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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
ClaseÁlgebra
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar los factores presentes en un término algebraico, para determinar factor común.
• Utilizar técnicas para determinar factor común
simple y compuesto.• Identificar productos
notables en una expresión algebraica.
• Simplificar y operar expresiones algebraicas
fraccionarias. • Factorizar expresiones algebraicas.
Contenidos
Álgebra• Definición
• Factorización de expresiones algebraicas
• Productos notables
• Operatoria con expresiones algebraicas
Permite expresar la información mediante operaciones con números y letras.Ejemplos:
2(x +5)El doble de la suma entre x y 52x + 5El doble de x, aumentado en 5
3xEl triple de un número xx – 2 Un número x disminuido en 2x + 3Un número x aumentado en 3
La mitad de un número xLenguaje algebraicoLenguaje usual
2x
El orden de las palabras puede hacer la diferencia al momento de expresar una frase en lenguaje algebraico.
Álgebra 1. Definición
• Lenguaje algebraico
…podrás conducir cuando tengas el doble de tu edad, más cuatro años…
…cuando tenga el doble de la suma entre mi edad y cuatro años?…
Álgebra 1. Definición
• Lenguaje algebraico
El orden de las palabras puede hacer la diferencia al momento de expresar una frase en lenguaje algebraico.
“factor numérico”
5 m2n
“factor literal”
“factor numérico”
35
z w
“factor literal”
Término algebraico
Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”.
11a2b4,5w3zxy3z, 5m2n,
11 a2b4
“factor numérico”
“factor literal”
1 xy3z
“factor numérico”
“factor literal”
a
“factor numérico”
“factor literal”
Ejemplos:
Álgebra 1. Definición
• Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta.
Ejemplos:
1) 6x5 – 2 5z
2) 9a4 + 5xy6 – 2x + 13y
3)
Álgebra 1. Definición
• Expresiones algebraicas
Clasificación 1)Monomio: Expresión algebraica que consta de un término algebraico.
2) Polinomio: Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. Se clasifican en:
-Binomio: Polinomio que consta de dos términos.
-Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos.
Álgebra 1. Definición
• Expresiones algebraicas
Términos semejantes
Son aquellos términos algebraicos que tienen los mismos factores literales, incluyendo el exponente de cada uno de ellos.
Ejemplos:
- Los términos y son semejantes. - Los términos y NO son semejantes.
7a3b 3a3b3x5 2x4
Álgebra 1. Definición
• Expresiones algebraicas
Álgebra 2. Factorización
• Factor común monomioSe emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen un término algebraico en común.
2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y
Al descomponer...
(El factor común es : 2xy)2xy + 4xy2 – 6x2y =
= 2xy(1 + 2y – 3x)
Ejemplo:
La factorización consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación.
Álgebra
• Factor común polinomioCuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un término algebraico común, a veces al agruparlos convenientemente se obtienen grupos de factores comunes.
Ejemplo: Agrupando...
Factorizando por partes...
Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)...
xz + xw + yz + yw == (xz + xw) + (yz + yw)
= x(z + w) + y(z + w)
= (z + w)(x + y)
2. Factorización
Álgebra
• Cuadrado de binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.
(6x – 2y)2 = (6x)2 – 2(6x∙2y) + (2y)2 = 36x2 – 24xy + 4y2
Ejemplo:
3. Productos notables
La fórmula del cuadrado de binomio se puede obtener geométricamente:
bab
a ab2
2
a bb
a
a b
a
b
Álgebra 3. Productos notables
• Cuadrado de binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ejemplo:Aplicando la fórmula...
Desarrollando potencias...
Multiplicando...
(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3
= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x)∙(4y2)– 8y3
= 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3
(3x – 2y)3 =
Álgebra
• Cubo de binomio: 3. Productos notables
• Suma por diferencia:
Aplicando la fórmula...
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2
(9x + 4y)∙(9x – 4y) = (9x)2 – (4y)2
= 81x2 – 16y2
Ejemplo:
Álgebra 3. Productos notables
• Producto de binomios:
Ejemplo:
(x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(x + 5)∙(x + 1) =
= x2 + 6x + 5
x2 + (5 + 1)x + 5 ∙ 1
Esta propiedad solo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.
Álgebra 3. Productos notables
Ejemplo:Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(y – 8)∙(y + 7) =
= y2 – y – 56
y2 + (– 8 + 7)y – 8 ∙ 7
Ejemplo:Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(2y – 8)∙(2y + 7) =
= 4y2 – 2y – 56
(2y)2 + (– 8 + 7)∙(2y) – 8 ∙ 7
Álgebra 3. Productos notables
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) (2x + 3y + 4z)2 =
= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
• Cuadrado de trinomio:
Ejemplo:
Álgebra 3. Productos notables
Entre monomios:Se obtiene como el producto entre el m.c.m. de los coeficientes numéricos, y cada uno de los factores literales, con su mayor exponente.
Ejemplo:El m.c.m. entre: 2x7y3, 4x3yz4 y 6y5
es: 12x7y5z4
Álgebra 4. Operatoria
• Mínimo común múltiplo
x2 + 4x +4x2 + 2 x
Entre polinomios:
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. El m.c.m. se obtiene como el producto de cada factor elevado a su mayor exponente.
Ejemplo:Determinar el m.c.m. entre:
y
m.c.m. :
Factorizando... x(x + 2) (x + 2)2
x(x + 2)2
Álgebra 4. Operatoria
Se obtiene como el producto entre el M.C.D. de los coeficientes numéricos y los factores comunes a todos los términos, con su menor exponente.
Ejemplo:
El M.C.D. entre: 18x4y3, 24x3y2z5 y 12y8
es: 6y2
Álgebra 4. Operatoria
Entre monomios:• Máximo común divisor
x2 + 4x + 4x2 + 2x
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Se obtiene como el producto de los factores comunes a todos los términos, con su menor exponente.
Ejemplo:Determinar el M.C.D. entre:
y
M.C.D. :
Factorizando... x(x + 2) (x + 2)2
(x + 2)
Entre polinomios:
Álgebra 4. Operatoria
• Máximo común divisor
Si los denominadores son iguales, se mantiene el denominador y se suman (restan) numeradores, según corresponda.
Con z ≠ 0zzz321
Ejemplo:
Álgebra 4. Operatoria
• Adición y sustracción
Si los denominadores son distintos, se debe encontrar el m.c.m entre ellos. Luego se amplifican las fracciones, de modo que el denominador sea el m.c.m., y se suma o resta, según corresponda.
Con b ≠ 1 y b ≠ – 1
1b
b1-b
1Ejemplo:
1)-1)(b(b
1)-b(b1)(b (Desarrollando)
1)-1)(b(bb-b1b 2
(Reduciendo términos semejantes)
1b1b
2
2
Álgebra 4. Operatoria
• Adición y sustracción
(a + b)
(a – b) 1
a – b= ∙
(a + b)(a – b):
(a + b)(a + b) 1
a – b
Si a b y a –b, entonces: Factorizando y simplificando
Dividiendo:
(a + b)2
a2 – b2: 1
a – b=
(a + b)
(a – b)
1
a – b:=
= (a + b)
Ejemplo:
Antes de operar las fracciones algebraicas, conviene factorizar sus numeradores y denominadores, pues generalmente se simplifican algunas expresiones.
4. Operatoria Álgebra
• Multiplicación y división
Síntesis de la clase
Definición
Lenguaje algebraico
Expresiones algebraicas
Operatoria
m.c.m y M.C.D
Adición y sustracción
Multiplicación y división
Álgebra
Productos notables
Cuadrado de binomio:
Suma por su diferencia
Producto de binomios
22 2)( bababa
22))(( bababa
bccbaacaba )())(( 2
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Equipo Editorial Matemática