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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICACOLÉGIO PEDRO II - CPIIPró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e CulturaAvaliação 3 - Aritmética - MA14 - 2016Prof.a Luciana S. da Silva Martino
Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
a) Mostre que nenhum quadrado ou soma de dois quadrados é da forma 4n+ 3
b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, ... é um quadrado ou soma de dois quadrados
c) Mostre que nenhum elemento das sequências
44, 444, 4444, ... , 55, 555, 5555, ... , 99, 999, 9999, ...
é um quadrado ou soma de dois quadrados
Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
Sobre a Equação Pitagórica faça o que é pedido:
a) De�na terno pitagórico, triângulo pitagórico primitivo e terno pitagórico primitivo
b) Sejam n e m números natrais, com n > m, (n,m) = 1 e de paridades diferentes. Dados os números a = n2 −m2,b = 2nm e c = n2 +m2, soluções primitivas devidas à Euclides da Equação Pitagórica X2 + Y 2 = Z2, mostre que amédia aritmética da hipotenusa com o cateto ímpar de um triângulo pitagórico primitivo é um quadrado.
Questão 3 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
Sobre o Pequeno Teorema de Fermat faça o que é pedido:
a) Enuncie o Pequeno Teorema de Fermat.
b) Enuncie o caso particular do Pequeno Teorema de Fermat para o caso de um número natural a não divisível por umprimo, p
c) Mostre que a12 − b12 é divisível por 13, se a e b são primos com 13
Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
a) Mostre por indução que para todo n ≥ 1 tem-se que Fn = 22n
+ 1 ≡ 5 mod 12
b) Mostre que nenhum número de Fermat pode ser um quadrado
Questão 5 [2,00 pts]
Determine quantas e quais são as soluções incongruentes mod 20 da congruência 12X ≡ −36 mod 20.