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Modelo Simples de Prdação
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Coelhos, Raposas e a Modelagem Matemática
Ecologia de Populações
Prof. Dr. Harold Gordon Fowler
Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional
Como cresce uma população?
Deixamos “x” para representar a população. Se a população x(t) no tempo t muda para x + Δx no intervalo temporal [t, t + Δt]. Então a taxa de crescimento é
ttx
x
)(
Para a população de raposas
Começamos com a premissa que a população da raposa não chega a ser muito grande, assim podemos ignorar a saturação populacional
Para o crescimento sem limites
A única presa da raposa é o coelho; assim s é proporcional a população de coelhos
A população de coelhos e representada por “y”
)()( 0 txssat
x
xdcy
tdxtytcx
txstbyat
x
)(
)()()(
)())(( 0
Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional
Tempo População Taxa de Crescinmento0,1
1 10
2 11
3 12,1
4 13,31
5 14,641
6 16,105
7 17,716
8 19,487
9 21,436
10 23,579
11 25,937
12 28,531
13 31,384
14 34,523
15 37,975
16 41,772
17 45,95
18 50,545
19 55,599
20 61,159
21 67,275
22 74,002
23 81,403
24 89,543
25 98,497
26 108,35
27 119,18
28 131,1
0
200
400
600
800
1000
1200
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Para a população de coelhos, a premissa básica é o crescimento sem limites se os coelhos estão sendo consumidos pelas raposas – ainda temos outra premissa de que o número de coelhos consumidos é proporcional a população de raposas
ygxf
tytxgtyft
y
)(
)()()(
Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional
A taxa de crescimento depende de vários fatores, como A oferta per capita de alimento – chamado “s” Uma quantidade mínima de alimento, s0, é necessário para suster a vida A taxa de crescimento é proporcional a s – s0
Deixamos que “a” seja a coeficiente de crescimento
)()(
0ssattx
x
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x
Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional
As Equações de Predador – Presa Lotka e Volterra
População de raposas – x
População de coelhos – y
onde c, d, f, g são parâmetros constantes
ygxft
y)(
xdcyt
x)(
Tempo Raposa Coelho c 5E-06
1 35000 70000 d 0,3
2 36750 80500 f 0,5
3 40517 91166 g 1E-05
4 46831 99812
5 56153 102975
6 68219 96639
7 80716 79033
8 88397 54757
9 86080 33732
10 74774 21561
11 60403 16220
12 47181 14532
13 36455 14942
14 28242 16966
15 22165 20657
16 17805 26407
17 14814 34909
18 12956 47192
19 12126 64674
20 12410 89169
21 14220 122688
22 18676 166586
23 28630 218767
24 51357 265518
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Raposa
Coelho
A saturação da população de coelhos:
Tempo Raposa Coelho c 0,000005
1 50000 60000 d 0,3
2 50000 60000 f' 0,0000125
3 50000 60000 g 0,00001
4 50000 60000 rab-sat 100000
5 50000 60000
6 50000 60000
7 50000 60000
8 50000 60000
9 50000 60000
10 50000 60000
11 50000 60000
12 50000 60000
13 50000 60000
14 50000 60000
15 50000 60000
16 50000 60000
17 50000 60000
18 50000 60000
19 50000 60000
20 50000 60000
21 50000 60000
22 50000 60000
23 50000 60000
24 50000 60000
44000
46000
48000
50000
52000
54000
56000
58000
60000
62000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19Raposa
Coelho
Tempo População Oferta de alimento 8
1 10 Oferta mínima de alimento 5
2 11 coeficiente de crescimento0,0333
3 12,1
4 13,31
5 14,64
6 16,104
7 17,715
8 19,486
9 21,434
10 23,578
11 25,935
12 28,528
13 31,381
14 34,519
15 37,97
16 41,767
17 45,943
18 50,537
19 55,59
20 61,149
21 67,263
22 73,988
23 81,386
24 89,524
0
200
400
600
800
1000
1200
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
População
Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional
O crescimento infinito é real?
Se a população alcança a saturação em x0
O coeficiente de crescimento é proporcional a x0 – x
Podemos interpretar o termo x2 como um número proporcional ao número médio de encontros entre x indivíduos. Por isso mensura um tipo de fricção social.
2
000
00
)()()()(
)()))(((
txssbtxssbx
txsstxxbt
x
Tempo População Oferta de alimento 8
1 10 Oferta mínima de alimento 5
2 11 coeficiente da saturação 1000
3 12,099 da população 0,00003367
4 13,306
5 14,632
6 16,089
7 17,688
8 19,443
9 21,369
10 23,481
11 25,797
12 28,335
13 31,117
14 34,162
15 37,495
16 41,14
17 45,125
18 49,477
19 54,227
20 59,408
21 65,052
22 71,195
23 77,875
24 85,129
0
100
200
300
400
500
600
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Modelagem da Dinâmica Populacional
Começamos com a população de raposas
Se a população de raposas não cresce muito de forma que podemos ignorar a “saturação populacional”
O modelo de crescimento sem limites é
Agora, se a única fonte alimentar da raposa é o coelho, então s é proporcional a população de coelhos
A população de coelhos é representada por “y”
)()( 0 txssat
x
xdcy
tdxtytcx
txstbyat
x
)(
)()()(
)())(( 0
Modelagem Matemática da Dinâmica Populacional
Como no caso da população de coelhos, temos como premissa que existe crescimento exponencial quando os coelhos estão sendo consumidos pelas raposas – ainda temos a premissa do que o número de coelhos é proporcional a população de raposas
ygxf
tytxgtyft
y
)(
)()()(
As Equações de Predador – Presa Lotka e Volterra
População de raposas – x
População de coelhos – y
onde c, d, f, g são parâmetros constantes
ygxft
y)(
xdcyt
x)(
Tempo RaposasCoelhos c 5E-06
1 35000 70000 d 0,3
2 36750 80500 f 0,5
3 40517 91166 g 1E-05
4 46831 99812
5 56153 102975
6 68219 96639
7 80716 79033
8 88397 54757
9 86080 33732
10 74774 21561
11 60403 16220
12 47181 14532
13 36455 14942
14 28242 16966
15 22165 20657
16 17805 26407
17 14814 34909
18 12956 47192
19 12126 64674
20 12410 89169
21 14220 122688
22 18676 166586
23 28630 218767
24 51357 265518
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Raposas
Coelhos
Introduzimos uma saturação para a população de coelhos:
Tempo Raposas Coelhos c 0,000005
1 50000 60000 d 0,3
2 50000 60000 f' 0,0000125
3 50000 60000 g 0,00001
4 50000 60000 saturação 100000
5 50000 60000
6 50000 60000
7 50000 60000
8 50000 60000
9 50000 60000
10 50000 60000
11 50000 60000
12 50000 60000
13 50000 60000
14 50000 60000
15 50000 60000
16 50000 60000
17 50000 60000
18 50000 60000
19 50000 60000
20 50000 60000
21 50000 60000
22 50000 60000
23 50000 60000
24 50000 60000
44000
46000
48000
50000
52000
54000
56000
58000
60000
62000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19Raposas
Coelhos
Interações entre Predadores e Presas: Sumário
As interações predador e presa são freqüentemente dramáticas, como as interações entre coelhos e raposas
O modelo simples de predação de Lotka e Volterra gera flutuações de predador e presa
Os modelos gráficos identificam os fatores que estabilizam e desestabilizam a interação predador e presa
Importância da predação na natureza evidenciada por:
– Diversidade, ubiqüidade de adaptações anti-predador
– Evidencia que os predadores controlam as presas, sob condições específicas
– Impacto de predadores e presas que interagem sobre os ciclos populacionais
