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LU PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODOS NUMERICOS
CYNDY ARGOTE
JONATHAN CELIS
JONATHAN PEREZ
JHONATAN QUINTERO
LINA MARGARITA GOMEZ
DESCOMPOSICION LU
Su nombre se deriva de las palabras inglesas “Lower"y “Upper”.Estudiando el proceso que se sigue en ladescomposición LU es posible comprender el por quéde este nombre, analizando cómo una matriz originalse descompone en dos matrices triangulares, unasuperior y otra inferior.
PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU
1. Obtener la matriz triangular inferior “L” y la matriz triangular superior “U”.
2. Resolver Ly = b (para encontrar y).3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz
nueva de nombre “y”.4. Realizar Ux = y (para encontrar x).5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz
nueva llamada “x”, la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZTRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])
1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertireste en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cuales necesario para convertir a cero los valores abajo delpivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir encero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por elpivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentraen la posición a cambiar (el valor en la posición que seconvertirá en cero).
PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])
1. Construir una matriz de igual orden que la matrizoriginal con unos en la diagonal principal y ceros paralos elementos que cumplan j > i.
2. Como los elementos debajo de la diagonal principal seubican el múltiplo de Gauss usado en la descomposiciónpara conseguir el “cero” en la posicióncorrespondiente.
FACTORIZACION LU
EJEMPLO N°1
• Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:4X1 -2X2 -X3 = 95X1 +X2 -X3 = 7X1 +2X2 -X3 = 12
4 -2 -1 9A = 5 1 -1 b = 7
1 2 -1 12
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°1
• SOLUCION1. Se halla “U”:4 -2 -15 1 -1 R2 R2 – (5/4)*R11 2 -1 R3 R3 – (1/4)*R1
4 -2 -10 7/2 ¼0 5/2 -3/4 R3 R3 – (5/2)/(7/2)*R2
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°1
SOLUCION1. Se halla “U”:
4 -2 -1U = 0 7/2 ¼
0 0 -13/14
2. Se halla “L”:1 0 0 1 0 0
L = ? 1 0 L = 5/4 1 0? ? 1 ¼ 5/7 1
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°1
3. Se verifica L*U = A
1 0 0 4 -2 -15/4 1 0 x 0 7/2 ¼ =¼ 5/7 1 0 0 -13/14
4+0+0 -2+0+0 -1+0+0 4 -2 -15+0+0 -5/2+7/2+0 -5/4+1/4+0 = 5 1 -1
1+0+0 -1/2 +5/2+0 -1/4+5/28-13/14 1 2 -1
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°1
4. Se despeja “Y” de L*Y = b1 0 0 Y1 9
5/4 1 0 * Y2 = 7¼ 5/7 1 Y3 12
Y1 = 9 Y1 = 95/4Y1 + Y2 = 7 Y2 = -17/41/4Y1 + 5/7Y2 +Y3 = 12 Y3 = 179/14
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°1
5. Se despeja “X” de U*X = Y4 -2 -1 X1 90 14/4 ¼ * X2 = -17/40 0 -13/14 X3 179/14
4X1 -2X2 -X3 = 9 X1 = -17/1314/4X2 +1/4X3 = -17/4 X2 = -3/13
-13/14X3 = 179/14 X3 = -179/13
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°2
• Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:11X1 -3X2 -2X3 = 185X1 -2X2 -8X3 = 134X1 -7X2 +2X3 = 2
11 -3 -2 18A = 5 -2 -8 b = 13
4 -7 2 2
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°2
SOLUCION1. Se halla “U”:11 -3 -25 -2 -8 R2 R2 – (5/11)*R14 -7 2 R3 R3 – (4/11)*R1
11 -3 -20 -7/11 -78/110 -65/11 30/11 R3 R3 – (-65/11)/(-7/11)*R2
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°2
SOLUCION1. Se halla “U”:
11 -3 -2U = 0 -7/11 -78/11
0 0 480/7
2. Se halla “L”:1 0 0 1 0 0
L = ? 1 0 L = 5/11 1 0? ? 1 4/11 65/7 1
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°2
SOLUCION
3. Se verifica L*U = A1 0 0 11 -3 -25/11 1 0 x 0 -7/11 -78/11 =4/11 65/7 1 0 0 480/7
11+0+0 -3+0+0 -2+0+0 = 11 -3 -2
5+0+0 -15/11-7/11+0 -10/11-78/11+0 = 5 -2 -8
4+0+0 -12/11 -65/11+0 -8/11+5070/77+480/7 = 4 -7 2
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°2
SOLUCION4. Se despeja “Y” de L*Y = b
1 0 0 Y1 185/11 1 0 * Y2 = 134/11 65/7 1 Y3 2
Y1 = 18 Y1 = 185/11Y1 + Y2 = 13 Y2 = 53/114/11Y1 + 65/7Y2 +Y3 = 2 Y3 = -345/7
FACTORIZACION LUEJEMPLO N°2
SOLUCION5. Se despeja “X” de U*X = Y
11 -3 -2 X1 180 -7/11 -78/11 * X2 = 53/110 0 480/7 X3 -345/7
11X1 -3X2 -2X3 =18 X1 = 13/8-7/11X2 -78/11X3 = 53/11 X2 = 7/16
480/7X3 = -345/7 X3 = -23/32
FACTORIZACION LUDIAGRAMA DE FLUJO
K = 1, n-1
i = k+1, n
factor = Ai,k /Ak,k
Ai,k = factor
j = k+1, n
Ai,j = Ai,j - factor*Ak,j
1
1
El numero de iteraciones se hacen de acuerdo al
orden de la matriz.
Para k = 1 Para k = 2
Inicio
A, n, b
2
Se almacenan los términos de la
matriz L
FACTORIZACION LUDIAGRAMA DE FLUJO
2Sustitución hacia
delante:L*Y = b
i = 2, n
sum = bi
j = 1, i-1
sum = sum – Ai,j*bi
bi = sum
3
Se almacenan los nuevos “b” (Y)
FACTORIZACION LUDIAGRAMA DE FLUJO
Sustitución hacia atrás:
U*X = Y
3 Xn = bn/An,n
i = n-1, 1, -1
sum = 0
j = i+1, n
sum = sum + Ai,j*Xj
Xi = (bi – sum)/Ai,j
Xi
i = 1, n
Fin!
FACTORIZACION LUReferencias de consulta
• http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matte20.pdf
• http://www.ditutor.com/matrices/matriz_simetrica.html
• http://www.cramster.com/reference/wii.aspx?wiki_name=Band_matrix
• Chapra, Steven; Canale, Raymond. Métodos númericos para ingenieros. 3ra Edición. Mc Graw Hill 2000.
