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Capítulo 3.- CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO
OBJETIVOS
Clasificar los diferentes tipos de movimiento plano de un cuerpo.
Investigar el movimiento de traslación de un cuerpo rígido y mostrar cómo se
realiza el movimiento a través de un eje fijo.
Estudiar el movimiento plano usando un análisis de movimiento absoluto.
Proporcionar un análisis de movimiento relativo de velocidad y aceleración usando
un marco de transferencia de rotación
INTRODUCCIÓN
La cinemática de cuerpos rígidos estudia las relaciones existentes entre el tiempo,
posición, velocidad, y aceleración de las diferentes partículas que forman un
cuerpo rígido.
Los varios tipos de movimientos de los cuerpos rígidos pueden ser puestos en
cinco categorías: traslación, rotación alrededor de un eje fijo, movimiento plano
general, movimiento alrededor de un punto fijo y movimiento general.
3.1 TIPOS DE MOVIMIENTOS DE UN CUERPO RÍGIDO
3.1.1 TRASLACIÓN
La traslación ocurre cuando todas las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven a
lo largo de trayectorias paralelas. Es decir cuando un segmento recto entre dos puntos
dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento.
Traslación rectilínea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partículas cualquiera
del cuerpo forman líneas rectas equidistantes.
Traslación curvilínea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partículas cualquiera
del cuerpo forman líneas curvas equidistantes.
Figura 3.1 Traslación rectilínea Figura 3.2 Traslación curvilínea.
3.1.2 ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
En este movimiento las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos a través de
círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si el eje interseca al cuerpo rígido, las partículas
localizadas sobre el eje tienen velocidad cero, y aceleración cero.
Figura 3.3 Rotación alrededor de un eje fijo
No confundir entre traslación curvilínea y rotación.
Traslación curvilínea Rotación
3.1.3. MOVIMIENTO PLANO GENERAL
Cualquier movimiento en el plano que no esté destinado a ser cualquiera de los dos tipos
de movimientos, ya sea traslación o rotación es determinado como movimiento plano
general.
En muchos casos el movimiento plano general se da cuando un cuerpo experimenta una
combinación de traslación y rotación. La traslación ocurre dentro de un plano d referencia
y la rotación sobre un eje perpendicular a dicho plano de referencia. Por ejemplo el
movimiento de rodadura, el desplazamiento de varillas guiadas, movimientos de
eslabones en mecanismos, etc.
Rodadura Deslizamiento de varillas
Movimientos en mecanismos
3.1.4 MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES
En el análisis tridimensional generalmente ocurren dos tipos de movimientos.
Movimiento alrededor de un punto fijo ocurre cuando el cuerpo rígido rota alrededor de
un punto fijo.
Figura Movimiento con punto fijo
Cuando el movimiento de un cuerpo rígido no cae dentro de otras categorías, éste es
determinado como movimiento en el plano.
3.2 TRASLACIÓN
Cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma
velocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado. En el caso de traslación
curvilínea, la velocidad y aceleración cambian en dirección y en magnitud.
Movimiento de traslación
Considerando los puntos A y B sobre el cuerpo rígido mostrado, se cumple la siguiente
relación entre las posiciones respecto a un sistema de coordenadas fijo:
Como el vector
mantiene una dirección y magnitud constante durante la traslación
ya que A y B permanecen en el mismo cuerpo rígido, la derivada de
Por lo tanto:
En el caso de traslación rectilínea todas las partículas del cuerpo se mueven a lo largo de
líneas rectas paralelas y su velocidad y aceleración se mantienen en la misma aceleración
durante el tiempo completo.
3.3 ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
La relación entre velocidad, posición y aceleración para la rotación en un eje fijo puede ser
demostrada en términos tridimensionales, o un acontecimiento plano. La presentación
general proporciona un entorno fundamental para entender la presentación plana.
3.3.1 Rotación de una placa representativa
La rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo puede definirse mediante el
movimiento de una placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de
rotación. El plano xy es el plano de referencia, y el eje de giro es el eje z perpendicular al
plano xy.
El vector velocidad angular w tiene la dirección k en el eje z positivo cuando gire en
sentido anti horario.
Por definición la velocidad de cualquier punto de la placa, está dada por el producto
vectorial:
Puesto que r y k son perpendiculares, la magnitud de la velocidad v es:
La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria que forma la partícula en el
movimiento de rotación. Es decir a 90° de la dirección del radio en el sentido de
movimiento.
De igual manera el vector velocidad angular α tiene la dirección k en el eje z positivo
cuando gire en sentido anti horario.
Por definición la aceleración tangencial de cualquier punto de la placa, está dada por el
producto vectorial:
Puesto que r y k son perpendiculares, la magnitud de la aceleración tangencial es:
La aceleración centrípeta o normal se define como el producto de:
El módulo de la aceleración normal es:
La dirección de la aceleración normal es siempre hacia el centro de rotación, es decir
opuesta a la dirección radial.
El vector aceleración total del movimiento de rotación es:
3.3.2 ECUACIONES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Como un cuerpo rígido rota alrededor de algunos ejes fijos, la coordenada angular
cambia con el tiempo. La coordenada angular puede ser expresada como una función del
tiempo t. La relación entre la coordenada angular, velocidad, aceleración y tiempo son:
Dos casos particulares de rotación en un eje fijo son frecuentemente encontrados:
Rotación Uniforme.- en caso de rotación uniforme la aceleración angular es cero. Por lo
tanto, solo una de las ecuaciones es aplicable.
Integrando resulta:
Rotación Uniformemente Acelerada.- en este caso la aceleración angular es constante.
Por lo tanto, tres ecuaciones pueden ser derivadas para dicho movimiento:
Recuerde que estas ecuaciones son solo aplicables cuando la aceleración angular es
constante. Para otras situaciones se tiene que integrar de las anteriores.
Para el caso de cuerpos rígidos en tres dimensiones se deberá tomar en cuenta un análisis
vectorial de las variables posición, velocidad y aceleración.
La aceleración angular de un eje (flecha) se define mediante la relación α=-0.25ω, donde α se expresa en rad/s2 y ω en rad/s. Si se sabe que en t=0 la velocidad angular del eje es 20 rad/s, determine: a) el número de revoluciones que el eje ejecutará antes de detenerse b) el tiempo requerido para que el eje se detenga c) el tiempo necesario para que la velocidad angular del eje se reduzca hasta el 1% de su valor inicial.
La varilla doblada ABCDE gira alrededor de una línea que une los puntos A y E con una velocidad angular constante de 9 rad/s. Si se sabe que la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj según se observa desde E, determinar la velocidad y aceleración de la esquina C.
Una serie de pequeños componentes de máquina se mueven por medio de una banda transportadora que pasa sobre una polea guía de 6 in de radio. En el instante que se muestra, la velocidad del punto A es 15 in/s hacia la izquierda, y su aceleración es de 9 in/s2 hacia la derecha. Determine:
a) la velocidad angular y la aceleración angular de la polea guía b) la aceleración total de los componentes de máquina en B. Una polea y dos cargas se conectan mediante cuerdas inextensibles como se muestra en la figura. La carga A tiene una aceleración constante de 300 mm/s2 y una velocidad inicial de 240 mm/s, ambas dirigidas hacia arriba. Determine: a) el número de revoluciones ejecutadas por la polea en 3s. b) la velocidad y la posición de la carga B después de 3s. c) la aceleración del punto D sobre el aro de la polea en el tiempo t=0.
3.4 MOVIMIENTO PLANO GENERAL
El movimiento plano general es un movimiento que puede ser modelado como una
combinación de dos tipos de movimientos. El movimiento general en el plano es la suma
de la traslación pura y la rotación en un eje fijo.
3.4.1 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano
Según el análisis gráfico del movimiento plano que se presenta, se puede deducir que:
Donde r es la distancia de A a B.
Para el movimiento de varillas:
Suponiendo que se conoce la velocidad se propone encontrar la velocidad y la
velocidad angular de la varilla, la longitud y el ángulo .
Se escoge al punto A como punto de referencia y se expresa que el movimiento dado es
equivalente a la traslación con A y una rotación simultanea alrededor de A.
Tomemos en cuenta que se desconoce la dirección de
pero se conoce la dirección de
, con lo que se puede completar el diagrama de velocidades del sistema.
Al despejar las magnitudes de y utilizando el triángulo de velocidades, se tiene:
El mismo resultado se consigue utilizando B como punto de referencia, de manera que:
Nota: La velocidad angular de un cuerpo rígido en movimiento plano es independiente
del punto de referencia.
Mecanismo con cremallera inferior fija
Movimiento plano
Movimiento de mecanismo biela - manivela
Movimiento de rotación
Movimiento plano
3.4.2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN
Los problemas generalmente se encuentran considerando las velocidades absolutas y
relativas que se requieren de ambas en el modelo, y resolver para una o más incógnitas.
Subsecuentemente se consideran sólo problemas en el plano, pueden determinarse sólo
dos incógnitas para un problema dado. Un aspecto importante de tales problemas es
reconocer que generalmente las soluciones requeridas para un momento específico
durante el movimiento del cuerpo, o cuerpos conectados. En estos
instantes la geometría juega un papel importante determinando la
respuesta correcta. El sistema de barras fijas mostrado está libre
para girar. Durante el movimiento existen cambios de posición del
pasador B y C, así como en la orientación de la barra BC. Durante el
movimiento, y a cualquier momento dado, cada barra puede tener
una velocidad angular única.
Al modelar el sistema definido por la declaración del problema, un diagrama es esencial
para observar la dirección de las velocidades en puntos discretos.
1. Identificar las incógnitas.
2. Determinar los tipos de movimiento involucrados en el
problema. Para este ejemplo, barras AB y DC realizan
rotación en un eje fijo. La barra BC tiene movimiento plano
general.
3. La velocidad angular de las barras es explícitamente
conocida de la declaración del problema, o debe asumirse.
Si se asume una dirección incorrecta, la respuesta resultará
negativa
4. Indicar velocidades conocidas en el diagrama. Para este ejemplo las velocidades
absolutas a los puntos A y D son de cero. Ya que las barras AB y DC realizan rotación sobre
un eje fijo, las velocidades absolutas en los puntos B y C se pueden encontrar. Sus
magnitudes y direcciones dependen de las longitudes de las barras AB y DC, así como las
velocidades angulares.
5. El modelo para la barra BC puede ahora ser usada para establecer las relaciones entre
las velocidades absolutas en los puntos B y C y la velocidad relativa entre los dos puntos.
Pueden usarse dos posibles modelos. En cualquier modelo, el ángulo θ y la longitud de BC
son conocidos. Cualquier modelo puede usarse. Los dos rendirán los mismos resultados.
No más de dos incógnitas pueden determinarse.
El collarín A se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 1.2 m/s. En el instante mostrado cuando , determine: a) la velocidad angular de la varilla AB b) la velocidad del collarín B
El brazo ACB gira alrededor del punto C con una velocidad angular de 40 rad/s en sentido contrario a las manecillas del reloj. Por medio de pasadores insertados en sus centros, dos discos de fricción A y B se montan sobre el brazo ACB como se muestra en la figura. Si los dos discos ruedan sin deslizarse en las superficies de contacto, determine: a) la velocidad angular del disco A b) la velocidad angular del disco B
En la posición mostrada, la barra AB tiene aceleración angular nula y una velocidad angular constante de 20 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine: a) la velocidad angular del elemento BDH b) la velocidad del punto H
3.5 CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN EN EL MOVIMIENTO PLANO
Considerando el movimiento plano general de una placa.
El movimiento plano general de una placa puede sustituirse como una combinación de la
traslación definida por el movimiento de un punto arbitrario A, y la rotación sobre un eje
fijo que pasa por A.
La traslación se caracteriza por la velocidad del punto de referencia A, y la rotación se
caracteriza por la velocidad angular del cuerpo rígido que es independiente del punto de
referencia que se escoja. Por lo tanto la velocidad y la velocidad angular definen por
completo todas las demás velocidades de la placa.
Suponiendo que se conocen y , estas velocidades podrían obtenerse dejando que la
placa gire con la velocidad angular alrededor de un punto C ubicado sobre la
perpendicular a la velocidad a una distancia
desde A. Por lo tanto la placa
parece girar alrededor del centro instantáneo C en ese instante considerado.
Eje de rotación instantáneo.- Eje perpendicular al plano sobre el punto C, sobre el cual la
velocidad de las diferentes partículas de la placa es la misma como que si la placa girara
alrededor de dicho eje.
Determinación del centro instantáneo de rotación:
a) Conociendo las direcciones de las velocidades absolutas de dos partículas A y B, siendo
estas diferentes, el centro instantáneo de rotación C se obtiene dibujando
perpendiculares a las velocidades y a través de los puntos A y B respectivamente. El
punto de intersección de estas rectas perpendiculares determina el centro instantáneo de
rotación C.
Nota: Si las velocidades y fueran paralelas, el centro instantáneo de rotación C
estaría a una distancia infinita y sería cero. Todos los puntos de la placa tendrían la
misma velocidad resultando un movimiento de traslación pura.
b) Si se conocen las magnitudes las velocidades y de los puntos A y B, y éstas son
perpendiculares a la línea AB, el centro instantáneo de rotación puede encontrarse
intersecando la línea AB con la línea que une los extremos de los vectores y .
Nota: Si las velocidades y fueran iguales, el centro instantáneo de rotación C estaría
a una distancia infinita y sería cero. Todos los puntos de la placa tendrían la misma
velocidad resultando un movimiento de traslación pura.
NOTA: La velocidad en el punto C es cero. Debido a esto, el punto C a veces se lo llama el
centro instantáneo de velocidad cero.
Aplicando la teoría de centro instantáneo de rotación se puede analizar la siguiente varilla
conociendo la .
Mecanismo con cremallera inferior fija
En este método de cálculo solo intervienen las velocidades absolutas de los puntos de
interés.
Movimiento de mecanismo biela – manivela
Consulta:
¿Qué es la centroda corporal y la centroda espacial?
Si se sabe que en el instante mostrado, la velocidad angular de la varilla AB es de 15 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, determine: a) La velocidad angular de la varilla BD b) La velocidad del punto medio de la varilla BD
Un tambor de 3 in de radio se une de manera rígida aun tambor de 5 in de radio en la
forma que se indica. Uno de los tambores rueda sin deslizarse sobre la otra superficie
mostrada y una cuerda se enrolla alrededor del otro tambor. Si se sabe que el extremo E
de la cuerda se hala hacia la izquierda con una velocidad de 6 in/s, determine:
a) la velocidad angular de los tambores
b) la velocidad del centro de los tambores
c) la longitud de la cuerda en rollada o desenrollada por segundo.
El brazo ABD se une mediante pasadores a un collarín en B y a la manivela DE. Si la
velocidad del collarín B es de 400 mm/s hacia arriba, determinar:
a) La velocidad angular del brazo ABD
b) La velocidad del punto A
Dos varillas AB y DE están conectadas como se indica en la figura. Si el punto D se mueve
hacia la izquierda con una velocidad de 40 in/s , determine:
a) La velocidad angular de cada varilla
b) La velocidad del punto A
3.6 ACELERACIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO
Vectorialmente:
Escalarmente:
Conociendo la velocidad y la aceleración , se determina la aceleración y la
aceleración angular de la varilla. Al elegir a A como punto de referencia, se expresa que
el movimiento dado es equivalente a una traslación con A y a una rotación alrededor de A.
La aceleración absoluta de B debe ser igual a la suma:
Dirigida hacia A
Perpendicular a AB
Si se conoce que se dirige hacia la derecha y hacia la derecha:
Si se conoce que se dirige hacia la izquierda y hacia la izquierda:
3.6.1 Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro
Para el mecanismo biela – manivela se tiene la velocidad angular constante de AB de
20000 rpm y se pide calcular la aceleración angular de la biela y la aceleración del pistón.
La barra BDE está unida a dos eslabones AB y CD. Si en el instante que se muestra el eslabón AB tiene una aceleración angular nula y una velocidad angular de 3 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Determine: a) La aceleración del punto D b) La aceleración del punto E
El tambor de 150 mm de radio rueda sin deslizarse sobre una banda que se mueve hacia la izquierda con una velocidad constante de 300 mm/s. En el instante en que la velocidad y la aceleración del centro D del tambor son como se muestra, determine las aceleraciones de los puntos A,B y C del tambor.
Si se sabe que en el instante mostrado la barra AB tiene una velocidad angular constante de 6 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, determine: a) La aceleración del punto D b) La aceleración angular del elemento BDE c) La aceleración del punto E
