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Tema 1. Algebra lineal. Matrices

0.1 Introduccion

Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran numero de situaciones. Son

conocidos los metodos de resolucion de los mismos cuando tienen dos ecuaciones y dos

incognitas que se estudian en la ensenanza secundaria: los de reduccion, sustitucion e

igualacion. Ahora se trata de ver como puede procederse cuando hay mayor numero de

ecuaciones y de incognitas simplificando lo mas posible la escritura.

La forma de resolver un sistema consiste en realidad en ir sustituyendo el sistema por

otro equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones) pero que vaya siendo cada vez

mas sencillo, hasta llegar a uno que sepamos resolver. Las operaciones que transforman

un sistema en otro equivalente son esencialmente dos:

1. Multiplicar una ecuacion por un numero distinto de 0.

2. Sumar una ecuacion a otra.

Consideremos el siguiente ejemplo:

3x +2y = 8

2x +4y = 5(0.1)

Se puede proceder ası: se multiplica la primera ecuacion por 2 y la segunda por −3. Se

obtiene ası el sistema equivalente

6x +4y = 16

−6x −12y = −15; (0.2)

sustituimos la segunda ecuacion por la suma de las dos, y resulta

6x +4y = 16

−8y = 1(0.3)

Este sistema se llama triangular y ya se sabe resolver: se despeja la y en la segunda

ecuacion, se sustituye en la primera y en esta se despeja la x; resulta

y = −1

8

6x + 4

(−1

8

)= 16 =⇒ 6x =

33

2=⇒ x =

11

4

(0.4)

2

Observese que puede evitarse modificar la primera ecuacion y actuar solo sobre la segunda:

3x +2y = 8

2x +4y = 5=⇒

3x +2y = 8

−3x −6y = −152

(−32)

=⇒

3x +2y = 8

−4y = 12

(0.5)

Notese tambien que todo se simplifica si se omite la escritura de las incognitas y se escriben

solo los coeficientes. Ası, (0.5) puede escribirse

3 2 8

2 4 5

=⇒

3 2 8

−3 −6 −152

=⇒

3 2 8

0 −4 12

(0.6)

con el convenio de que la primera columna representa los coeficientes de x, la segunda los

coeficientes de y y la tercera los terminos independientes. De esta manera llegamos a las

tablas de numeros que reciben el nombre generico de matrices.

0.2 Matrices.

Definicion 0.1 Una matriz es una estructura rectangular de numeros

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

(0.7)

Los valores aij se llaman los elementos de la matriz. La matriz completa se representa

por (aij). Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que tienen dimension m× n.

Definicion 0.2 Dos matrices son iguales si tienen la misma dimension y los elementos

que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Otros nombres que deben conocerse:

• Si el numero de filas es igual que el numero de columnas, la matriz se llama cuadrada.

A ese numero (el de filas o el de columnas) se le llama el orden de la matriz cuadrada.

• Se llama matriz fila aquella que tiene una sola fila, por ejemplo

A =(

3 −1 2 0 5)

3

• Se llama matriz columna aquella que tiene una sola columna, por ejemplo

A =

3

−1

2

0

5

• En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de los elementos de

la forma aii.

• Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la

que se obtiene cambiando las filas y las columnas, por ejemplo

A =

3 −1 2 0 5

−1 −1 2 3 4

=⇒ At =

3 −1

−1 −1

2 2

0 3

5 4

Si la dimension de A es m× n, la de At es n×m.

• Una matriz cuadrada se llama simetrica si es igual a su traspuesta, por ejemplo

A =

3 −1 3

−1 −1 2

3 2 0

• Se llama matriz nula aquella cuyos elementos son 0; por ejemplo

A =

0 0 0

0 0 0

es la matriz nula de dimension 2× 3.

• Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los terminos

que no estan en la diagonal principal, por ejemplo

A =

3 0 0

0 −1 0

0 0 5

o A =

3 0 0

0 0 0

0 0 5

4

• Se llama matriz unidad o matriz identidad a la matriz diagonal que tiene todos los

elementos de la diagonal principal igual a 1; por ejemplo

A =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

es la matriz unidad de orden 3.

• Se llama matriz triangular superior (inferior) a toda matriz cuadrada que tiene

nulos todos los terminos que estan por debajo (encima) de la diagonal principal,

por ejemplo

A =

3 1 −2

0 −1 3

0 0 5

o A =

3 0 0

2 −1 0

5 3 1

0.3 Operaciones con matrices: suma, producto por

un numero y diferencia.

Definicion 0.3 Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de la misma dimension. Se

define la suma de A y B, C = A + B, como aquella matriz C de la misma dimension tal

que

cij = aij + bij 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n

Si las matrices no tienen la misma dimension, no se pueden sumar.

Ejemplo 0.4 3 1 −2

0 −1 3

+

−2 1 1

3 −2 3

=

1 2 −1

3 −3 6

Definicion 0.5 Sea A = (aij) una matriz de dimension m×n cualquiera y λ un numero

real. Se define el producto de λA, C = λA, como aquella matriz C de la misma dimension

tal que

cij = λaij 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n

En particular, cuando λ = −1, se obtiene la matriz opuesta de A, −A.

5

Ejemplo 0.6

−2

3 1 −2

0 −1 3

=

−6 −2 4

0 2 −6

Definicion 0.7 Se define la diferencia entre A y B, A−B = A + (−B).

0.4 Producto de matrices.

Vamos a definir el producto de matrices de una forma aparentemente extrana, pero que

se revela luego que es la mas util para las aplicaciones. Este producto no va a permitir

multiplicar dos matrices cualesquiera. Se necesitara que el numero de columnas del primer

factor coincida con el numero de filas del segundo; y la matriz producto tendra tantas

filas como tenıa el primer factor y tantas columnas como tenıa el segundo. La definicion

es la siguiente:

Definicion 0.8 Sean A = (aij) una matriz de dimension m × n y B = (bij) una matriz

de dimension n×p. Se define el producto C = AB como la matriz C = (cij) de dimension

m× p definida por

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ p

Ejemplo 0.9 3 1 −2

0 −1 3

−2 1

3 −2

1 0

=

3(−2) + 1 · 3 + (−2)1 3 · 1 + 1(−2) + (−2)0

0(−2) + (−1)3 + 3 · 1 0 · 1 + (−1)(−2) + 3 · 0

=

−5 1

0 2

El siguiente ejemplo muestra la utilidad del producto de matrices y la razon por la

que se define de esta manera. Supongamos que deseamos hallar los numeros x1, x2 que

verifican

3x1 −2x2 = y1

4x1 +x2 = y2

siendo

5y1 −y2 = 6

−y1 +3y2 = 7(0.8)

Una forma de atacar el problema es, por supuesto, resolver el segundo sistema, sustituir

en el primero los valores de y1 y2 hallados y resolver el primer sistema tambien. Pero mas

6

directo es sustituir en el segundo sistema las expresiones de y1 y2 dadas por el primer

sistema y ası obtener lo siguiente

5(3x1 − 2x2)− (4x1 + x2) = 6

−(3x1 − 2x2) + 3(4x1 + x2) = 7=⇒

(5 · 3 + (−1)4)x1 +(5(−2) + (−1)1)x2 = 6

((−1)3 + 3 · 4)x1 +((−1)(−2) + 3 · 1)x2 = 7=⇒

11x1 −11x2 = 6

9x1 +5x2 = 7

De este modo hay que resolver un solo sistema. Pues bien, con el calculo matricial se

simplifica la escritura. El problema (0.8) se escribe:

3 −2

4 1

x1

x2

=

y1

y2

siendo

5 −1

−1 3

y1

y2

=

6

7

(0.9)

Sustituyendo el termino independiente del primer sistema en el segundo, resulta

5 −1

−1 3

3 −2

4 1

x1

x2

=

6

7

=⇒

11 −11

9 5

x1

x2

=

6

7

Se comprobara en los diversos ejercicios que la multiplicacion de matrices no es conmu-

tativa; por ejemplo, el producto de las dos matrices del ultimo ejemplo en orden contrario,

da una matriz cuadrada de orden 3. Sin embargo, el producto de matrices sı es asociativo,

es decir, para multiplicar tres matrices (que se puedan multiplicar, es decir, de manera

que el numero de columnas de la primera coincida con el numero de filas de la segunda

y el numero de columnas de la segunda coincida con el numero de filas de la tercera) se

puede hacer

ABC = (AB)C = A(BC).

0.5 Sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas se puede escribir

a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = b2

. . . . . . + . . . . . . . . .

am1x1 +am2x2 + . . . +amnxn = bm

(0.10)

7

Los numeros aij son los coeficientes del sistema, Los numeros b1, ..., bm son los terminos

independientes y x1, ..., xn son las incognitas del sistema. Cuando todos los terminos

independientes son nulos, el sistema se llama homogeneo.

Definicion 0.10 Una solucion del sistema es un conjunto ordenado de numeros {s1, ..., sn}tal que si se sustituye la letra x1 por el numero s1, la letra x2 por el numero s2, ..., la

letra xn por el numero sn, se verifican las m igualdades.

Si un sistema no tiene solucion, se llama incompatible; por ejemplo,

x1 +x2 = 1

x1 +x2 = 2

es incompatible, porque dos numeros no pueden sumar a la vez 1 y 2. Si un sistema tiene

al menos una solucion, se llama compatible. Y dentro de estos, se llamara compat-

ible determinado, si tiene una sola solucion (como por ejemplo (0.1)) o compatible

indeterminado, si tiene mas de una solucion (como por ejemplo el sistema formado por

la ecuacion x + y = 1). De hecho todo sistema compatible indeterminado tiene infinitas

soluciones, como se vera despues.

Utilizando la notacion matricial que conocemos, el sistema lineal puede escribirse del

modo siguiente. Llamamos matriz del sistema a la matriz

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

formada por los coeficientes y matriz ampliada a la matriz

A′ =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

. . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn bm

Entonces (0.10) puede escribirse :

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

x1

x2

. . .

xn

=

b1

b2

. . .

bm

(0.11)

8

Las transformaciones de las que hablabamos en la Introduccion que convierten los

sistemas en equivalentes son las que se llaman transformaciones de filas, que son tres:

1. Multiplicar una fila por un numero no nulo. Si la fila i se multiplica por k, escribire-

mos Fi → kFi.

2. Sumarle a una fila otra u otra multiplicada por un numero no nulo. Si la fila i se

sustituye por la suma de ella misma y de la fila j multiplicada por k, escribiremos

Fi → Fi + kFj.

3. Cambiar de orden dos filas. Si intercambiamos las filas i y j, escribiremos Fi ↔ Fj.

Estas transformaciones aplicadas a la matriz ampliada de un sistema, lo transforman en

otro equivalente. Ası por ejemplo, las transformaciones de (0.1), (0.2) y (0.3), se pueden

expresar brevemente

3 2 8

2 4 5

F1→2F1F2→−3F2

∼ 6 4 16

−6 −12 −15

F2→F2+F1

∼ 6 4 16

0 −8 1

(0.12)

0.6 El metodo de Gauss para la resolucion de sis-

temas lineales.

El metodo de Gauss es un metodo que permite conocer si un sistema lineal es compatible

o incompatible y resolverlo en el primer caso. Lo hace transformando el sistema propuesto

en otro que sea equivalente y triangular, que se sabe resolver de forma analoga a como

hicimos en la Introduccion. Explicamos el metodo sobre un ejemplo. Supongamos que

pretendemos resolver

x +y −2z = 9

2x −y +4z = 4

2x −y +6z = −1

(0.13)

cuya matriz ampliada es

1 1 −2 9

2 −1 4 4

2 −1 6 −1

.

9

Utilizando el termino a11, transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos

los elementos de la primera columna que estan por debajo de el:

1 1 −2 9

2 −1 4 4

2 −1 6 −1

F2→F2−2F1F3→F3−2F1

∼

1 1 −2 9

0 −3 8 −14

0 −3 10 −19

.

Utilizando ahora el termino a22, transformamos el sistema en uno equivalente que tenga

nulos los elementos de la segunda columna que estan por debajo de el:

1 1 −2 9

0 −3 8 −14

0 −3 10 −19

F3→F3−F2

∼

1 1 −2 9

0 −3 8 −14

0 0 2 −5

.

El sistema es, pues, equivalente a

x +y −2z = 9

−3y +8z = −14

2z = −5

, (0.14)

que se resuelve de abajo a arriba obteniendose la solucion unica

z = −5

2y = −2 x = 6.

El sistema es compatible determinado.

Aplicamos el metodo al ejemplo siguiente

2x −y +z = 3

4x −4y +3z = 2

2x −3y +2z = 1

(0.15)

Quedarıa:

2 −1 1 3

4 −4 3 2

2 −3 2 1

F2→F2−2F1F3→F3−F1

∼

2 −1 1 3

0 −2 1 −4

0 −2 1 −2

F3→F3−F2

∼

2 −1 1 3

0 −2 1 −4

0 0 0 2

El sistema es equivalente a

2x −y +z = 3

−2y +z = −4

0z = 2

. (0.16)

10

La ultima ecuacion es claramente imposible de verificar. El sistema es incompatible.

Apliquemos por ultimo el metodo al sistema

x −3y +z = 4

x −2y +3z = 6

2x −5y +4z = 10

(0.17)

Resultarıa:

1 −3 1 4

1 −2 3 6

2 −5 4 10

F2→F2−F1F3→F3−2F1

∼

1 −3 1 4

0 1 2 2

0 1 2 2

F3→F3−F2

∼

1 −3 1 4

0 1 2 2

0 0 0 0

La ultima ecuacion se verifica de forma trivial de modo que el sistema es equivalente a

x −3y +z = 4

y +2z = 2(0.18)

Para resolver este sistema, se introduce el parametro λ = z y se resuelve el sistema

x −3y = 4− λ

y = 2− 2λ(0.19)

cuya solucion es

z = λ, y = 2− 2λ, x = 10− 7λ ∀λ ∈ R

El sistema es compatible indeterminado.

El termino de la diagonal que se utiliza para anular los terminos de la columna que

estan por debajo de el, recibe el nombre de pivote.

0.7 Determinantes.

A las matrices cuadradas se les asocia un numero, llamado determinante de la matriz,

que resulta muy util para bastantes cuestiones. Este numero se representa escribiendo

los elementos de la matriz entre dos barras verticales (en vez de entre parentesis). Lo

definiremos para las matrices cuadradas de orden 2 y 3 e indicaremos como se calcula

para matrices de mayor orden.

11

Si A es una matriz cuadrada de orden 2, se define

∣∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣∣= a11a22 − a12a21 (0.20)

Si A es una matriz cuadrada de orden 3, se define

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

(0.21)

Si A es una matriz cuadrada de cualquier orden triangular, su determinante es el

producto de los terminos de la diagonal. Para calcular el determinante de una matriz

cuadrada cualquiera, se aplican las transformaciones de filas Fi → Fi + kFj hasta con-

vertirla en una matriz triangular; entonces, el determinante de la matriz triangular es el

determinante de la matriz original.

Cuando un sistema lineal tiene el mismo numero de ecuaciones que de incognitas, la

matriz de ese sistema es cuadrada. Pues bien, si su determinante es distinto de 0, el sistema

es compatible determinado independientemente de como sean los terminos independientes;

estos sistemas se llaman sistemas de Cramer. Si el determinante es 0, entonces el sistema

es compatible indeterminado o incompatible segun sean los terminos independientes; en

particular, en el caso del sistema homogeneo, resulta ser compatible indeterminado. El

resultado exacto que detalla todo lo que sucede es el Teorema de Rouche-Frobenius que

se estudia en Bachillerato.