C. 3. deret geomteri

Recreated by HeriSudiana&

Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

C. 3. DERET GEOMETRI

Pada bagian sebelumnya tentang deret telah disebutkan bahwa penjumlahan beruntun

suku-suku suatu barisan dinamaka nsebagai deret. Jika suku-suku itu adalah suku-suku

barisan geometri, maka deret yang terbentuk disebut sebagai deret geometri.

Sebagai contoh :

� Dari barisan geometri : 3, 6, 12, 24,, . . , 192 dapat dibentuk deret geometri, yaitu :

3 + 6 + 12 + 24 + . . . + 192.

� Dari barisan geometri : 16, 4, 1, 4

1, . . . .,

64

1dapat dibentuk deret geometri, yaitu :

16 + 4 + 1 + 4

1 + . . . . +

64

1.

Dengan demikian deret geometri dapat didefinisikan sebagai berikut :

Oleh karena deret merupakan penjumlahan suku-suku, tentu saja jumlah dari suku-suku

deret mempunyai nilai tertentu. Jumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan

dengan Sn, dan rumus Sn ditentukan oleh :

nn UUUUS ++++= ...321 12 ... −++++=⇔ n

n arararaS ……………………………………..[*]

Kalikan persamaan [*] dengan r, sehingga diperoleh :

nnn ararararrS ++++= −12 ... ……………………………………..[**]

Kurangkan masing-masing ruas pada persamaan [*] dengan persamaan [**], sehingga

diperoleh :

12 ... −++++= nn arararaS

nnn ararararrS ++++= −12 ...

nnn ararSS −=−

( ) ( )nn rarS −=−⇔ 11

( )( )r

raS

n

n −−=⇔

1

1 atau

( )( )1

1

−−=⇔

r

raS

n

n

Jika U1, U2, U3, . . . Un, merupakan suku-suku barisan geometri, maka

U1 + U2 + U3 + . . . Un dinamakan sebagai deret geometri.

+



Berdasarkan hasil perhitungan di atas, jumlah n suku pertama suatu deret geometri dapat

ditentukan melalui hubungan sebagai berikut :

Rumus : Jumlah n suku pertama deret geometri.

Contoh Soal 1 Hitunglah jumlah enam suku pertama pada deret-deret geometri di bawah ini :

a. 8 + 4 + 2 + . . .

b. 27 + 9 + 3 + . . .

c. 1 + 2 + 4 + . . .

d. 2 + 3 + 2

9 + . . .

Jawab :

a. 8 + 4 + 2 + . . . , deret geometri dengan suku pertama a = 8 dan rasio r = 21

( )( )

( ){ }( )

( )43

21

641

21

6

216

6 1518

1

18

1

1 =−

=−

−=

−−=

r

raS

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri 8 + 4 + 2 + . . .sama dengan 4315 .

b. 27 + 9 + 3 + . . ., deret geometri dengan suku pertama a = 27 dan rasio r = 31

( )( )

( ){ }( )

( )94

32

7291

31

6

316

6 40127

1

127

1

1 =−

=−−

=−−=

r

raS

Jadi, jumlah 6 suku pertama dere tgeometri 27 + 9 + 3 + . . .sama dengan 9440

Jumlah n suku pertama suatu deret geometri

nnn UUUUUU ++++++ −− 12`321 ...

Ditentukan dengan menggunakan hubungan :

( )( )r

raS

n

n −−=

1

1 ……………………………………………………………………[1]

Atau ( )( )1

1

−−=

r

raS

n

n ………………………………………………………..[2]

Dengan n = banyaknya suku, a = suku pertama dan r = rasio

Rumus [1] biasanya digunakan untuk r < 1, sedangkan rumus [2] digunakan untuk r > 1.



c. 1 + 2 + 4 + . . ., deret geometri dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = 2.

( )( )

( ){ }( ) 63

12

121

1

1 66

6 =−

−=−

−=r

raS

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri1 + 2 + 4 + . . .sama dengan 63.

d. 2 + 3 + 2

9 + . . ., deret geometri dengan suku pertama a = 2 danrasio r = 2

3

( )( )

( ){ }( ) 16

9

23

6

236

6 411

12

1

1 =−

−=

−−=

r

raS

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 3 + 2

9 + . . ., sama dengan 16

941 .

Contoh Soal 2 Tentukan jumlahnya dari deret di bawah ini :

a. 1 + 2 + 4 + 8 + . . . (sampai 13 suku)

b. 972 + 324 + 108 + 36 + . . . . + 274

Jawab :

a. Dari deret 1 + 2 + 4 + 8 + . . . . ; dapat diketahui suku pertama a = 1, rasionya r = 2

(r > 1, maka menggunakan rumus [2] dan banyaknya suku n = 13, sehingga jumlah 13

suku yang pertama sebagai berikut

( )( )( ){ }( ) 8191

12

121

1

1

13

13 =−

−=

−−=

S

r

raS

n

n

b. Dari deret : 972 + 324 + 108 + 36 + . . . . +274 , dapat diketahui suku pertama a = 972,

rasio r = 31

972324 = dan suku terakhir 27

4=nU . Untuk menentukan jumlah semua sukunya.,

kita tentukan dahulu banyaknya suku sebagai berikut :



( )

9

81

33

972

1.

27

4

3

1

3

1.972

27

4

.

811

1

1

1

=−=+−

=

=

=

=

−−−

−

−

−

n

n

raU

n

n

n

nn

Untuk menentukan jumlah 9 suku yang pertamanya menggunakan rumus [1], yaitu :

( )( )

( ){ }( )( )

27

39364

972

1

1.972

1

1

9

32

1968319682

9

31

9

31

9

=

=

−−

=

−−=

S

S

S

r

raS

n

n

Education

C. 3. deret geomteri