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III. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS:

Una EDO de primer orden de la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es homogénea siM y N son funciones homogéneas del mismo grado.

En general, una función es homogénea si es del mismo grado en cada uno desus términos.

Una función z = f(x, y) que tenga la propiedad z(tx, ty) = t (x, y) se denominahomogénea de grado n.

Otra forma de identificar una EDO homogénea es si se puede expresardydx = f yx o dxdy = f xyEjemplo: z = x + xy + y es homogénea de segundo gradoz(tx, ty) = [(tx) + (tx)(ty) + (ty) ] = t x + t xy + t y= t (x + xy + y )Solución: se resuelve haciendo el siguiente cambio de variable:

y = u ∗ x → se deriva respecto a x; dydx = u + x dudx (si N(x, y) es más sencilla)x = v ∗ y → se deriva respecto a y; dxdy = v + ydvdy (si M(x, y) es más sencilla)Luego se sustituye el cambio de variable y su derivada en la EDO dada,obteniéndose una EDO de variables separadas.

Ejemplos:

1) (x + y)dx + (y − x)dy = 0 ; = − ( )( ) ;y = u ∗ x ; = u + x ; u + x = − ; ; u + x = − ( )( ) ;x dudx = − (1 + u)(u − 1) − u ; x dudx = −1 − u − u + uu − 1 ; x dudx = − (u + 1)u − 1 ;u − 1u + 1du = − dxx ; uu + 1du − 1u + 1du = − dxx

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= 12 ln(u + 1) − arctag(u) = − ln x + C ; 12 ln yx + 1 − arctag yx = − ln x + C12 ln y + xx − arctag yx = − ln x + C

2) y cos + x sin dx = x cos dy → =y = u ∗ x ; u = yx ; dydx = u + x dudx ;

u + x dudx = [y cos(u) + x sin(u)]x cos(u) ; u + x dudx = u + sin ucos u ; x dudx = sin ucos ucos usin u du = dxx ; ln|sin u| = ln x + ln C ; sin u = x ∗ Csin yx = x ∗ C

3) x(ln x − ln y)dy − ydx = 0 condición particular y(2) = 1x(ln x − ln y)dy = ydx ; dxdy = x ln xy dyy ; x = v ∗ y ; v = xy ;

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dxdy = v + ydvdyv + y dvdy = v ln v ; y dvdy = v ln v − v ; dvv(ln v − 1) = dyyln(ln v − 1) = ln y + ln C ; ln ln xy − 1 = ln y + ln Cln xy − 1 = y ∗ C ; si y(2) = 1 ; ln(2) − 1 = C

ln xy − 1 = y[ln(2) − 1]

4) xdx + (y − 2x)dy = 0 ; = −y = u ∗ x ; dydx = u + xdudx

u + x dudx = − (u − 2u + 1)u − 2 ; u − 2u − 2u + 1du = − dxx ;u − 2(u − 1) du = − dxxu − 2(u − 1) du = Au − 1 + B(u − 1) ; fracción simple: A = 1 y B = −1

duu − 1 − du(u − 1) = − dxx ; ln(u − 1) + 1u − 1 = − ln x + Cln − 1 + 1− 1 = − ln +

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5) x + y = 2y ; =y = u ∗ x ; dydx = u + xdudx

u + x dudx = 2ux − xux ; x dudx = 2u − 1u –u ; x dudx = 2u − 1 − uuuu − 2u + 1du = − dxx ; u(u − 1) du = − dxxduu − 1 − du(u − 1) = − dxx ; ln(u − 1) + 1u − 1 = − ln x + Cln y − xx + xy − x = − ln x + C

6) 3x = 2x + y ; =y = u ∗ x ; dydx = u + xdudx

u + x dudx = 2x + u x3x ; x dudx = 2 + u3 − u ; x dudx = 2 + u − 3u3duu − 3u + 2 = dxx ; du(u − 2)(u − 1) = dxxdu(u − 2)(u − 1) = A(u − 2) + B(u − 1) ; fracción simple: A = 1 y B = −1ln(u − 2) − ln(u − 1) = ln x + ln C ; u − 2u − 1 = x ∗ C

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yx − 2yx − 1 = x ∗ C ;y − 2xxy − xx = x ∗ C ; y − 2xy − x = x ∗ C

y − 2x = xyC − x C ; y − xyC = 2x − x C ; y(1 − cx) = 2x − x Cy = 2x − Cx1 − Cx

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IV. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS:

Son EDO cuya expresión es la siguiente (ax + by + c)dx = (a x + b y + c )dy odydx = ax + by + ca x + b y + c dónde c y c son diferentes de ceroSe presentan dos casos:

a)a ba b = 0 Rectas linealmente dependientes

Se hace el siguiente cambio de variable: u = ax + byY se deriva respecto a la variable independiente:dudx = a + b dydx o dudy = a dxdy + bSe sustituye el cambio de variable y su derivada en la EDO,obteniéndose una EDO de variables separadas.

b)a ba b ≠ 0 Rectas linealmente independientes

Se hace el siguiente cambio de variable: x = x + h ; y = y + kSiendo h y k el punto de intersección de las rectas dadas, se sustituyenen la EDO y se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Los valores de h y k hallados hacen que la EDO dada se convierta en unaEDO homogénea.

u = yx ; y = u ∗ x ; dydx = u + x dudxv = xy ; x = v ∗ y ; dxdy = v + y dvdy

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Ejemplos:

1) (2x − y)dx + (4x − 2y + 1)dy = 0= ; 2 −1−4 2 = 4 − 4 = 0 linealmente dependientes

dydx = 2x − y−2(2x − y) − 1 ; u = 2x − y ; dudx = 2 − dydx2 − dudx = u−2u − 1 ; 2 + u2u + 1 = dudx ; 4u + 2 + u2u + 1 = dudxdudx = 5u + 22u + 1 ; 2u + 15u + 2 du = dx ; 25 du + 125 duu + 2 5 = dx

25 u + 125 ln u + 2 5 = x + c ;25 (2 − ) + 125 ln 2 − + 25 = +

2) (x − y + 1)dy − (x + y − 1)dx = 0dydx = x + y − 1x − y + 1 ; 1 11 −1 = −1 − 1 = −2 ≠ 0 ; linealmente independientesx = x + h ; y = y + k ; dydx = x + h + y + k − 1x + h − y − k + 1sistema de ecuaciones:dydx = x + yx − y ; u = yx1 ; y = u ∗ x ; dydx = u + x dudx

h + k − 1 = 0 ; h = 0h − k + 1 = 0 ; k = 1

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u + x dudx = x + uxx − ux ; x dudx = 1 + u1 − u − u ; x dudx = 1 + u − u + u1 − u1 − uu + 1 du = dxx ; duu + 1 − uduu + 1 = dxxarctag(u) − 12 ln(u + 1) = ln x + c

arctag yx − 12 ln yx + 1 = ln x + c− 1 − 12 ln − 1 + 1 = ln +