slayt6

Teorem: f:[a,b] → R , g:[a,b] → R fonksiyonları [a,b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c ∈ [a,b] ve k ∈ R olmak üzere:

( ) tir.g(x).dxf(x).dx.dxg(x)f(x)3.

tir.f(x).dxk.k.f(x).dx2.

tir.f(x).dxf(x).dxf(x).dx1.

b

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

c

c

a

b

a

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

+=+

=

+=

slayt7

Örnek:

.dxx2

1-∫a-)

b-)

c-)

.dx2)x.sgn(x3

1-∫ −

.dxx94

2

2∫ −

slayt8

Çözüm:

bulunur.011|x|x.dxx.dxx.dxx.dxx2

1

0

1

2

1

1

0

0

1

2

1

=+−=+−=++=−−−

∫∫∫∫

a-)

b-)

c-)

bulunur.1|2

x|

2

xx.dxx.dx2).dx-x.sgn(x

3

2

22

1

23

2

2

1

3

1

=+−=+−=−−−

∫∫∫

bulunur.6279363

64

3

818927).dxx-(9).dxx-(9.dxx-9

4

3

23

2

24

2

2 =+−−++−−=+= ∫∫∫

Alan Hesabı

Dönel Cisimlerin Hacimleri

slayt1

Alan Hesabı

Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremi kullanacağız.

∫=b

a

f(x).dxS

Teorem: f:[a,b] → R , f(x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. y=f(x) eğrisi, x=a , x=b ve y=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

slayt2

1.Sonuç: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında negatif değer alıyorsa,

∫−=b

a

f(x).dxS

slayt3

2.Sonuç: f:[a,b] →R ,y=f(x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif değerli, bir parçasında pozitif değerli ise,

∫=d

a

.dx|f(x)|S

slayt4

Örnek1: f(x)=3x2+6x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanını hesaplayalım.

slayt5

Çözüm1:

Şekilden görülebileceği gibi, f(x)=3x2 +6x=0 denkleminin kökleri 3x(x+2)=0 ⇒ x1=-2 ve x2=0 dır. Kökler arasında f(x)<0 olduğundan; aranan alan;

bulunur. birimkare40128S

)3.0(02)3.(2)(|)3x(xS

|)3x-(x6x).dx(3xf(x).dxS

23222

0

23

0

2-

0

2

2320

2-

=−+−=

+−−+−=+=

+=+−=−=

−

−∫∫

Slayt6

Örnek2: Aşağıdaki grafik, f(x)=lnx fonksiyonuna aittir. Buna göre, taralı alanlar toplamı S ise, S değeri nedir?

Slayt7

Çözüm2:

Fonksiyon [1/e,1] arasında negatif, [1,e2] arasında pozitif değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan;

bulunur.birimkaree

22eeS2e

e

21e2e1

e

2S

1)(ln1)elne(e1)(0e

1

e

1ln

e

1S

|x)(x.lnx|x)(x.lnx|x)(x.lnx|x)(x.lnxS

lnx.dxlnx.dxf(x).dxf(x).dxS

3222

222

e

1

e

1

1

e

1

1

e

1

e

1

1

e

1

e

1

1

e

1

22

22

−+=⇒++−=+−++−=

−−−+−−

−=

−+−=−+−−=

+−=+−= ∫∫∫∫

3.Sonuç: f:[a,b]→R , g:[a,b]→R integranellenebilen iki fonksiyon olsun.

Slayt8

Slayt9

Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan;

∫∫ ==b

a

2

b

a

1 g(x).dx S ,f(x).dx S

∫ ∫∫ −=−=−=b

a

b

a

b

a

21 bulunur.g(x)).dx(f(x)g(x).dxf(x).dxSSS

4.Sonuç:

Slayt10

∫∫ +=+=3

2

2

1

x

x

x

x

21 f(x)).dx-(g(x)g(x)).dx-(f(x)SSS

slayt11

Örnek1: f(x)=sinx ve g(x)=cosx fonksiyonları veriliyor:

a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x=0 , x=π/6 doğruları ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz.

b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerinden birisinin alanını hesaplayınız.

slayt12

bulunur.birimkare2

13S

102

3

2

1cos0(sin0

6

πcos

6

πsinS

|cosx)(sinxsinx).dx(cosxS6

π

0

6

π

0

−=

−−+=+−

+=

+=−=∫

Çözüm1:

a. f(x)=sinx , g(x)=cos(x) fonksiyonlarının grafikleri şekildeki görülmektedir.

x∈[0,π/6] aralığında cosx>sinx olduğundan;

slayt13

b. f(x) = g(x) ⇒ sinx = cosx ⇒ cos (π/2-x) = cosx ⇒ x1= π/4 , x2= 5π/4 . O halde, f(x)=sinx , g(x)=cosx eğrileri arasındaki sınırlı bölgelerden birinin alanı,

bulunur.birimkare22S

2

2

2

2

2

2

2

2S

4

πsin-

4

πcos-

4

5πsin-

4

5πcos-S

|sinx)(-cosxcosx).dx(sinxS4

5π

4

π

4

5π

4

π

=

−−−+=

−

=

−=−=∫

slayt14

Teorem: g:[c,d] → R , x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

dir.g(y).dySd

c∫=

Örnek: Aşağıdaki şekilde, x = y2+1 eğrisinin x=1 ile x=5 aralığındaki parçası çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br2 dir?

slayt15

Çözüm:

Önce integralin sınırlarını bulalım.x=1 için, 1=y2+1⇒ y=0x=5 için, 5=y2+1⇒ y≥0 olduğundan, y=2 bulunur.

bulunur.br3

14A

|y3

y1).dy(yA

2

2

0

32

0

2

=

+=+=∫

slayt16

5.Sonuç: x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x=g(y) eğrisi, y=c , y=d , ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;

dir.g(y).dySd

c∫−=

slayt17

Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen parabolün denklemi , x=y2-2y dir. Taralı bölgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulalım.

Çözüm:

y2-2y=0 ⇒ y1=0 ∨ y2=2 bulunur. Buna göre taralı alan;

bulunur.br3

4A

|3

yyA

).dyy(2y2y).dy(yA

2

2

0

32

2

0

22

0

2

=

−=

−=−−= ∫∫

slayt18

6.Sonuç: Eğer x=g(y) fonksiyonu [c,d] aralığında hem negatif hem de pozitif değerler alıyorsa, x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,

∫∫∫ =+−=+=d

c

d

c

e

c

21 .dy|g(y)|g(y).dyg(y).dySSS

slayt19

Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen eğrinin denklemi , x= -y.(y+1).(y-2) dir. Buna göre,taralı alanların toplamı kaç birim karedir?

Çözüm:

x= -y.(y+1).(y-2)=0 ⇒ y1=-1 , y2=0 , y3=2 bulunur. Verilen bağıntı denkleminde; -1<y<0 için, f(y)>0 olduğundan aranan alanlar toplamı;

slayt20

bulunur.birimkare12

37

3

8

12

5|y

3

y

4

y|y

3

y

4

yA

2y).dyy(-y2y).dyy(-yf(y).dyf(y).dyA

2

0

2340

1

234

2

0

230

1-

232

0

0

1-

=+=

++−+

−−=

+++++−=+−=

−

∫∫∫∫

7.Sonuç: x=g(y) , x=f(y) eğrileri arasında kalan y=c , y=d doğruları ile sınırlı alan;

∫=d

c

.dy|g(y)-f(y)|S

slayt21

Örnek: x=y2 parabolü ile x+y=6 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm:

y2=6-y ⇒ y2+y-6=0⇒ y1 =-3 ∨ y2 =2 bulunur.

[ ]

bulunur.br6

125A

|3

y

2

y6.dy)6(A

2

2

3-

322

3-

2

=

−−=−−= ∫ yyy

slayt22

Dönel Cisimlerin Hacimleri

[ ] tir..dxf(x)π..dxyπ.Vb

a

2b

a

2 ∫∫ ==

Teorem: y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere, y=f(x) eğrisi etrafında, x=a , x=b ve Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi;

slayt23

1.Sonuç: [a,b] aralığında integrallenebilen iki fonksiyon, y=f(x) ve y=g(x)olsun. ∀x∈[a,b] için f(x)≥g(x)≥0 ise; y=f(x) ve y=f(x) eğrileri, x=a ve x=b doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;

[ ] tir..dx(x)g-(x)fπ.Vb

a

22∫=

Örnek: f(x)=x2 eğrisi, x=0 , x=2 doğruları ve Ox ekseni etrafından sınırlanan kapalı bölgenin Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.

slayt24

Çözüm: Elde edilen cisim, yukarıdaki şekilde görülmektedir.

olur.br5

32π|x

5

1π..dxxπ..dx)(xπ.V 3

2

0

52

0

42

0

22 ==== ∫∫

slayt25

2.Sonuç: x=f(y) fonksiyonunun eğrisi, y=c , y=d doğruları ve Oy ekseni ile sınırlanan düzlemsel bölgenin Oy etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;

dir..dyxπ.Vd

c

2∫=

slayt26

3.Sonuç: ∀y∈[c,d] için f(y)≥g(y)≥0 ise; x=f(y) ve x=g(y) eğrileri ile y=a ve y=b doğruları arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan yeni cismin hacmi;

[ ] dir..dy(y)g(y)fπ.Vd

c

22∫ −=

slayt27

Örnek1: y=x2 parabolü, x=0 , y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

Çözüm1:

olur.br2π|2

yπ.y.dyπ..dy)y(π.V 3

2

0

22

0

2

0

2 ==== ∫∫

y=x2 ⇒ x=√y (x≥0= dır. Oluşan cismin hacmi;

slayt28

Örnek2: x=y2 eğrisi ve y=x2 eğrisi arasında kalan düzlemsel bölgenin Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

slayt29

Çözüm2:

[ ]

bulunur.br10

3πV

5

1

2

1π.|

5

y

2

yπ.).dyy-(yπ..dy)(y-)y(π.V

3

1

0

521

0

41

0

222

=

−=

−=== ∫∫

y=x2 ⇒ y=(y2)2 ⇒ y=y4 ⇒ y-y4 =0 ⇒ y=0 ve y=1 bulunur.

O halde, oluşan dönel cismin hacmi; y∈[0,1] da y=x2 parabolünün oluşturduğu hacimden, x=y2 parabolünün oluşturduğu hacim çıkartılarak bulunur.

slayt30

Örnek3: √x+√y=1 eğrisinin koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin, Ox ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

Çözüm3:

bulunur.br15

π

5

8

3

8

3

131π.V

|x5

8x

3

8x

3

13xxπ..dx4x4xx6x1π.V

).dxx42xx4x4x(1π.x).dxx2-(1π.V

3

1

0

2

5

2

332

1

0

2

1

2

32

1

0

21

0

=

−−++=

−−++=

−−++=

−+−++=+=

∫

∫∫

slayt31

√y=1-√x ⇒ y=1-2√x+x dir. Eğri, eksenleri x=1 ve y=1 de keser.

Bitir