REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO

MARIÑO”

MATURÍN – EDO – MONAGAS

AUTOR:

LILIANNY

RONDÓN

CI: 24.126.684

FACILITADOR (A):

MORELIA MORENO

En teoría de la probabilidad y estadística, la

distribución de probabilidad de una variable

aleatoria es una función que asigna a cada suceso

definido sobre la variable aleatoria la probabilidad

de que dicho suceso ocurra. La distribución de

probabilidad está definida sobre el conjunto de

todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el

rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está

completamente especificada por la función de

distribución, cuyo valor en cada x real es la

probabilidad de que la variable aleatoria sea

menor o igual que x.

Toda distribución deprobabilidad es generadapor una variable aleatoriax, la que puede ser de dostipos:

Variable aleatoria discreta (x).Se le denomina variable porquepuede tomar diferentes valores,aleatoria, porque el valor tomadoes totalmente al azar y discretaporque solo puede tomar valoresenteros y un número finito deellos.

Variable aleatoria continua (x).Se le denomina variable porquepuede tomar diferentes valores,aleatoria, porque los valores quetoma son totalmente al azar ycontinua porque puede tomartanto valores enteros comofraccionarios y un númeroinfinito de ellos.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella

cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en

un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A

dicha función se le llama función de masa de probabilidad.

En este caso la distribución de probabilidad es la suma de

la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

• Y, tal como corresponde a la definición de distribución de

probabilidad, esta expresión representa la suma de todas

las probabilidades desde -\infty hasta el valor x.

• Se le denomina variable porque puede tomar diferentes

valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente

al azar y discreta porque solo puede tomar valores

enteros y un número finito de ellos.

• p(xi)<1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los

valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y

menores o iguales a 1.

E p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas

a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar

sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la

cuenta de alguna característica de interés.

Las distribuciones de variable discreta más

importantes son las siguientes:

Distribución binomial o Bernoulli

Distribución hipergeométrico

Distribución Poisson

Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan

procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una

serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se

pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo

aleatorios e independientes. Para identificar un proceso Bernoulli en

una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:

Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba sepueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o"fracaso" en el caso contrario.

Independencia de las pruebas: El resultado de unaprueba cualquiera es independiente del resultadoobtenido en la prueba anterior, y no incide en elresultado de la prueba siguiente.

Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p deobtener un resultado considerado como un éxito semantiene constante a lo largo de toda la serie depruebas.

• Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la

probabilidad de obtener exactamente r éxitos, en una serie de n

pruebas, con una probabilidad de éxito p, se puede aplicar la

fórmula de la probabilidad binomial:

𝑷 𝒙 =𝒏

𝒙𝒑𝒌(𝟏 − 𝐩)𝒏−𝒌

𝒏

𝒙𝒑𝒌 =

𝒏!

𝒌! 𝒏 − 𝒌 !

La media o valor esperado es

m=np

La varianza s 2 = np(1-p)

Donde:

P(X)= es la probabilidad de

ocurrencia del evento

p = es la probabilidad de éxito del

evento (en un intento)

X = ocurrencia del evento o éxitos

deseados

n = número de intentos

• Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de conteneruna molécula rara particular. Suponga que las muestras sonindependientes con respecto a la presencia de la molécularara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18muestras, exactamente 2 contengan la molécula rara.

• SOLUCIÓN:

Sea X=número de muestras (2) de aire que contiene la molécula rara en la siguientes 18 muestras analizadas. Entonces X es una variable aleatoria binomial con

• X=2

• p=0,1

• n=18.

• Por lo tanto

𝑓 𝑥 = 𝑘 =𝑛!

𝑘! 𝑛 − 𝑘 !∗ pk(1 − p)n−k

𝑃 𝑥 = 2 =18!

2! 18 − 2 !∗ (0,1)2(1 − 0,1)18−2

𝑃 𝑥 = 2 = 153 ∗ (0,1)2(0,9)16

𝑃 𝑥 = 2 = 0,284

• La probabilidad es de 28,4%

• En teoría de la probabilidad la distribución

hipergeométrica es una distribución discreta relacionada

con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase

que se tiene una población de N elementos de los

cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La

distribución hipergeométrica mide la probabilidad de

obtener x (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑) elementos de la categoría A en

una muestra sin reemplazo de n elementos de la

población original.

• La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos

sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo.

• La función de probabilidad de una variable aleatoria con

distribución hipergeométrica puede deducirse a través de

razonamientos combinatorios y es igual a

• 𝐻 𝑥,𝑁 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑁1𝑥

𝑁−𝑁1𝑛−𝑥𝑁𝑛

donde

N= es el tamaño de población,

n =es el tamaño de la muestra extraída

N1= es el número de elementos en la población original que

pertenecen a la categoría deseada

x= es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha

categoría.

• Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería

local y 200 unidades de un proveedor de tubería del

estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y

sin reemplazo

(a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del

proveedor local?

(b) (b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza

de la muestra sea del proveedor local?

• SOLUCIÓN:

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que

todas sean del proveedor local?

Sea X igual al número de piezas de

la muestra del proveedor local.

Entonces, X tiene una distribución

hipergeométrica y la probabilidad

pedida es P(x=4). Por consiguiente.

N= 200 + 100 = 300 Tamaño de la

población

N1 = 100 (Proveedor local) Número

total de casos exitosos en la

población

X = 4 Número de éxitos que

interesan

n = 4 Tamaño de la muestra

𝐻 𝑥,𝑁 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =

𝑁1𝑥

𝑁 − 𝑁1𝑛 − 𝑥𝑁𝑛

𝑃 𝑋 = 4 =

1004

300 − 1004 − 4

3004

𝑃 𝑋 = 4 =

1004

2000

3004

𝑃 𝑋 = 4 =3921225 1

330791175

𝑃 𝑋 = 4 = 0,0119

La probabilidad es de 1,19%

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la

muestra sea del proveedor local?

P(x≥1) = 1 –P(x = 0)

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃 𝑋 = 0

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 −

1000

300 − 1004 − 0

3004

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 −

1000

2004

3004

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 −1 64684950

330791175

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 0,1955

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 0,8044 La probabilidad es de 80,44%

• Se denominan procesos de tipo Poisson, a todo

experimento consistente en una serie de pruebas

repetidas dentro de un continuo, caracterizadas por tener

resultados que se pueden clasificar en si verifican o no,

cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e

independientes del lugar que ocurren dentro del

continuo.

• Expresa la probabilidad de un número k de eventos

ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con

una tasa media conocida, y son independientes del

tiempo desde el último evento.

Sucesos puntuales: Los sucesos ocurren dentro de un continuo (espacio o tiempo) y ocupan una parte infinitesimal del mismo. Es decir, en el espacio un suceso es puntual y en el tiempo es instantáneo. En términos prácticos, los sucesos no ocupan una parte apreciable del continuo.

Sucesos independientes: La ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo no condiciona la ocurrencia del anterior (o del siguiente) en otra parte del mismo.

Probabilidad constante: La probabilidad de ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo es la misma en todo punto del mismo.

Para identificar un proceso Poisson en una serie

de pruebas repetidas, se deben verificar tres

condiciones:

• Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber

la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en un

intervalo de tiempo, con un promedio de eventos

esperados l , se puede aplicar la fórmula de la

probabilidad de Poisson:

X = 0, 1, 2, …., n

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑒−𝜆𝜆𝑥

𝑥!

e =es el base del logaritmo natural

x!= es el factorial de k

x = es el número de ocurrencias de un

evento

λ = es un número real positivo,

equivalente al número esperado de

ocurrencias durante un intervalo dado

• Supongamos que el número de imperfecciones en un

alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson

con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.

(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un

milímetro de alambre.

(b) (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en

5 milímetros de alambre.

• SOLUCIÓN:

(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un

milímetro de alambre.

Entonces E(x)=2.3 imperfecciones

𝜆 = 2,3𝑥 = 2

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑒−𝜆𝜆𝑥

𝑥!

𝑃 𝑋 = 2 =𝑒−2,3(2,3)2

2!

𝑃 𝑋 = 2 =0,1003 ∗ 5,29

2𝑃 𝑋 = 2 = 0,2652

La probabilidad es de 26,52%

(b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5

milímetros de alambre.

Sea que X denote el número de imperfecciones en 5

milímetro de alambre. Entonces, X tiene una distribución

Poisson con

E(x)=5mmx2.3 imperfecciones/mm= 11,5 imperfecciones.

Por lo tanto

𝜆 = 11,5𝑥 = 10

𝑃 𝑋 = 10 =𝑒−11,5(11,5)10

10!𝑃 𝑋 = 10 = 0,1129

La probabilidad es de 11,29%