Chuyên đề lượng giác qua các kì thi - Nguyễn Văn Rin

Lượng giác qua các k ỳ thi Nguyễn V ăn Rin

1

LƯỢNG GIÁC QUA CÁC K Ỳ THI

A. M ỘT S Ố KI ẾN THỨC CẦN NHỚ I. Công thức lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm ( )0 0;M x y sao cho

số đo cung �AM α= .

tan APα = có nghĩa k.v.c.k 2

kπα π≠ + cot BQα = có nghĩa k.v.c.k kα π≠

3. Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt

2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

α 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sinα 0 1

2 2

2

3

2

1

cosα 1 3

2

2

2

1

2

0

tanα 0 3

3

1 3 �

cotα � 3 1 3

3

0

1. Hệ thức cơ bản giữa các HSLG sin

tan cos

αα α

= cos

cot sin

αα α

=

2

2

11 tan

cosα

α+ = 2

2

11 cot

sinα

α+ =

2 2sin cos 1α α+ = ( )( )2sin 1 cos 1 cosα α α= + −

( )( )2cos 1 sin 1 sinα α α= + −

( )21 sin 2 sin cosα α α± = ± 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosα α α α+ = − 6 6 2 2sin cos 1 3sin cosα α α α+ = −

a. Hai góc đối nhau cos ( ) cosα α− =

( ) sin sinα α− = −

( ) tan tanα α− = −

( )cot cotα α− = −

b. Hai góc bù nhau ( ) cos cosπ α α− = −

( ) sin sinπ α α− =

( ) tan tanπ α α− = −

( )cot cotπ α α− = −

d. Hai góc hơn kém π cos ( ) cosπ α α+ = −

( ) sin sinπ α α+ = −

( ) tan tanπ α α+ =

( )cot cotπ α α+ =

c. Hai góc phụ nhau

cos sin2

π α α − =

sin cos2

π α α − =

tan cot2

π α α − =

cot tan2

π α α − =

e. Hai góc hơn kém 2

π

cos sin2

π α α + = −

sin cos2

π α α + =

tan cot2

π α α + = −

cot tan2

π α α + = −

Khi đó, 0cos xα = 0sin yα = 0

0

tan y

xα = 0

0

cotx

yα =

( )sin 2 sinkα π α+ = ( )cos 2 coskα π α+ = ( ) sin , sin

sin ,

kk

k

αα π

α

+ = −

ch½n

lÎ

( ) tan tankα π α+ = ( )cot cotkα π α+ = ( ) cos , cos

cos ,

kk

k

αα π

α

+ = −

ch½n

lÎ

Luyện thi đại học online

http://hocmai.vn/luyen-thi-dai-hoc-kit-1/

Nguyễn V ăn Rin Chuyên đề l ượng giác

2

11. Phép biến đổi hàm số ( )2 2asin cos 0y x b x a b= + + ≠

Cũng có thể biến đổi

Đặc biệt, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có

10. Công thức biến đổi tích thành tổng

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1cos cos cos cos

2 1

sin sin cos cos2

1sin cos sin sin

2 1

cos sin sin sin2

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

= + + −

= − + − −

= + + −

= + − −

4. Công thức cộng ( ) cos cos cos sin sinα β α β α β± = ∓

( ) sin sin cos cos sinα β α β α β± = ±

( ) tan tan

tan

1 tan tan

α βα βα β±± =

∓

5. Công thức nhân đôi sin 2 2sin cosα α α=

2 2cos2 cos sinα α α= −

2 22cos 1 1 2sinα α= − = −

2

2 tantan 2

1 tan

αα α

= −

6. Công thức nhân ba 3sin3 3sin 4sinα α α= −

3cos3 4cos 3cosα α α= − 3

2

3tan tantan3

1 3tan

α αα α

−= −

7. Công thức hạ bậc 2 1 cos2

cos 2

αα += 2 1 cos2sin

2

αα −=

2 1 cos2tan

1 cos2

αα α

−= +

3 3sin sin3sin

4

α αα −= 3 cos3 3coscos

4

α αα +=

9. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos2 2

α β α βα β + −+ =

cos cos 2sin sin2 2

α β α βα β + −− = −

sin sin 2sin cos2 2

α β α βα β + −+ =

sin sin 2cos sin2 2

α β α βα β + −− =

( )sin tan tan

cos cos

α βα β

α β±

± =

8. Biểu diễn qua tang góc chia đôi

Đặt tan 2

t α= . Khi đó,

2

2sin

1

t

tα =

+

2

2

1cos

1

t

tα −=

+

2

2tan

1

t

tα =

−

21cot

2

t

tα −=

2 2

2 2 2 2sin cos

a by a b x x

a b a b

= + +

+ +

( )2 2 cos sin sin cosa b x xϕ ϕ= + +

( )2 2 sina b x ϕ= + + với tan .b

aϕ =

( )2 2 sin sin cos cosy a b x xα α= + +

( )2 2 cosa b x α= + − với tan .a

bϕ =

sin cos 2 sin 2 cos4 4

x x x xπ π + = + = −

sin cos 2 sin 2 cos .4 4

x x x xπ π − = − = +

sin 3 cos 2sin 2cos3 6

x x x xπ π ± = ± = ±

∓

3sin cos 2sin 2cos6 3

x x x xπ π ± = ± = ±

∓




3

b. Phương trình cosx m= - Nếu 1m > thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu 1m ≤ thì chọn góc α sao cho cos mα = .

Khi đó, ( )2cos cos

2

x kx k

x k

α πα

α π= +

= ⇔ ∈ = − +ℤ

Đặc biệt, cos 0 2

x x kπ π= ⇔ = +

cos 1 2x x k π= ⇔ = ( )k ∈ℤ

cos 1 2x x kπ π= − ⇔ = +

( )cos cos cos cosx xα π α= − ⇔ = −

*T ổng quát 2

cos cos 2

k

k

α β πα β

α β π= +

= ⇔ = − +

II. Phương trình lượng giác 1. Phương trình lượng giác cơ bản

2.

3.

4.

5.

6.

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác � Phương pháp giải.

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx� Phương trình có dạng sin cosa x b x c+ =� Điều kiện để phương trình có nghiệm:

2 2 2a b c+ ≥ . � Phương pháp giải.

a. Phương trình sinx m=- Nếu 1m > thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu 1m ≤ thì chọn góc α sao cho sin mα = .

Khi đó, ( )2sin sin

2

x kx k

x k

α πα

π α π= +

= ⇔ ∈ = − +ℤ

Đặc biệt, sin 0x x kπ= ⇔ =

sin 1 22

x x kπ π= ⇔ = + ( )k ∈ℤ

sin 1 22

x x kπ π− = − ⇔ = +

*Tổng quát 2

sin sin 2

k

k

α β πα β

α π β π= +

= ⇔ = − +

c. Phương trình tanx m= Chọn góc α sao cho tan mα = . Khi đó, ( )tan tan x x k kα α π= ⇔ = + ∈ℤPhương trình luôn có nghiệm với mọi m .

*T ổng quát tan tan kα β α β π= ⇔ = +

d. Phương trình cotx m=Chọn góc α sao cho cot mα = . Khi đó, ( )cot cot x x k kα α π= ⇔ = + ∈ℤPhương trình luôn có nghiệm với mọi m .

*T ổng quát cot cot kα β α β π= ⇔ = +

Phương pháp 1. Dùng tan b

aϕ = để đưa

phương trình về dạng cơ bản như sau:

( )

sin cos sin tan cos

sin cos

b c cx x x x

a a ac

x a

ϕ

ϕ ϕ

+ = ⇔ + =

⇔ + =

Phương pháp 2*. Chia 2 vế cho 2 2a b+ để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau:

( )

2 2 2 2 2 2

2 2

sin cos

cos

a b cx x

a b a b a bc

xa b

ϕ

+ =+ + +

⇔ − =+

với 2 2

sin a

a bϕ =

+ và

2 2cos

b

a bϕ =

+.

Phương pháp 3. (Thường dùng khi phương trình chứa tham số)

Dùng ẩn số phụ tan 2

xt = thì phương trình trở thành:

( ) ( )

2

2 2

2

2 1. .1 1

2 0

t ta b c

t t

b c t at c b

−+ =+ +

⇔ + − + − =(Đây là phương trình bậc hai theo t ).

- Dạng 2sin sin 0a x b x c+ + = , đặt sin , 1 1.t x t= − ≤ ≤

- Dạng 2cos cos 0a x b x c+ + = , đặt cos , 1 1.t x t= − ≤ ≤

- Dạng 2tan tan 0a x b x c+ + = , đặt tant x= .




4

� Cách sử dụng MTBT đưa phương trình dạng a sin cosx b x c+ = về phương trình lượng giác cơ bản ( )sinX x Y c+ = hoặc ( )cosX x Y c− = . ☺☺☺

* Đưa về dạng ( )sinX x Y c+ =- Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4 - Nhập vào màn hình: Pol(a,b bằng cách bấm SHIFT +, nhập a, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện dấu “,”, nhập b. - Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của X. - Bấm ALPHA S D⇔ = để xem giá trị của Y. - Khi đó, ( )a sin cos sinx b x c X x Y c+ = ⇔ + = .

* Đưa về dạng ( )cosX x Y c− = thì làm tương tự, nhập Pol(b,a ta được X, Y.

Khi đó, ( )a sin cos cosx b x c X x Y c+ = ⇔ − = .

Chú ý: • Chuyển về sin thì bấm hệ số của sin trước và góc cùng dấu. • Chuyển về cos thì bấm hệ số của cos trước và góc trái dấu.

�� Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin 2 cos2 3x x− =

� Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 3, 1Pol − ta được 2X = và 6

Y π= − .

Giải: 3sin 2 cos2 3 2sin 2 36

x x x π − = ⇔ − =

3sin 2 sin

6 2 3x

π π ⇔ − = =

2 26 3

2 26 3

x k

x k

π π π

π ππ π

− = +⇔

− = − +

2 22 5

2 26

x k

x k

π π

π π

= +⇔

= +

45

12

x k

x k

π π

π π

= + ⇔

= +

.

� Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: ( 1, 3Pol − ta được 2X = và 2

3Y

π= .

Giải: 2

3sin 2 cos2 3 2cos 2 33

x x x π − = ⇔ − =

2 3cos 2 cos

3 2 6x

π π ⇔ − = =

22 2

3 6 2

2 23 6

x k

x k

π π π

π π π

− = +⇔

− = − +

52 2

6

2 22

x k

x k

π π

π π

= +⇔

= +

5

12

4

x k

x k

π π

π π

= + ⇔

= +

.

�� Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin 2cos 2x x− + =

� Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 2,2Pol − ta được 2 2X = và 3

4Y

π= .

Giải: 3

2sin 2cos 2 2 2 sin 24

x x x π − + = ⇔ + =

3 1sin sin ...

4 2 6x

π π ⇔ + = = ⇔

� Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: (2, 2Pol − ta được 2 2X = và 4

Y π= − .

Giải: 2sin 2cos 2 2 2 cos 24

x x x π − + = ⇔ + =

1cos cos ...

4 2 3x

π π ⇔ + = = ⇔

�� Ví dụ 3: Giải phương trình sin3 3 cos3 1x x+ =

Giải: 1

sin3 3 cos3 1 2sin 3 1 sin 3 sin ...3 3 2 6

x x x xπ π π + = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔




5

hoặc 1

sin3 3 cos3 1 2cos 3 1 cos 3 cos ...6 6 2 3

x x x xπ π π + = ⇔ − = ⇔ − = = ⇔

4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx� Phương trình có dạng ( )sin cos sin cos 0a x x b x x c± + + =

� Phương pháp giải.

5. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

- Đẳng cấp bậc 2 có dạng 2 2sin cos sin cosa x b x c x x d+ + = � Phương pháp giải.

- Đẳng cấp bậc 3 có dạng 3 3 2 2sin cos sin cos sin cos esin cos 0a x b x c x x d x x x f x+ + + + + = � Phương pháp giải.

Dùng ẩn số phụ ( )sin cos 2 sin 2 .4

t x x x tπ = ± = ± ≤

22 1

1 2sin cos sin cos 2

tt x x x x

−⇒ = ± ⇒ = ± .

Phương trình trở thành ( )2

21. 0 2 2 0.

2

tat b c bt at c b

−± + = ⇔ ± + + =∓

(Đây là phương trình bậc hai theo t với 2t ≤ ).

� Phương pháp 1. i. Nếu cos 0x = không thỏa phương trình thì chia 2 vế cho 2cos x ta được phương trình bậc hai đối

với tant x= là ( ) ( ) ( )2 2 2tan tan 1 tan tan tan 0.a x b c x d x a d x c x b d+ + = + ⇔ − + + − =

ii. Nếu cos 0x = thỏa phương trình thì đặt cosx làm thừa số chung rồi giải, bằng cách thay 2 2sin 1 cosx x= − .

� Phương pháp 2. Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos2sin

2

xx

−= ; 2 1 cos2cos

2

xx

+=

và sin 2

sin cos2

xx x = để đưa phương trình đã cho về dạng đã biết.

i. Nếu cos 0x = không thỏa phương trình thì chia 2 vế cho 3cos x ta được phương trình bậc ba đối

với tant x= là ( ) ( )3 2 2 2tan tan tan tan 1 tan 1 tan 0a x b c x d x e x x f x+ + + + + + + =

( ) ( ) ( ) ( )3 2tan tan tan 0.a e x d f x c e x b f⇔ + + + + + + + =

ii. Nếu cos 0x = thỏa phương trình thì đặt cosx làm thừa số chung rồi giải, bằng cách thay 2 2sin 1 cosx x= − .

6. i. Phương trình dạng sin ,cos , tan , tan ,cot 02

xf x x x x =

� Phương pháp giải. Đặt tan 2

xt = , rồi áp dụng công thức

tang góc chia đôi biểu diễn sin ,cos , tan ,cotx x x x theo t .

ii. Phương trình dạng ( )sin 2 ,cos2 , tan , tan 2 ,cot 2 0f x x x x x =

� Phương pháp giải. Đặt tant x= , rồi áp dụng công thức tang góc chia đôi biểu diễn sin 2 ,cos2 , tan 2 ,cot 2x x x xtheo t .




6

B. M ỘT S Ố PHƯƠNG PHÁP CHÍNH GI ẢI PH ƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC I. Phân tích thành nhân tử Phương pháp phân tích thành nhân tử thường chiếm đa số trong các đề thi đại học. Để tìm một nhân

tử của phương trình, ta thường sử dụng máy tính bỏ túi rồi nhóm thừa số chung theo nhân tử đó ☺. Phương pháp (Toán học Tuổi tr ẻ) - Bước 1: Sử dụng MTBT nhẩm nghiệm.

• Chuyển phương trình về dạng ( ) 0f x = .

• Nhập vào MTBT hàm số ( )f x .

• Tiến hành thử lần lượt các góc lượng giác đặc biệt 2 3 5

0; ; ; ; ; ; ; ; ;26 4 3 2 3 4 6

π π π π π π π π π với chức năng

CALC của MTBT.

- Bước 2: Giả sử ta tìm được nghiệm 3

x π= . Khi đó, thử tiếp với các góc lượng giác có liên quan đặc

biệt với nó.

• Thử với góc đối: 3

x π= − nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm x sao cho

1 cos

2x = hay

phương trình có một nhân tử là 2cos 1x − .

• Thử với góc bù: 2

3x

π= nếu thỏa mãn phương trình thì phương trình có nghiệm x sao cho

3sin

2x = hay phương trình có một nhân tử là 2sin 3x − .

• Thử với góc hơn kém π : 4

3x

π= hoặc 2

3x

π−= nếu thỏa mãn phương trình thì phương trình có

nghiệm x sao cho tan 3x = hay phương trình có một nhân tử là sin 3 cosx x− .

Trong trường hợp này, nếu phương trình có hệ số tự do a thì ta thay bởi ( )2 2sin cosa x x+ rồi tiến hành

nhóm nhân tử chung. - Bước 3: Nhóm thừa số chung theo nhân tử đã biết. - Bước 4: Giải phương trình tích.

�� Ví dụ 1: Giải phương trình sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x− + − − = (KD – 2010) Nhập vào MTBT sin 2 cos2 3sin cos 1x x x x− + − − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta tìm được

một nghiệm 6

x π= .

• Thử với giá trị đối: 6

x π−= không thỏa phương trình.

• Thử với giá trị bù: 5

6x

π= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho 1

sin 2

x =

hay phương trình có một nhân tử là 2sin 1x − ☺. Giải:

Ta có sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x− + − − =

( )22sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0x x x x x⇔ − − + − − =

( ) ( )2cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x⇔ − + + − =

( ) ( )( )cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x⇔ − + − + =

( )( )2sin 1 sin cos 2 0x x x⇔ − + + =




7

( )

1sin

2 sin cos 2

x

x x VN

=⇔

+ = −

26 5

26

x k

x k

π π

π π

= + ⇔

= +

( )k ∈ℤ .

Vậy nghiệm của phương trình là 26

x kπ π= + ;

5 2

6x k

π π= + .

Chú ý: Trong bài trên cos2x có 3 công thức, ở đây phương trình có nhân tử là 2sin 1x − nên ta áp dụng công thức đưa về sin , tức là 2cos2 1 2sinx x= − ☺.

�� Ví dụ 2: Giải phương trình ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x+ = − + (KB – 2012)

Nhập vào MTBT ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ − + − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta

tìm được một nghiệm 2

3x

π= .


3x

π−= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho

1cos

2x = − hay phương trình có một nhân tử là 2cos 1x + ☺.

Giải:

Ta có ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − +

22cos 2 3sin cos cos 3sin 1 0x x x x x⇔ + − + − =

( ) ( )22cos cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − − + + =

( )( ) ( )cos 1 2cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − + + + =

( )( )2cos 1 3sin cos 1 0x x x⇔ + + − =

2cos 1 0

3sin cos 1

x

x x

+ =⇔

+ =

1cos

21

sin 6 2

x

x π

− =⇔

+ =

2 2

3 2

x k

x k

π π

π

= ± +⇔

=

( )k ∈ℤ .


23

x kπ π= ± + ; 2x k π= .

�� Ví dụ 3: Giải phương trình ( )22cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = + (DBII – KA – 2007)

Nhập vào MTBT ( )22cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + − + . Sử dụng chức năng CALC của

MTBT ta tìm được một nghiệm 2

3x

π= .


3x

π−= không thỏa phương trình.


x π= không thỏa phương trình.

• Thử với giá trị hơn π : 5

3x

π= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho

tan 3x = − hay phương trình có một nhân tử là sin 3 cosx x+ ☺.

Khi đó để nhóm được nhân tử sin 3 cosx x+ , ta thay hệ số tự do 2 21 sin cosx x= + .




8

Giải:

Ta có ( )22cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cos x x x x x+ + = +

( )2 2 22cos 2 3sin cos sin cos 3 sin 3 cos 0x x x x x x x⇔ + + + − + =

( )2 2sin 2 3sin cos 3cos 3 sin 3 cos 0x x x x x x⇔ + + − + =

( ) ( )2

sin 3 cos 3 sin 3 cos 0x x x x⇔ + − + =

( )( )sin 3 cos sin 3 cos 3 0x x x x⇔ + + − =

( )sin 3 cos 0

sin 3 cos 3

x x

x x VN

+ =⇔

+ =

tan 3 3

x x kπ π− ⇔ = − ⇔ = + ( )k ∈ℤ .


x kπ π− = + .

�� Ví dụ 4: Giải phương trình ( )24cos sin 1 2 3 cos cos2 2sin 1 0x x x x x+ + − − =

Nhập vào MTBT ( )24cos sin 1 2 3 cos cos2 2sin 1x x x x x+ + − − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT

ta tìm được một nghiệm 2

3x

π= .


3x

π−= không thỏa phương trình.


x π= không thỏa phương trình.

• Thử với giá trị hơn π : 5

3x

π= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho

tan 3x = − hay phương trình có một nhân tử là sin 3 cosx x+ ☺.

Khi đó để nhóm được nhân tử sin 3 cosx x+ , ta thay hệ số tự do 2 21 sin cosx x= + . Giải:

( ) ( )2 2 2 2 24sin cos 4cos 2 3 cos 2cos 1 2sin sin cos 0x x x x x x x x⇔ + + − − − + =

( ) ( ) ( )2 3 2 24sin cos 4 3 cos 2sin 2 3 cos sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + − + − − =

( ) ( ) ( )( )2 4cos sin 3 cos 2 sin 3 cos sin 3 cos sin 3 cos 0x x x x x x x x x⇔ + − + − + − =

( )( )2sin 3 cos 4cos 2 sin 3 cos 0x x x x x⇔ + − − + =

( )( )sin 3 cos 2cos2 sin 3 cos 0x x x x x⇔ + − + =

sin 3 cos 0

2cos2 sin 3 cos

x x

x x x

+ =⇔

= −

tan 3

5cos2 cos

6

x

x x π

= −⇔ = −

35

2 26 5

2 26

x k

x x k

x x k

π π

π π

π π

= − +⇔ = − + = − + +

3 5

26

5 2

18 3

x k

x k

x k

π π

π π

π π

= − +⇔ = − + = +

( )k ∈ℤ .


x kπ π= − + ;

5 2

6x k

π π= − + ; 5 2

18 3x k

π π= + .




9

II. Biến đổi phương trình về dạng sin cosa x b x c+ =

� Dấu hiệu: Trong phương trình lượng giác có xuất hiện 3sin kx hoặc 3 coskx thì phương trình đó có thể đưa được về dạng sin cosa x b x c+ = ☺.

�� Ví dụ 1: Giải phương trình ( )

( )( ) ( )1 2sin cos 3

1 2sin 1 sin

x xI

x x

− =

+ − (KA – 2009)

Giải:

Điều kiện:

22

sin 121

6sin 2 7

26

x kx

x kx

x k

π π

π π

π π

≠ +≠ − ⇔ ≠ + −≠ ≠ +

.

Với điều kiện trên, ta có ( ) ( )2cos sin 2 3 1 sin 2sinI x x x x⇔ − = + −

( )cos sin 2 3 cos2 sinx x x x⇔ − = +

sin 2 3 cos2 3sin cosx x x x⇔ + = − + 5

2sin 2 2sin3 6

x xπ π ⇔ + = +

5sin 2 sin

3 6x x

π π ⇔ + = +

52 2

3 65

2 23 6

x x k

x x k

π π π

π ππ π

+ = + +⇔

+ = − + +

22

2

18 3

x k

kx

π π

π π

= +⇔

− = +

( )k ∈ℤ .

Đối chiếu với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình 2

18 3

kx

π π−= + .

�� Ví dụ 2: Giải phương trình ( )3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = + (KB – 2009)

Giải: Ta có ( )3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = +

( )21 2sin sin cos sin 2 3 cos3 2cos4x x x x x x⇔ − + + =

sin cos2 cos sin 2 3 cos3 2cos4x x x x x x⇔ + + =

sin3 3 cos3 2cos4x x x⇔ + =

cos 3 cos46

x xπ ⇔ − =

4 3 26

4 3 26

x x k

x x k

π π

π π

= − +⇔

= − + +

( )2

62

42 7

x kk

x k

π π

π π

− = +⇔ ∈

= +

ℤ .


x kπ π− = + ;

2

42 7x k

π π= + .

�� Ví dụ 3: Giải phương trình ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − + (KB – 2012)

Giải:

Ta có ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − +

( )22cos 1 2 3sin cos cos 3sinx x x x x⇔ − + = −




10

cos2 3sin 2 cos 3sinx x x x⇔ + = −

cos 2 cos3 3

x xπ π ⇔ − = +

( )2

2 2 23 3 3

22 2

3 3 3

x x k x kk

kx x k x

π π ππ π

π π ππ

− = + + = + ⇔ ⇔ ∈

− = − − + =

ℤ .


23

x kπ π= + ;

2

3

kx

π= .

III. Bi ến đổi về phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác �� Ví dụ 1: Giải phương trình sin3 cos2 sin 0x x x+ − = (KD – 2013)

Giải: Ta có sin3 cos2 sin 0x x x+ − =

3 23sin 4sin 1 2sin sin 0x x x x⇔ − + − − = 3 24sin 2sin 2sin 1 0x x x⇔ + − − =

( )( )22sin 1 2sin 1 0x x⇔ + − =

2

2sin 1 0

2sin 1 0

x

x

+ =⇔ − =

1sin

2 cos2 0

x

x

− =⇔

=

26

7 2

6

4 2

x k

x k

kx

π π

π π

π π

− = +⇔ = + = +

( )k ∈ℤ .


x kπ π− = + ;

7 2

6x k

π π= + ; 4 2

kx

π π= + .

�� Ví dụ 2: Giải phương trình cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = (KD – 2006) Giải:

Ta có cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = 3 24cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x⇔ − + − − − = 3 24cos 2cos 4cos 2 0x x x⇔ + − − =

cos 1

cos 1

1cos

2

x

x

x

=

⇔ = − −=

2 2

3

x k

x k

π π π

=⇔ = ± +

( )k ∈ℤ .

Vậy nghiệm của phương trình là x kπ= ; 2

23

x kπ π= ± + .

�� Ví dụ 3: Giải phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − = (KD – 2002) Giải:

Ta có cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =

( )3 24cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x⇔ − − − + − = 3 24cos 8cos 0x x⇔ − =

( )2 4cos cos 2 0x x⇔ − =

( )cos 0

cos 2 2

xx k

x VNπ π

=⇔ ⇔ = + =

( )k ∈ℤ .


x kπ π= + .




11

C. L ƯỢNG GIÁC QUA CÁC K Ỳ THI Giải các phương trình sau

1. sin 4cos 2 sin 2x x x+ = + (KA – A1 – 2014)

2. 1 tan 2 2 sin 4

x x π + = +

(KA – A1 – 2013)

3. 3sin 2 cos2 2cos 1 x x x+ = − (KA – A1 – 2012)

4. 2

1 sin 2 cos2 2 sin sin 2

1 cot

x xx x

x

+ + =+

(KA – 2011)

5. ( )1 sin cos2 sin

14 cos 1 tan 2

x x xx

x

π + + + =

+ (KA – 2010)

6. ( )

( )( )1 2sin cos

3 1 2sin 1 sin

x x

x x

− =

+ − (KA – 2009)

7. 1 1 7

4sin 3sin 4sin 2

xx x

ππ

+ = − −

(KA – 2008)

8. ( ) ( )2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2 x x x x x+ + + = + (KA – 2007)

9. ( )6 62 cos sin sin cos

0 2 2sin

x x x x

x

+ − =

− (KA – 2006)

10. 2 2cos 3 cos2 cos 0 x x x− = (KA – 2005)

11. 2cos2 1cot 1 sin sin 2

1 tan 2

xx x x

x− = + −

+ (KA – 2003)

12. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( )0;2π của phương trình cos3 sin3

5 sin cos2 3 1 2sin 2

x xx x

x

+ + = + +

(KA – 2002) 13. ( )2 sin 2cos 2 sin 2x x x− = − (KB – 2014)

14. 2sin5 2cos 1 x x+ = (KB – 2013)

15. ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x+ = − + (KB – 2012)

16. sin 2 cos sin cos cos2 sin cos x x x x x x x+ = + + (KB – 2011) 17. ( )sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0 x x x x x+ + − = (KB – 2010)

18. ( )3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sin x x x x x x+ + = + (KB – 2009)

19. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3sin cos x x x x x x− = − (KB – 2008) 20. 22sin 2 sin 7 1 sin x x x+ − = (KB – 2007)

21. cot sin 1 tan tan 4 2

xx x x + + =

(KB – 2006)

22. 1 sin cos sin 2 cos2 0 x x x x+ + + + = (KB – 2005) 23. ( ) 25sin 2 3 1 sin tan x x x− = − (KB – 2004)

24. 2

cot tan 4sin 2 sin 2

x x xx

− + = (KB – 2003)

25. 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x− = − (KB – 2002) 26. sin3 cos2 sin 0 x x x+ − = (KD – 2013) 27. sin3 cos3 sin cos 2 cos2 x x x x x+ − + = (KD – 2012)




12

28. sin 2 2cos sin 1

0 tan 3

x x x

x

+ − − =+

(KD – 2011)

29. sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x− + − − = (KD – 2010) 30. 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0 x x x x− − = (KD – 2009) 31. ( )2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos x x x x+ + = + (KD – 2008)

32. 2

sin cos 3 cos 2 2 2

x x x + + =

(KD – 2007)

33. cos3 cos2 cos 1 0 x x x+ − − = (KD – 2006)

34. 4 4 3cos sin cos sin 3 0

4 4 2x x x x

π π + + − − − =

(KD – 2005)

35. ( )( )2cos 1 2sin cos sin 2 sin x x x x x− + = − (KD – 2004)

36. 2 2 2sin tan cos 0 2 4 2

x xx

π − − =

(KD – 2003)

37. Tìm x thuộc [ ]0;14 nghiệm đúng phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − = (KD – 2002)

38. ( )5 34cos cos 2 8sin 1 cos 5

2 2

x x x x+ − = (CD - KA – 2010)

39. ( )21 2sin cos 1 sin cos x x x x+ = + + (CĐ – KA,B,D – 2009)

40. sin3 3 cos3 2sin 2 x x x− = (CĐ – KA,B,D – 2008)

41. 3sin 2cos cos2 1 0x x x+ − − = (DBI – KA,A1 – 2012)

42. ( )2 sin cos1

tan cot 2 cot 1

x x

x x x

−=

+ − (DB – KA - 2011)

43. ( )cos2 2cos sin cos cos2 sin 2x x x x x x+ + = − (DBI – KB – 2010)

44. ( )2 1cos 2 cos 2 sin cos2 1

4 4 4x x x x

π π + − + + =

với ;4 4

x π π− ∈

(DBII – KB – 2010) 45. 2 22sin 2 sin 6 2cosx x x+ = (DBI – KD – 2010)

46. ( ) ( ) 22 3 cos 2 sin 4 cos 1 cos os2

cosx x x x c x

x− + − = + (DBII – KD – 2010)

47. 22sin cos 3sin 2 cos sin 4

02sin 3

x x x x x

x

+ − =+

(DBI – KA – 2009)

48. ( ) ( )23 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − = (DB II – KA – 2009)

49. 23 cos3 4sin cos

3cos

x x x

x

− = (DB – KD – 2009)

50. ( )4 44 sin cos cos4 sin 2 0 x x x x+ + + = (DBI – KD – 2008)

51. 23sin cos2 sin 2 4sin cos 2

xx x x x+ + = (DBII – KB – 2008)

52. 1

2sin sin 2 3 6 2

x xπ π + − − =

(DBI – KB – 2008)

53. 3

sin 2 sin 4 4 2

x xπ π − = − +

(DBII – KA – 2008)

54. 2tan cot 4cos 2 x x x= + (DBI – KA – 2008)




13

55. ( )( )1 tan 1 sin 2 1 tan x x x− + = + (DBII – KD – 2007)

56. 2 2 sin cos 1 12

x xπ − =

(DBI – KD – 2007)

57. sin 2 cos2

tan cot cos sin

x xx x

x x+ = − (DBII – KB – 2007)

58. 5 3

sin cos 2 cos 2 4 2 4 2

x x xπ π − − − =

(DBI – KB – 2008)

59. ( )22cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cos x x x x x+ + = + (DBII – KA – 2007)

60. 1 1

sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2

x x xx x

+ − − = (DBI – KA – 2007)

61. 3 24sin 4sin 3sin 2 6cos 0 x x x x+ + + = (DBII – KD – 2006) 62. 3 3 2sin cos 2sin 1 x x x+ + = (DBI – KD – 2006) 63. ( )( )cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x+ + − = (DBII – KB – 2006)

64. ( ) ( )2 2 22sin 1 tan 2 3 2cos 1 0 x x x− + − = (DBI – KB – 2006)

65. 2sin 2 4sin 1 0 6

x xπ − + + =

(DBII – KA – 2006)

66. 3 3 2 3 2cos3 .cos sin3 .sin

8x x x x

+− = (DBI – KA – 2006)

67. 2

2

cos2 1tan 3tan

2 cos

xx x

x

π − + − =

(DBII – KD – 2005)

68. ( )2 2 3sin .cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x+ − + = (DBI – KD – 2005)

69. Tìm nghiệm trên ( )0;π của phương trình 2 2 34sin 3 cos2 1 2cos

2 4

x x x

π − = + −

(DBII – KB – 2005) 70. sin 2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x+ + − − = (DBI – KB – 2005)

71. 3 sin

tan 2 2 1 cos

xx

x

π − + = + (DBII – KA – 2005)

72. 32 2 cos 3cos sin 0 4

x x xπ − − − =

(DBI – KA – 2005)

73. ( )sin sin 2 3 cos cos2 x x x x+ = + (DBII – KD – 2004)

74. 2sin cos2 sin 2 cos sin 4 cos x x x x x x+ = (DBI – KD – 2004) 75. sin 4 sin 7 cos3 cos6 x x x x= (DBII – KB – 2004)

76. 1 1

2 2 cos x 4 sin cosx x

π + + =

(DBI – KB – 2004)

77. 1 sin 1 cos 1 x x− + − = (DBII – KA – 2004)

78. ( )3 34 sin cos cos 3sin x x x x+ = + (DBI – KA – 2004)

79. 2cos 4

cot tan sin 2

xx x

x= + (DBII – KD – 2003)

80. ( ) ( )

2cos cos 1 2 1 sin

sin cos

x xx

x x

− = +

+ (DBI – KD – 2003)




14

81. ( ) 22 3 cos 2sin

2 4 1 2cos 1

xx

x

π − − − =

− (DBII – KB – 2003)

82. 6 23cos4 8cos 2cos 3 0 x x x− + + = (DBI – KB – 2003) 83. ( )3 tan tan 2sin 6cos 0 x x x x− + + = (DBII – KA – 2003)

84. ( )cos2 cos 2 tan 1 2 x x x+ − = (DBI – KA – 2003)

85. Xác định m để phương trình ( )4 42 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m+ + + − = có ít nhất một nghiệm

thuộc 0; 2

π

. (DBII – KD – 2002)

86. 2

1 sin

8cosx

x = (DBI – KD – 2002)

87. 4 4sin cos 1 1

cot 2 5sin 2 2 8sin 2

x x x

x x

+ = − (DBII – KB – 2002)

88. ( )2

4

4

2 sin 2 sin3tan 1

cos

x xx

x

−+ = (DBI – KB – 2002)

89. 2tan cos cos sin 1 tan tan 2

xx x x x x + − = +

. (DBII – KA – 2002)

90. Cho phương trình 2sin cos 1

.sin 2cos 3

x x a

x x

+ + =− +

(a là tham số) (DBI – KA – 2002)

a. Giải phương trình khi 1

.3

a = b. Tìm a để phương trình có nghiệm.

91. ( )2 22cos2 sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x x+ + = + (ĐHSP – ĐHL TPHCM)

92. ( )4 44 sin cos 3sin 4 2x x x+ + = (ĐHSP TPHCM)

93. 8 8 1sin cos cos4 0

8x x x+ + = (TT ĐTBD CBYT TPHCM)

94. ( )2 2cos3 2 cos 3 2 1 sin 2x x x+ − = + (HVNH TPHCM)

95. sin sin 2 sin3 0x x x+ + = (HVNH – ĐHKT TPHCM) 96. 1 cos cos2 cos3 0x x x+ + + = (ĐHNL TPHCM) 97. 4 44sin 2 4cos 2 cos4 3x x x+ + = (ĐHTS) 98. 3 3sin cos cos2x x x− = (ĐHDL NN – TH TPHCM) 99. 2sin 2 3tan 1x x= + (CĐSP TPHCM)

100. ( )3 sin tan

2cos 2tan sin

x x x

x x

+ − =

− (ĐH CT)

101. 5

sin cos sin 22 2

x x xπ π − + = −

(ĐH AG)

102. 2sin 2 cos2 7sin 2cos 4x x x x− = + − (ĐHQG HN)

Nguyễn V ăn Rin – Cao h ọc Toán khóa XXII - ĐHSP Huế. � CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ. � Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638

☺☺☺☺☺☺☺☺☺




15

ĐỀ THI TH Ử ĐẠI H ỌC NĂM 2014 103. ( )sin3 2cos2 3 4sin cos 1 sinx x x x x+ = + + + (Đại học Vinh)

104. ( )22

2

2cos sin cos 3 sin 3 sin

1 tan 4 42 2

x x xx x

x

π π− + = + − + + (THPT Hồng Quang)

105. cos2 2 sin 2

4 11 sin

x x

x

π − + + =

− (THPT Quốc Oai)

106. ( )1 cos cot cos2 sin sin 2x x x x x− + + = (THPT Lương Ngọc Quyến)

107. 22sin sin 2 3sin cos 2 0x x x x+ − + − = (THPT Hồng Quang)

108. sin 1

cot 21 cos 1 cos

x x

x x+ + =

+ − (Đại học Vinh)

109. ( )11 sin sin 2 1 cot 1 tan

4 2 4x x x x

π π + − + = + + −

(THPT Hà Huy Tập)

110. ( )

( )1

1 sin cos sin 2 12 1 cot21 tan

4

x x xx

x π

+ − += +

+ −

(THPT Hà Huy Tập)

111. ( )( )1 sin 2sin 2 6cos 2sin 3

22cos 1

x x x x

x

− + + + =

+ (THPT Chuyên Lê Quý Đôn)

112. ( )sin 2 sin 4 cos 2

02sin 3

x x x

x

− + − =

+ (THPT Quỳnh Lưu 1)

113. 32sin cos2 cos 0x x x− + = (THPT Lương Thế Vinh) 114. ( )1 sin 1 sin sin 2 cos2x x x x+ + + = (THPT Lương Thế Vinh)

115. 3 3 2sin cos 3sin 4sin cos 2 0x x x x x− + + − + = (THPT Chuyên Lý Tự Trọng) 116. cos tan 1 tan sinx x x x+ = + (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu) 117. 2cos6 2cos4 3 cos2 sin 2 3x x x x+ − = + (THPT Hùng Vương)

118. sin 2 cos2 4 2 sin 3cos

4 1cos 1

x x x x

x

π − + + − =

− (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)

119. 1 cos2

2 cos . 1 cot4 sin

xx x

x

π + − = +

(THPT Chuyên Lương Văn Chánh)

120. ( )( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

121. ( ) ( )2tan 1 sin cos2 2 3 cos sin sinx x x x x x+ + + = + (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

122. ( ) ( )2 1cos 2 sin 12 4 cos 2013 2 0

2x x xπ π− + − − = (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)

123. 2 3 4

22

3sin 7sin 2sin 1sin3 cot

sin

x x xx x

x

− + ++ = (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)

124. sin 2 cos2 2 sin 0x x x− − = (THPT Chu Văn An)

125. ( ) 255sin 3 1 cos cot 2

2 x x x

π − − − =

(THPT Chu Văn An)

126. ( )sin3 2cos2 3 4sin cos 1 sinx x x x x+ = + + + (Đại học Vinh)

127. 22cos 2 2cos2 4sin 6 cos4 1 4 3sin3 cosx x x x x x− + + = + (THPT Triệu Sơn 4) 128. ( ) 2tan 1 sin cos2 0x x x+ + = (THPT Chuyên Quốc Học – Huế)




16

129. 2 cos2

cot sin 2 cos

xx

x x= − (THPT Chuyên Quốc Học – Huế)

130. 1

2sin sin 22 6

x x π = + −

(THPT Phan Châu Trinh)

131. sin 2 cos2 4 2 sin 4cos 1 04

x x x xπ − + + − + =

(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)

132. 3 2 64 3sin sin 3cos cosx x x x+ + = + (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu) 133. 2 2 2cos 3 3cos 2 cos cos2 2x x x x+ + + = (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu) 134. 22cos 3cos 2cos3 4sin sin 2x x x x x+ − = (THPT Lạng Giang số 1) 135. ( ) 23cos 2 3 cos 1 cotx x x− = − (THPT Lạng Giang số 1)

136. ( )2 23cot 2 2 sin 2 3 2 cosx x x+ = + (THPT Chuyên Hạ Long)

137. cot cos2 sin sin 2 cos cotx x x x x x+ + = + (THPT Thuận Thành số 3)

138. ( ) 22 3sin 2 1 cos2 4cos2 sin 3

02sin 2 1

x x x x

x

+ − − =

− (Hà Nội Amsterdam)

139. 2

33sin 2sin 3 3 2sin 0

cot

x x x

x

+ − + − = (THPT Nguyễn Khuyến)

140. ( )3 sin 2 sin cos2 cos 2x x x x+ = − = (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

141. ( )1 2sin 2sin 2 2cos cos2 3 1 cos

2sin 1

x x xx x

x

− − + = − +−

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

142. 5cos sin 3 2 sin 2 4

x x x π + − = +

(THPT Đoàn Thượng)

143. 2cos5 cos3 sin cos8x x x x+ = (THPT Ngô Gia Tự) 144. ( )( )cos2 5 2 2 cos sin cosx x x x+ = − − (THPT Ngô Gia Tự)

145. ( )6 68 sin cos 3 3 cos2 11 3 3sin 4 9sin 2x x x x x+ − = − − (THPT Hậu Lộc 2)

146. ( )22 tan 1 cos 2 cos2x x x− = − (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)

147. 22sin cos sin cos2 cos2 2 cos2 4

xx x x x x

π + = + −

(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)

148. 24sin

1 cot 2 1 cos4

xx

x+ =

− (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)

149. 2sin cos 2sin cos sin cos

6 cos2sin

4

x x x x x xx

x π

+ + + = +

(THPT Đức Thọ)

150. ( )2 2 7

4cos 2cos 3 cos 2 3 32 4 0

1 sin

x x x

x

π π + − − − − =

− (THPT Chuyên Tỉnh Lào Cai)

151. ( ) 2 2 3tan 1 sin 3cos sin 2 0

2x x x x− + − = (THPT Hà Huy Tập)

152. ( )3 22sin 3 3sin 2sin 3 tanx x x x− = + − (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

153. ( ) ( ) ( )( )3 33 1 3 cos2 3 1 3 sin 2 8 sin cos 3sin cos 3 3 3x x x x x x− + + = + + − −

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

154. 2 sin 2 2sin 14

x xπ − = −

(THPT ĐặngThúc Hứa)




17

155. 2 2 4 sincos cos

3 3 2

xx x

π π + + + − =


156. sin 4 2 cos3 4sin cosx x x x+ = + + (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)

157. 1 cos 7

sin 2 sin 2tan 4

x x x

x

π− + = +


158. cos2 cos cos sin 2 sinx x x x x+ = (THPT Quế Võ 1) 159. 2sin cos3 sin 2 1 sin 4x x x x+ + = + (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)

160. 2 2sin sin5 2cos 2cos 24 4

x x x xπ π + = − − +

(THPT Chuyên Quốc Học – Huế)

161. 2sin 2 cos2 cot 1

cos sin

x xx

x x+ = − (THPT Can Lộc)

162. sin 1

cot 21 cos 1 cos

x x

x x+ + =

+ − (Đại học Vinh)

163.

3 2 22sin 2 3sin cos 2sin cos 2 3 0

2cos 3

x x x x x

x

π + − + + =

− (THPT CN Việt Trì)

164. 3 3

2

1 sin sin3 cos cos3 5cos2 1

sin

x x x xx

x

− − = + (THPT Chuyên Lý Tự Trọng)

165. ( ) ( )23 2cos cos 2 sin 3 2cos 0x x x x+ − + − = (THPT Chuyên Lý Tự Trọng)

166. ( )1 cos cos2 cos3 2 3 3sin

cos cos2 3

x x xx

x x

+ + + = −+

(THPT Chuyên Lê Quý Đôn)

167.

3sin 2 sin 2sin 1

2 02cos 3

x x x

x

π + − − + =

− (THPT Chuyên Trần Phú)

168. 24cos 2

tan 2 tan 24 4 tan cot

xx x

x x

π π − + = − (THPT Chuyên Trần Phú)

169. 2 18cos 2cos 6 2 3sin 0

cosx x x

x− − − + = (THPT Nam Sách)

170. 2 cos 2cos sin 2 1 sin 24

x x x xπ − + = −

(Nguoithay.vn)

171. ( )sin cos2 2cos cos2 cos 1x x x x x− = − (Đại học Vinh)

172. ( ) ( )cos cos3 2 3sin 4 3 sin 2 3 sin3x x x x x+ − + = − (VNMATH.COM)

173. cos cos 2 sin36 3

x x xπ π + + + =

(THPT Chuyên Lê Hồng Phong)

174. 3

2cos 4sin sin 1 4 2 sin2 2 4

x xx x

π + − = +

(THPT Hai Bà Trưng – Huế)

175.

3sin3 sin sin 4 cos cos

2 4 4 0

2sin 1

x x x x x

x

π π + + − + =

− (THPT Nguyễn Huệ - Huế)

176. 3 1 2 2 3

1 cos2 sin 2 cot 3x x x+ = +

+ (VNMATH.COM)

Nguyễn V ăn Rin – Cao h ọc Toán khóa XXII - ĐHSP Huế. � CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.




18

ĐÁP ÁN L ƯỢNG GIÁC QUA CÁC K Ỳ THI

1. 23

x kπ π= ± +

2. ; 2 .4 3

x k x kπ ππ π−= + = ± +

3. 2

; 2 ; 2 .2 3

x k x k x kπ ππ π π= + = = +

4. ; 2 .2 4

x k x kπ ππ π= + = +

5. 7

2 ; 2 .6 6

x k x kπ ππ π−= + = +

6. 2

.18 3

x kπ π−= +

7. 5

; ; .4 8 8

x k x k x kπ π ππ π π− −= + = + = +

8. ; 2 ; 2 .4 2

x k x k x kπ ππ π π−= + = + =

9. 5

24

x kπ π= + .

10. .2

x kπ=

11. 4

x kπ π= + .

12. 5

; .3 3

x xπ π= =

13. 3

24

x kπ π= ± +

14. 2 2

;6 3 14 7

x k x kπ π π π− −= + = + .

15. 2 2

2 ;3 3

x k x kπ ππ= + = .

16. 2

2 ;2 3 3

x k x kπ π ππ= + = + .

17. .4 2

x kπ π= +

18. 2

2 ;6 42 7

x k x kπ π ππ−= + = + .

19. ; .4 2 3

x k x kπ π π π−= + = +

20. 2 5 2

; ; .8 4 18 3 18 3

x k x k x kπ π π π π π= + = + = +

21. 5

;12 12

x k x kπ ππ π= + = + .

22. 2

; 24 3

x k x kπ ππ π−= + = ± + .

23. 5

2 ; 26 6

x k x kπ ππ π= + = + .

24. .3

x kπ π= ± +

25. ; .9 2

x k x kπ π= =

26. 7

; 2 ; 2 .4 2 6 6

x k x k x kπ π π ππ π−= + = + = +

27. 7

; 2 ; 2 .4 2 12 12

x k x k x kπ π π ππ π−= + = + = +

28. 23

x kπ π= + .

29. 5

2 ; 26 6

x k x kπ ππ π= + = + .

30. ;18 3 6 2

x k x kπ π π π−= + = + .

31. 2

2 ;3 4

x k x kπ ππ π= ± + = + .

32. 2 ; 22 6

x k x kπ ππ π−= + = + .

33. 2

; 2 .3

x k x kππ π= = ± +

34. 4

x kπ π= + .

35. 2 ;3 4

x k x kπ ππ π−= ± + = + .

36. 2 ; 4

x k x kππ π π−= + = + .

37. 3 5 7

; ; ; .2 2 2 2

x x x xπ π π π= = = =

38. 5

;12 12

x k x kπ ππ π= + = + .

39. 5

2 ; ; .2 12 12

x k x k x kπ π ππ π π−= + = + = +

40. 4 2

2 ;3 15 5

x k x kπ π ππ= + = + .

41. 2

2 ; 2 .3

x k x kππ π= = ± +

42. 24

x kπ π− = + .

43. ; 2 ; 2 .4 2

x k x k x kπ ππ π π π−= + = + = +

44. .8

x π= ±




19

45. ; ; .6 3 8 2 4

x k x k x kπ π π π π π= + = + = +

46. 2

3x k

π π= + .

47. 2

; 2 ; .2 6 18 3

x k x k x kπ π π ππ−= = + = +

48. 2

2 ; 2 ; .3 3 6

x k x k x kπ π ππ π π−= + = + = +

49. ; .6

x k x kππ π−= = +

50. 4

x kπ π− = + .

51. 7

2 ; 2 ; 2 .6 6 2

x k x k x kπ π ππ π π−= + = + = +

52. 2 ; .2 3

x k x kπ ππ π= + = − +

53. ; 2 .4 3

x k x kπ ππ π= + = ± +

54. ; .4 2 8 2

x k x kπ π π π−= + = +

55. ; .4

x k x kπ π π− = + =

56. ; .4 3

x k x kπ ππ π= + = +

57. 23

x kπ π= ± + .

58. 2

; 2 ; 2 .3 3 2

x k x k x kπ π π π π π= + = + = +

59. 2

3x k

π π= + .

60. 4 2

x kπ π= + .

61. 2

2 ; 2 .2 3

x k x kπ ππ π−= + = ± +

62. ; 2 ; 2 .4 2

x k x k x kπ ππ π π− −= + = = +

63. ; 2 ; 2 .4 2

x k x k x kπ ππ π π π= + = + = +

64. 6 2

x kπ π= ± + .

65. 7

; 26

x k x kππ π= = + .

66. 16 2

x kπ π= ± + .

67. 4

x kπ π− = + .

68. 5

2 ; 26 6

x k x kπ ππ π= + = + .

69. 5 17 5

; ;18 18 6

x x xπ π π= = = .

70. 52 ; 2 ; 2 ; 2 .

6 6 2x k x k x k x k

π π ππ π π π π= + = + = + = +

71. 5

2 ; 26 6

x k x kπ ππ π= + = + .

72. ;2 4

x k x kπ ππ π= + = + .

73. 2 2

; 2 .9 3

x k x kπ π π π= + = +

74. ; .3

x k x kππ π= = ± +

75. ;20 10 2

x k x kπ π π π= + = + .

76. 4

x kπ π= ± + .

77. ; 3 .3

x k k lπ= ≠

78. ;4 3

x k x kπ ππ π= + = ± + .

79. 3

x kπ π= ± + .

80. 2 ; 2 .2

x k x kπ π π π− = + = +

81. 4

23

x kπ π= + .

82. ; .4 2

x k x kπ π π= + =

83. 3

x kπ π= ± + .

84. 2 ; 23

x k x kπ π π= ± + = .

85. 10

23

m− ≤ ≤ − .

86. 3 5 72 ; 2 ; 2 ; 2

8 8 8 8x k x k x k x k

π π π ππ π π π= + = + = + = +

87. 6

x kπ π= ± + .

88. 2 5 2

; .18 3 18 3

x k x kπ π π π= + = +

89. 2x k π= .

90. a. 4

x kπ π− = + b.

1 2

2 a

− ≤ ≤ .




20

91. ; 2 ; 2 .4 2

x k x k x kπ ππ π π− −= + = = +

92. ;4 2 12 2

x k x kπ π π π−= + = + .

93. 4 2

x kπ π= + .

94. 2 .x k π=

95. 2

; 22 3

x k x kπ π π= = ± + .

96. ; 2 ; 2 .2 3

x k x k x kπ ππ π π π= + = + = ± +

97. ;4 2 12 2

x k x kπ π π π= + = ± + .

98. ; 2 ; 2 .4 2

x k x k x kπ ππ π π π= + = − + = +

99. 4

x kπ π− = + .

100. 2

2 .3

x kπ π= ± +

101. 2 7 2

; ; .4 2 18 3 6 3

x k x k x kπ π π π π π−= + = + = +

102. 5

2 ; 26 6

x k x kπ ππ π= + = + .

103. 22

x kπ π− = + ; 2x kπ π= +

104. 8 2

kx

π π= + ; 26

x kπ π= + ;

5 2

6x k

π π= + .

105. 22

x kπ π= − + ; 2

3x k

π π= − + ; 23

x kπ π= +

106. 4 2

kx

π π= + ; 22

x kπ π= + .

107. 26

x kπ π− = + ;

7 2

6x k

π π= + .

108. 4

x kπ π− = + ; 2

2x k

π π= + .

109. 212

x kπ π= + ;

17 2

12x k

π π= +

110. 212

x kπ π= + ;

17 2

12x k

π π= +

111. 22

x kπ π− = + ; 2

6x k

π π= + ; 5

26

x kπ π= +

112. 23

x kπ π= +

113. 2x k π= ; 4

x kπ π= − +

114. 2x k π= ; 4

x kπ π= − +

115. 2x k π= ; 22

x kπ π= − +

116. 4

x kπ π= + ; 2x k π=

117. 2

x kπ π= + ;

24 2

kx

π π= + ; 36 3

kx

π π= +

118. 2x kπ π= +

119. 4 2

kx

π π= +

120. 4

x kπ π= − + ; x kπ=

121. 4

x kπ π= + ;

3x k

π π= ± +

122. 4 2

kx

π π= + ; 2

x kπ π= − +

123. 26

x kπ π= + ;

5 2

6x k

π π= + ; 22

x kπ π= +

124. 11 2

12x k

π π= − + ; 24

x kπ π= − + ; 2

4x k

π π= +

5 2

12x k

π π= + .

125. 23

x kπ π= ± +

126. 22

x kπ π= − + ; 2x kπ π= +

127. 12

x kπ π= − + ;

24 2x k

π π= + ; 3

x kπ=

128. 4

x kπ π= − +

129. 26

x kπ π= + ;

5 2

6x k

π π= +

130. 26

x kπ π= + ; x kπ=

131. x kπ=

132. x kπ= ; 22

x kπ π= − +

133. 2

x kπ π= + ;

6x k

π π= ± +

134. 2

23

x kπ π= ± + ; 2x kπ π= +

135. 23

x kπ π= ± + ;

2arccos 2

3x k π = ± − +

136. 24

x kπ π= ± + ; 2

3x k

π π= ± +

137. 4

x kπ π= + ; 2

2x k

π π= − +

138. 3

x kπ π= +




21

139. 2

23

x kπ π= ± +

140. 6

x kπ π= + ; 2

3x k

π π= + ; 2x kπ π= +

141. 2x kπ π= + ; 26

x kπ π= − +

142. 23

x kπ π= ± +

143. 22

x kπ π= + ; 2

6x k

π π= − + ; 7

26

x kπ π= +

144. 22

x kπ π= + ; 2x kπ π= +

145. 12

x kπ π= + ;

5

12x k

π π= + ; 4

x kπ π= + ;

7

12x k

π π= +

146. 23

x kπ π= ± +

147. 22

x kπ π= + ;

2

3 3x k

π π= +

148. 4 2

x kπ π= +

149. 12

x kπ π= +

150. 5 2

18 3x k

π π= +

151. 4

x kπ π= + ;

3x k

π π= ± +

152. 2

23

x kπ π= ± +

153. 4

x kπ π= − + ;

6x k

π π= +

154. x kπ= ; 22

x kπ π= +

155. 22

x kπ π= − +

156. 26

x kπ π= + ;

5 2

6x k

π π= + ; 2x k π=

157. 4 2

x kπ π= +

158. 2

x kπ π= − + ;

4 2x k

π π= +

159. 26

x kπ π= + ;

5 2

6x k

π π= + ; 2

3x k

π =

160. 3

x kπ=

161. 26

x kπ π= + ;

5 2

6x k

π π= +

162. 4

x kπ π= − + ; 2

2x k

π π= +

163. 5

26

x kπ π= + ;

7 2

18 3x k

π π= +

164. 6

x kπ π= ± +

165. 6

x kπ π= − + ; 2

3x k

π π= + ; 2

23

x kπ π= +

166. 2x k π=

167. 2x k π= ; 5

26

x kπ π= +

168. 8 2

x kπ π= +

169. 23

x kπ π= − + ;

2

15 5x k

π π= +

170. 3

4x k

π π= − + ; 11

212

x kπ π= − + ;

24

x kπ π= − + ;

5 2

12x k

π π= +

171. 2x k π= ; 4

x kπ π= + ; 2

2x k

π π= +

172. 2x k π= ; 4

23

x kπ π= − +

173. 11

12x k

π π= − + ; 5

12x k

π π= − +

22

x kπ π= + ;

5 2

6x k

π π= − +

174. 5

26

x kπ π= − + ; 2

6x k

π π= − +

175. 13

18x k

π π= − + ; 7

18x k

π π= − + ;

18

x kπ π= − + ; 2

6x k

π π= − +

176. 2

3x k

π π= − + ; 6

x kπ π= − + ;

6x k

π π= +

----------HẾT----------

Nguyễn V ăn Rin – Cao h ọc Toán khóa XXII - ĐHSP Huế. � CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ. � Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638




22

Chú ý: Có thể giải phương trình lượng giác bằng trang web http://www.wolframalpha.com/ ☺☺☺

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội – Albert Einstein. ☺☺☺

Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.

� CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.

� Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638 ☺☺☺☺☺☺☺☺☺



Education

Chuyên đề lượng giác qua các kì thi - Nguyễn Văn Rin