como ocurre en el campo magnético de un inductor situado en el vacío. Si existe un material ferromagnético dentro de un inductor, la densidad de energía aumenta en proporción a la permeabilidad magnética.




Ca

pít

ulo

8.

458

La densidad de energía magnética debida a un inductor situado en el vacío es:

La densidad de energía magnética debida a un inductor con un material ferromagnético en su interior está dada por

( ) ( )

Nuevamente observamos que si no existe magnetización ( ) y la densidad de energía

magnética es simplemente

.

8.7 PARAMAGNÉTISMO

Los materiales paramagnéticos se caracterizan porque sus susceptibilidad magnética es mayor

que cero, per o mucho menor que 1. La magnetización de una substancia paramagnética viene dada por

(8.7-1)

Siendo N el número de átomos por unidad de volumen, el momento dipolar magnético de

cada átomo y f la fracción del total de dipolos, orientados paralelamente al campo,

(8.7-2)

Siendo k la constante de Boltzman y T la temperatura absoluta. Reemplazando la Ec. (8.7-2) en la Ec. (8.7-1) se obtiene que

(

*

(8.7-3) En la Ec. (8.7-3) el campo magnético B se expresa mediante

( ) (8.7-4)

pero, como el valor de M es pequeño para substancias para magnéticas podemos despreciarlo, obteniendo

(8.7-5)




Ca

pít

ulo

8.

459

Sustituyendo la Ec.(8.7-5 ) en la Ec.(8.7-3 ) se sigue que:

(8.7-6) La susceptibilidad magnética viene dada por

(8.7-7) Por tanto, de la Ec. (8.7-6) se obtiene que

(8.7-8)

La Ec. (8.7-8) es conocida como Ley de Curie y expresa la dependencia de la susceptibilidad de las Sustancias Paramagnéticas con el inverso de la temperatura absoluta. La figura (8.7-1) muestra la dependencia lineal de la magnetización M en función de la intensidad magnética

Figura (8.7-1) Dependencia lineal de la magnetización M en función de H.

La pendiente corresponde a la susceptibilidad magnética

(8.7-9)

La figura (8.7-2) muestra la susceptibilidad magnética X en función de la temperatura T.

Figura (8.7-2) Susceptibilidad magnética X función de la temperatura.




Ca

pít

ulo

8.

460

El momento dipolar atómico puede obtenerse clásicamente considerando que el electrón al

girar alrededor del núcleo en una órbita circular de radio r con una frecuencia V produce un

corriente

(8.7-10)

Siendo v la magnitud de la velocidad del electrón, la cual se obtiene igualando la fuerza de Coulomb entre el electrón y el núcleo de carga Ze y la fuerza centrípeta que mantiene el electrón en órbita así:

(8.7-11)

( )

(

*

⁄

(8.7-12) Por tanto, de acuerdo a la definición del momento dipolar magnético

( )

(8.7-13)

De acuerdo a la teoría atómica está en el intervalo de unos cuantos magnetones de Bohr (1 magnetón de Bohr = donde h es la contante de Planck). En conclusión diremos que una substancia presenta comportamiento paramagnético si sus átomos o moléculas tienen momentos magnéticos permanentes y tienden a orientarse en dirección paralela del campo aplicado.

Si a una muestra para magnética se le aplica un campo externo a lo largo del eje Z se pueden obtener dipolos magnéticos parcialmente alineados como el mostrado en la figura (8.7-3).

Figura (8.7-3) Contribución al momento magnético de un dipolo magnético alineado parcialmente. Por tanto, la componente está dada por

(8.7-14)




Ca

pít

ulo

8.

461

El valor década momento atómico es

(8.7-15)

Por tanto, la magnetización puede expresarse como

Por consiguiente, el problema de encontrar la magnetización de la muestra, consiste en hallar el valor promedio del coseno del ángulo, entre un momento atómico y el campo exterior B.

8.8 DIAMAGNETISMO:

El diamagnetismo es debido a los momentos magnéticos inducidos en sentido opuesto al campo magnético externo aplicado.

Cuando una muestra de material diamagnética se coloca en un campo magnético externo , el

campo magnético en el interior de la muestra es ligeramente menor que , por cuanto los dipolos inducidos debilitan el campo magnético resultante. El diamagnetismo fue descubierto por Michael Faraday en1846, quien observó que un trozo de bismuto era repelido por cualquiera de los polos de un imán.

Un material diamagnético es repelido por el campo magnetizante debido a que el material

adquiere una magnetización opuesta a la intensidad del campo magnético , por tanto la susceptibilidad es menor que cero . Esta susceptibilidad negativa, independiente de la temperatura, como puede apreciarse en la figura (8.8-1), se calcula correctamente usando la Mecánica Cuántica mediante la ecuación de Schroedinger para un electrón en un campo magnético. Sin embargo el cálculo clásico que desarrollaremos a continuación, nos permite encontrar el mismo orden de magnitud para la susceptibilidad diamagnética.

Figura (8.8-1) La susceptibilidad diamagnética X es negativa e independiente de la temperatura.

Imaginemos que nuestro modelo burdo de átomo diamagnético, consta de un par de electrones que rotan en sentidos opuestos alrededor del núcleo. Consideremos además, que sus órbitas están en un plano perpendicular al campo magnético aplicado. La figura (8.8-2) muestra las dos órbitas separadamente. El campo magnético apunta hacia fuera del papel.




Ca

pít

ulo

8.

462

Figura (8.8-2) Modelo burdo de diamagnetismo.

Dos electrones se mueven a lo largo de la misma órbita en direcciones opuestas.

En ausencia de campo magnético, la magnitud de la fuerza eléctrica de atracción, que el núcleo del átomo ejerce sobre un electrón es

| | ( )

(8.8-1) Siendo (Ze) la carga total del núcleo y Z el número de protones.

Antes de aplicar el campo magnético el electrón se encuentra en equilibrio sobre su órbita, por

tanto, fuerza eléctrica debe ser igual a la fuerza centrípeta , ó

∑

(8.8-2) Pero:

(8.8-3)

Entonces

(8.8-4)

La aplicación de un campo magnético , ejerce una fuerza adicional sobre el electrón, dada por

( ) (8.8-5)

La figura (8.8-3) indica los sentidos de las fuerzas magnéticas ejercidas sobre los electrones, que circulan en sentido horario y antihorario.

Figura (8.8-3) Fuerzas magnéticas ejercidas sobre electrones atómicos que circulan

(a) En sentido antihorario y (b) en sentido horario.




Ca

pít

ulo

8.

463

La Ec. (8.8-5 ) puede escribirse en forma escalar como

(8.8-6)

Pero

(8.8-7)

Entonces

(8.8-8)

Donde el signo (-) es válido para la órbita electrónica horario y el signo (+) para la órbita electrónica antihoraria. Suponiendo que el electrón permanece en la misma órbita, se encuentra que:

∑

(8.8-9)

(8.8-10)

(8.8-11)

( )

(8.8-12)

( )( ) (8.8-13)

El cambio de frecuencia angular del electrón es

(8.8-14)

El cual es muy pequeño comparado con , por tanto:

(8.8-15)

(8.8-16)

Luego la Ec. (8.8-13 ) puede escribir se mediante:

( ) (8.8-17)

(8.8-18) Donde la cantidad (eB/2m) se llama frecuencia de Larmor. La Ec. (8.8-18) también puede obtenerse igualando la energía eléctrica suministrada al electrón, con la variación de energía cinética que éste experimenta, así:

De acuerdo a la Ley de Faraday, cuando se comienza a generar el campo magnético se presenta un cambio de flujo magnético a través de la órbita electrónica que se enlaza por




Ca

pít

ulo

8.

464

espiras orbitales electrónicas, donde corresponde al número de revoluciones realizadas por el electrón durante el tiempo en que el campo magnético varía. La fem producida por el flujo magnético variable es

(8.8-19)

Igualando la energía suministrada al electrón en este proceso, , al variación de energía cinética del electrón, se sigue que:

(8.8-20)

(

)

(8.8-21)

Pero B es el valor final de B y el valor promedio de

es:

(8.8-22)

Luego

(

*

( )( )

(8.8-23) Aunque los átomos de las sustancias diamagnéticas no tienen un momento dipolar magnético permanente, ellas adquieren un momento dipolar magnético débil en presencia de un campo

magnético. Consideremos un electrón de carga –e, masa m, velocidad angular y radio orbital r. Dicho sistema es equivalente a una corriente convencional media i, que circula a lo largo de la trayectoria circunferencial que describe el electrón, en sentido antihorario al movimiento de éste. Por tanto, el momento dipolar , correspondiente a la espira que constituye el electrón en movimiento es:

( )

(8.8-24)




Ca

pít

ulo

8.

465

(8.8-25)

Un campo aplicado exteriormente ejerce un par que hace que el plano de rotación sufra una

precesión alrededor de , como se ilustra en la figura (8.8-4)

Figura 8.8-4 Procesión diamagnética de la órbita del electrón.

Teniendo en cuenta que el momento angular está dado por:

(8.8-26)

| |

| |

(8.8-27) Por tanto la Ec. (8.8-25) puede escribirse como

(8.8-28) El par sobre el electrón es

(8.8-29)

De la ecuación dinámica de rotación

(8.8-30)

En la Ec. (8.8-30) el momento angular gira alrededor de con la frecuencia de Larmor

(8.8-31)

La frecuencia de Larmor representa una precesión relativamente lenta. De la Ec. (8.8-28) se sigue que

(8.8-32) Pero de la Ec. (8.8-27 )

(8.8-33)




Ca

pít

ulo

8.

466

Entonces, reemplazando la Ec. (8.8-33) en la Ec. (8.8-32), se sigue que

(8.8-34)

Sustituyendo en la ecuación el valor de dado por la Ec. (8.8-31) se obtiene

.

/

(8.8-35)

(8.8-36) La magnetización se encuentra sumando este resultado sobre todos los electrones por unidad de volumen. Para una sustancia que contenga N moléculas por unidad de volumen, todas de la misma especie molecular

∑

(8.8-37)

Donde la suma se efectúa sobre todos los electrones de una molécula. La susceptibilidad para materiales diamagnéticos

∑

(8.8-38)

Donde se ha supuesto que todos los electrones circulan en planos perpendiculares Una mejor aproximación para el caso en el que la órbita se inclina, de manera que una normal a la órbita, forma un ángulo con el campo, está dada por:

∑

(8.8-39) Al aplicar el campo magnético, la fuerza radial neta sobre el primer electrón es.

(8.8-39) Pero:

(8.8-40)

(8.8-41) Análogamente, la fuerza radial neta sobre el segundo electrón es:

(8.8-42) Dividiendo la Ec. (8.8-41) por mr, se obtiene:

(8.8-43)




Ca

pít

ulo

8.

467

Dividiendo la Ec. (8.8-42) por mr, se obtiene:

(8.8-44)

Siendo la frecuencia de Larmor dada poro

Sumando a ambos miembros de la Ec. (8.8-43), se sigue que:

(8.8-45)

( )

(8.8-46)

Despreciando en el segundo miembro

( )

(8.8-47)

Sacando la raíz cuadrada:

(8.8-48)

(8.8-49)

Para el segundo electrón, se suma a la Ec. (8.8-44) el término , obteniendo:

(8.8-50)

( )

(8.8-51)

Despreciando respecto a

en el segundo miembro se obtiene:

( )

(8.8-52) Sacando la raíz cuadrada

(8.8-53)

(8.8-54)

Por tanto, el momento dipolar magnético, correspondiente al primer electrón es:

( )

(8.8-55) Y el momento dipolar magnético para el segundo electrón es:

( ) ( )

( )

(8.8-56)




Ca

pít

ulo

8.

468

El momento magnético total, después de aplicar el campo magnético , es:

(8.8-57) La magnetización M, para un número n de átomos por unidad de volumen es:

(8.8-58)

La susceptibilidad magnética se obtiene de la Ec. (8.8-58), mediante

En este desarrollo, se han despreciado las fuerzas electrostáticas entre los electrones y se ha supuesto que los electrones circulan en órbitas circunferenciales.

8.9 FERROMAGNETISMO

Es una propiedad que presentan algunas sustancias a temperatura ambiente, como en el hierro, el cobalto, el níquel, el gadolinio, el disprosio y algunas aleaciones. Tal propiedad consiste en un alto grado de alineación de los momentos dipolares magnéticos atómicos, que puede persistir en ausencia de un campo magnetizante externo. La permeabilidad magnética de estos materiales no es constante, sino que es función del campo magnético aplicado y de su historia magnética.

La alineación de los momentos dipolares magnéticos atómicos es debida al campo y a la fuerte interacción de los espines de los electrones.

La alineación se realiza por regiones, o dominios, que contienen muchos átomos de , y

tienen dimensiones de orden de m. El estudio experimental de los dominios fue realizado por primera vez por F. Bitter, quien utilizo la técnica experimental consistente en espolvorear sobre la superficie de la muestra, un polvo magnético fin o que al ser mirado con el microscopio permite observar que las partículas del polvo magnético se reúnen sobre las fronteras del dominio. Para cada sustancia existe una temperatura, llamada de Curie, por encima de la cual la sustancia se hace para magnética. Para el hierro, esta temperatura de transición, o punto de Curie, es de 770°C. La tabla (8.9-1) muestra la temperatura de Curie para varios elementos ferromagnéticos:

TABLA 8.9-1

Hierro Fe Cobalto Co Níquel Ni Gadolinio Gd Disprosio Dy

1043 1404 631 293

770 1131 358 20

-188




Ca

pít

ulo

8.

469

En un cristal de hierro sin magnetizarlos dominios son paralelos a una de sus direcciones de fácil magnetización, como se muestra en la figura (8.9-1)

Figura 8.9-1 Direcciones de fácil magnetización en un cristal de hierro. Red cúbica de cuerpo

centrado.

Si el cristal se coloca en un campo magnético paralelo a una de las direcciones de fácil magnetización, los dominios polarizados en forma perpendicular u opuesta al campo, se vuelven inestables y algunos de ellos se orientan en la misma dirección del campo. Si el campo se aumenta todos los dominios se orientan en la misma dirección alcanzándose un grado máximo de magnetización denominado saturación magnética. Si al oprimir el campo magnético, gran parte de los dominios conservan sus direcciones, se dice que la muestra o cristal ha quedado magnetizado permanentemente. La figura (8.9-2) muestra la orientación de los momentos dipolares magnéticos de varias sustancias.

Figura (8.9-2) Orientación de los momentos dipolares magnéticos de varias sustancias.

De acuerdo a la teoría del ferromagnetismo de Heisemberg, hay un cambio en la energía electrostática relacionada con el cambio de alineación del spin, de paralela a antiparalela, en los átomos vecinos. Si la magnetización neta es nula, la sustancia se llama anti-ferromagnética, como sucede con el MnO, FeO, CoO y NiO. Si los momentos magnéticos atómicos o iónicos orientados en un sentido son diferentes de los orientados en sentido opuesto, se obtiene una magnetización neta, característica de las ferritas, que suelen representarse mediante la fórmula , donde M representa un elemento que

puede ser Mn, Co, Ni ,Cu ,Mg, Cd , etc. Si M es Fe se obtiene el compuesto denominado




Ca

pít

ulo

8.

470

magnetita. Las ferritas son muy importantes porque tienen una magnetización de saturación relativamente grande y son malos conductores de la electricidad. Los momentos angulares atómicos en sustancias ferromagnéticas, están acoplados uno con otro; estos momentos angulares atómicos son los momentos angulares de Spin de algunos de los electrones de los átomos. Cuando algunos de los momentos magnéticos atómicos apuntan en alguna dirección, los otros tienden a hacer lo mismo. Así que, en lugar de la ecuación

(8.9-1)

Escribiremos

( ) (8.9-2)

Donde el término de nota la interacción mutua entre los electrones. Si la temperatura es suficientemente alta, el material es todavía para magnético y su susceptibilidad magnética está aún dada por

| |

(8.9-3)

Sin embargo, la susceptibilidad magnética efectiva obtenida mediante alguna medición

microscópica, es por definición, la constante de proporcionalidad entre , como se expresa en la ecuación (8.9-1). De la Ec. (8.9-2)

(8.9-4)

( ) (8.9-5)

( ⁄ )

( ⁄ )

(8.9-6) Que puede escribirse como

(8.9-7)

(8.9-8)

Siendo la temperatura de Curie y C la constante llamada Constante de Curie.

Macroscópicamente, la magnetización como una función de tendrá un comportamiento como el mostrado en la Fig. (8.9-3). Si empezamos con un material no magnetizado y aumentamos lentamente un campo magnético

aplicado , la magnetización seguirá la curva 1. La permeabilidad magnética relativa , está definida como la pendiente de la curva de la región lineal inicial; ésta es la única región en la cual el proceso es irreversible. Cuando aumentamos el

campo magnetizante , podrá alcanzarse un valor de saturación cuando todos los dipolos




Ca

pít

ulo

8.

471

magnéticos estén alineados paralelamente a si aumentamos más el valor de , la

magnetización no aumentará.

Si ahora disminuimos la magnetización seguirá la curva 2. Cuando el campo se hace cero, la

magnetización adquiere un valor , llamado remanencia magnética.

Para hacer cero la magnetización se debe aplicar un campo coercitivo (llamado fuerza

coercitiva ), en dirección opuesta al utilizado anteriormente. Haciendo más negativo que , el material alcanza magnetización en dirección opuesta. Este fenómeno es conocido como histéresis, del griego Hysteron, que significa posterior, retraso.

Figura 8.9-3 Definición de la saturación de magnetización , de la remanencia magnética , y

campo magnetizante coercitivo. La permeabilidad magnética es la pendiente de la curva 1. Las sustancias ferromagnéticas con mucha histéresis se llaman duras, mientras que las que presentan poca histéresis se llaman blandas. Los valores grandes de la remanencia magnética y campo coercitivo, son los que hacen a las sustancias ferromagnéticas duras muy adecuadas para la fabricación de imanes permanentes. La figura (8.9-4) muestra el ciclo de histéresis para una sustancia magnéticamente dura.

Figura 8.9-4 Curva de histéresis para materiales magnéticamente duros y blandos.




Ca

pít

ulo

8.

472

El ciclo cerrado de la figura (8.9-3) se llama ciclo de histéresis. Los núcleos de hierro de los transformadores se hacen con materiales ferromagnéticos con pequeña remanencia magnética y con pequeños campos coercitivos, es decir, con materiales blandos, como se ilustra en la figura (8.9-5).

Figura (8.9-5) Ciclo de histéresis de un núcleo de transformador ferromagnético, considerado

"bueno".

Todas las sustancias ferromagnéticas, presentan el fenómeno de la formación de dominios magnéticos, aunque la muestra no tenga nada de magnetización. La aplicación de campos magnéticos hace cambiar la dirección de alineación magnética de los dominios; la figura (8.9-6) permite apreciar tal efecto.

Figura (8.9-6) Dominios magnéticos.

(a) Sustancias no magnetizadas, (b) Magnetización por crecimiento de dominios a lo largo de , (c) Para campos magnéticos más intensos, los dominios empiezan a rotar, alineando su

magnetización a lo largo de .

Una sustancia magnetizable tiene tendencia a desdoblarse en dominios, cada uno con una dirección de magnetización distinta, debido a que la creación de dominios disminuye la energía potencial almacenada en el campo magnético externo de la sustancia magnetizable, llevando al sistema a un estado de equilibrio, que corresponde a una energía potencial almacenada mínima. El proceso de formación de dominios no se repite indefinidamente, debido a las fuerzas intensas entre átomos vecinos, que tratan de alinearlos con los momentos paralelos. La figura (8.9-7) muestra la formación de dominios y las líneas de campo magnético externo, que conducen a una reducción en la energía del campo magnético externo.




Ca

pít

ulo

8.

473

Figura (8.9-7) Efecto de reducción del campo exterior como

resultado de la formación de dominios.

La obtención de los campos de magnetización, de intensidad magnética y de inducción magnética, para el caso de una muestra toroidal, con magnetización permanente y uniforme, como se muestra en la figura (8.9-8).

Figura (8.9-8) Campos de (a) magnetización, (b) intensidad magnética y (c) inducción magnética, en una muestra toroidal con magnetización permanente y uniforme.

La obtención de los campos de magnetización, la intensidad magnética y de inducción magnética, para el caso de una muestra toroidal con magnetización permanente y uniforme, se realiza a partir de la ley de Ampere, así;

∮

(8.9-10) Pero a través de cualquier contorno circunferencial C, dentro o fuera del toroide, la corriente verdadera o de conducción es cero. Entonces,

∮

(8.9-11) Como se muestra en la figura (8.9-8)(b).

La inducción magnética se calcula también a partir de la ley de Ampere, así:

∮

( )

(8.9-12)

Dentro del toroide, la corriente de conducción o corriente verdadera es cero, entonces.

∮

( )

(8.9-13)




Ca

pít

ulo

8.

474

(8.9-14) En el exterior del toroide, la corriente total dentro de cualquier contorno es cero, luego

∮ ( )

(8.9-15) Por tanto, dentro de la muestra toroidal

(8.9-16)

Y fuera de la muestra toroidal

(8.9-17) Las ecuaciones (8.9-16) y (8.9-17), también pueden obtener se a partir de:

( ) (8.9-18)

Teniendo en cuenta que es constante dentro de la muestra y cero fuera de la muestra; con

, se obtiene: Dentro de la muestra:

(8.9-19)

Y fuera de la muestra

(8.9-20)

Como y son cero fuera de la muestra, resulta muy difícil saber que se tiene un imán permanente. Una forma de saber lo consiste en cortar el imán toroidal, de manera que quede un pequeño espacio de aire o entre hierro como se muestra en la figura (8.9-9). El campo de magnetización M sigue siendo el mismo, como se muestra en la figura (8.9-9).

La inducción magnética tiene un valor un poco menor que el valor obtenido anteriormente, debido a que la corriente de magnetización ha disminuido en la cantidad que corresponde al pedazo faltante. Dentro y alrededor del entrehierro, la intensidad magnética H, está dada por

Ya que en esas regiones




Ca

pít

ulo

8.

475

Figura (8.9-9) Líneas de magnetización en una muestra toroidal con un entrehierro.

En el interior de la muestra, la intensidad magnética está dada por

( )

Pero se dijo anteriormente; la magnitud de es menor que el valor en un toroide sin el

espacio de aire, entonces resulta en dirección apuesta a y a dentro de la muestra magnética como se muestra en la figura (8.9-10).

Las relaciones entre , y en el interior del imán, puede apreciarse en el gráfico vectorial mostrado en la figura (8.9-11).

Figura (8.9-10) Líneas de intensidad magnética de un imán permanente de forma toroidal con

entrehierro

Figura (8.9-11) Relaciones entre , y




Ca

pít

ulo

8.

476

8.10 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINÓPTICA Y OBSERVACIONES

OBJETIVOS:

-Determinar la magnetización.

-Calcular los parámetros magnéticos.

-Establecer las condiciones de Frontera.

-Determinar la energía magnética.

-Clasificar las sustancias de acuerdo a sus propiedades magnéticas.


Magnetización

Intensidad de campo magnético.

Inducción magnética.

Parámetros magnéticos de la materia

Susceptibilidad magnética

Permeabilidad magnética.

Permeabilidad magnética

relativa.

Condiciones de frontera

Energía magnética por unidad de

volumen almacenada en las sustancias

magnetizadas.

En el vacío

En medios

materiales

Clasificación de las sustancias de

acuerdo a sus propiedades magnéticas.

Diamagnéticas

Paramagnéticas

Ferromagnéticas

Materiales Diamagnéticos


Materiales Ferromagnéticos.




Ca

pít

ulo

8.

477

∮

OBSERVACIONES:

-En la expresión obtenida para la susceptibilidad delas sustancias para magnéticas, se ha

sustituido por , ya que el valor de M es pequeño para sustancias para magnéticas y

puede despreciarse en la ecuación ( ). -El modelo clásico utilizado para determinar la susceptibilidad magnética en sustancias

diamagnéticas es muy burdo, pues la forma más adecuada consiste en utilizar el

formalismo cuántico.

Arriba de la temperatura de Curie, los materiales ferromagnéticos se comportan como

sustancias paramagnéticas.

-Los materiales ferromagnéticos presentan el fenómeno de formación de dominios, cuyo

efecto consiste en reducir la energía magnética almacenada en el campo externo de la

muestra.

-Los vectores y siempre son paralelos.

- , y son vectores al contorno C.

-La unidad SI para la intensidad magnética y para la magnetización es

Amperio/metro.

-En el caso de un imán permanente no hay ninguna corriente verdadera.

Por tanto :




Ca

pít

ulo

8.

478

8.11 PROBLEMAS

1. (21.1M) Una pequeña muestra de una sustancia magnetizada tiene la forma de un cubo de

10mm de lado. El momento magnético de la muestra es . Determine:

a) La magnetización de la muestra, suponiendo que es uniforme.

b) La corriente superficial de magnetización. Suponga que el vector momento magnético es

normal a una de las caras del cubo.

Solución:

2. (21. 3M) La magnetización de una muestra de hierro es tal que aporta a una

inducción magnética uniforme . ¿Cuál es el momento magnético de un volumen de de este material?

Solución:

El aporte de la magnetización a la inducción magnética es , por tanto:

3. (21.7 M) e arrolla un solenoide largo sobre un núcleo de hierro con susceptibilidad magnética

igual a 200. Si la corriente en aquel es de 2A y tiene 750 vueltas de conductor por metro, calcule.

a) La intensidad magnética dentro del solenoide.

b) La inducción magnética . c) La magnetización. d) El momento magnético por longitud unitaria, suponiendo un área trasversal de 8 cm.

Para contestar puede suponerse que el hierro está magnetizado uniformemente, y que la inducción magnética es uniforme en todo el solenoide.




Ca

pít

ulo

8.

479

Solución:

a)

b)

( ) ( )

( )

c)

(

*

d)

( ) (

*

4. (21. 9M) Una muestra toroidal de material magnetizable tiene un radio igual a 12,5 cm. y su

área transversal es igual a . Está bobinada con alambre fino, a razón de 80 vueltas por

cm., a lo largo de la circunferencia media. Su susceptibilidad magnética vale . El devanado lleva una corriente constante de 5 A. Halle:

a) Las magnitudes de los campos y dentro de la sustancia. b) La magnitud de la magnetización dentro de la sustancia. c) La corriente superficial de magnetización.

d) Calcule la magnitud que tendrían los vectores magnéticos y , si no hubiera el núcleo paramagnético.

Solución:

.

/

( )




Ca

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ulo

8.

480

( )

5. (21.15 M) Calcule la magnitud de la magnetización de un material en cada uno de los

siguientes casos:

a) Cada átomo tiene un momento dipolar magnético de y hay

; los momentos son paralelos entre si.

b) La susceptibilidad magnética es y

c) y la permeabilidad relativa es .

Solución:

a) (

)( )

b)

( )

( )

c)

( ) ( )( )

6. (21.1 7M) Las moléculas de una sustancia paramagnética tienen un momento dipolar

magnético de A.m. La sustancia se coloca en un campo magnético de a la temperatura de 4,0 K.




Ca

pít

ulo

8.

481

a) Determine el ángulo medio entre los momentos dipolar es molecular es de la sustancia y el vector de inducción magnética.

b) Dé la respuesta correspondiente, si se eleva la temperatura hasta 40K. c) Dé la respuesta correspondiente, si se eleva la temperatura hasta 40 K.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

CORRIENTE ALTERNA Cap. 9

Resumen: El descubrimiento y desarrollo de la corriente alterna por parte de Nikola Tesla, entre los años 1880 -1900. Le daría al mundo la posibilidad de contar con sistemas de distribución de energía eléctrica más eficiente; regida bajo los principios del magnetismo y la inducción magnética, facilitando la transformación y transporte de energía eléctrica a largas distancias. En este capítulo presentaremos las bases del funcionamiento del generador de corriente alterna, así también el fenómeno de resonancia.


Ca

pít

ulo

9.


WILLIAM JAVIER TRIGOS GUEVARA 483



Ca

pít

ulo

9.



484

Capítulo9: CORRIENTE ALTERNA

CAPÍTULO9: CORRIENTE ALTERNA ................................................................................................................................... 484

IX. CORRIENTE ALTERNA .............................................................................................................................................. 485

9.1. INTRODUCCION .................................................................................................................................................... 485

9.2. GENERADOR DE CORRIENTE ALTERNA ................................................................................................................. 485

9.3. RELACIONES ENTRE TENSION E INTENSIDAD: ....................................................................................................... 486

9.3.1. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA RESITENCIA....................................................... 486

9.3.2. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA AUTOINDUCCION: ............................................ 487

9.3.3. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD DE UN CONDENSADOR: ................................................. 488

9.4. CIRCUITO RLC EN SERIE: ........................................................................................................................................ 490

9.5. CIRCUITO RLC EN PARALELO: ................................................................................................................................ 493

9.6. RESONANCIA: ....................................................................................................................................................... 495

9.7. POTENCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA: ....................................................................................... 497

9.8. ENERGIA Y COMPONENTE ACTIVA DE L A CORRIENTE: ........................................................................................ 500

9.9. OBJETIVOS, DESCRIPTIVOS SINOPTICA Y OBSERVACIONES: .................................................................................. 501

9.10. PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 504


Ca

pít

ulo

9.



IX. CORRIENTE ALTERNA

9.1. INTRODUCCION

Los circuitos que transportan corrientes que cambian periódicamente en magnitud y sentido, se llaman circuitos de corriente alterna, ó simplemente, circuitos de c.a. Consideramos solamente circuitos en los que la corriente varía sinusoidalmente con el tiempo. El objeto del estudio de los circuitos de c.a consiste en determinar las corrientes, las tensiones, las relaciones de tensión e intensidad y la disipación de potencia.

9.2. GENERADOR DE CORRIENTE ALTERNA

Un generador de corriente alterna, está constituido por una bobina de N espiras y área A, que gira

con velocidad angular en un campo magnético uniforme . La fem indicada, de acuerdo a la ley de Faraday, es:

(9.2-1)

(9.2-2)

(9.2-3)

Siendo La forma más común de corriente alterna es producida en los circuitos por una fem alterna que tiene una diferencia de potencial a través de sus terminales que varía con el tiempo de acuerdo a la expresión descrita por

(9.2-4)

Siendo la amplitud de la fem alterna, la frecuencia angular y f la frecuencia de la diferencia de potencial periódica . La figura (9.2-1) muestra la gráfica de como una función del tiempo t.

Figura (9.2-1) Grafica de la diferencia de potencial , producida por una fem alterna. El vector

rotante , llamado fasor, rota alrededor del circuito de referencia con una velocidad angular .


Ca

pít

ulo

9.



486

La proyección de radio vector sobre el eje es igual a para cualquier instante de tiempo. El radio vector rotante de longitud es llamado fasor y el ángulo t que designa la dirección del

vector respecto a su dirección para t = 0, es llamado fase instantánea de .

9.3. RELACIONES ENTRE TENSION E INTENSIDAD:

La relación de tensión e intensidad en una resistencia, una autoinducción y un condensador se obtiene utilizando la ley de Kirchhoff de voltajes (LKV) , así:

9.3.1. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA RESITENCIA. El circuito de la figura (9.3-1) muestra una resistencia R conectada a una fem alterna . El sentido de la corriente y la diferencia de potencial , a través de la resistencia, se ilustran en la figura (9.3-1-1).

Figura (9.3.1-1)

Resistencia R conectada a una fem alterna.

Usando la ley de Kirchhoff de voltajes (LKV), de acuerdo a la polaridad mostrada, se obtiene:

(9.3.1-1)

(9.3.1-2)

Siendo

la amplitud de la corriente sinusoidal.

Como , se dice que e i están en fase, es decir, el ángulo entre sus fasores es cero. La figura (9.3.1-2) muestra las gráficas de junto con sus respectivos fasores. Los vectores también se denominan vectores generatrices de la tensión y de la intensidad de corriente.


Ca

pít

ulo

9.



Figura (9.3.1-2) Diferencia de potencial a través de un resistor y corriente i a través

del mismo resistor, en función del tiempo. Loas fasores coinciden (están es fase)

9.3.2. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD EN UNA AUTOINDUCCION:

El circuito de la figura (9.3.2-1) muestra un inductor L conectado mediante una fem alterna

. El sentido de la corriente i y el cambio de potencial a través del inductor son como se muestran.

Figura (9.3.2-1) Inductor conectado mediante una fem alterna .

Usando la Ley de Kirchhoff de voltajes (LKV), tenemos:

(9.3.2-1)

(9.3.2-2)

∫ ∫

∫ ( )


Ca

pít

ulo

9.



488

(

)

Siendo

, donde es la reactancia inductiva de un

inductor L en un circuito de c.a.

Por tanto (

) , lo cual significa que la corriente está

atrasada

respecto a la tensión.

La figura (9.3.2-2) muestra las gráficas de para un inductor, junto con sus correspondientes fasores.

Figura (9.3.2-2) diferencia de potencial a través de un inductor Y corriente i a través del mismo inductor, en Función del tiempo. El fasor está atrasado ⁄ Respecto al fasor

en cualquier instante.

9.3.3. RELACION ENTRE LA TENSION Y LA INTENSIDAD DE UN CONDENSADOR:

Consideramos un condensador C conectado a través de una fem alterna , como se ilustra en la figura (9.3.3-1).

Figura (9.3.3-1) Condensador C corriente a través de una fem

alterna .


Ca

pít

ulo

9.



Usando la Ley de voltajes de Kirchhoff, de acuerdo a la polaridad mostrada, obtenemos:

(9.3.3-1)

(9.3.3-2)

(9.3.3-3)

La corriente instantánea a través del condensador es la derivada de q con respecto al tiempo, así:

(

)

(9.3.3-4)

(

)

(9.3.3-5) Siendo

(9.3.3-6) Donde

(9.3.3-7)

Es llamada la reactancia capacitiva del conductor C. De acuerdo a la Ec. (9.3.3-7) la reactancia capacitiva decrece con la frecuencia

La figura (9.3.3-2) muestra la diferencia de potencial a través del condensador, y la corriente a través del mismo en función del tiempo. El fasor adelante en ⁄ al fasor


Ca

pít

ulo

9.



490

9.4. CIRCUITO RLC EN SERIE:

El circuito RLC en serie de la figura (9.4-1) ilustra el uso del diagrama fasorial en un circuito simple de corriente alterna y permite la presentación de algunos conceptos muy usados en circuitos de corriente alterna.

Figura (9.4-1 ) Circuito RLC en serie.

En un circuito RLC en serie, la diferencia de potencial a través de una fem alterna es, en cualquier instante, igual a la suma de las diferencias de potencial, de cada uno de los otros componentes:

(9.4-1)

La corriente i es la misma en cada componente del circuito:

(9.4-2)

El diagrama fasorial del circuito RLC en serie, indicado en la figura (9.4-1), se muestra en la figura (9.4-2), para un instante particular de tiempo cuando el fasor de corriente ha rotado un ángulo a partir de su posición para t = 0. El fasor , está en la misma dirección del fasor de corriente . La proyección de sobre el eje vertical en cualquier instante es igual al valor de . El fasor , está 90° atrasado respecto a para cualquier instante, puesto que se retrasa 90° respecto a la corriente.

Figura (9.4-2) Diagrama fasorial para el circuito RLC indicado

en la figura (9.4-1)


Ca

pít

ulo

9.



El fasor , se adelanta 90° respecto al fasor de corriente para cualquier instante. El fasor que representa la diferencia de potencial a través de la fem alterna es:

(9.4-3)

La magnitud de es:

√ ( )

√( ) ( )

√ ( )

√ (

)

(9.4-4) La impedancia Z del circuito RLC en serie es

√ (

*

(9.4-5) Del diagrama fasorial mostrado en la figura (9.4-2) se puede determinar el ángulo de fase entre el fasor de corriente y el fasor de fem , así:

( )

(9.4-6)

(

*

(9.4-7)

Donde es la reactancia total del circuito. En la figura (9.4-2) es mayor que , por tanto X es positiva y está adelantada respecto a , pero si > , la reactancia X resulta negativa y el diagrama fasorial cambiaría, ya que se

atrasaría res pecto a . El diagrama fasorial mostrado en la figura (9.4-2), se puede representar como se indica en la figura (9.4-3).

Figura (9.4-3) Diagrama fasorial de las tensiones que permite Obtener las sumas de las tensiones en un circuito RLC en serie


Ca

pít

ulo

9.



492

Del diagrama anterior se puede obtener el diagrama fasorial de impedancias mostrado en la figura (9.4-4).

Figura (9.4-4) Diagrama fasorial de impedancias Si > el diagrama fasorial de tensiones para el circuito RLC en serié se ilustra en la figura (9.4-5).

Figura (9.4-5) Diagrama fasorial de tensiones para un circuito RLC en serie, para el caso en que .

Si giramos los diagramas de las figuras (9.3.1-2), (9.3.3-2) y (9.3.3-2) hasta conseguir que los vectores generatrices de la intensidad sean paralelos, y cambiando la escala se obtiene la figura (9.4-6), que muestra la circunferencia generatriz para obtener la solución gráfica del circuito RLC en serie.

Figura (9.4-6) Circunferencia generatriz para obtener la solución gráfica del circuito RLC en serie.


Ca

pít

ulo

9.



El diagrama fasorial correspondiente a la suma de tensiones para el caso en el cual la corriente adelanta a la tensión un ángulo de fase , se muestra en la figura (9.4-7).

Figura (9.4-7)

Dividiendo por , se obtiene el diagrama fasorial para las impedancias, el cual se ilustra gráficamente en la figura (9.4-8).

Figura (9.4-8)

La expresión correspondiente a la intensidad instantánea es:

Donde .

/, es en este caso negativo, lo cual corresponde a una intensidad que

adelanta a la tensión aplicada.

9.5. CIRCUITO RLC EN PARALELO:

Consideraremos el circuito RLC en paralelo mostrado en la figura (9.5-1)

Figura (9.5-1) Circuito RLC en paralelo


Ca

pít

ulo

9.



494

La diferencia de potencial aplicada a todos los elementos es la misma. La amplitud de la intensidad de corriente en cada uno de los elementos componentes se obtiene a partir de las siguientes ecuaciones

| | | |

| |

(9.5-1)

El diagrama de los vectores generatrices de intensidad, se construye teniendo en cuenta que la intensidad en la resistencia está en fase con la tensión aplicada, en tanto que la intensidad en el condensador adelanta a la tensión en y la intensidad en la autoinducción se retrasa , como se muestra (9.5-2).

Figura (9.5-2) Suma vectorial de intensidades en un circuito RLC en paralelo

El valor de , correspondiente a la suma vectorial de las intensidades, se obtiene así:

| | (

*

(9.5-2)

(

*

(9.5-3) Luego:

.

(

*

/

⁄

(9.5-4) De tal manera, que la intensidad instantánea viene dada por

.

(

*

/

⁄

( )

Donde:

(

,


Ca

pít

ulo

9.



Para el caso mostrado en la figura es negativo, lo cual corresponde a una intensidad que se retrasa respecto a la tensión. El diagrama vectorial para los impedancias, se obtiene de la figura (9.5-2), dividiendo por , como se ilustra en la figura (9.5-3).

Figura (9.5-3) Diagrama vectorial de impedancia

9.6. RESONANCIA:

En un circuito RLC en serie, la resonancia se define como la condición que existe cuando la impedancia es puramente resistiva, es decir, cuando la tensión y la corriente están en fase. La impedancia Z de un circuito RLC enserie, depende de la frecuencia f de la fem aplicada, como puede apreciarse en la siguiente ecuación:

√ (

*

√ ( )

(9.6-1) Si Z es puramente resistiva, entonces: Y por tanto la condición de resonancia viene dada por:

(9.6-2)

(9.6-3)

(9.6-4)

√

(9.6-5)


Ca

pít

ulo

9.



496

Siendo la frecuencia particular, llamada frecuencia de resonancia del circuito. Para esta frecuencia de resonancia, la tendencia del inductor a oponerse a todo cambio de corriente, se ve contrarrestada exactamente por la tendencia del condensadora actuar como un almacén de carga. En los circuitos reales, existe siempre alguna resistencia y por tanto la corriente es máxima, pero no infinita cuando se produce resonancia; además, la impedancia se hace mínima. La agudeza del pico de la corriente en función de la frecuencia depende de los valores relativos de R y (o ) a la frecuencia . En la figura (9.6-1) - (a), en donde a la frecuencia son considerablemente mayores que R, la curva de la corriente contra la frecuencia presenta un pico agudo a la frecuencia , como se ilustra en la figura (9.6-1)-(b). En la figura (9.6-2)-(a), se ilustra el caso cuando son pequeñas comparadas con R a la

frecuencia de resonancia . Para este caso el pico de corriente es relativamente ancho, como se ilustra en la figura (9.6 -2)-(b).

Figura (9.6-1)

(a) Resistencia R, reactancia inductiva , y reactancia capacitiva , en función de la

frecuencia f, cuando R es considerablemente menor que y a la frecuencia de

resonancia . (b) Pico agudo de la corriente a la frecuencia de resonancia .

Figura (9.6-2)

(a) Resistencia R, reactancia inductiva , y reactancia capacitiva en función de la

frecuencia f cuando R es considerablemente mayor que y a la frecuencia de de resonancia .

(b) Pico ancho de la corriente a la frecuencia .


Ca

pít

ulo

9.



Para un circuito RLC en paralelo, la frecuencia de resonancia se obtiene de la condición

(9.6-6)

(9.6-7)

√

(9.6-8) Para esta frecuencia de resonancia, la impedancia Z es máxima y por tanto la intensidad es mínima.

9.7. POTENCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA:

La potencia eléctrica instantánea, , disipada en una resistencia de un circuito de corriente alterna , varía con el tiempo, porque la corriente i en la resistencia R cambia con el tiempo. Si se es la corriente instantánea en la resistencia R, podemos expresar la potencia P como:

( )

(9.7-1)

La figura (9.7-1)-(a ) muestra una gráfica de la corriente instantánea i en una resistencia R, en función del tiempo t. La figura (9.7-1)-(b) muestra una gráfica de la potencia eléctrica instantánea P disipada en una resistencia R.

Figura (9.7-1)

(a) Gráfica de la corriente instantánea en una resistencia R, en función del tiempo t. (b) Gráfica de la potencia eléctrica instantánea P.


Ca

pít

ulo

9.



498

El valor promedio <P> de P sobre un número de ciclos, se obtiene de la Ec. (9.7-1) , así:

( )

(9.7-2)

(9.7-3)

Definiendo el valor eficaz de la corriente ( ) mediante

√ √

(9.7-4)

√

√

(9.7-5)

√

(9.7-6)

Reemplazando en la Ec. (9.7-3) se sigue que

(9.7-8)

El valor eficaz de la corriente es igual a la magnitud de la corriente continua que disipa energía térmica en una resistencia R a la misma razón promedio, con que es disipada la energía en una resistencia R por una corriente alterna con amplitud . La realidad entre la corriente eficaz y

la amplitud de corriente alterna se obtiene igualando la cantidad de calor desprendida en un tiempo t, en la resistencia R, tanto por la corriente continua como por la corriente alterna así:

∫

∫ ( )

(9.7-9)

.

∫

/

(9.7-10)

Siendo el valor medio de , el cual se calcula mediante:

∫

∫ (

*

(9.7-11)

∫

∫


Ca

pít

ulo

9.



( )

(

( )

*

(

( )*

(9.7-12) Luego:

√

Análogamente:

√

(9.7-14) Si en un circuito de c.a. la tensión y la intensidad están dadas por:

(9.7-15)

Significa que la tensión y la intensidad, están en fase. Para este caso la potencia instantánea viene dada por:

(9.7-16)

Por tanto, la potencia media está dada por:

(9.7-17) Si en un circuito de c.a. la tensión y la intensidad están dadas por

( ) (9.7-18)

Significa que existe un ángulo de fase entre la intensidad y la tensión. Para este caso la potencia instantánea viene dada por:

( ) ( ( ))

(9.7-19) Por tanto, la potencia media viene dada por:

( )( ( ))

(9.7-20) ( )( )


Ca

pít

ulo

9.



500

√

√

(9.7-21) Donde se denomina factor de Potencia. La potencia media disipada en una autoinducción pura es cero, lo mismo que la potencia media disipada en una capacidad pura, y aque la diferencia de fase entre la tensión y la intensidad es , por tanto, al reemplazar este valor de en la Ec. (9.7-21), encontraremos que

.

9.8. ENERGIA Y COMPONENTE ACTIVA DE L A CORRIENTE:

La figura (9.8-1) representa el diagrama vectorial correspondiente a un circuito RLC conectado a una fuente de tensión alterna.

Figura (9.8-1) Componentes activa y reactiva de la intensidad de

corriente.

El circuito RLC absorbe una corriente y hace girar la tensión un ángulo . La intensidad

puede descomponerse en dos: en fase con la tensión, e en cuadratura (formando 90°)

con ella. es la suma vectorial de .

La potencia absorbida por el circuito es denominada potencia eficaz ó promedio y está dada por:

(9.8-1) Pero

Entonces

(9.8-2)

Siendo la componente energética o activa de la corriente, porque al multiplicarla por la tensión nos da la potencia del circuito. La componente no puede generar potencia alguna, por eso se le llama componente reactiva, la

cual no contribuye a su ministrar potencia al circuito, por consiguiente es conveniente conseguir


Ca

pít

ulo

9.



que sea lo menor posible, o en otras palabras, lograr que el circuito trabaje con un elevado

factor de potencia. Las potencias pueden representarse mediante un triángulo rectángulo, como el mostrado en la figura (9.8-2), llamado TRIANGULO DE POTENCIAS:

Denotando por Z la impedancia equivalente, se tiene:

Factor de potencia

Y, como

( )

( )

( )

En el triángulo de la figura (9.8-2) la hipotenusa representa la potencia aparente, el cateto adyacente la potencia eficaz y el otro cateto la potencia inductiva. Además:

( )

( )

( )

( )

La unidad de Q es el voltamperio reactivo, var, siendo

Si es una potencia inductiva y si es potencia capacitiva.

9.9. OBJETIVOS, DESCRIPTIVOS SINOPTICA Y OBSERVACIONES:

OBJETIVOS : - Determinarlas relaciones entre la corriente y la tensión, teniendo en cuenta sus diagramas fasoriales. - Determinar la corriente en un circuito RLC en serie y RLC en paralelo. - Obtener la frecuencia de resonancia para los circuitos RLC enserie y RLC en paralelo. - Calcular la Potencia promedio disipada y el factor de potencia en un circuito de c.a.

Figura(9.8-2) Triángulo de Potencias.


Ca

pít

ulo

9.



502


RELACIONES ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE

( )

∫

∫

RELACIONES ENTRE LA CORRIENTE Y LA TENSION

∫

( )

∫

( )

Frecuencia angular de Resonancia √

√


Ca

pít

ulo

9.



Magnitud del vector generatriz de corriente

√ ( )

√

(

)

Impedancia características

√ (

)

√

(

)

Potencia media disipada

OBSERVACIONES: - En una resistencia la corriente está en fase con la tensión . - En una autoinducción la corriente se atrasa 90° respecto a la tensión . - En un capacitor la corriente se adelanta 90° respecto a la tensión . - La resonancia se produce en los circuitos en paralelo cuando la corriente resultante y la tensión de la línea están en fase. - La corriente en un circuito RLC en serie, es máxima para la frecuencia de resonancia; por tanto Z es mínima. - La corriente en un circuito RLC en paralelo es mínima para la frecuencia de resonancia y por tanto Z es máxima. - La tensión de la línea de distribución para usos domésticos, de 120 Voltios, corresponde a una

amplitud de 120√ Voltios. - La potencia media disipada en una autoinducción pura o en una capacidad pura es cero. - Los valores eficaces o valores cuadráticos medios de la intensidad y la tensión, se expresan mediante

√

√

Siendo las amplitudes de corriente y tensión respectivamente.


Ca

pít

ulo

9.



504

9.10. PROBLEMAS

8) ( 10.1 K ) Una autoinducción de L henrys y una resistencia de R ohmios están conectadas en

serie con una fuente de tensión alterna de valor

d) Determinar la intensidad i en el circuito y el ángulo de fase entre la tensión de la fuente y la intensidad. Explique el significado del ángulo de fase.

e) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la intensidad en la autoinducción y la intensidad en la resistencia?

f) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la tensión en extremos de la autoinducción y la existente en extremos de la resistencia?

g) Determinar la amplitud de la tensión en extremos de la resistencia y la tensión VL en extremos de la autoinducción.

h) Explique porque | | | | i) Comprobar que se cumple la suma vectorial

Solución

a)

( )

( )

√ ( ) ( (

* *

( (

* *

√ ( )

El ángulo de fase entre la tensión de la fuente y la intensidad es:

(

*

b) ; en serie la corriente es la misma.

c) está atrasado 90° respecto a . ;

d)

√ ( )


Ca

pít

ulo

9.



√ ( )

e) De acuerdo a la desigualdad triangular

| | | | | |

Según propiedad de los vectores: , Lo Cual significa que el vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último.

9) (10.3K)

a) Calcular la reactancia inductiva a 60 ciclos/seg de una autoinducción de 2 H.

b) Calcular la reactancia capacitiva de un condensador de 50 µF a la misma frecuencia.

c) ¿A qué frecuencia tendrían el mismo valor las reactancias de estos dos elementos ?

d) Representar en forma cualitativa la curva de variación con la frecuencia de la reactancia de

ambos elementos.

Solución

a) Reactancia inductiva

⁄

b) Reactancia capacitiva

⁄

c) Reactancia inductiva = Reactancia capacitiva

( )

( )

( )

√

√

10)

(10.5 K ) Una tensión de amplitud de 120 Volts y frecuencia 60 ciclos/seg está aplicada a una resistencia pura de 20 Ohmios. ¿Cuál es el valor eficaz de la tensión aplicada? Determinar la máxima intensidad, sus valores medio y eficaz, y la potencia disipada.

Solución:


Ca

pít

ulo

9.



506

Tensión aplicada:

Luego:

Valor medio de la tensión aplicada:

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Valor medio de la intensidad aplicada:

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Valor eficaz de la tensión:

√

√

Valor eficaz de la corriente:

√

√

Potencia disipada

11) (10.7 K) Se aplica una tensión de 60 ciclos/seg a una resistencia de 400 Ohmios en serie con

un condensador de capacidad desconocida. Un voltímetro de alterna mide 80 Voltios entre los terminales de la fuente y un amperímetro de alterna (de resistencia despreciable) intercalado en el circuito indica 0,1 Amperios.

Calcular:

a) Impedancia del circuito

b) Potencia disipada.

c) Valor del condensador.

Solución:

a) Impedancia del oscilador:

b) Potencia disipada:

(

√ * (

√ *

c) Cálculo de C:


Ca

pít

ulo

9.



√ (

*

(

*

(

*

(

*

( )

√

√

12) (10.9 K) Calcular el valor eficaz de una tensión dada por la expresión:

Solución:

Sea √

√∫

√ (

* √∫

√ (

*

√

√4√ (

*5

4√ (

*5

√

13) (10.11 K) Al circuito paralelo indicado en la figura anexa se le aplica una tensión de amplitud Vg.

a) ¿Para qué frecuencia angular la intensidad en el condensador C tiene el mismo valor

que la autoinducción L?

b) ¿Para qué frecuencias angulares la intensidad a través de la fuente de alterna será

máxima, y para cual mínima?

c) ¿Para qué frecuencias la intensidad que pasa por la fuente tendrá el valor doble del

mínimo?

Solución:

a)


Ca

pít

ulo

9.



508

√

b) √

(

)

(

*

√

c) √

(

)

√

(

*

(

*

(

*

√

√ √

√

√ √

√ √

Dividiendo numerador y denominador por R:

√ √

14) (8.1 P) ¿Cuál debe ser el valor de una inductancia en henry, que al conectar la en serie con una bombilla de 120. Voltios, 60 watt, ésta actúa normalmente cuando la combinación se conecta a una línea de 240 Volt, 60 ciclos por segundo? (Determine primero la reactancia inductiva necesaria. Puede despreciarse la resistencia del inductor y la inductancia de la bombilla).

Solución:

La corriente se determina a partir de la potencia, de la siguiente manera:


Ca

pít

ulo

9.



La resistencia se obtiene a partir de la Ley de Ohm, así

Además:

√

√ ( )

( ( ) )

( ) ( *

√( *

√(

*

15) (8.2 P) Una resistencia de 2.000 Ohmios y un

condensador de un microfaradio se conectan en serie a una línea de 120 Voltios (eficaz), 60 cps (ciclos/segundo).

a) ¿Cuál es la impedancia?

b) ¿Cuál es el valor eficaz de la corriente?

c) ¿Cuál es la potencia disipada en el circuito?

d) ¿Qué leemos en un voltímetro de C.A.

conectado a los bornes de la resistencia?

¿y en el condensador?

Solución:

a) √

√ √

b)

c)

( )

d)

16) (8.3 P) Una resistencia de 1.000 Ohmios, un condensador de 500 picofaradios y un inductor de 2 mH (mili-Henrio) se conectan en paralelo. ¿Cuál es la impedancia de la combinación a


Ca

pít

ulo

9.



510

una frecuencia de 10 Kc/seg? ¿Ya una frecuencia de 10 Mc/seg? ¿Cuál es la frecuencia a la cual el valor absoluto de la impedancia es mayor?

1 Kc/seg (Kilociclo/segundo) = 103 ciclos/seg.

1 Kc/seg (Megaciclo/segundo) = 106 ciclos/seg.

Solución:

a) Determinación de la impedancia para una frecuencia de 10 Kc/seg:

√

(

*

Pero: R = 1.000 Ω

( )

Entonces:

√

(

*

√

( )

√

b) Determinación de la impedancia para una frecuencia de 10 Mc/seg

√

(

*

Pero: R = 1.000 Ω

( )

Entonces:

√

(

*

√

( )

√ √

c) El valor absoluto de la impedancia es mayor para


Ca

pít

ulo

9.



√

√ √

La impedancia máxima está dada por:

| |

17) (7.21 S) Un circuito con dos elementos en serie, con R = 20 Ω y L = 20 mH, tiene una impedancia de .

Determinar el ángulo y la frecuencia.

Solución:

Debemos tener en cuenta que un fasor puede escribirse como un número complejo, usando una de las siguientes notaciones:

Forma polar:

Forma Rectangular:

Forma Exponencial:

Además si se tienen dos nùmeros complejos escritos en forma polar:

, su producto está dado por

y su cociente está dado por

Para sumar o sustraer fasores se utiliza la forma rectangular. En e l p r o b l e m a que nos ocupa

Escribiendo en forma rectangular, se tiene:

Por tanto, igualando las partes reales y las partes imaginarias se obtiene:

Ec. (1)

Ec. (2)

De Ec. (1):

(

)

De Ec. (2):


Ca

pít

ulo

9.



512

18) (7.22 S) Determínese la impedancia del circuito RL en serie, con y , si .

Solución:

que puede escribirse en forma polar como:

√

19) (7.23 S) Una resistencia de 25 Ω está en serie con un segundo elemento del circuito; la frecuencia del circuito es de 500 Hz.

Encuentre el elemento si la corriente

a) atrasa al voltaje aplicado por

b) adelanta por .

Solución:

a) Por definición:

( )

Ec. (1)

Para la conexión en serie, la impedancia equivalente está dada por

Ec. (2)

Igualando las partes reales de Ec. (1 ) y Ec.( 2 ) se sigue que:

Igualando las partes imaginarias de Ec. (1 ) y Ec.( 2 ) se sigue que:

b) Por definición:


Ca

pít

ulo

9.



( )

( )

Ec. (1)

Para la conexión en serie, la impedancia equivalente está dada por

Ec. (2)

Igualando las partes imaginarias de Ec. (1 ) y Ec.( 2 ) se sigue que:

Ca

pít

ulo

6.

U n i v e r s i d a d I n d u s t r i a l

d e S a n t a n d e r




Resumen: Para finalizar nuestro recorrido por el mundo del electromagnetismo, tenemos el presente capitulo en el cual se consuman los conocimientos de los capítulos previos y los cuales fueron resumidos en 4 ecuaciones básicas por el físico Ingles James Clerck Maxwell. Las cuatro ecuaciones que llevan su nombre, reúnen los postulados de Coulomb, Ampere, Gauss y Faraday principalmente y que permiten describir el comportamiento de los campos electromagnéticos

Ca

pít

ulo

10

ECUACIONES DE MAXWELL Cap. 10



Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

515





Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

516

Capítulo10: ECUACIONES DE MAXWELL

CAPÍTULO10: ECUACIONES DE MAXWELL ........................................................................................................................ 516

X. ECUACIONES DE MAXWELL ..................................................................................................................................... 517

10.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 517

10.2 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ........................................................................................................................ 517

10.3 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL:............................................................................................... 519





1 LA PRIMERA HIPÓTESIS: LA CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ............................................................................... 520

10.4 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL: .......................................................................................... 521





10.5 ECUACION DE ONDA: ............................................................................................................................................ 523

10.6 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES: ................................................................................... 526

10.7 PROBLEMAS .......................................................................................................................................................... 528

10.8 MODELOS DE EVALUACIONES............................................................................................................................... 532


2 OBSERVACIÓN ........................................................................................................................................................ 533

9.8.2 MODELO DE EVALUACION No 2( 4P ) ......................................................................................................... 536





Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

517

X. ECUACIONES DE MAXWELL

10.1 INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones de Maxwell, representas expresiones matemáticas de ciertos resultados experimentales. Las leyes que rigen los fenómenos relacionados con la electrostática y la magnetostática, se puede derivas de las cuatro leyes de Maxwell. En 1865, maxwell publicó una teoría unificada y coherente de los fenómenos de electricidad y magnetismo aparentemente desconectados entre sí. Por tal motivo, las ecuaciones de Maxwell constituyen una descripción completa y cuantitativa de todos los fenómenos electro-magnéticos. La primera ecuación de Maxwell fue deducida de la ley de Gauss para el campo eléctrico; la segunda fue deducida de la ley de Gauss para el campo magnético; la tercera es una generalización de la ley de Faraday, y la cuarta ecuación de Maxwell, es una generalización de la ley de Ampere, que lo condujo al postulado de la transmisión de la energía por medio de las ondas electromagnéticas. El término que adicionó Maxwell a la ley de Ampere, lo llamó corriente de desplazamiento, cuyo significado teórico, constituyó un paso muy atrevido, que aseguró l inmortalidad de James Clerck Maxwell. Sin la corriente de desplazamiento, las ecuaciones de Maxwell no admiten soluciones correspondientes a ondas electromagnéticas. Maxwell, predijo teóricamente la existencia de las ondas electromagnéticas, y llegó a la conclusión de que la luz misma es una onda electromagnética. Pero correspondió a Heinrich Hertz, la confirmación de esas predicciones, al generar y detectar ondas electromagnéticas.

Las ecuaciones de Maxwell, tienen las propiedades generales de ser lineales y homogéneas en y

en . En este capítulo se analizan el origen de la corriente de desplazamiento y las ecuaciones de Maxwell en forma integral y diferencial.

10.2 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

Figura 10.2-1 Aplicación de la Ley de Ampere a un circuito constituido por un conductor continúo.

Maxwell demostró que existe una inconsistencia en la ley de Ampere, cuando se aplica a situaciones relacionadas con campos eléctricos que dependen del tiempo.

Ca

pít

ulo

6.




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

518

La figura (10.2-1) muestra un alambre que transporta una corriente suministrada por una batería. Aplicando la Ley de Ampere, se sigue que:

∮ ∫ ( )

∮

∫

∮

∫

( )

Como puede apreciarse la integral sobre cualquiera de las dos superficies, tiene el mismo valor, es decir, en ambos casos la integral de superficie es igual a la corriente i. La dificultas en el caso de la Ley de Ampere, se presenta cuando la corriente no fluye de manera continua en un circuito conductor. La figura (10.2-2) muestra el caso en que los bornes de una batería en un instante determinado, se conecta a un condensador de placas planas paralelas y no a un alambre continuo.

Figura 10.2-2 Aplicación de la Ley de Ampere a un circuito con un condensador de placas

paralelas. La corriente fluirá por los terminales de la batería hacia el condensador a medida que se carga, hasta que el voltaje entre las placas del condensador se iguale al voltaje de la batería. Para determinar el campo magnético alrededor de un alambre conector se puede aplicar la Ley de Ampere a la curva cerrada mostrada en la figura (10.2-2), así:

∮

∫

∫

( )

Pero:

∮

∫ ( )




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

519

Puesto que la densidad de corriente j es cero en cualquier parte sobre la superficie . Es decir, no fluye carga a través del espacio vacío entre las placas del condensador y por tanto la ley de Ampere es inconsistente. Maxwell descubrió que esa inconsistencia se podría evitar añadiendo un segundo miembro a la Ec. (10.2-11), que tendría en cuenta el cambio del campo eléctrico en el espacio entre las placas del condensador a medida que fluye carga a través de los alambres conectores. Esto le permitió formular la hipótesis más importante: El término introducido por Maxwell se: denomina corriente de desplazamiento y está dada por:

∫

( )

Por tanto, la generalización que hizo Maxwell de la ley de Ampere es:

∮

.∫

∫

/ ( )

En la Ec. (10. 2-6) la expresión

∫

Se denomina corriente de conducción. En el vacío la corriente de desplazamiento no describe ningún movimiento de carga. Pero posee la propiedad esencial de las corrientes eléctricas, de tener asociado un campo magnético.

10.3 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL:

Las ecuaciones de Maxwell en forma integral son:

- LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO:

∫

( )

- LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO:

∫

( )

- LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY:

∮

∫

( )




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

520

- LEY DE AMPERE GENERALIZADA POR MAXWELL:

∮ ( * .

∫

/

.

∮ .∫

∫

/

∮ ( ) ( )

La Ec. (10. 3-1) establece que el flujo de campo eléctrico que atraviesa cualquier superficie

cerrada, es igual al factor ( ⁄ ) multiplicado por la carga neta encerrada por la superficie

hipotética gaussiana. La Ec. (10. 3-2) establece que el flujo del vector de inducción magnética es cero a través de cualquier superficie cerrada. Esta ecuación pone de manifiesto que no existen monopolos magnéticos. La Ec. (10. 3-3) establece que la integral del campo eléctrico a lo largo de cualquier curva cerrada, es igual a la variación del flujo magnético por unidad de tiempo, a través de cualquier superficie es limitada por la curva.

La Ec. (10.3-4) establece, que la integral curvilínea de la inducción magnética a lo largo de cualquier curva cerrada, es igual a multiplicada por la corriente que atraviesa un área cualquiera

limitada por la curva, más el factor ( ) multiplicado por la derivada respecto al tiempo del flujo

eléctrico a través de la misma curva. Las ecuaciones de Maxwell, para el caso especial del espacio libre, en donde la densidad de corriente j y la densidad de carga son cero, se expresan en forma integral mediante:

∫

( )

∫

( )

∮

∫

( )

1 La primera Hipótesis: La Corriente de desplazamiento

"Un campo eléctrico que varía con el tiempo puede dar origen a un campo magnético, aún en ausencia de corrientes eléctricas".




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

521

∮

∫

( )

Que pueden escribirse en la forma:

∫

( )

∫

( )

∮

∫

( )

∮

∫

( )

10.4 ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL: Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, en ausencia de materiales dieléctricos o magnéticos, se enuncian de la siguiente manera:

- LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO:

( )

- LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNETICO:

( )

- LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY:

( )

- LEY DE AMPERE GENERALIZADA POR MAXWELL:

.

/ ( )

La Ec. (10. 4-1) puede obtenerse de la Ec. (10. 3-1), haciendo uso del teorema de la divergencia. El teorema de la divergencia establece que la integral de la divergencia de un vector sobre un volumen V, es igual a la integral de superficie de la componente normal del vector sobre la superficie que limita V, así:




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

522

∫ ( )

∮

( )

Por tanto, la Ec.(10. 3-1) puede escribirse como:

∮

∫( )

( )

∫( )

∫

( )

La Ec. (10. 4-7) debe ser válida para cualquier volumen V, por tanto, la única forma para que esto pueda ser cierto es que los integrandos del primero y segundo miembro sean iguales, luego se cumple:

( )

La Ec. (10. 4-3) puede obtenerse de la Ec.(10. 3-3), usando el teorema de Stokes, el cual establece que la integral de línea de un vector alrededor de una curva cerrada, es igual a la integral de la componente normal de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por la curva, así:

∮ ∫( ) ( )

Luego la Ec. (10. 3-3) puede escribirse como:

∮ ∫( )

∫ ( )

∫( ) ∫

( )

Como esto debe suceder para todas las superficies S, se desprende que

( )

Las ecuaciones de Maxwell, para el caso especial del espacio libre, en donde la densidad de corriente j y la densidad de carga P son cero, se expresan en forma diferencial, mediante:

( )

( )




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

523

( )

( )

También se acostumbra a expresarlas en la forma:

( )

( )

( )

( )

10.5 ECUACION DE ONDA: La ecuación de una onda electromagnética en su forma más general, se deduce de las ecuaciones de Maxwell, que para un medio isotrópico, homogéneo y lineal (no ferro-eléctrico no ferro-magnético) en reposo, se expresan mediante:

( )

( )

( )

.

/ ( )

Teniendo en cuenta que la ley de Ohm se puede expresar como:

( )

Siendo la conductividad del medio, la Ec. (10. 5-4) puede escribirse como:

.

/ ( )

Para obtener la ecuación diferencial de onda, formamos las segundas derivadas respecto a las variables del espacio, tomando el rotacional de la Ec. (10. 5 - 6), así:




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

524

( ) ( )

( ) ( )

Usando la Ec. (10.5-3) e intercambiando las derivadas respecto al espacio y al tiempo, se obtiene:

( )

( )

Se sigue que:

( )

( )

Usando la Ec. (10.5-2) se obtiene:

( )

Similarmente, tomando el rotacional de la Ec. (10. 5 - 3), tenemos:

( )

( ) ( )

Usando la Ec. (10. 5 - 6) se obtiene:

( )

.

/ ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) Se sigue que:

( )

( )

Usando la Ec. (10. 5 - 1), se obtiene:

(

) ( )

Para un medio no cargado , entonces:

( )




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

525

Las ecuaciones (10. 5 - 10) y (10. 5 - 17) se conocen como ecuaciones de la telegrafía. Para el caso de medios no conductores y las ecuaciones que resultan son:

( )

( )

Para un medio especial no conductor del vacío donde

Las ecuaciones correspondientes a las ecuaciones diferenciales de onda de los campos magnético y eléctrico son:

( )

( )




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

526

10.6 OBJETIVOS, DESCRIPCION SINOPTICA Y OBSERVACIONES:

ECUACIONES BASICAS DEL ELECTROMAGNETISMO

(Ecuaciones de Maxwell)*

NOMBRE ECUACION INTEGRAL ECUACION DIFERENCIAL

Ley de Gauss para el

campo eléctrico ∫

Ley de Gauss para el

campo magnético. ∫

Ley de inducción de

Faraday. ∮ 𝛟

∫

Ley de Ampere

generalizada por

Maxwell. ∮ .

∫

/ .

/

Densidad de desplazamiento ∫

Ley de Ohm

* Se ha asumido que no hay materiales dieléctricos ni

magnéticos presentes.

DESCRIPCION

SINOPTICA




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

527




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

528

10.7 PROBLEMAS 1. ( 12.1 K ) Partiendo de las Ecuaciones:

( )

( )

Que relacionan las variaciones espaciales y temporales de y , demostrar que:

Solución: Derivando la Ec. (2) respecto a x, se sigue que:

( )

Derivando la Ec. (1) respecto a t, se obtiene:

( )

Teniendo en cuenta que es una función que se comporta bien, las derivadas respecto al espacio y al tiempo se pueden intercambiar, entonces, la Ec. (4) puede escribirse mediante:

( )

Reemplazando la Ec. (5) en la Ec. (3):

.

/

2. ( 12.3 K) Un generador de alterna esta conectado a un generador plano cuyas armaduras son

discos circulares de área A. Como consecuencia, la carga sobre las placas vale

( ) . Las líneas de debidas a la corriente de desplazamiento son circunferencias cuyo centro se halla sobre el eje de simetría del condensador. Demostrar que la intensidad del campo magnético en un punto situado entre las placas viene dada por la expresión:

( )




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

529

Solución:

Si A es el área de cada placa y q la carga en ella, entonces el campo eléctrico está dado por

Cuando la carga varía el campo eléctrico cambia, entonces:

( ) ( )

Además, de la ley circuital de Ampere

∮ ( ) ( )

Igualando las ecuaciones (1) y (2), se obtiene

( ) ( )

( )

Multiplicando y dividiendo el denominador por e l área , se tiene:

( )

(

)

( )

3. ( 23.1 M ) Las placas paralelas circulares de un capacitor tienen 0,25 m

2 de área. Si el campo

eléctrico entre las placas cambia a razón de

V/m-s.

Determine la corriente de desplazamiento, suponiendo que la región entre las placas contiene aire.

Solución: Para un condensador de placas paralelas, el campo eléctrico está dado por




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

530

Derivando respecto al tiempo

Teniendo en cuenta que la constante dieléctrica para el aire es K = 1,00059, se obtiene:

4. ( 23.7 M ) Hay un campo eléctrico paralelo al eje de un volumen cilíndrico de radio R, que está

vacío. El campo es espacialmente uniforme pero varía en el tiempo según ( ).

Evalué el campo magnético inducido en función de r y t, en que r es la distancia desde el eje de la cavidad.

Solución: La corriente de desplazamiento está dada por:

( )

Pero, la ley circuital de Ampere

∮ ( )

Entonces, reemplazando la Ec. (1) en la Ec. (2), se obtiene:

∮

∮ ( ) ( )

( )

(

) ( ( ))

( )

5. (23.9 M ) Un capacitor de placas circulares paralelas contiene un dieléctrico de permitividad

y su capacitancia es C. Si la diferencia de potencial entre placas es ( ), obtenga una expresión para la corriente de desplazamiento. Se supone que el campo es uniforme en la región entre las placas.




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

531

Solución: Por definición de capacidad de un condensador:

Derivando respecto al tiempo:

( )

( )




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

532

10.8 MODELOS DE EVALUACIONES

9.8.1 MODELO DE EVALUACION No 1 ( 4P )

1. Un solenoide de sección transversal circular con radio R mts, longitud y N vueltas posee

una corriente de conducción i amperios. El interior (núcleo) de este solenoide se llena

totalmente de una sustancia magnética. Complete las siguientes expresiones para el caso

enunciado, justificando su respuesta.

Solución: *

∫

Corresponde a la ley de Gauss para el campo magnético. Indica que las líneas de campo que entran a cualquier superficie cerrada S, también deben salir de esa superficie por alguna parte.

∫

La corriente de magnetización siempre se puede expresar mediante la

integral de línea de

∮

Corresponde a la Ley de Ampere en términos de la intensidad

magnética y de la corriente total de conducción

∮ ( )

( )

La ley de Ampere para sistemas que contienen materiales magnetizables.

* Completar las expresiones, consiste en escribir el miembro de la derecha de cada

ecuación.

2.

a) Defina mediante una expresión algebraica el concepto de magnetización y explique como

se relaciona con el concepto de corriente

Solución:

o también




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

533

b) En términos de la susceptibilidad magnética cuándo un material se considera

paramagnético.

Solución:

Un material se considera paramagnético . Por lo general .

c) Evalúe la expresión:

∮ , para el caso mostrado

Dónde:

( ) ( ) ( ) ( )

Solución:

Usando la Ley de Ampere:

∮ ( )

3. Las circunferencias punteadas representan la dirección en cada caso de uno de los vectores

ó en un punto cualquiera de un material magnético de forma circular. Diga en cada caso

a cuál de ellos corresponde cada una de las figuras.

Material Magnético

Solución:

En la figura1 las líneas, pertenecientes a las circunferencias punteadas corresponden a .

En la figura2 las líneas punteadas representan la dirección del vector .

2 Observación

Si el material magnético es hierro, en el entrehierro las líneas dibujadas pueden corresponder a B, pero nunca a M, por cuanto M solo existe donde hay materia.




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

534

4. A partir de las unidades en el sistema MKS de . y . de muestre que las unidades del

producto BH corresponden a las de energía por unidad de volumen.

Solución: La densidad magnética está dada por:

⁄

⁄

BH en unidades:

( ⁄ ) (

⁄ )

BH tiene las unidades de densidad de energía magnética:

5. Determinar el sentido de la corriente inducida en cada espira. Justifique su respuesta.

Solución:

a) Para un observador situado al frente del dibujo:

Es decir: En sentido antihorario, por tanto , o sea, en sentido contrario a como giran las agujas del reloj.

b) Para un observador situado en la parte superior:

Es decir: En sentido horario, por tanto .

c)




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

535

6. Determinar el coeficiente de auto-inducción por unidad de longitud y la energía magnética

almacenada por unidad de longitud para un cable coaxial. Considere los conductores como

cascarones cilíndricos de radios a y b, y corrientes como se indican en la figura.

Solución: Cálculo de la Autoinducción:

∫

∫

∫

∫

⟨ ⟩

Cálculo de la Energía Magnética almacenada por unidad de Longitud:

∫

∫

∫

( )

∫ (

*

∫




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

536

9.8.2 MODELO DE EVALUACION No 2( 4P )

1. En la figura se observa un alambre rectilíneo de longitud infinita que lleva una corriente

, en el sentido indicado, en un instante dado. Junto al alambre se coloca, a

una distancia d, una espira rectangular de dimensiones axb y resistencia R. El alambre

está en el mismo plano de la espira.

a) Determine la expresión para el

coeficiente de inducción mutua del

sistema.

b) Halle el valor de la corriente inducida

en el circuito rectangular.

c) Para el sentido de la corriente I,

mostrado en la figura y considerando

que en ese momento su valor está

disminuyendo, indique en la espira el

sentido de la corriente inducida.

Justifique su respuesta.

Solución:

a)

∫

∫

∫

∫

( )

(

*

b)

(

(

*+

Pero ,

(

(

*+

( )

(

(

*+ ( )




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

537

c)

Porque se dirige al observador y

ya que la corriente disminuye, entonces y

por tanto , es decir en sentido antihorario.

2. Calcular la potencia activa P (potencia media) en un circuito en el que se cumple que:

( ) ( )

Solución:

( ) ( ) > =

3. Un condensador plano de área A y separación d entre placas está lleno de un dieléctrico

de constante K. Si el condensador se conecta a una fuente de voltaje ( )

calcular:

a) Densidad de corriente de

desplazamiento

b) Corriente de desplazamiento.

c) Cuál es su corriente de

conducción en los alambres.

Solución:

a) cálculo de la densidad de corriente de desplazamiento:

(

*

b) Cálculo de la corriente de desplazamiento:

c) Corriente de conducción:

(

⁄ )

(

)

La fase π/2 es debida a que la corriente adelanta en este valor al voltaje.




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

538

O también:

( )

4. Una bobina de inductancia L, un condensador y una FEM de corriente alterna

( ) , están conectados en serie. La bobina tiene resistencia intrínseca

(propia) R y resistencia (para la frecuencia dada) igual al doble de la reactancia del

condensador.

a) Obtenga el valor de la amplitud de la corriente en el condensador.

b) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?

c) Halle el ángulo de desfasamiento entre la corriente y el voltaje de la fuente y diga si

este está atrasado o adelantado con respecto a la corriente.

d) Halle la amplitud del voltaje aplicado entre los extremos de la bobina.

Solución:

a) cálculo de la amplitud de corriente:

√ ( )

√ (

)

√ ( )

b) Cálculo de la frecuencia de resonancia:

La frecuencia de resonancia se obtiene cuando

√

c) cálculo de la diferencia de fase entre la corriente y la tensión:




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

539

(

*

La corriente está atrasada respecto a la tensión dicho ángulo.

d) Amplitud de voltaje en los extremos de la bobina.

( )

√ ( )

√ ( )

√( )




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

540

9.8.3 MODELO DE EVALUACION No 3 ( 4P )

1.

a) Una bonina de 50 vueltas con sección circular de radio 0,1 mt., está colocada con un

eje longitudinal paralelo a su campo magnético uniforme de magnitud B = 1,5

Weber/m2. Si a l cabo de 0,2 segundos, el campo magnético duplica su magnitud y

gira 180° respecto a la orientación inicial, calcule la FEM inducida.

Solución:

.

/

Pero

⁄ ⁄

⁄ ( ) ⁄ ( )

( ) ( )

b) En el caso anterior, calcule la FEM inducida si el campo se mantiene invariable, pero

al cabo de 0,2 segundos la bobina rota 180° sobre su propio eje longitudinal.

Solución:

.

/

⁄ ( )

2. Halle la impedancia total y la fase del circuito mostrado en la figura, sabiendo que origina,

entre los puntos n y m, una caída de potencial que está atrasada una fase de π/2 rad

respecto a la corriente.




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

541

Solución:

√

(

*

3. La ley de inducción electromagnética (ley de Faraday) se puede escribir

∮

∫

Explique la relación existente entre el contorno cerrado C de la parte izquierda de la ecuación y el área S a través de la cual se calcula el flujo magnético (parte derecha de la ecuación) Solución:

C es la trayectoria que limita la superficie S a través de la cual se determina el flujo magnético.

4. La figura representa dos circuitos colocados en e l plano del papel, uno cerca del otro. El

circuito A consta de una espira, una batería y una resistencia eléctrica variable. El circuito

B consta de una espira.

Dibuje y explique el sentido de la corriente inducida en el circuito B:

a) Si R se aumenta,

b) Si se abre el interruptor S

c) Si, luego de haber invertido la polaridad de la batería, la resistencia R aumenta.

Solución:

a) Si R aumenta, entonces i disminuye, por tanto ;




Ca

pít

ulo

10

.

Ca

pít

ulo

6.

542

b) Al abrir el interruptor S, la corriente i disminuye hasta e l valor cero,

Entonces:

c) Si R aumenta, entonces i disminuye, luego:

5. Dado el circuito RLC serie, con una fuente de tensión alterna de la forma

( ) ( ) . Hallar: La caída de potencial en la resistencia, en la

capacitancia y en la inductancia. Calcule la potencia promedio disipada por el circuito.

¿Para qué frecuencia habrá resonancia en el circuito? Solución:

( )

√ ( )

( )

√ (

)

Por tanto:

( )

( )




Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

10

.

543

( )

( )( ) ( )

( ) ( ⁄ )

( ) ( )

( ⁄ )

La frecuencia de resonancia se obtiene cuando

√

√

√

⁄

⁄

6. Exprese las ecuaciones de Maxwell para el vacío, y dé el significado físico de cada una de

ellas.

Solución:

FORMA INTEGRAL FORMA DIFERENCIAL SIGNIFICADO

∫

En ausencia de cargas

∫

El flujo magnético que atraviesa – una superficie cerrada es cero. Significa que no existen monopolos Magnéticos.

∮

∫

La variación con el tiempo del

campo induce una fem.

∮

.

∫

/ .

/

La variación de un campo eléctrico en el tiempo, origina una corriente de desplazamiento de Maxwell y a

su vez ésta induce un campo .

Ca

pít

ulo

6.

ANEXOS

ANEXOS ........................................................................................................................................................................... 544

MODELOS DE EVALUACIÓN DEL PRIMER PARCIAL: .......................................................................................................................... 545





MODELOS DE EVALUACIÓN DEL SEGUNDO PARCIAL: ....................................................................................................................... 567

MODELO No.1 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .............................................................. 569




MODELOS DE EVALUACIÓN DEL TERCER PARCIAL: .......................................................................................................................... 591

MODELO No.1 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO .................................................................. 592






BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................................. 612

PRIMER PARCIAL: .................................................................................................................................................................... 612

SEGUNDO PARCIAL: ................................................................................................................................................................. 613

TERCER PARCIAL:..................................................................................................................................................................... 614

Ca

pít

ulo

6.

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

45

Modelos de Evaluación del Primer Parcial:

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

46

MODELO No.1 DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO

1. Una esfera conductora de radio a se encuentra rodeada concéntricamente por una

esfera hueca dieléctrica de radios b y c. Si la esfera interna posee una carga Q y la esfera

hueca tiene una carga 2Q uniformemente distribuida en su volumen, encuentre: a) La magnitud del campo eléctrico para puntos ubicados fuera de la esfera hueca.

b)La distancia medida desde el centro de la esfera conductora, tal que la magnitud del

campo es cero.

SOLUCION:

a) Para r > c:

De la ley de Gauss se sigue que:

00

3

QqAdE neta

200

2

4

33)4(

r

QE

QrE

b) El campo eléctrico es nulo para puntos dentro del conductor, es decir para r < a.

Otra posibilidad de que el campo eléctrico sea cero es en el infinito, en cuyo caso r .

2. Dos cargas puntuales Q y –Q se encuentran en los puntos P1(-1,0) y P2(1,0)

respectivamente. Determinar:

a) El vector de campo eléctrico en el punto P(0,0).

Q

2Q

a

b c

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

47

b) Las coordenadas donde se debe ubicar una tercer carga –Q para que el campo en el

punto P(0,0) sea cero.

SOLUCION:

a) El vector de campo eléctrico en el punto P(0,0) está dado por:

iQkiQ

kiQ

kEEE eeeˆ2ˆ

1ˆ

1 2221

b) Las coordenadas donde se puede ubicar una tercera carga –Q para que el campo en el

punto (0,0) sea cero, se obtiene considerando que la superposición de los campos es cero,

así:

02:02

Qkr

QkE ee

El primer término corresponde al valor del campo eléctrico producido por la carga –Q, la

cual debe contrarrestar al campo eléctrico resultante obtenido en la parte a).

Luego:

2

22

12

rr

Se escoge el valor negativo, debido a que la carga debe colocarse a la izquierda del punto

P(0,0), para que los campos se contrarresten.

3. Un alambre de longitud infinita posee una densidad de carga lineal constante. Una

superficie cerrada encierra parte del alambre, como se muestra en la figura. Para cuáles

superficies Sa, Sb y Sc se cumple que:

a) El flujo eléctrico es cero

b) El campo eléctrico es cero.

c) La magnitud del campo eléctrico es constante.

d) La magnitud del campo eléctrico es variable.

+++++++++++++++++++++

++++ Sa

Sb

Sc

-Q Q

(0,0

)

E1

E2

E

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

48

SOLUCION:

a) El flujo eléctrico es cero enlas superficies Sa y Sb, por cuanto el vector de campo

eléctrico forma un ángulo de 900 con el vector área.

b) En todas las superficies hay campo eléctrico.

c) La magnitud del campo eléctrico es constante sobre los puntos que forman la superfcie

Sc, porque se encuentran a la misma distancia de la línea de carga de densidad constante.

d) La magnitud del campo eléctrico es variable en las superficies Sa y Sb. Obsérvese que

el campo eléctrico varía con el inverso de la distancia que en este caso particular

corresponde al valor de r.

4. La figura muestra las líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales separadas

una pequeña distancia. Determine:

a) La proporción Q1/Q2.

b) Cuáles son los signos de Q1 y Q2.

SOLUCION:

a) El flujo que sale de Q1 es:

180

1

Q

El flujo que entra a Q2 es:

Q1

Q2

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

49

60

2

Q

Luego dividiendo la primera ecuación por la segunda se obtiene:

36

18

2

1 Q

Q

b) Como las línea de campo eléctrico salen de una carga positiva, se concluye que Q1 es

positiva y Q2 es negativa, ya que las líneas de campo entran a una carga negativa.

5. La figura muestra una distribución de carga lineal constante. Si una carga de prueba se

ubica en los puntos P0 primero y P1 después, en qué dirección se mueve en cada caso.

SOLUCION:

Cuando la carga de prueba se coloca en P0 el arco de circunferencia que tiene carga

positiva ejercerá una fuerza de repulsión y el arco de carga negativa ejercerá una fuerza

de atracción como se indica a continuación:

En P1 ocurre algo similar. El siguiente gráfico ilustra la dirección y sentido del campo

eléctrico resultante de las contribuciones de los dos arcos de densidad de carga contraria.

E+

E_

+++

+

_ __

__

+_

P0

P1

E+

E_

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

50

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

51


1. En la figura se muestra una semicircunferencia de radio a y una línea de longitud 2 a ,

que tienen densidad lineal uniforme de carga (C/m). Calcular el campo eléctrico en el

centro del semicírculo.

SOLUCION:

De acuerdo al principio de superposición, el campo eléctrico está dado por la suma de las

dos contribuciones: la de la semicircunferencia (E 1) y la de la recta (E2).

21 EEE

Pero :

addlja

dlkEd e ;ˆcos

21

ja

kjd

a

kE ee ˆ

2/

2/senˆcos

2/

2/

1

ja

kE e ˆ

21

La contribución al campo debida a la semirecta de carga es:

)ˆ(22 i

x

dxkdE e

)ˆ(3

1)ˆ(

13

22 ia

axki

x

dxkE e

a

a

e

)ˆ(3

2)ˆ(

1

3

12 i

aki

aakE ee

a 2a

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

52

Luego:

C

Ni

akj

akE ee

ˆ

3

2ˆ2

2. Cuatro cargas están ubicadas en los vértices de un cuadrado de lado a, como se

muestra en la figura anexa. Calcular:

a) La energía de ensamble del sistema.

b) La fuerza total ejercida sobre la carga –3Q.

SOLUCION:

a) La energía de ensamble de un sistema de 4 partículas está dada por:

4

1

4

12

1

iij

j ij

ji

er

qqkU

4

1 4

4

3

3

2

2

1

1

2

1

i i

i

i

i

i

i

i

ie

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqkU

12

21

41

14

31

13

21

12

2

1

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqkU e

43

34

23

32

13

31

42

24

32

23

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

34

43

24

42

14

41

r

qq

r

qq

r

qq

Agrupando términos semejantes se obtiene:

Q

Q

-3Q

x

y

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

53

23

32

14

41

13

31

12

21 22222

1

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqkU e

34

43

24

42 22r

qq

r

qq

Simplificando por 2 se obtiene:

23

32

14

41

13

31

12

21

r

qq

r

qq

r

qq

r

qqkU e

34

43

24

42

r

qq

r

qq

Empezando por el vértice izquierdo del cuadrado podemos hacer las siguientes

denotaciones para las cargas:

QqQqQqQq 2;3;; 4321

2; 241334231412 arrarrrr

Luego:

2

232

2

3 22222

a

Q

a

Q

a

Q

a

Q

a

QkU e

a

Q 2

6

Reduciendo términos semejantes se obtiene:

2

1262

a

QkU e

b) La fuerza total ejercida sobre la carga –3Q se obtiene de la suma vectorial:

4313233 FFFF

La siguiente figura muestra las fuerzas sobre la carga –3Q:

Usando la ley de Coulomb para expresar cada una de las fuerzas, se sigue que:

)ˆ(45sen2

)3()ˆ(

)3( 0

223 ia

QQki

a

QQkF ee

)ˆ()3)(2(

)ˆ(45cos2

0 ja

QQkj e

F23

F1

3

F43

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

54

)ˆ(

2

2

2

)3()ˆ(

)3(0

223 ia

QQki

a

QQkF ee

)ˆ(

)3)(2()ˆ(

2

22

ja

QQkj e

Factorizando se sigue que:

)ˆ(

4

236)ˆ(

4

233

2

2

3 jia

QkF e

3)

3. Una esfera aisladora de radio b tiene un hueco concéntrico de radio a, como se muestra

en la figura anexa. La carga total en la esfera es Q, distribuida uniformemente en todo el

volumen. Calcular:

a) El potencial eléctrico en el centro de la esfera.

b) El campo eléctrico en el centro de la esfera.

SOLUCION:

a) El potencial eléctrico en el centro de la esfera se obtiene a partir de la siguiente

definición de potencial:

0r

centro ldEV

Teniendo en cuenta que en las distintas regiones el campo es diferente, debemos evaluar

mediante el uso del teorema de Gauss, las expresiones del campo eléctrico por fuera de la

esfera, dentro de la esfera con dieléctrico y dentro de hueco. Estas expresiones para el

campo eléctrico son las siguientes:

brr

QkE e ;

2

a

b

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

55

brr

QkE e ;

2

arE ;0

Por consiguiente:

0r

a

a

b

b

centro ldEldEldEV

Esta expresión puede escribirse en términos de r de la siguiente manera:

0

a

a

b

b

centro EdrEdrEdrV

Sustituyendo los valores del campo eléctrico para cada una de las regiones de integración

se sigue que:

b a

b

ecentro drr

ardr

r

QkV

2

33

03

a

b

a

b

ecentro drr

ardr

brQkV

2

3

0

1

31

aba

ba

b

QkV e

centro

11

23

322

0

2

322

0

22

6a

b

aba

b

QkV e

centro

22

3

0

2

6ba

b

a

b

QkV e

centro

Pero:

)(3

4 33 ab

Q

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

56

Luego:

b

a

ab

Q

b

QkV e

centro

3

330

2

)(822 ba

b) El campo eléctrico en el centro de la esfera es cero, porque cuando se considera una

superficie hipotética gaussiana de forma esférica, la carga neta que encierra es cero, por

tanto E=0.

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

57


1. Identifique el enunciado incorrecto:

a) En el interior de un conductor cargado el campo eléctrico es cero.

b) En una esfera metálica la carga se distribuye uniformemente.

c) En un conductor en forma de aguacate la carga se distribuye uniformemente

d) En una esfera conductora el campo eléctrico es perpendicular a la superficie.

e) En un conductor en forma de aguacate, el campo eléctrico es perpendicular en todos

los puntos de la superficie.

SOLUCION:

La respuesta incorrecta es la c), por que la carga en un conductor en forma de aguacate

no se distribuye uniformemente, pues la carga se concentra en las regiones puntiagudas

del conductor y esto hace que en sus proximidades el campo sea más intenso.

2. Se tienen dos láminas metálicas cuadradas de espesor d y lado L, separadas

suficientemente para evitar una interacción entre ellas, si una posee una carga –Q y la

otra tiene una carga –2Q.

Dibuje la distribución de carga sobre cada placa y calcule la densidad de carga. Se

acercan lo suficientemente (a una distancia l) de tal forma que se produce una

interacción, dibuje la nueva distribución de carga y calcule la nueva densidad de carga.

SOLUCION:

La carga se distribuye sobre toda la superficie de las láminas metálicas, es decir, sobre

las 6 caras.

-2Q +Q

++

+

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

_

__

_

__

__

__

__

__

_____

+

+ +_

__

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

58

La densidad superficial para la lámina que tiene una carga –2Q es:

224

2

LdL

Q

La densidad superficial par la lámina que tiene carga Q es:

224 LdL

Q

Cuando las láminas se acercan, la cargas de cada lámina se distribuyen respectivamente

sobre cada una de las caras de área L 2

que quedan enfrentadas, en forma uniforme, como

se muestra en la figura anexa. Las nuevas densidades de carga son:

2

2

L

Q

2L

Q

3. El campo eléctrico representado corresponde a un campo uniforme E0. Si se dispone

una superficie gaussinana compuesta por un semicascarón de radio R como se muestra en

las figuras (a) y (b). Hallar para los dos casos:

a) El flujo total en la superficie cerrada.

b) El flujo en la superficie curva del cascarón.

E0

Fig. (a)

+

+

+

+

+

+

+

+

_

_

_____

+

+

+

+

+_

_

_____

l

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

59

SOLUCION:

a) El flujo en la superficie cerrada está dado por:

0)()( 22 REREAdE

b) Debe tenerse en cuenta que el flujo que entra es igual al flujo que sale. El flujo que

entra a la superfice curva es igual al flujo que sale de la superficie curva.

0)2

()2

(22

R

ER

E

4. Un cascarón esférico conductor de radio interno R1 y externo R2 tiene una carga total

–2Q. Si se introduce una esfera dieléctrica más pequeña (radio R3) cargada en todo el

volumen con una carga +2Q en el interior del cascarón, calcular usando el teorema de

Gauss el campo en cada uno de los 3 puntos (P1, P2, P3) mostrados en la gráfica,

considerando la redistribución de carga que aparece.

SOLUCION:

El campo eléctrico en el punto P1, se obtiene a partir de la ley de Gauss, de la siguiente

manera:

0022

0

EQQ

AdE

El campo eléctrico en el punto P2, está dado por:

E0

Fig. (b)

-

2Q

R1

R2 R2

-2Q

P1

P2

P3

R1

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

60

13200 4

22RrR

r

QE

QAdE

El campo eléctrico en el punto P3 está dado por:

0

3

0

3

4

rdv

AdE

0

32 )3/4()4(

rrE

r

R

Q

rE0

33

0 3

3

4

2

3

3330

;24

2Rr

R

rQkr

R

QE e


1. Una varilla semiinfinita tiene una carga constante por unidad de longitud . Calcule la

fuerza eléctrica que ejerce sobre la carga q0.

SOLUCION:

Un elemento diferencial de carga de la varilla ejerce un diferencial de fuerza sobre la

carga q0 dado por:

jdFidFFd yxˆˆ

R

x

dF

q0

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

61

Pero:

22

0 sen

Rx

dxqkdF ex

Para escribir en términos de la variable la expresión anterior, hacemos uso de la

siguiente relación trigonométrica:

RtanxR

xtan

2222 ;sec tanRRdRdx

Luego:

222

2

0

sen)sec(

RtanR

dRqkdF ex

Teniendo en cuenta que el denominador se puede escribir como:

2222 sec)1( RtanR

R

dqkdF ex

sen0


2/

0

0 sen

dR

qkF e

x

R

qk

R

qkF ee

x

00

0

2/cos

Análogamente:

22

0 cos

Rx

dxqkdF ey

Haciendo las sustituciones:

RtanxR

xtan

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

62

2222 ;sec tanRRdRdx

Luego:

222

2

0

cos)sec(

RtanR

dRqkdF ey

Teniendo en cuenta que el denominador se puede escribir como:

2222 sec)1( RtanR

R

dqkdF ey

cos0

Integrando:

2/

0

0 cos

dR

qkF e

y

R

qk

R

qkF ee

y

00

0

2/sen

Luego:

jR

qki

R

qkF ee ˆˆ

2. Dentro de una esfera conductora de radio R2 con una cavidad en su interior de radio R1

se coloca una pequeña esfera aialadora de radio a y densidad uniforme - como se

muestra en la figura anexa.

Calcular el campo eléctrico para:

a) a < r <R1

b) R1 < r <R2

c) r >R2

a

R1

R2

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

63

SOLUCION:

a) Para :1Rra

Del teorema de Gauss se sigue que:

)3/4( 3

0

aAdE

)3/4()4( 3

0

2 arE

3

03

1aE

b) Para :21 RrR


inducidaqaAdE )3/4( 3

0

Pero:

)3/4( 3

0

aqinducida

Entonces:

00 EAdE

c) Para :2Rr


)3/4( 3

0

aAdE

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

64

)3/4()4( 3

0

2 arE

3

203

ar

E

3. Un cilindro de radio R y carga Q de longitud L >>R tiene una densidad de carga

volumétrica =Ar1/2

donde r es la distancia al eje del cilindro. Calcular el campo

eléctrico E

en todas las regiones del espacio.

SOLUCION:

Para r < R, a partir de la ley de Gauss se sigue que:

0

0

0

r

dvq

AdE

0

0

2/1 )2(

r

rldrAr

AdE

0

0

2/3)2(

)2(

r

drrlA

rlE

RrAr

E ;5

2

0

2/5

R r

r

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

65

Para r > R, del teorema de Gauss se sigue que:

0

0

0

r

dvq

AdE

0

0

2/1 )2(

R

rldrAr

AdE

0

0

2/3)2(

)2(

R

drrlA

rlE

Rrr

ARE ;

5

2

0

2/5

4. Considere una superficie de Gauss cilíndrica cuyo eje coincide con una varilla cargada

infinita de densidad lineal de carga uniforme [C/m]. En la figura anexa se indican las

superficies A, B y C.

a) Para cuál superficie es 0E

?

b) Para cuál superficie es 0E ?

c) Para cuál superficie 0 constE

?.

d) Para cuál superficie varía E

?

Explique sus respuestas.

SOLUCION:

a) Para ninguna de las tres superficies A, B y C, porque al dibujar las líneas de campo en

+++++++++++++++++

++++

A B C

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

66

todas ellas hay líneas de campo y por ende existe campo eléctrico.

b) El flujo eléctrico es 0E para las superficies A y C, porque en tales superficies el

campo eléctrico forma 900 con el diferencial de superficie y por lo tanto el flujo es nulo

porque el coseno de 900 es cero.

c) El módulo del campo eléctrico es constante en la superficie B, ya que al utilizar el

teorema de Gauss se obtiene el siguiente valor del campo:

rE

02

. De tal manera que como r no varía entonces E permanece constante.

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

67

Modelos de Evaluación del

Segundo Parcial:

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

68

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

69

MODELO No.1 DEL SEGUNDO EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO

1. En el circuito indicado calcule cómo se dividen los 12 A al entrar al punto a. Hallar la

potencia disipada en la resistencia de 10 .

SOLUCION:

Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes (LKC) al nodo a, se tiene:

2112 II (1)

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff (LKV) a la malla A recorrida en sentido

horario se tiene:

01010 21 II (2)

Despejando I2 de la ecuación (1) se tiene:

12 12 II (3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) se sigue que:

0101210 11 II

Luego, haciendo operaciones, se obtiene:

2211 1 I

AAI 211

221

Sustituyendo este valor en la ecuación (3), se sigue que:

AAI 10)212(2

10 V 1

10 12 A

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

70

La potencia disipada en la resistencia de 10 se obtiene de la siguiente manera:

RIP 2

1

WAP 40)10()2( 2

2. Encontrar la capacitancia equivalente entre A y B en la conexión indicada. Las

capacitancias están dadas en microfaradios.

SOLUCION:

Los capacitores de 7 y 5 microfaradios están conectados en serie, luego:

FFC 91.212

5767

De esta manera los tres capacitores que resultan están conectados en paralelo, por consiguiente su capacidad equivalente se obtiene sumando sus capacidades, así:

FFCeq 91.12)691.24(

3. Por una espira circular de radio R circula una corriente de I A. según la figura. Hallar

el campo magnético en el punto X0 ubicada sobre el eje X. La espira está en el plano YZ.

dB

dBsen

R

Z

Y

X X 0

7

6

5

4

B A

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

71

SOLUCION:

El diferencial de campo en el punto X0 se obtiene de la siguiente manera:

)ˆ(0

xdBsenBd X

Pero el diferencial de campo dB producido por un elemento diferencial de corriente, está dado

por:

uRX

Idlsen

RX

rlIdBd ˆ

)(

90

4)(

ˆ

4 22

0

00

22

0

0

Luego, integrando se obtiene:

udlRX

IB

R

ˆ)(4

2

0

22

0

0

uRX

RIu

RX

RIB ˆ

)(2ˆ

)(

)2(

4 22

0

0

22

0

0

Luego el módulo del campo magnético es:

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

72

)(2 22

0

0

RX

RIB


22

0

0

RX

Xsen

se obtiene la siguiente expresión para el campo magnético en el punto X0::

)ˆ()(2 22

0

0

22

0

0

0x

RX

X

RX

RIBX

)ˆ()(2 2/322

0

00

0x

RX

RXIBX

4. Para el esquema de los cuatro elementos de corriente de gran longitud, indicados en la

L

L

2I

I

I

I X

X

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

73

figura anexa, hallar la fuerza total por unidad de longitud que actúa sobre el elemento de

corriente de 2 I Amperios.

SOLUCION:

La fuerza sobre el elemento de corriente de 2 I Amperios está dada por:

BlIF

2

donde el campo magnético B está dado por:

321 BBBB

siendo B1 el campo magnético producido por el elemento de corriente situado en la

esquina superior izquierda, el cual está dado por:

)ˆ(2

0

1 xL

IB

B2 es el campo magnético producido por el elemento de corriente de la esquina superior

derecha, el cual está dado por:

)ˆ(

2

2)ˆ(

2

2

22

0

2 yxL

IB

B3 es el campo producido por el elemento de corriente inferior derecho, el cual está dado

por:

)ˆ(2

0

3 yL

IB

Luego:

)ˆ(

2

2)ˆ(

2

2

22)ˆ(

2

00 yxL

Ix

L

IB

)ˆ(

2

0 yL

I

yyxx

L

IB ˆˆ

2

1ˆ

2

1ˆ

2

0

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

74

yx

L

IB ˆ

2

1ˆ

2

1

2

0

yxL

IB ˆˆ

4

0

Luego:

yxL

IzIlF ˆˆ

4)ˆ(2 0

)ˆˆ(2

0

2

xyL

lIF

L

lIF

2

2 0

2

Luego, la fuerza por unidad de longitud es:

L

I

l

F

2

2 0

2

5. Determinar el campo magnético en el punto C de la figura anexa si

II3

21 , e II

3

12 .

SOLUCION:

El campo magnético en el punto C está dado por la contribución de los dos bucles

semicircunferenciales, por consiguiente:

C

(2 3) I

I/3

I I

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

75

21 BBBC

Pero, )ˆ(4

)3/(0

1 zr

IB

, )ˆ(

4

)3/2(0

2 zr

IB

Luego:

)ˆ(4

)3/2()ˆ(

4

)3/( 00 zr

Iz

r

IBC

)ˆ(12

1 0 zr

IBC

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

76


1. En la figura se muestran 2 alambres rectilíneos infinitos paralelos. Cuál es la dirección

del movimiento de la espira (completamente rígida), dispuesta como se ve en medio de

los dos alambres.

SOLUCION:

La fuerza neta sobre la espira está dada por:

4321 FFFFFneta

Pero por simetría:

43 FF

Entonces:

21 FFFneta

Pero:

yidBzBxdiF ˆ3)ˆ()ˆ3( 111

siendo B1 el campo magnético producido por los dos elementos infinitos de corriente

sobre el lado superior de la espira, por tanto:

)4(2

)2(

)2(2

00

1d

I

d

IB

3d

z

y

x

i

i

4

2

3

1 2d

I

3d

d

2 I

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

77

d

I

d

IB

211

4

00

1

Luego:

yiI

yd

IidF ˆ

2

3ˆ

23 00

1

Análogamente:

)ˆ(3)ˆ()ˆ)(3( 222 yidBzBxdiF

El campo magnético B2 producido por los dos elementos infinitos de corriente sobre el

lado inferior de la espira está dado por:

d

I

d

I

d

IB

2)3(2

)2(

)3(2

0001

Por consiguiente la fuerza F2 es:

)ˆ(2

3)ˆ(

23 00

2 yiI

yd

IidF

La fuerza neta sobre la espira es por tanto:

0)ˆ(2

3ˆ

2

3 00

21 yiI

yiI

FFFneta

2. La figura anexa muestra la trayectoria cerrada ACEDA y un alambre rectilíneo infinito

perpendicular al papel () a lo largo del cual fluye una corriente I. a) En qué segmento de

trayectoria la integral ldB

es igual a cero. b) Cuánto vale la integral ldB

en el

segmento ACE.

SOLUCION:

a) La integral ldB

es cero en la trayectoria DE, puesto

que:

E

D

E

D

dlBldB 090cos 0

b) De la ley de Ampere se sabe que:

A

C

E D I

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

78

IldB 0

Entonces:

A

E

C

A

D

C

E

D

IldBldBldBldB 0

De acuerdo a la parte a) la última integral es

cero, además de acuerdo a la simetría, la integral

A

E

ldB

debe ser igual a 2/0 I , por

consiguiente, se sigue que:

2

0 IldBldB

C

A

D

C

Es decir la integral de A hasta D a lo largo de la trayectoria ACD es igual a 2/0 I .

3. La figura muestra tres espiras, situadas sobre cada uno de los planos formados por

cada par de ejes, cada una de las cuales transporta una corriente I. a) Cuál de las espiras

tiene su momento dipolar magnético paralelo al eje Y. b) Cuál de ellas no experimenta

un momento de fuerza por parte del campo magnético B mostrado en la figura anexa?. c)

Sobre cual espira el par o momento de torsión es paralelo al eje Y?.

SOLUCION:

a) La espira que está sobre el plano XZ tiene un momento dipolar magnético en

dirección de y

b) La espira que está sobre el plano YZ no experimenta momento de fuerza por parte del

campo magnético ya que:

0ˆ00 uBsenB

B I

I I

Z

Y

X

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

79

c) La espira que está situada sobre el plano XY tiene un momento dipolar magnético en

dirección de z , ya que:

yBxBzB ˆ)ˆ()ˆ(

4. Si el campo magnético que produce el solenoide rectilíneo infinito es igual a B y el

área de su sección es A, calcule el flujo sobre cada una de las áreas A1, A2, y A3

mostradas en la figura anexa.

SOLUCION:

a) El flujo magnético sobre A1 es:

S

BdAAdB 090cos 0

b) El flujo magnético sobre A2 es:

S

AdB 0

, puesto que en esta región el campo magnético es cero.

c) El flujo magnético sobre A3 es:

S

BABdAAdB 0180cos

Entonces: BA

5. La figura muestra una frontera plana OO’ que separa dos regiones donde el campo

magnético tiene valores diferentes dados por B0 y 2B0. Dibuje claramente cuál será la

trayectoria de una partícula cargada, que parte en el instante inicial con una velocidad v

como se muestra en la figura anexa.

SOLUCION:

En la parte superior:

n

A 3

A 1

n n A 2

O' O

v R

R'

B 0

2B 0

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

80

0

22

0qvB

mvR

R

mvqvBFF cm

Para la parte inferior se tiene:

0

22

02

)2(qvB

mvR

R

mvBqvFF cm

Luego:

2

RR

6. Determine el campo magnético en el centro del triángulo equilátero que posee en sus

vértices tres elementos de corriente de gran longitud, como se indica en la figura anexa.

SOLUCION:

El campo magnético en el punto C se obtiene como la contribución de tres elementos infinitos de corriente, así:

321 BBBB

L L

h/3

h

L

C

X

X

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

81

De acuerdo a la siguiente figura,

la distancia desde el vértice del triángulo al punto C (que corresponde al corte de las alturas u

ortocentro) es:

3

3

23

2

3

22

2 LLLhr

Luego:

yxsenL

IB ˆ30cos)ˆ(30

3/32

0001

)ˆ(3/32

0

2 xL

IB

I I

I

30 o

30 0

B 3

(3)

B 2

(2)

B 1

(1)

C

X

X

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

82

yxsenL

IB ˆ30cosˆ30

3/32

0003

Luego:

yxL

IB ˆ30cos2ˆ

3/32

00

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

83


1. La gráfica muestra un conjunto rígido formado por dos espiras cuadradas de lado a

metros con corriente eléctrica de I Amperios (igual para ambas) colocado en una región

del espacio donde existe un campo de inducción magnética .ˆTeslaskBB

Calcule para

el conjunto dado:

a) El vector momento dipolar magnético

b) El vector torque magnético

Refiérase para su solución al sistema de coordenadas mostrado.

SOLUCION:

a) Usando la denotación mp

, entonces:

jIakIapppmˆˆ 22

21

b) El vector torque magnético o momento de torsión está dado por:

iBIakBjIakIaBpmˆˆˆˆ 222

2.

2. En la figura anexa cada corriente tiene un valor de 20 amperios, pero una entra y la

otra sale del plano del papel.

a) Hallar ldB

para cada trayectoria indicada.

b) Cuál trayectoria, si la hay, puede utilizarse para hallar el campo magnético debido a

estas corrientes.

B

I I I

I I

I

z

y x

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

84

SOLUCION:

a) Para L1: IldB 0

Para L2: IldB 0

Para L3: 0 ldB

b) La trayectoria L3, pero esta trayectoria indica que el campo magnético B es cero, lo

cual es válido solamente cuando la trayectoria se encuentra a gran distancia de las

corrientes.

3. Una pequeña espira de radio a es coaxial con otra gran espira de radio b, y está

separada de ella por una distancia L. Suponiendo que b>>a, calcúlese el flujo magnético

que pasa por la espira de radio a si por la espira de radio b circula una corriente I.

SOLUCION:

El campo magnético que produce la espira de radio b en el centro de la espira de radio a

está dado por:

y

Lb

bIB ˆ

2 2/322

2

0

Luego el flujo magnético que circula por la espira de radio a es:

yay

Lb

bIAB ˆˆ

2

2

2/322

2

0

2

2/322

2

0

2a

Lb

bI

L

b

a

I

L 3 I X I I

L 2 L 1

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

85

4. Un capacitor de placas paralelas inicialmente en vacío se mantiene permanentemente

conectado a una fuente de voltaje constante de V0 voltios. Determine como cambian,

después de introducir un dieléctrico de constante dieléctrica K que llena completamente

el espacio d entre las placas, la energía potencial electrostática, el campo eléctrico, la

capacidad y la carga.

SOLUCION:

La energía potencial electrostática antes de introducir el dieléctrico es:

2

02

1CVU

La energía potencial electrostática después de introducir el dieléctrico es:

2

02

1KCVU

El campo eléctrico antes de introducir el dieléctrico es:

d

VE 0

El campo eléctrico después de introducir el dieléctrico es:

d

VE 0

La capacidad antes de introducir el dieléctrico es:

0

0

0V

QC

La capacidad después de introducir el dieléctrico es:

0

0

0V

QKC

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

86

La carga antes de introducir el dieléctrico es:

oQ

La carga después de introducir el dieléctrico es:

0KQQ

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

87


1. La figura representa un solenoide rectilíneo muy largo y una trayectoria de circulación CAEDC. Si la corriente en cada espira es

igual a I, cuál es el valor de la integral ldB

.

SOLUCION:

IldB 04

2. La figura representa dos alambres rectilíneos infinitos paralelos. En el inferior circula una corriente I y el superior tiene un tramo

que consiste en una barra metálica de densidad lineal de masa que puede deslizar libremente sobre los rieles verticales (siempre manteniendo el contacto eléctrico). Cuál es el valor y la dirección de la corriente en el circuito superior para que la barra permanezca suspendida a una altura h?

SOLUCION:

Para que la barra permanezca a una altura h la fuerza neta que actúa sobre la barra debe ser nula, es decir:

0:0 PesoFF magy

C

D E

A

X X X X X X X X

b

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

88

Denotando por I s la corriente en la barra superior y asumiendo que esta va en la dirección del eje X, se tiene que:

3. Dos alambres infinitos se cruzan perpendicularmente en el punto O llevando cada uno una corriente I (suponga que no hacen contacto eléctrico).

a) Determinar el campo magnético en el punto P.

b) Si en el mismo punto se coloca una espira muy pequeña, paralela al plano de los dos alambres (por la que circula una corriente i), de tal manera que el campo magnético tenga el mismo valor en todos los puntos del área de la espira, cuál será el momento de fuerza sobre la espira?

SOLUCION:

El momento de fuerza, torque o momento de torsión está dado por:

Bpm

Pero:

kiAAipmˆ

Además:

)ˆ(2

)ˆ(2

00

21 xZ

Iy

Z

IBBB

yxZ

IB ˆˆ

2

0

Fmag

Peso

I

Z

P

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

89

4. En el circuito de la figura anexa, cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y

b? SOLUCION:

Usando (LKV) a la malla cerrada se tiene:

0160103010030 111 III

AAI9

2

270

601

Luego, haciendo el cálculo por el lazo izquierdo, se tiene:

VVV ba 7.279

210030

9

2160

Usando el lazo derecho se tiene:

VVV ba 7.27309

210

160 V

a40

100

20

100

30 V30 V

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

90

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

91

Modelos de Evaluación del Tercer Parcial:

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

92

2/3 d

PO

I

x x xx x x

x x xx x xIind

MODELO No.1 DEL TERCER EXÁMEN PARCIAL DE ELECTROMAGNETISMO

1. Una varilla de longitud d rota con velocidad angular con respecto a un eje O paralelo a un campo magnético B constante (saliendo del papel). ¿Cuál es la diferencia de potencial VO – VP?.

SOLUCIÓN

Un diferencial de fem inducido por un diferencial de varilla que rota es:

BrdrBdrd

Integrando:

d

rdrBd3

2

0

dV

V

P

O

rBd

3

22

2

2

2

9

2

3

2

2

1BddBVV OP

Luego:

2

9

2BdVV PO

2. Indique la dirección de la corriente inducida en R cuando la corriente I en el alambre

aumenta linealmente.

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

93

a b

B

SOLUCIÓN

Para un observador que esté adelante, el flujo magnético se aleja del observador y por

tanto este es negativo.

Como la corriente aumenta, entonces el flujo aumenta, por consiguiente si el flujo es

negativo y aumenta significa que su variación en el tiempo es negativa, es decir, 0

dt

d.

Como por definición, la fem inducida está dada por:

,dt

d entonces, la fem inducida es positiva así:

0 , es decir, en sentido antihorario.

3. En la figura se presentan dos barras delgadas de cobre moviéndose cada una con la

rapidez indicada y un campo magnético constante perpendicular saliendo del plano del

papel. Halle la diferencia de potencial, Va–Vb y determine sí Vc es menor o mayor que

Vd.

Fig. 1.

Fig. 2

SOLUCIÓN

En la figura 1, la diferencia de potencial Va–Vb es nula, puesto que la fuerza magnética no

B

c

d

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

94

desplaza las cargas de la varilla en dirección longitudinal sino transversal.

En la figura 2, la fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada positivamente

va dirigida de c a d, lo cual significa que las partículas positivas se concentran en d y las

negativas en c, por consiguiente VdVc, ó, VcVd.

4. Se induce una fem de 100 mV en el devanado de una bobina cuando la corriente en

otra bobina cercana está aumentando a la tasa de 10 A/s. La inductancia mutua en mH de

las dos bobinas es:

1 100 -10 1000 Otro ____

SOLUCIÓN

H

sA

V

dt

dIM

dt

dIM ind

ind 1010

100

5. Seleccione falso o verdadero según corresponda:

V

dvsdE 0

1 V F

ldB

ttdE

V F

tldE B

V F

En un elemento inductivo la

corriente adelante a la tensión V F

En un elemento capacitivo la

tensión adelanta a la corriente V F

mVind 100

sA

dt

dI10Primario

Secundario

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

95

Para un circuito RL en una fem constante, responda lo siguiente:

Si la constante de tiempo se

triplica, la corriente se triplica V F

Si la inductancia se duplica, la

constante de tiempo se reduce a

la mitad

V F

A medida que aumenta la

frecuencia de un circuito

capacitivo la reactancia capacita

disminuye y la corriente crece

V F

Un capacitor actúa como un

corto circuito (corriente

extremadamente grande) a

bajos frecuencias

V F

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

96


1. Use la ley de Lenz para responder las siguientes preguntas concernientes a la dirección de las corrientes inducidas. Explique:

a) Cuál es la dirección de la corriente inducida en la resistencia R de la figura (a),

cuando el imán se mueve hacia la izquierda.

Fig. (a).

Para un observador situado a la izquierda:

B se aleja del observador y disminuye 00

dt

d, es decir, en sentido horario.

b) Cuál es la dirección de la corriente inducida en el resistor R, después de cerrar el

circuito de la figura (b). Fig. (b).

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

97

Para un observador situado a la derecha:

aumenta y se dirige al observador 00

dt

d, es decir en sentido horario.

c) Cuál es la dirección de la corriente inducida en la resistencia R cuando la corriente I

en la figura (c) decrece rápidamente a cero.

Fig. (c).

Para un observador situado adelante:

B se aleja del observador y disminuye 00

dt

d, es decir, en sentido horario.

d) Una barra de cobre se mueve hacia la derecha mientras su eje se mantiene

perpendicular a un campo magnético, como se muestra en la figura (d). Si la parte

superior de la barra se vuelve positiva respecto a la inferior. Determine la dirección del

campo magnético B

.

Fig. (d).

BvqFm

, luego B

va en dirección de Z , para que ZBXqyF ˆˆˆ .

++

--

magF

y

x

z

R

iind

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

98

2. Describa todas las características de los materiales paramagnéticos y diamagnéticos.

Materiales Paramagnéticos

Se caracterizan porque >0 y xm<1.

La fracción de dipolos alineados en dirección del campo magnético externo es:

kT

BNPfNPM

kT

BPf m

mm

33

2

Pero

LeydeCurie

m

kT

HNPMHB

3

0

2

00

Además

LeydeCurie

m

mmkT

NPxHxM

3

0

2 ;

Txm

1


Se caracterizan porque <0 y xm<0.

22

2 rer

reefAiAPm

dt

dm

dt

dBrrEe

dt

dBABA

dt

d

dt

d

22

dt

dBr2

xm

T

M

H

mx

1

T

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina5

99

3. La corriente que circula por un circuito RLC en serie está retrasada 30º respecto de la

tensión aplicada. El valor máximo de la tensión en la bobina es el doble de la

correspondiente al condensador, y L=10sen1000t voltios. Hallar los valores de L y C

sabiendo que R=20 ohmios.

SOLUCIÓN:

2

3

2

1

º30

1

tanR

CL

R

XXtan CL

CL

CLR

1000

11000

1

3

3

(1)

CILI

12 00

CL

CL

1000

121000

12

(2)

CL

6102 (3)

r

B

.. ..R L C

30º

XL-XC

R

Z0

VL

VR

V0

VC

IR=I0

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina6

00

Reemplazando (3) en (1):

CCCCR

3

3

3

6

10

1102

10

11021000

3

3

333 10

11

10

1

10

21

3

3

CCR

FCC

53 1066,81

10203

3

FC 6,86

Luego: mHL 09,23

4. Demuestre que en un circuito de corriente alterna cuya fuente es (t)=V0sen(t+),

por el que circula una coriente i(t)=I0sent, la potencia suministrada por la fuente

promediada en el tiempo, es: cosefef VItP .

SOLUCIÓN

tVtIttitP sensen 00

tVtIttitP sensen 00

sencoscossensen00 ttVItP

sencossencossen2

00 ttVItP

0

00

2

1

2

00 cossensensencos tVItVItP

cos2

cos00efef VI

VItP

T TT

tdtdtT

dtt

Tt

0 00

2 2cos2

1

2

11

2

2cos11sen

2

10

22sen

4

1

2

12sen

2

1

2

1

2

1

0

0

TtT

T

TT

T

t

T

T

2

10sensen

2

1

2

sen1

0

2

0

2

0

2

TT

dtttt

tdttT

tt00

cossen1

cossen1

cossen

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina6

01


1. Un material paramagnético a una temperatura de 9ºK tiene una magnetización igual a

6,7% del valor de saturación cuando se coloca en un campo magnético de 2,6 T. Calcule

el momento magnético resultante por átomo.

SOLUCIÓN

msm

ms NPMkT

BNPNPMM ;

3067,0

100

7,6 2

T

kk

J

PP

TkB m

m 6,2

91038,13067,03067,023

224106,9 mAmpPm

2. Un toroide de núcleo de hierro está devanado con 230 vueltas de alambre por metro

de longitud. La corriente en el enrollado es de 6 amperios. Tomando la permeabilidad

magnética del hierro de 5,000 0. Calcule:

a) La intensidad del campo magnético.

b) La densidad del flujo magnético.

c) La Magnetización.

SOLUCIÓN

a) m

AmpA

mvueltas

L

NiH 13806230

b) 20

6

0 67,8109,613805000m

Weberm

AmpHB

c) m

AmpHHxM m

61089,61380150001

4. El circuito indicado en la figura (a) está sometido a una tensión alterna V0.

a) Para qué frecuencia la intensidad que pasa por el circuito será máxima?

b) Cuál será el valor de esta intensidad máxima?

c) Para qué frecuencia tendrá la intensidad el valor mitad del máximo?

d) Para qué frecuencia será mínima la intensidad?

Fig. (b).

V0

R

L

C

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina6

02

SOLUCIÓN

a) 2

2

00

1

CLR

VI

I0 es máxima cuando 01

CL

LCf

LC

1

2

11

b) R

VI 0

máx0

c) 2

220

2

2

000

14

2

1

12

1

CLRR

R

V

CLR

V

R

VI

22

222 123

CC

LLR

y

CLR

13 2

C

LCR

13

2

01313 22 RCLCLCRC

L

C

LR

L

R

LC

LCCRRC

2

43

2

3

2

4332

22

L

C

LRR

f2

433

2

12

1

y

L

C

LRR

f2

433

2

12

2

d) De acuerdo al criterio de la primera derivada; haciendo 0d

dI se obtiene el valor de

para el cual I es mínimo.

Luego:

0

12

2

0

CLR

I

d

d

d

dI

011

21

2

2

1

2

20

CL

CL

CLR

V

d

dI

LCCL

10

1

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina6

03

4. Escriba las ecuaciones de Maxwell en su forma integral y diferencial. Haga un

resumen de las aplicaciones de cada una de ellas.

Forma Integral

Forma Diferencial

Ley de Gauss para E netaqsdE

0

0

E

Ley de Gauss para B 0 sdB

0 B

Ley de Faraday-Henry sdBdt

dldE

t

BE

Ley de Ampere-Maxwell

sdE

tildB

000

t

EjB

000

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina6

04


1. En un circuito de corriente alterna se tiene que =100sent; i=5cost. Calcule la

potencia activa (promedio) en el circuito.

0º90cos51002

1cos

2

1máxmáx AvVIP

2. Para cierta frecuencia , la corriente en un circuito RLC serie de CA adelanta a la

tensión (voltaje). Será la frecuencia de resonancia mayor o menor que la frecuencia ?.

SOLUCIÓN

0 CL XX

CL XX

CL

1

LC

12

2

0

2

Siendo LC

10 la frecuencia angular de resonancia.

3. En el tiempo t=0, el interruptor S de la figura (a) se cierra y permite que una batería

V0 de 32 V, impulse una corriente dada por i=8(1-exp(-t)

) teniendo que R=4 ohmios y L=4

H.

a) Cuál es la diferencia de potencial en la bobina para t=0?

b) Con qué rapidez estará la batería entregando energía al circuito en t=0?

Fig. (a).

Vmáx

Imáx

S

R

L

V0

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina6

05

SOLUCIÓN

a)

VoltsHAt

eLdt

diL

L

t

L

32480

8

b) 032180 0

0

VeitP t

4. Bajo cuál de las condiciones siguientes habrá una fem inducida en la bobina, en la

dirección indicada por la flecha:

a) Hay una corriente constante en la dirección xy

b) Hay una corriente creciente en la dirección yx

c) Hay una corriente decreciente en la dirección yx

d) hay una corriente decreciente en la dirección de xy

La fem inducida está dada por:

0,0

dt

dI

dt

dIL

Lo cual significa que I debe aumentar de y a x.

<0, es decir, sentido horario.

5. una varilla metálica de longitud L gira con una velocidad angular alrededor de un

punto fijo situado a 3

L de uno de sus extremos como se observa en la figura (b). Se

aplica un campo magnético B uniforme y constante con dirección perpendicular al plano

de rotación de la varilla. Calcule el valor de la fem inducida entre los extremos de la

varilla.

Fig. (b).

x y

I

V i

_ +

x x xx x x x xx x x

x x xx x x x xx x x

x x xx x x x xx x x

x x xx x x x xx x x

x x xx x x x xx x x

x x xx x x x xx x x

L

31 L

32

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina6

06

SOLUCIÓN

Bdrd

L

L

Brdr3

2

31

2223

2

31

2

2

1

3

1

3

4

2

1

2BLLLB

rB

L

L

6. En el circuito RC de corriente alterna de la figura (c), el voltaje eficaz del generador

es igual a 100 v, la reactancia capacitiva XC=3 y R=4 . Calcular:

a) La impedancia del sistema

b) El ángulo de fase entre la fem en el generador y la corriente en el circuito

c) El valor efectivo (eficaz) de la corriente

d) El factor de potencia

e) La amplitud de corriente en el circuito

Fig. (c).

SOLUCIÓN

a)

534 22

22

Z

XXRZ CL

b)

4

3arctan

R

Xarctan C

c) AV

Z

VI

ef

ef 205

100

d) 0cos

e)

22021002

0

0 Z

V

Z

V

Z

VI

ef

C

R

Ca

pít

ulo

6.



Pág

ina6

07

7. En las siguientes igualdades se observa que en las dos primeras ecuaciones (del

primer renglón) no falta ningún detalle. Sin embargo, las otras ecuaciones están

incompletas. Usted debe completarlas, totalmente.

0s

adB

; 0 B

AdEt

AdJldEc s

000

0

E

AdBt

ldE

Ca

pít

ulo

6.



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ina6

08


1. a). Un disco pequeño tiene 20 cm de radio y gira alrededor de su eje a 50 rev/seg,

como se muestra en la figura (a). Paralelo al eje del disco hay un campo magnético

uniforme de 0,5 wb/m2. Calcule la diferencia de potencial entre el centro y la

circunferencia.

Fig. (a).

SOLUCIÓN

a)

A

B

A

B

BvdldBvdld

A

B

BA fdrdlrdlB 2;;

A

B

A

B

BA

rfBdlrdrfB

22;2

2

22

2 2.05025,02

12

2

1m

s

rev

m

brfBBA

VoltiosBA 1416,3

b) Determine el sentido de la fem. Inducida en el sistema mostrado en la figura (b).

Fig. (b).

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

B

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

Ca

pít

ulo

6.



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ina6

09

SOLUCIÓN

Visto desde arriba: 00;0

dt

d , es decir, en sentido antihorario.

2. La muestra toroidal de material magnétizable, este tiene un radio igual a 10 cm y su

área es igual a 4 cm2. Está bobinada con alambre fino, a razón de 80 vueltas por cm, a lo

largo de la circunferencia media. Su susceptibilidad magnética vale 3,6x10-4

. El

devanado lleva una corriente de 5 Amperios. Halle:

a) Las magnitudes de los campos H

y B

dentro de la sustancia.

b) La magnitud de la magnetización dentro de la sustancia.

c) La corriente superficial de magnetización.

d) Calcule la magnitud que tendrían los vectores magnéticos B

y H

, si no hubiera el

núcleo magnético.

SOLUCIÓN

a) m

A

cm

AA

cm

vueltas

l

NiH 000,40400580

m

A

mA

WebHxH m 000,40106,311041 47

2

0502836,0m

Weber

b) m

A

m

AHxm 4,14000,40106,3 4

c) mm

Al

V

lP

Al

lP

A

Pi mmmm 10,024,14 .0432,9 Aim

d) m

A

l

NiH 000,40

2

7

0 05024,0000,40104m

Web

m

A

mAmp

WebH

Ca

pít

ulo

6.



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10


1. Un condensador plano de área A y de separación d entre placas está lleno de un

dieléctrico de constante K. Si el condensador se conecta a una fuente de voltaje V(t)=V0

coswt, calcular:

a) Densidad de corriente de desplazamiento.

b) Corriente de desplazamiento.

c) Cuál es su corriente de conducción en los alambres.

SOLUCIÓN

a) d

tV

dE

tj

cos; 0

00

td

V

d

tV

tj

sen

cos 00000

b) tVctd

AVAJi

sensen 0

0000 con

d

AC 0

c)

2

cos1

2cos

0

0

tCV

c

tV

X

Vi

c

c La corriente adelante en 2

al voltaje

dt

dVC

dt

dqCVq

V

qC

tCVitVdt

dCi CC sencos 00

2. Una bobina de inductancia L, un condensador y una fem. De corriente alterna, V=V0

coswt, están conectados en serie. La bobina tiene resistencia intrínseca (propia) R y

resistencia (para la frecuente dada) igual al doble de la reactancia del condensador.

a) Obtenga el valor de la amplitud I0 de la corriente en el condensador.

b) Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?

c) Halla el ángulo de de fase entre la corriente y el voltaje de la fuente y diga si éste

está atrasado o adelantado con respecto a la corriente.

d) Halla la amplitud del voltaje aplicado ante los extremos de la bobina.

SOLUCIÓN

a) 22

0

0

CL XXR

V

Ca

pít

ulo

6.



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11

Pero C

XX CL

22

2

2

0

2

2

0

0

112

CR

V

CCR

V

b) LCLCC

L111

0

2

0

0

0

c) C

XXR

XX

R

CL

tan CLCL

22;

1

CRR

C

R

CCtan

1

112

CRtan

11

d)

2

2

0

2

2

0

200

1

2

1

2

CRC

V

cR

XVXV C

L

1

2222

00

RC

VV L

3. Enuncie en forma integral y en forma diferencial las ecuaciones de Maxwell, para el

vacío (o espacio libre) y haga una breve descripción sobre su significado físico.

Forma Integral Forma Diferencial

00 sdE

0

E

0 sdB

0 B

sdBdt

dldE

t

BE

sdE

tildB

000

t

EjB

000

Ca

pít

ulo

6.



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ina6

12

BIBLIOGRAFIA

Primer Parcial:

[1]. ALONSO, M. y FINN, E., Física, Vol. II, Addison Wesley Iberoamericana, S.,A., U.S.A, 1995.

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Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1993.

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[19]. TIPLER, P., Física, Vol. 2, Reverté, España, 1978.

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6.



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13

Segundo Parcial:






















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14

Tercer Parcial:






















Education

Electromagnetismo Luis Francisco Garcia Russi-William Javier Trigos