Mestrado Profissional em Matemática – Colégio Pedro II

Avaliação 1 – MA 14 – 2016Profª. Luciana Martino

Questão 1 [ 2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt ]________________________________________________________________________

Use o Princípio da Boa Ordenação para provar os seguintes resultados:

a) Se é não vazio e limitado superiormente então tem um maior elemento;

b) Para todo vale a igualdade .

Sugestão: Considere o conjunto e prove que

.

Questão 2 [ 2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt ]________________________________________________________________________

Sobre o que vimos no capítulo Divisão nos Inteiros prove os seguintes resultados:

a) Se então é da forma ou , com ;

b) Se e são inteiros ímpares então é divisível por 2 mas não é divisível por 4;

Questão 3 [ 2,00 pts ]________________________________________________________________________

Agora um resultado sobre o Máximo Divisor Comum.

Prove que se , com então .

Questão 4 [ 2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt ]

Ainda sobre o Máximo Divisor Comum, prove que:

a) Se , então ;

b) Dado um subconjunto infinito de , existe um número natural tal que

.

Questão 5 [ 2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 1,50 pt ]

Uma equação diofantina linear nas incógnitas e é uma equação da forma ,

em que , e são inteiros, e as únicas soluções que interessam são aquelas

em que .

Nesse contexto , considere que os ingressos de um cinema custam R$ 9,00 para estudantes e R$ 15,00 para o público geral, e que, em certo dia, durante determinado período, a arrecadação nas bilheterias desse cinema foi de R$ 246,00.

A partir das informações acima, faça o que se pede nos itens a seguir:

a) Obtenha uma equação diofantina linear que modele a situação acima, indicando o significado das incógnitas;

b) Quantas e quais são as soluções do problema descrito no item (a) ?