Vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

Chuyên đề: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giáo viên: Vũ Hồng LượngĐơn vị công tác: Trường THCS Yên Dương – Tam Đảo - Vĩnh Phúc

A. Mục đích chuyên đề. Bất đẳng thức (BĐT) là một công cụ để giải nhiều dạng toán khác nhau, đặc biệt

là giải phương trình và hệ phương trình. Trong phạm vi bài viết này chúng tôi xin giới thiệu cách vận dụng BĐT để giải phương trình (PT) và hệ phương trình (HPT).B. Đối tượng bồi dưỡng - Số tiết dạy - Tài liệu tham khảo.

- Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9- Số tiết dạy cho học sinh: 08 tiết.- Tài liệu tham khảo:

+ Nâng cao và phát triển toán 9 - Vũ Hữu Bình + Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 - Bùi Văn Tuyên…

C. Nội dung kiến thức.1. BĐT Cauchy.- Dạng cơ bản

ta có . Dấu .- Dạng tổng quát

; ta có .Dấu . 2. BĐT Bunyacovsky.- Dạng cơ bản

, ta có .

Dấu .

- Dạng tổng quát, ta có

.

Dấu .

D. Bài tập vận dụng.

Dạng 1. Sử dụng BĐT để tạo ra tính đối nghịch của hai vế trong phương trình.Phương pháp. Dùng BĐT để đánh giá hai vế (vế trái (VT) và vế phải (VP)) của PT, giả sử thu được

hoặc hoặc . Khi đó .

Vũ Hồng Lượng - THCS Yên Dương - Tam Đảo - Vĩnh Phúc 1

Vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

* Thí dụ 1. Giải phương trình Lời giải. ĐK .Xét .

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có . Suy ra hay (1)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Lại có (2)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .Từ (1) và (2) đối chiếu với ĐK, suy ra PT có nghiệm duy nhất .* Thí dụ 2. Giải phương trình .Lời giải. Ta có

(3)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .Mặt khác (4)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .Từ (3) và (4) suy ra PT đã cho có nghiệm duy nhất .* Thí dụ 3. Giải phương trình Lời giải. ĐK . Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

(5)

(6)

(7)

Cộng theo vế của (5), (6), (7) thu được (8)Lại theo BĐT Cauchy ta có

;

.

Suy ra (9)

Từ (8) và (9) suy ra .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy PT có nghiệm duy nhất .Dạng 2. Sử dụng BĐT Cauchy để đưa về một BPT có nghiệm duy nhất.* Thí dụ 4. Giải phương trình (10)

Lời giải. Ta có nên hay .

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta được

Vũ Hồng Lượng - THCS Yên Dương - Tam Đảo - Vĩnh Phúc 2

Vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

(11)

Từ (10) Và (11) suy ra . Hay . Thử lại ta được là nghiệm duy nhất của PT (10). Dạng 3. Sử dụng điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm để giải phương trình.a, Đối với hệ phương trình hai ẩn.

* Thí dụ 5. Giải hệ phương trình

Lời giải. Nếu thì từ PT (13) ta có . Thay vào PT (12) ta được vô lí. Vậy , khi đó coi PT (12) là PT bậc hai ẩn , PT này có nghiệm khi và chỉ khi

(14)Tương tự coi PT (13) là PT bậc hai ẩn , PT này có nghiệm khi và chỉ khi

. Kết hợp với (14) suy ra . Thay vào PT (12) ta được . Các giá trị này thỏa mãn PT (13). Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất .b, Đối với hệ phương trình ba ẩn.

* Thí dụ 6. Giải hệ phương trình

Lời giải. Coi là tham số. Viết HPT trên có dạng sau

Khi đó là nghiệm của PT bậc hai ẩn

(14)

PT (14) có nghiệm khi và chỉ khi .

Với , ta có

Suy ra . Vậy hệ có nghiệm duy nhất .Dạng 4. Sử dụng BĐT để tạo ra sự sắp thứ tự vòng quanh.

* Thí dụ 7. Giải hệ phương trình

Lời giải. Vì nên xảy ra hai trường hợp sau:

1, Với , khi đó . Vậy là một nghiệm của HPT.

Vũ Hồng Lượng - THCS Yên Dương - Tam Đảo - Vĩnh Phúc 3

Vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

2, Với , suy ra và . Dễ thấy nên hay .

Theo BĐT Cauchy ta có . Suy ra hay .

Từ PT thứ ba của hệ suy ra . Vậy , điều này chỉ xảy ra khi . Thay vào PT đầu ta được . Dễ thử được thỏa mãn HPT đã cho. Vậy hệ có hai nghiệm là .Dạng 5. Sử dụng BĐT Bunyacovsky.

* Thí dụ 8. Giải hệ phương trình

Lời giải. ĐK . Áp dụng BĐT Bunyacovsky ta có .

Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , thỏa mãn PT thứ hai của HPT. Vậy HPT có nghiệm duy nhất Dạng 6. Dự đoán nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

* Thí dụ 9. Giải phương trình

Lời giải. ĐK . Nhận thấy là một nghiệm của PT. Ta chứng minh nghiệm này

là duy nhất.

+ Nếu thì .

Suy ra .

+ Nếu thì

Suy ra .

Vậy PT có nghiệm duy nhất .

Bài tập áp dụng

Giải các PT và HPT sau:

Vũ Hồng Lượng - THCS Yên Dương - Tam Đảo - Vĩnh Phúc 4

Vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

1. (ĐS. ).2. (ĐS. ).3. (ĐS. ).

4. (ĐS. ).

5. (ĐS. ).

6. (ĐS. ).

7. (ĐS. ).

Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đọc!

Vũ Hồng Lượng - THCS Yên Dương - Tam Đảo - Vĩnh Phúc 5