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DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE
GRAVITACIÓN
UNIVERSAL
Teniendo en cuenta que la
aceleración normal o centrípeta es:
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Donde:
- v es la velocidad del planeta
- r el radio de su órbita
También se conoce que la fuerza es igual
a la masa del planeta (mP) por su
aceleración:
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Esto sale de la segunda ley de Newton.
Sustituyendo la aceleración de la
Fórmula 1 en la Fórmula 2:
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Al suponerse la órbita circular, y según
la segunda ley de Kepler, el planeta
tendrá un movimiento circular uniforme
(aunque en realidad no es así ya que la
órbita es elíptica, debido a su poca
excentricidad, se puede considerar una
aproximación razonable).
Por lo tanto, la velocidad del planeta es:
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Donde T es el periodo de revolución
del planeta.
Sustituyendo la velocidad de la
Fórmula 4 en la Fórmula 3, tenemos:
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Teniendo en cuanta la Tercera Ley de
Kepler (“Para cualquier planeta, el
cuadrado de su período de órbita es
directamente proporcional al cubo de su
distancia promedio al Sol”):
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Sustituimos el periodo (T) de la
Fórmula 6 en la Fórmula 5:
Donde KP es una constante dada por
.
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Esta es la fuerza que mantiene a un
planeta ligado al Sol.
.
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Por otro lado, según el principio de
acción y reacción (Tercera Ley de
Newton), el Sol estará sometido a una
fuerza igual y opuesta a la de la
Fórmula 8.
.
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Al igualar ambas fórmulas (8 y 9)
porque la fuerza es la misma:
.
Se obtiene:
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Es decir, que las constantes de
proporcionalidad de los planetas son
inversas a sus masas y de su relación
obtenemos una constante llamada G:
.
G = 6,67 · 10-11 N m2 kg-2
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Sustituyendo KS o KP en sus respectivas
fórmulas, obtenemos:
.
DEDUCCIÓN DE LA
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Esta Fórmula 14 constituye la Ley de la Gravitación
Universal, la cual se puede expresar de la siguiente forma:
“Dos partículas materiales experimentan una fuerza de
interacción gravitatoria directamente proporcional al
producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que las separa. La línea de acción
de dicha fuerza es la recta que las une”.
.
